數(shù)學多重積分學習教案

1、會計學1數(shù)學數(shù)學(shxu)多重積分多重積分第一頁，共66頁。2),(yxfz 曲頂柱體體積曲頂柱體體積(tj)=例 曲頂柱體的體積(tj)D曲頂柱體0),( yxf),(yxfz 以xOy面上(min shn)的閉區(qū)域D為底,D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面,側面是以頂是曲面且在D上連續(xù)).oyxz8.1 二重積分的概念與性質(zhì)1、二重積分的概念、二重積分的概念第1頁/共66頁第二頁，共66頁。3（1）分割(fng)：用一組曲線(qxin)網(wǎng)把 D分成n個小的閉區(qū)域 12,n同時表示這些(zhxi)小的閉區(qū)域的面積. 任取小區(qū)域，對應小曲頂柱體的體積的),(iif i (2) 取近似（

2、3）求和體積之和體積之和近似表示近似表示曲頂柱體的曲頂柱體的體積1( ,)niiiif V曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積iiniif ),(10lim （4）取極限：步驟如下步驟如下:D),(yxfz xzyO),(ii ),(iif i 近似值為用若干個小平頂柱體第2頁/共66頁第三頁，共66頁。4柱體體積柱體體積(tj) = 分析分析(fnx)曲邊梯形面積曲邊梯形面積(min j)是如是如何求何求 解決問題的思路、步驟與解決問題的思路、步驟與回憶分割、曲邊梯形面積的求法類似取近似、求和、取極限. 底面積底面積高高第3頁/共66頁第四頁，共66頁。5 上面問題所求量歸結為求某一形式(xngsh

3、)的和的極限這種極限問題在物理、力學、幾何和工程技術中是經(jīng)常見到的,有許多物理量或幾何量都可歸結為這一形式(xngsh)的和的極限因此要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義 Viiniif ),(10lim 第4頁/共66頁第五頁，共66頁。6也表示也表示(biosh)它它的面積的面積,),(上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設設Dyxf,個個小小區(qū)區(qū)域域表表示示第第其其中中ii ),(iii 上上任任取取一一點點在在每每個個 定義定義(dngy)8.1個個小小閉閉區(qū)區(qū)域域任任意意分分成成將將閉閉區(qū)區(qū)域域nD,21n 作乘積作乘積(chngj(chngj) ) ii

4、if ),(), 2 , 1(ni 并作和并作和 .),(1iiniif 第5頁/共66頁第六頁，共66頁。7,d),( Dyxf 這和式這和式則稱此則稱此零時,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于趨近于 的極限存在,iiniif ),(1極限為函數(shù)二重積分二重積分, ,上的上的在閉區(qū)域在閉區(qū)域Dyxf),(記為記為即即iiniiDfyxf ),(limd),(10第6頁/共66頁第七頁，共66頁。8,d),( DyxfV Dyxf d),(二重積分可寫為二重積分可寫為yxdd Dyxf),(則面積(min j)元素為Oxyyxddd在直角坐標系下用平行(p

5、ngxng)于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D,第7頁/共66頁第八頁，共66頁。9(2)2、二重積分的幾何(j h)意義(3) (1)在在D上的二重積分就等于上的二重積分就等于(dngy)二重積分是二重積分是而在其它(qt)的部分區(qū)域上是負的. 這些部分區(qū)域上的柱體體積的代數(shù)和.那末,),(yxf,0),(時時當當 yxf,0),(時時當當 yxf曲頂柱體體積的負值;曲頂柱體體積;在D上的若干部分區(qū)域上是正的,),(yxf當當?shù)?頁/共66頁第九頁，共66頁。10例例 設設D為圓域為圓域222Ryx 二重積分二重積分 DyxR d222=RyxzOD332R 第9頁/共66頁第十頁，共66頁。11

6、 Dyxgyxf d),(),( DDyxgyxf d),(d),(性質(zhì)(xngzh)1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面.性質(zhì)(xngzh)2 函數(shù)的和(或差)的二重積分等于各函數(shù)的二重積 分的和(或差) . Dyxkf d),( Dyxfk d),(k為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)3、二重積分的性質(zhì)第10頁/共66頁第十一頁，共66頁。12性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)3將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為分為(fn wi)兩兩個子域個子域 Dyxf d),()(21DDD oxyD1D2對積分對積分(jfn)區(qū)域的可加性質(zhì)區(qū)域的可加性質(zhì).D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD以1為高的 性

7、質(zhì)性質(zhì)4 若若 為為D的面積，的面積， 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可看成是D的面積.第11頁/共66頁第十二頁，共66頁。13根據(jù)二重積分的幾何(j h)意義,確定積分值,d)(222 Dyxab222ayxD 為為其中其中ba2 332a 第12頁/共66頁第十三頁，共66頁。14 Dyxf d),(特殊特殊(tsh)地地性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)5(xngzh)5(比比較性質(zhì)較性質(zhì)(xngzh)(xngzh),(),(yxgyxf 設設 ,),(Dyx 則 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( 第13頁/共66頁

8、第十四頁，共66頁。15 DMyxfm d),(幾何幾何(j h)意義意義以以m為高和以為高和以M為高的兩個為高的兩個(lin )性質(zhì)(xngzh)6(估值性質(zhì)(xngzh)則,),(Myxfm 設設為D的面積,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體的體積介于以D為底,平頂柱體體積之間. Dyxf d),(,),(Dyx 則 Dyxg d),( ),(),(yxgyxf設第14頁/共66頁第十五頁，共66頁。16練習練習(linx)： 比較(bjio)與與 d)(21 DyxI, 1)1()2(:22 yxD其中其中oxy 1 12(2,1)性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)4(xngzh)4(

9、比比較性質(zhì)較性質(zhì)(xngzh)(xngzh).)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小,則( ).21II 1 yx,),(Dyx , 1 yx第15頁/共66頁第十六頁，共66頁。1722yxe d)(22 Dyxe222d)(aDyxeabeab 解解估值性質(zhì)估值性質(zhì)(xngzh) DMyxfm d),(區(qū)域區(qū)域(qy)D的的面積面積 ab 在在D上上220yx 例例 不作計算不作計算(j sun),d)(22的值的值估計估計 DyxeI).0( , 1:2222abbyaxD 是橢圓閉區(qū)域是橢圓閉區(qū)域其中其中2a 2ae 0e 12ae mM第16頁/共66頁第十七頁，共66頁。

10、18性質(zhì)性質(zhì)7(7(二重積分的中值二重積分的中值(zhn (zhn zh)zh)定理定理) ),( Dyxf d),(體積體積(tj)等等于于),( f以以 顯然顯然(xinrn) DMyxfm d),(幾何意義證在閉區(qū)域在閉區(qū)域設設),(yxfD上連續(xù),為D的面積,則在D上至少存在一點使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱體以D為底 為高的平頂柱體體積.將性質(zhì)5中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0 , 有第17頁/共66頁第十八頁，共66頁。198.2 二重積分的計算(j sun)1、X型區(qū)域(qy)和Y型區(qū)域(qy)區(qū)域區(qū)域(qy)D為：為：, bxa )

11、.()(21xyx b)(2xy )(1xy aDX型xOyxOy)(1xy )(2xy Dba第18頁/共66頁第十九頁，共66頁。20穿過穿過(chun u)區(qū)域且平行于區(qū)域且平行于y軸的直線軸的直線X型區(qū)域(qy)的特點:與區(qū)域邊界相交不多于兩個(lin )交點.b)(2xy )(1xy aDxOyxOy)(1xy )(2xy Dba第19頁/共66頁第二十頁，共66頁。21區(qū)域區(qū)域(qy)D為：為：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型xOyxOyD)(2yx cd)(1yx 第20頁/共66頁第二十一頁，共66頁。22穿過區(qū)域(qy)且平行于x軸的直線Y型區(qū)

12、域(qy)的特點:與區(qū)域邊界相交不多于兩個(lin )交點.D)(2yx cd)(1yx xOyxOyD)(2yx cd)(1yx 第21頁/共66頁第二十二頁，共66頁。23xyO例解解 積分(jfn)域既是X型又是Y型法一法一所圍區(qū)域所圍區(qū)域是由是由求求xyxyDyxxyD , 2, 1,dd, 21 x?, 21 yxy 2 x1 y 1xy 法二法二, 21 y 2 xy第22頁/共66頁第二十三頁，共66頁。24用二重積分的幾何意義討論用二重積分的幾何意義討論 的計的計算算 Ddyxf ),(2、利用(lyng)直角坐標計算二重積分（1）設積分）設積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D為：為：,

13、bxa ).()(21xyx .b, a)()(21上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間，其其中中函函數(shù)數(shù)xx 的值的值)0),(d),( yxfyxfD ),(yxfz 等于等于(dngy)以以D為底為底,以曲面以曲面為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積.由二重積分的幾何意義由二重積分的幾何意義 ，第23頁/共66頁第二十四頁，共66頁。25計算計算(j sun)截面面積截面面積是區(qū)間是區(qū)間(q jin)(),(0201xx 為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形(txng).),(0yxfz 為底,曲線曲線 xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab)(1xy應用計算“平行截面面積為已知的立

14、體求體積”的方法?0 x此曲邊梯形面積如何計算？此曲邊梯形面積如何計算？ 設積分區(qū)域設積分區(qū)域D為：為：, bxa ).()(21xyx 第24頁/共66頁第二十五頁，共66頁。26)(01x ,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有: DyxfV d),( baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf )(02x yyxfxAd),()(00 先對先對y后對后對x的二次積分的二次積分(jfn)稱為稱為(chn wi)累次積分.xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xAab)(1xy0 x第25頁/共66頁第二十六頁，共66頁。27 Dyxf d),(

15、 baxxyyxfx)()(21d),(d 積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D為：為：, bxa ).()(21xyx 計算二重積分：1 用兩個不等式描述積分區(qū)域；2 利用(lyng)變量的積分限，將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分；3 依次計算兩個定積分。b)(2xy )(1xy aDxOyxOy)(1xy )(2xy Dba第26頁/共66頁第二十七頁，共66頁。28(2) 積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D為：為：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型 Dyxf d),(先對先對x后對后對y的二次積分的二次積分(jfn)也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d

16、),(xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),( xyxf)(1y )(2y 第27頁/共66頁第二十八頁，共66頁。29abdc 計算結果一樣(yyng).又是又是Y型型:(3)積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D既既是是X型型:, bxa )()(21xyx ,dyc )()(21yxy 可作出適當(shdng)選擇.xyO dcyyxyxfy)()(21d),(d baxxyyxfx)()(21d),(d 此時也意味著：此時也意味著：第28頁/共66頁第二十九頁，共66頁。30(4) 若區(qū)域若區(qū)域(qy)如如圖圖,在分割后的三個區(qū)域在分割后的三個區(qū)域(qy)上分上分別使用積分公

17、式別使用積分公式. D(用積分用積分(jfn)區(qū)域的可加性質(zhì)區(qū)域的可加性質(zhì))D1、D2、D3都是都是X型區(qū)域型區(qū)域則必須分割. 321DDDxyO3D2D1D第29頁/共66頁第三十頁，共66頁。31xyO例解解 Dyxxyddxyxxd22112 .89 積分(jfn)域既是X型又是Y型 yxyd 21d x法一法一所圍區(qū)域所圍區(qū)域是由是由求求xyxyDyxxyD , 2, 1,dd1x, 21 x? y?, 21 yxy 2 x1 y 1xy xxxd )22(213 第30頁/共66頁第三十一頁，共66頁。32先對先對x后對后對y的積分的積分(jfn) Dyxxydd.89 21dy法二

18、法二 xxydy2 Dyxxydd?,? xy, 21 yxyOxy 2 x1 y?21 x 2 xy第31頁/共66頁第三十二頁，共66頁。33xyO例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 積分(jfn)域既是X型又是Y型 22xyyx yyxd)(2 10dx法一法一)0 , 0(),1 , 1(所圍平面所圍平面(pngmin)閉區(qū)域閉區(qū)域.和和是拋物線是拋物線其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 兩曲線兩曲線(qxin)的交點的交點2xx2xy 2yx )1 , 1( , 10 x? yxyx 2第32頁/共66頁第三十三頁，共66頁

19、。34先對先對x后對后對y的積分的積分(jfn) Dyxyxdd)(214033 10dy法二法二 xyxd)(22yy Dyxyxdd)(2?,? xyyxyy 2, 10 xyO2xy 2yx )1 , 1( 第33頁/共66頁第三十四頁，共66頁。3522yx21yx 求由曲線(qxin)與圍成圖形(txng)的面積x xy yo o1 1-1-1. 解：2212()xx dx 11dxx )31(2102 34 21yx 22yxd dDAx y11dxdy22x21x六章(li zhn)P130:第34頁/共66頁第三十五頁，共66頁。362yx2yx例 計算(j sun)曲線與圍成

20、圖形(txng)的面積2yx2yxxyo-1224解：解：（）取（）取 為積分變量，為積分變量，y圖形圖形(txng)面積面積dyyyA)2(212 29 d dDAx y21dydx2y2y第35頁/共66頁第三十六頁，共66頁。37例例yyxxdsind1012 siny2 對對y的積的積分分(jfn)方法方法(fngf)是是:改寫改寫(gixi)D為為:oxy 分析所以將二次積分先將所給的積分域(1)(2)畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計算二次積分不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(交換積分次序.用聯(lián)立不等式表示, 10 x1 yx, 10 yyx 0第36頁/共66頁第三

21、十七頁，共66頁。38yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0第37頁/共66頁第三十八頁，共66頁。39又是能否進行又是能否進行(jnxng)(jnxng)計算的問題計算的問題. .計算(j sun)二重積分時,恰當(qidng)的選取積分次序十分重要,它不僅涉及到計算繁簡問題,而且第38頁/共66頁第三十九頁，共66頁。40例交換積分(jfn)次序：解解積分積分(jfn)區(qū)區(qū)域域: xxxyyxfxyyxfx20212010d)

22、,(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO2, 10 y? x22xxy 221)1(yx 21 1yx 211yx 第39頁/共66頁第四十頁，共66頁。41一、極坐標系的建立(jinl)：(1)在平面內(nèi)取一個定點(dn din)O，叫做極點.(2)引一條射線(shxin)OX，叫做極軸.極坐標(1)用 表示OM的長度，稱為點M的極徑(2)用 表示從OX到OM 的角度，稱為點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標.X XO OM M 二、規(guī)定補充:第40頁/共66頁第四十一頁，共66頁。421.互化前提(qint)極點極點(jdin)

23、(jdin)和原點重合和原點重合極軸和x軸的正半軸重合(chngh)單位長度一致2.互化公式cossinxy22tanyxxy三、極坐標與直角坐標的互化Poxy第41頁/共66頁第四十二頁，共66頁。43四、常用的曲線四、常用的曲線(qxin)在極坐標系下在極坐標系下的方程的方程1.直線直線(zhxin)(1).過極點過極點(jdin)的直線的直線(2).圓圓第42頁/共66頁第四十三頁，共66頁。44Oxy(4)雙紐線雙紐線 2cos22ar )cos1( arxyO2第43頁/共66頁第四十四頁，共66頁。45i ii i iii iii 2)(21ii 221二重積分的計算法3、利用(l

24、yng)極坐標系計算二重積分OADi ii i ),(ii . dd diiii )2(21iiiii 2)(第44頁/共66頁第四十五頁，共66頁。46由直角坐標(zh jio zu bio)與極坐標的關系： sin,cosryrx有如下轉(zhuǎn)換(zhunhun)公式：( ,)( cos, sin).DDf x y df rrrdrd.drdrd3、利用(lyng)極坐標計算二重積分第45頁/共66頁第四十六頁，共66頁。47 )(1 )(2 Df dd)sin,cos(1) 積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D:, )()(21 d)(1 d)sin,cos(f)(2 二重積分的計算法OAD第46頁/

25、共66頁第四十七頁，共66頁。48 )(0d)sin,cos(d f(2)積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D(曲邊扇曲邊扇形形):, )(0 Df dd)sin,cos(AO 二重積分的計算法D)(第47頁/共66頁第四十八頁，共66頁。49 Df dd)sin,cos( )(020d)sin,cos(d f(3) 積分積分(jfn)區(qū)域區(qū)域D:,20 )(0 DoA)( 二重積分的計算法第48頁/共66頁第四十九頁，共66頁。503、利用(lyng)極坐標計算二重積分rPoxy直角坐標直角坐標(zh jio zu bio)和極坐標的的關系：和極坐標的的關系：設坐標原點為極點設坐標原點為極點(jdi

26、n)，直角坐標的橫軸為極坐標的極軸，直角坐標的橫軸為極坐標的極軸，),(),( rPyxP平面上點平面上點P的直角坐標和極坐標分別為的直角坐標和極坐標分別為,cos rx ,sin ry .drdrd第49頁/共66頁第五十頁，共66頁。51解解cossinxryr Dyxyxfdd),(d( cos , sin ) df rrr r例例寫出積分寫出積分(jfn)的極坐標二次積分的極坐標二次積分(jfn) Dyxyxfdd),(形式(xngsh),在極坐標系下在極坐標系下a002二重積分的計算法其中其中D是由中心在原點是由中心在原點,半徑為半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.ax

27、Oy第50頁/共66頁第五十一頁，共66頁。52解解yxeDyxdd22 ae020dd2 )1(2ae a例例計算計算(j sun),dd22yxeDyx 其中其中(qzhng)D是由中心在是由中心在原點原點,半徑半徑(bnjng)為為a的圓周所圍成的閉區(qū)的圓周所圍成的閉區(qū)域域.在極坐標系下在極坐標系下:D,20 a 0二重積分的計算法xOy第51頁/共66頁第五十二頁，共66頁。5322(1)DxydxdyD例10.計算，其中是單位圓圍成的閉區(qū)域解：被積函數(shù) 221xy是一個旋轉(zhuǎn)拋物面，在空間直角坐標系中開口向下. 本題所求是一個車燈模型的體積. D 寫成X-型域： 22: 11,11Dx

28、xyx 計算將會很繁瑣. 用極坐標則寫成:02, 01.Dr222(1)(1)DDxydxdyrrdrd在直角坐標系下的二重積分變成極坐標系下的二重積分:21123000(1)2()2drrdrrrdr第52頁/共66頁第五十三頁，共66頁。54例11. 計算 Dydxdy,其中D是圓心在原點的單位圓中從角度 4到 34的區(qū)域 解：用極坐標寫出積分區(qū)域 3:, 0144Dr,得到 3 /413 /423 10/4/4012sinsincos33DDydxdyrrdrddr drr 例12. 222112xyRedxdy,其中R是全平面，即:,Rxy 利用極坐標，這時 02 ,0,r 于是 22

29、222222222200001112()1222xyrrrrRedxdyderdrede 第53頁/共66頁第五十四頁，共66頁。55例12. 222112xyRedxdy,其中(qzhng)R是全平面，即:,Rxy 利用(lyng)極坐標, 由于 02 ,0,r 所以(suy) 22222222222200001112()1222xyrrrrRedxdyderdrede 第54頁/共66頁第五十五頁，共66頁。568.3 二重積分的應用(yngyng)如果在全平面(pngmin)R定義的非負函數(shù) ( , )x y，滿足(mnz) ( , )1,Rx y dxdy則稱 ( , )x y是一個二

30、維分布密度函數(shù). 例12中 22212xye稱為二維正態(tài)分布密度函數(shù). 就是一個二維分布密度函數(shù)，第55頁/共66頁第五十六頁，共66頁。57例13. 某工廠的一臺機器(j q)生產(chǎn)長 10cm，直徑(zhjng)為 5cm的元件(yunjin). 事實上，各元件之間是有微小差異的. 一個元件，如果長度和直徑與準確值的偏差小于 0.1cm則是可用的. 如果長度為 ,xcm直徑為 ,ycm對 x 和 y 偏差的密度函數(shù)為22(10)(5)2 0.0052 0.01xye則一個元件可用的概率是多少？解：元件長度 x 在 9.9,10.1,直徑 y 在 4.9,5.1之間的概率是2222(10)(5

31、)(10)(5)2 0.0052 0.012 0.0052 0.015.110.110.15.14.99.99.94.950 250 2xyxyedxdyedxedy 通過查表，得到結果是0.5753，是元件可用的概率.50 2第56頁/共66頁第五十七頁，共66頁。58第八章 二重積分小結(xioji)8.1 二重積分的概念(ginin)與性質(zhì)),(yxfz DoyxziiniiDfyxf ),(limd),(10例例 設設D為圓域為圓域222Ryx 求二重積分求二重積分 DyxR d222第57頁/共66頁第五十八頁，共66頁。59 Dyxgyxf d),(),( DDyxgyxf d),(d),(性質(zhì)1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以(ky)提到二重積分號的外面.性質(zhì)2 函數(shù)(hnsh)的和(或差)的二重積分等于各函數(shù)(hnsh)的二重積 分的和(或差) . Dyxkf d),( Dyxfk d),(k為常數(shù)為常數(shù)(chngsh)3、二重積分的性質(zhì)第58頁/共66頁第五十九頁，共66頁。60性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)3將區(qū)域?qū)^(qū)域(qy)D分為兩分為