數(shù)學221綜合法和分析法1新人教A版選修學習教案

1、數(shù)學數(shù)學(shxu)221綜合法和分析法課件綜合法和分析法課件1新人教新人教A版選修版選修第一頁，共28頁。探究探究(tnji)（一）：綜合法（一）：綜合法 思考思考1 1：對于不等式：對于不等式其左右兩邊的結構有什么特點？其左右兩邊的結構有什么特點？2222()()4a bcb caabc+右邊是右邊是3 3個數(shù)個數(shù)a a，b b，c c的乘積的的乘積的4 4倍，左邊為兩項之和，其中倍，左邊為兩項之和，其中(qzhng)(qzhng)每一項都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平方和之積每一項都是一個數(shù)與另兩個數(shù)的平方和之積. .第1頁/共28頁第二頁，共28頁。思考思考(sko)2(sko)2：利用哪個知

2、識點可以溝通兩個數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的積的不等關系？：利用哪個知識點可以溝通兩個數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的積的不等關系？基本基本(jbn)(jbn)不等式不等式思考思考3 3：若已知：若已知a0 0，b0 0，如何利用不等式性質證明，如何利用不等式性質證明 2222()()4a bcb caabc+第2頁/共28頁第三頁，共28頁。例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證(qizhng)a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc(qizhng)a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc因為因為(yn wi)b2+c2 (yn wi)b2+c2 2bc,a02bc,a0所以所以a(b2+c

3、2)2abc.a(b2+c2)2abc.又因為又因為(yn wi)c2+b2 (yn wi)c2+b2 2bc,b02bc,b0所以所以b(c2+a2) 2abc.b(c2+a2) 2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :第3頁/共28頁第四頁，共28頁。直接證明直接證明(zh ji zhn mn)(zh ji zhn mn)法法1 1、綜合法綜合法利用已知條件和某些利用已知條件和某些(mu xi)(mu xi)數(shù)學定義、公理、定理、性質、法則等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所證結論成立數(shù)學定義、公理

4、、定理、性質、法則等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所證結論成立. .綜合法又叫綜合法又叫“順推證法順推證法”或或“由因導果法由因導果法”，其基本，其基本思想是：由已知推可知，逐步推出未知思想是：由已知推可知，逐步推出未知. .若用若用P P表示表示(biosh)(biosh)已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理、性已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理、性質、法則等，質、法則等，Q Q表示表示(biosh)(biosh)所要證明的結論，則綜所要證明的結論，則綜合法的推理過程用流程框圖可怎樣表示合法的推理過程用流程框圖可怎樣表示(biosh)(biosh)？1PQ12QQ23QQnQQ第4頁/共2

5、8頁第五頁，共28頁。1,.P Q RABCABP BCQACR例、在 平 面 外 ,求 證 : 、 、 三 點 共 線第5頁/共28頁第六頁，共28頁。2222ABCAB=a,CA=b,1:S| |)2ABCaba b 例 、在中，設求證第6頁/共28頁第七頁，共28頁。例例3 3：在中，三個內(nèi)角、對應的邊分別：在中，三個內(nèi)角、對應的邊分別(fnbi)(fnbi)為為a a、b b、c c，且、成等差數(shù)列，且、成等差數(shù)列，a a、b b、c c成等比數(shù)列，求證為等邊三角形成等比數(shù)列，求證為等邊三角形第7頁/共28頁第八頁，共28頁。引例：基本不等式：引例：基本不等式： (a0,b0)(a0,

6、b0)的證明的證明. .a a + + b ba a b b2 2證明證明: :因為因為; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a+ +b ba ab b2 2證明證明: :要證要證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;只需證只需證; ;因為因為; ; 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2第8頁/共28頁第九頁，共2

7、8頁。直接證明直接證明(zh ji zhn mn)法法2、分析法分析法第9頁/共28頁第十頁，共28頁。【分析法分析法】 從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件從結論出發(fā)，尋找結論成立的充分條件直至最后，把要證明直至最后，把要證明(zhngmng)的結論歸結的結論歸結為判定一為判定一個明顯成立的條件。個明顯成立的條件。要證：要證：只要只要(zhyo)證：證：只需證：只需證：顯然成立顯然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 結論成立結論成立要證：要證：所以所以 結論成立結論成立格格 式式第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。分析法，又叫分析法，又叫“逆推證法逆推證法”或或“執(zhí)果索因法執(zhí)果索因法”

8、，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知，其基本思想是：由未知探需知，逐步推向已知. . 若用若用Q Q表示所要證明的結論，則分析法的推理表示所要證明的結論，則分析法的推理(tul)(tul)過程用流程框圖可怎樣表示？過程用流程框圖可怎樣表示？1QP12PP23PP顯然成立的條件顯然成立的條件第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。 例例4 4 求證：求證： . .372 5+第12頁/共28頁第十三頁，共28頁?！纠?】 如圖：如圖： 過過A作作SB的垂線，垂足為的垂線，垂足為E，過，過E作作SC 的垂線，垂足為的垂線，垂足為F。 求證：求證：BCABABCSA ,平平面面SCAF ASB

9、CEF第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。 例例6 6 已知已知sinsincoscos2sin2sin， sincos sincossin2sin2，其中其中(qzhng) (qzhng) ，求證：，求證：,()2kkZpa bp+22221tan1tan1tan2(1tan)abab-=+第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。直接證明(zh ji zhn mn)（數(shù)學理論）上述(shngsh)兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明(zh ji zhn(zh ji zhn mn mn) )證法證法1 1 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理

10、為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結論為止為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 綜合法綜合法相同不同不同 證法證法2 2 從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件吻合逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件吻合為止為止 分析法分析法第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。【探究【探究1】將】將9個球分別染成紅色個球分別染成紅色(hngs)或白色無論怎樣染色，至少有或白色無論怎樣染色，至少有5個球同色的。個球同色的。正確嗎？正確嗎？ 間接間接(jin ji)證明法證明法反反 證證 法法第16頁/共28頁第十七

11、頁，共28頁。反證法：反證法： 假設原命題不成立假設原命題不成立(chngl)(chngl)（即在原命題的條件下，結論不成立（即在原命題的條件下，結論不成立(chngl)(chngl)），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立(chngl).(chngl).第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。思考思考(sko)1(sko)1：用反證法證題的核心問題是什么？：用反證法證題的核心問題是什么？ 在正確的推理在正確的推理(tul)(tul)下得出矛盾下得出矛盾. . 思考思考2 2：在反證法應用中，

12、矛盾：在反證法應用中，矛盾(modn)(modn)的構設有哪幾種情形？的構設有哪幾種情形？（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾； （2 2）與假設矛盾；）與假設矛盾； （3 3）與定義、公理、定理、性質矛盾；）與定義、公理、定理、性質矛盾； （4 4）與客觀事實矛盾）與客觀事實矛盾. .第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。例例7， 已知已知 a 0 ,證明關于證明關于(guny) x 的方程的方程 a x = b 有且只有一個根。有且只有一個根。第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。用反證法證題的一般用反證法證題的一般(ybn)步驟步驟（1）假設(jish)命題的結論不成立，即假設(j

13、ish) 結論的反面成立；（2）從這個假設(jish)出發(fā)，經(jīng)過推理論證, 得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(jish)不成立，從而肯 定命題的結論正確。第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。 適宜使用反證法的情況適宜使用反證法的情況(qngkung) （1）結論以否定形式出現(xiàn)）結論以否定形式出現(xiàn) （2）結論以）結論以“至多至多-，” ，“至少至少-” 形式出現(xiàn)形式出現(xiàn) （ 3）唯一性、存在性問題）唯一性、存在性問題 （4） 結論的反面比原結論更具體更容易結論的反面比原結論更具體更容易 研究的命題。研究的命題。第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。常見常見(chn jin)否定用語否定用語是

14、不是是不是(b shi) 有沒有有沒有等不等等不等 成立不成立成立不成立都是不都是，即至少有一個不是都是不都是，即至少有一個不是(b shi)都有不都有，即至少有一個沒有都有不都有，即至少有一個沒有都不是都不是(b shi)部分或全部是，即至少有一部分或全部是，即至少有一個是個是唯一至少有兩個唯一至少有兩個至少有一個有（是）全部沒有（不是至少有一個有（是）全部沒有（不是(b shi)）至少有一個不全部都至少有一個不全部都第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。 例例8 8 已知直線已知直線a a，b b和平面和平面，如果，如果(rgu)(rgu)， , ,且且a/ba/b，求證：，求證：a/.

15、a/.理論理論(lln)遷移遷移abba,第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。小結小結(xioji) 1. 1.在數(shù)學證明中，綜合法和分析法是兩種最常用的數(shù)學方法，若從已知入手在數(shù)學證明中，綜合法和分析法是兩種最常用的數(shù)學方法，若從已知入手(rshu)(rshu)能找到證明的途徑，則用綜合法，否則用分析法能找到證明的途徑，則用綜合法，否則用分析法. . 2. 2.綜合法的每步推理都是尋找必要條件，分析法的每步推理都是尋找充分條件，在解題表述綜合法的每步推理都是尋找必要條件，分析法的每步推理都是尋找充分條件，在解題表述(bio sh)(bio sh)中要注意語言的規(guī)范性和邏輯性中要注意語言的

16、規(guī)范性和邏輯性. .第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。 3. 3.綜合法和分析法是兩種互逆的思維綜合法和分析法是兩種互逆的思維(swi)(swi)模式，在證明某些較復雜的問題時，常采用分析綜合法，用綜合法拓展條件，用分析法轉化結論，找出已知與結論的連結點模式，在證明某些較復雜的問題時，常采用分析綜合法，用綜合法拓展條件，用分析法轉化結論，找出已知與結論的連結點. .第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。 3. 3.反證法是一種間接證明的方法，是解決反證法是一種間接證明的方法，是解決(jiju)(jiju)某些某些“疑難疑難”問題的有力工具，其基本思路是：問題的有力工具，其基本思路是：假設結論不成立假設結論不成立構設矛盾構設矛盾否定假設肯定結論否定假設肯定