彎曲應力已看學習教案

1、彎曲應力已看彎曲應力已看第一頁，共80頁。第1頁/共80頁第二頁，共80頁。5. 1 純彎曲(wnq)l 橫力彎曲(wnq)梁的橫截面上同時(tngsh)有彎矩和剪力的彎曲。l 純彎曲梁的橫截面上只有彎矩時的彎曲。橫截面上只有正應力而無切應力。l 純彎曲的變形特征第2頁/共80頁第三頁，共80頁。l 純彎曲的變形(bin xng)特征第3頁/共80頁第四頁，共80頁。l 純彎曲(wnq)的變形特征l 基本假設(jish)1: 平面假設(jish)變形(bin xng)前為平面的橫截面變形(bin xng)后仍為平面，且仍垂直于梁的軸線。l 中性層與中性軸l 基本假設2: 縱向纖維無擠壓假設縱向

2、纖維間無正應力。第4頁/共80頁第五頁，共80頁。l 中性(zhngxng)層與中性(zhngxng)軸第5頁/共80頁第六頁，共80頁。5. 2 純彎曲(wnq)時的正應力1 變形幾何(j h)關系取坐標系如圖，z軸為中性(zhngxng)軸； y軸為對稱軸。u 縱向線bb變形后的長度為:d)(ybbu 縱向線bb變形前的長度為求出距中性層 y處的應變，取長dx的梁段研究:中性層長度不變, 所以有:第6頁/共80頁第七頁，共80頁。u 縱向(zn xin)線bb變形后u的長度為:d)(ybbu bb變形(bin xng)前的長度bbOOOOdu 縱向(zn xin)線bb的應變?yōu)閐dd)(y

3、y即：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應變沿截面高度呈線性分布。中性層長度不變, 所以第7頁/共80頁第八頁，共80頁。2 物理(wl)關系因為縱向(zn xin)纖維只受拉或壓，當應力小于比例極限時，由胡克定律有:EyE即：純彎曲時橫截面上任一點的正應力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應力沿截面高度(god)呈線性分布。3 靜力關系第8頁/共80頁第九頁，共80頁。NMz3 靜力關系(gun x)MyANAd0XAzMAydAyMAzd對橫截面上的內(nèi)力(nil)系，有:由梁段的平衡(pnghng)有:0N0ym0yM0zmMMz第9頁/共80頁第十頁，共80頁。ANAdAzMAydAyMAz

4、d由梁段的平衡(pnghng)有:, 0N, 0yMMMz對橫截面上的內(nèi)力(nil)系，有:所以(suy)ANAd00dAyEA0dAyEA0dAyA0zS z 軸通過形心。即：中性軸通過形心。第10頁/共80頁第十一頁，共80頁。,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由ANAd00dAzyEA0dAyzA即：中性(zhngxng)軸通過形心。由AzMAyd0因為(yn wi)y軸是對稱軸，上式自然滿足。0yzI第11頁/共80頁第十二頁，共80頁。,dAzMAyAyMAzd, 0yMMMz由 梁的抗彎剛度(n d)MMzAyAdAyyEMAdAyEAd2zIEzEIM1將上式代入yEzI

5、My第12頁/共80頁第十三頁，共80頁。u 由于推導過程并未用到矩形截面條件，因而u公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且u載荷作用(zuyng)在對稱面內(nèi)的情況。u 公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的變截u面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。u 公式是從純彎曲梁推得，是否適用于一般情u形（橫力彎曲）？純彎曲時正應力(yngl)公式zIMyl 公式(gngsh)的適用性第13頁/共80頁第十四頁，共80頁。5. 3 橫力彎曲(wnq)時的正應力橫力彎曲(wnq)時，橫截面上有切應力平面假設(jish)不再成立此外, 橫力彎曲時縱向纖維無擠壓假設也不成立.由彈性力學的理論，有結(jié)論：當梁的長度l與橫

6、截面的高度h的比值:hl5則用純彎曲的正應力公式計算橫力彎曲時的正應力有足夠的精度。 l / h 5 的梁稱為細長梁。第14頁/共80頁第十五頁，共80頁。l 最大正應力(yngl)橫力彎曲(wnq)時，彎矩是變化的。zIyMmaxmaxmax引入符號(fho)：maxyIWz則有：WMmaxmax 抗彎截面系數(shù)l 比較拉壓:ANmaxmaxtWTmaxmax扭轉(zhuǎn):第15頁/共80頁第十六頁，共80頁。l 兩種常用(chn yn)截面的抗彎截面系數(shù)u 矩形(jxng)截面,123bhIz62bhW 2maxhyu 圓形截面(jimin),644dIz323dW2maxdy第16頁/共80頁第十

7、七頁，共80頁。l 彎曲強度(qingd)條件注意：當截面(jimin)變化時，還需綜合考慮W的值。WMmaxmax第17頁/共80頁第十八頁，共80頁。例 1 ( 書例5.1) 已知：板長3a =150mm，材料(cilio)的許用應力s =140MPa。解：求：最大允許(ynx)壓緊力P。壓板(y bn)可簡化為如圖的外伸梁。由微分關系，AC段、BC段的彎矩圖為斜直線。(1) 求彎矩圖第18頁/共80頁第十九頁，共80頁。BMMmax且B截面(jimin)最薄弱。由微分(wi fn)關系，AC段、BC段的彎矩圖為斜直線。(1) 求彎矩圖作出彎矩圖。(2) 確定(qudng)危險截面PaB為

8、危險截面。(3) 計算B截面W第19頁/共80頁第二十頁，共80頁。BMMmax(3) 計算(j sun)B截面WPaB為危險(wixin)截面?？闯?kn chn)組合物體21zzzIII1202. 003. 031202. 0014. 0348m1007. 1maxyIWz281011007. 136m1007. 1第20頁/共80頁第二十一頁，共80頁。BMMmax(3) 計算(j sun)B截面WPaB為危險(wixin)截面。36m1007. 1W(4) 由強度條件(tiojin)計算PWMmaxmaxmaxWMWPa aWP268105101401007. 1kN3第21頁/共80

9、頁第二十二頁，共80頁。例 2 ( 書例5.2) 已知： =100 MPa，P = 25.3 kN。解：求：校核心(hxn)軸的強度。 計算(j sun)簡圖如圖。(1) 求彎矩圖支反力kN,6 .23ARkN27BR第22頁/共80頁第二十三頁，共80頁。(1)求彎矩圖(2) 確定(qudng)危險截面u I截面(jimin)u II截面(jimin)u III截面(jimin)支反力kN6 .23ARkN27BR(3) 強度(qingd)校核u I截面maxMMImkN72. 4第23頁/共80頁第二十四頁，共80頁。(3) 強度(qingd)校核u I截面(jimin)maxMMImkN

10、72. 43231dWI32)1095(3336m101 .84IIIWMMPa1 .56u II截面(jimin)mkN42. 3IIM第24頁/共80頁第二十五頁，共80頁。u II截面(jimin)3232dWII32)1085(3336m103 .60IIIIIIWMMPa7 .56u III截面(jimin)mkN42. 3IIMmkN64. 4IIIM第25頁/共80頁第二十六頁，共80頁。u III截面(jimin)3233dWIII32)1088(3336m109 .66IIIIIIIIIMWMPa4 .69l 結(jié)論(jiln)mkN64. 4IIIMl 注意(zh y)滿足強

11、度要求。最大正應力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。第26頁/共80頁第二十七頁，共80頁。例 3 ( 書例5.3) 已知：T形截面(jimin)鑄鐵梁，st= 30 MPa，sc=160 MPa。Iz=763cm4, 且 |y1|=52mm。解：求：校核(xio h)梁的強度。 (1) 求彎矩圖u 支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出彎矩圖第27頁/共80頁第二十八頁，共80頁。(1) 求彎矩圖u 支反力kN,5 . 2ARkN5 .10BRu 作出彎矩圖最大正彎矩為:mkN5 . 2CM最大負彎矩為:mkN4BM(2) 確定(qudng)危險截面u B截面(jimin)u C截面(

12、jimin)第28頁/共80頁第二十九頁，共80頁。(2) 確定(qudng)危險截面u B截面(jimin)u C截面(jimin)最大正彎矩為:mkN5 . 2CM最大負彎矩為:mkN4BM(3) 強度校核u B截面zBtIyM11MMPa2 .27MPa30tzBcIyM21MPa2 .46MPa160c第29頁/共80頁第三十頁，共80頁。(3) 強度(qingd)校核u B截面(jimin)zBtIyM11MMPa2 .27zBcIyM21MPa2 .46u C截面(jimin)zCtIyM22MPa8 .28顯然， 2c 1cMPa30tMl 結(jié)論滿足強度要求。第30頁/共80頁第

13、三十一頁，共80頁。5. 4 彎曲(wnq)切應力橫力彎曲時, 橫截面上既有正應力, 又有切應力。推導切應力公式的方法(fngf)：假設切應力的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件求出1 矩形(jxng)截面梁切應力。按截面形狀，分別討論。l 切應力分布假設(1) 各點切應力方向平行于剪力Q;第31頁/共80頁第三十二頁，共80頁。1 矩形(jxng)截面梁l 切應力(yngl)分布假設(1) 各點切應力方向(fngxing)平行于剪力Q;(2) 切應力沿寬度均勻分布。l 用平衡條件導出切應力公式u 取研究對象第32頁/共80頁第三十三頁，共80頁。l 用平衡條件導出切應力(yngl)公式u 取研究(y

14、nji)對象第33頁/共80頁第三十四頁，共80頁。u 由切應力(yngl)互等u定理u 右截面(jimin)上的N21d2AANA1為右截面(jimin) pn1的面積。zIyMM1)d(右截面正應力為:第34頁/共80頁第三十五頁，共80頁。u 右截面(jimin)上的N21d2AANzIydMM1)(其中(qzhng):1d)d(12AzAIyMMN1d)d(1AzAyIMM*)d(zzSIMM 1d1*AzAyS y以下的面積(min j)對中性軸的靜矩。第35頁/共80頁第三十六頁，共80頁。u 右截面(jimin)上的N2其中(qzhng):*2)d(zzSIMMN1d1*AzAy

15、Su 左截面(jimin)上的N1同理可得:*1zzSIMN u 上表面上的dQxbQdddQu x方向平衡條件0X0d12QNN第36頁/共80頁第三十七頁，共80頁。*2)d(zzSIMMN*1zzSIMN xbQdddQu x方向(fngxing)平衡條件0X0d12QNN*)d(zzSIMM *zzSIM0dxb*dzzSIM0dxbbISxMzz*dd第37頁/共80頁第三十八頁，共80頁。dQu 由微分(wi fn)關系*dzzSIM0dxbbISxMzz*ddQxMddbIQSzz*u 由切應力(yngl)互等定理，得bIQSzz*u 計算(j sun)Sz*第38頁/共80頁第

16、三十九頁，共80頁。u 由切應力(yngl)互等定理，得bIQSzz*u 計算(j sun)Sz*可用公式(gngsh)11*yASz*zS)2(yhb)2(21yhy)4(222*yhbSz)2(yhb)2(21yh所以：)4(222yhIQz第39頁/共80頁第四十頁，共80頁。)4(222*yhbSz所以(suy)：)4(222yhIQz 距中性(zhngxng)層 y處的切應力公式u 切應力(yngl)分布切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。0在上下邊緣處max在中性層處zIQh82因為123bhIzbhQ23max第40頁/共80頁第四十一頁，共80頁。max在中性(zhngxng)層

17、處zIQh82因為(yn wi)123bhIzbhQ23max即：最大切應力(yngl)是平均剪應力的1.5倍。2 工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。u 腹板的切應力腹板是矩形，切應力公式同矩形截面梁。第41頁/共80頁第四十二頁，共80頁。2 工字形截面(jimin)梁l 腹板的切應力(yngl)腹板是矩形，切應力(yngl)公式同bIQSzz*矩形截面梁:u 計算Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy第42頁/共80頁第四十三頁，共80頁。u 計算(j sun)Sz*zS)22(hHB)22(212hHh)2(yhb)2(21yhy)4(2)(82

18、222yhbhHB則，距中性層 y處的切應力(yngl)公式為:)4(2)(82222yhbhHBbIQz切應力(yngl)分布如圖。第43頁/共80頁第四十四頁，共80頁。距中性層 y處的切應力(yngl)公式為:)4(2)(82222yhbhHBbIQz切應力(yngl)分布如圖。u 最大切應力(yngl)發(fā)生在中性軸處8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切應力發(fā)生在 y=h/2 處)88(22minBhBHbIQz第44頁/共80頁第四十五頁，共80頁。u 最大切應力發(fā)生(fshng)在中性軸處8)(822maxhbBBHbIQzu 最小切應力(yngl)發(fā)生在 y=h/2 處)

19、88(22minBhBHbIQzu 腹板切應力的近似(jn s)公式因為: (1)腹板切應力近似為均勻分布;(2)腹板負擔了絕大部分剪力。近似公式:hbQ第45頁/共80頁第四十六頁，共80頁。u 腹板切應力(yngl)的近似公式因為(yn wi): (1)腹板切應力近似為均勻分布;(2)腹板負擔了絕大部分剪力。近似(jn s)公式:hbQl 翼緣的切應力u 特點(1) 除了有平行于剪力Q的切應力分量外，還有與剪力Q垂直的切應力分量；(2) 切應力數(shù)值與腹板的切應力相比較小。第46頁/共80頁第四十七頁，共80頁。3 圓形截面(jimin)梁l 切應力分布(fnb)的特點(1) 邊緣(biny

20、un)各點的切應力與圓周相切；(2) y軸上各點的切應力沿y軸。l 假設(1) AB弦上各點的切應力作用線通過同一點 p；(2) AB弦上各點的切應力沿 y軸的分量 y相等。所以，對y可用矩形截面梁的公式bIQSzzy*第47頁/共80頁第四十八頁，共80頁。所以(suy)，對y可用矩形截面梁的bIQSzzy*公式(gngsh)式中，b為AB弦的長度(chngd)，Sz*為AB弦以外的面積對z軸的靜矩。l 最大切應力最大切應力發(fā)生在中性軸上。中性軸上的切應力的方向？34212*RRSz中性軸處Rb23*32RSz第48頁/共80頁第四十九頁，共80頁。34212*RRSz最大切應力(yngl)

21、是平均切應力(yngl)的1.33倍。中性(zhngxng)軸處Rb2bIQSzzy*2max34RQ644DIz3*32RSz44R第49頁/共80頁第五十頁，共80頁。4 彎曲切應力強度(qingd)條件l 強度(qingd)條件彎曲(wnq)時橫截面上正應力和切應力的分布為：正應力最大處，切應力為零，是單向拉壓狀態(tài)；切應力最大處，正應力為零，是純剪切狀態(tài)。第50頁/共80頁第五十一頁，共80頁。彎曲(wnq)切應力強度條件為bISQzz*maxmaxmaxl 實心截面(jimin)梁正應力與切應力的比較zWPlmaxbIPSzz*max正應力最大處，切應力為零，是單向(dn xin)拉壓

22、狀態(tài)；切應力最大處，正應力為零，是純剪切狀態(tài)。第51頁/共80頁第五十二頁，共80頁。l 實心截面梁正應力(yngl)與切應力(yngl)的比較,maxzWPlbIPSzz*maxu 對矩形(jxng)截面梁hl4maxmaxu 對圓形截面(jimin)梁dl6maxmax第52頁/共80頁第五十三頁，共80頁。u 對矩形(jxng)截面梁hl4maxmaxu 對圓形截面(jimin)梁dl6maxmax所以，對實心(shxn)截面梁通常不需要校核剪切強度。u 需要校核剪切強度幾種情況(1) 彎矩較小而剪力很大的情況：短粗梁，或在支座附近作用有較大的集中力；(2) 非標準的腹板較高且較薄的工字

23、梁；(3) 梁上的焊縫、鉚釘或膠合面。第53頁/共80頁第五十四頁，共80頁。例 1 ( 書例5.4) 已知：由木板(m bn)膠合而成的梁。解：求：膠合面上沿x方向單位(dnwi)長度的剪力。 無法(wf)直接用公式。取一微段：與推導剪應力公式的方法相同，有第54頁/共80頁第五十五頁，共80頁。取一微段：與推導切應力(yngl)公式相同，有*2)d(zzSIMMN,*1zzSIMN 0X12NN 0d2xqzzISxMq*dd21zzIQS*21第55頁/共80頁第五十六頁，共80頁。例 2 (書例5.5) 已知：l =2m，a=0.2m, q=10kN/m，P =200kN, =160M

24、Pa，=100MPa。解：求：選擇(xunz)工字鋼型號 。 (1) 求剪力圖(lt)和彎矩圖u 支反力kN,210ARkN210BRu 作出剪力圖(lt)和彎矩圖第56頁/共80頁第五十七頁，共80頁。u 作出剪力圖(lt)和彎矩圖最大彎矩mkN45maxM最大剪力kN210maxQu 先根據(jù)(gnj)最大彎矩u選擇工字鋼型號maxMWz3cm281u 查型鋼(xnggng)表(p. 416)第57頁/共80頁第五十八頁，共80頁。u 查型鋼(xnggng)表(p. 416)3cm281zW單位(dnwi)為: cm第58頁/共80頁第五十九頁，共80頁。u 查型鋼(xnggng)表(p.

25、416)3cm281zWu 選22a工字鋼,cm3093zWu 校核(xio h)剪切強度 查型鋼(xnggng)表得，對22a工字鋼：cm9 .18*zzSI 腹板厚度：cm75. 0 dbbISQzz*maxmaxMPa148MPa100所以，選22a工字鋼，剪切強度不夠，需重選。第59頁/共80頁第六十頁，共80頁。所以，選22a工字鋼，剪切強度(qingd)不夠，需重選。第60頁/共80頁第六十一頁，共80頁。u 查型鋼(xnggng)表(p. 416), 重選(zhn xun)25b工字鋼:,cm4233zWcm,3 .21*zzSIcm0 . 1 dbbISQzz*maxmaxMP

26、a6 .98MPa100所以，選25b工字鋼可同時滿足(mnz)正應力和切應力強度條件。注：若選25a工字鋼，則：MPa5 .121max第61頁/共80頁第六十二頁，共80頁。5. 6 提高彎曲強度(qingd)的措施彎曲正應力是控制梁的強度的主要(zhyo)因素。彎曲正應力強度為：1 減小最大彎矩從上式可知(k zh)，要提高梁的彎曲強度，應減小最大彎矩Mmax和提高抗彎截面系數(shù)W。(1) 合理布置支座的位置WMmaxmax第62頁/共80頁第六十三頁，共80頁。1 減小最大彎矩(1) 合理布置支座(zh zu)的位置第63頁/共80頁第六十四頁，共80頁。u 工程(gngchng)例子(

27、2) 合理(hl)布置載荷第64頁/共80頁第六十五頁，共80頁。(2) 合理布置(bzh)載荷第65頁/共80頁第六十六頁，共80頁。2 提高(t go)抗彎截面系數(shù)在截面積A相同的條件(tiojin)下，提高抗彎截面系數(shù)。u 矩形(jxng)截面梁的放置u 幾種常用截面的比較用比值來衡量AW第66頁/共80頁第六十七頁，共80頁。u 幾種常用(chn yn)截面的比較用比值(bzh)AW來衡量(hng ling)可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。第67頁/共80頁第六十八頁，共80頁。可看出：材料遠離中性軸的截面(jimin)(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。u 根據(jù)材料特性選擇合理(hl)截面第68頁/共80頁第六十九頁，共80頁。u 根據(jù)材料特性選擇合理(hl)