偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)ppt課件

1、偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)1.1.知知 1) 1)求求z z的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ； 2) 2)求求z z的高階偏導(dǎo)數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)2.2.用用matlabmatlab求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)A(5,1)A(5,1)沿點(diǎn)沿點(diǎn)A(5,1)A(5,1)到點(diǎn)到點(diǎn)B(9,4)B(9,4)的方向上的方向?qū)?shù)的方向上的方向?qū)?shù). . )sin(2xyxu yuxu,.,22222yxuyuxu)sin(2xyxu 求偏導(dǎo)數(shù)：diff(f(x)diff(f(x)求 的一階導(dǎo)數(shù) ；)(xf )(xfdiff(f(x),n)diff(f(x),n)diff(diff(f, x,m),y,n)diff(diff(f, x,m),y

2、,n) 求 的高階偏導(dǎo)數(shù) 。nmnmyxf),(yxf);()()(xfnxfn階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的求求diff(f(xdiff(f(x，y),x,n)y),x,n) 求 對(duì) x 的 n 階偏導(dǎo)數(shù) ；nnxf ),(yxf syms x y u %定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量 u=x2*sin(x*y); %給出函數(shù)給出函數(shù) dx=diff(u,x)；%對(duì)對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) dy=diff(u,y)；%對(duì)對(duì)y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解：輸入命令例11求多元函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù))sin(2xyxu 結(jié)果：結(jié)果：dx =2*x*sin(x*y) +x2*y*cos(x*y)dy =x3*cos(x*y) syms x y u

3、 %定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量 u=x2*sin(x*y);%給出函數(shù)給出函數(shù) dx2=diff(u,x,2);%對(duì)對(duì)x求求2 階偏導(dǎo)階偏導(dǎo) dy2=diff(u,y,2);%對(duì)對(duì)y求求2 階偏導(dǎo)階偏導(dǎo) dxdy=diff(diff(u,x),y); %先對(duì)先對(duì)x求偏導(dǎo)，求偏導(dǎo)，再對(duì)再對(duì)y求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)解：輸入命令例2 (2求多元函數(shù) 的高階偏導(dǎo)數(shù))sin(2xyxu 結(jié)果：結(jié)果：dx2= 2*sin(x*y) + 4*x*y*cos(x*y) - x2*y2*sin(x*y)dy2= -x4*sin(x*y)dxdy= 3*x2*cos(x*y) - x3*y*sin(x*y)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u u

4、f(x, y)f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0p0(x0 y0) y0)的某一鄰域的某一鄰域U(P0)U(P0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義 v v是以是以P0(x0P0(x0 y0) y0)為始點(diǎn)的一條射線為始點(diǎn)的一條射線 與與 v v 同 方 向 的 單 位 向 量 為同 方 向 的 單 位 向 量 為 e ve v( c o s( c o s coscos)=(cos)=(cos,sin,sin) )。則其方向?qū)?shù)為：。則其方向?qū)?shù)為：tpftepfpvfvt)()(lim)(0000tyxftytxfyxvft),()sin,cos(lim),(0000000構(gòu)造一元函數(shù)，使得多元函數(shù)的方向?qū)?shù)等

5、于一元構(gòu)造一元函數(shù)，使得多元函數(shù)的方向?qū)?shù)等于一元函數(shù)在零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。函數(shù)在零點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。 )0( )()()(00gpvftepftgv解：輸入命令A(yù)=5,1 ;%給出點(diǎn)給出點(diǎn)AB=9,4 ;%給出點(diǎn)給出點(diǎn)BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB線段長(zhǎng)線段長(zhǎng)cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y t%定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量g=(x+t*cosx)2*sin(x+t*cosx)*(y+t*cosy);%定義關(guān)于定義關(guān)于t的函數(shù)的函數(shù)dg_dl=di

6、ff(g,t);%對(duì)對(duì)t求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)b=subs(dg_dl,x,y,t,5,1,0);結(jié)果：結(jié)果：du_dl=(8*x*sin(x*y)/5 +x2*cos(x*y)*(3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765)sin(2xyxu 定理：如果函數(shù)定理：如果函數(shù)u uf(x, y)f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0p0(x0 y0) y0)可微分可微分, , 則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向v(evv(ev(cos(cos sin sin) ) (cos(cos cos cos) )的方向?qū)?shù)都存在的方向?qū)?shù)都存在, , 且有且有sin),( cos),( ),(00

7、0000yxfyxfyxvfyxA=5,1 ;%給出點(diǎn)給出點(diǎn)AB=9,4 ;%給出點(diǎn)給出點(diǎn)BL=sqrt(sum(B-A).2);%求求AB線段長(zhǎng)線段長(zhǎng)cosx=(B(1)-A(1)/L;%求方向向量的第一分量求方向向量的第一分量cosy=(B(2)-A(2)/L; %求方向向量的第二分量求方向向量的第二分量syms x y u%定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量u=x2*sin(x*y);%給出函數(shù)給出函數(shù)du_dl=diff(u,x)*cosx+diff(u,y)*cosy%求方向?qū)?shù)求方向?qū)?shù)a=subs(du_dl,x,y,5,1)%代點(diǎn)求方向?qū)?shù)值代點(diǎn)求方向?qū)?shù)值結(jié)果：結(jié)果：du_dl =(8du_dl =(8* *x x* *sin(xsin(x* *y)/5+(3y)/5+(3* *x3x3* *cos(xcos(x* *y)/5y)/5+(4+(4* *x2x2* *y y* *cos(xcos(x* *y)/5y)/5 a=19.2765 a=19.2765解：輸入命令由該定理知，還可以使用以下命令來(lái)方向?qū)?shù)由該定理知，還可以使用以下命令來(lái)方向?qū)?shù)jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z)jacobian(f