第十一章多元函數(shù)積分學(xué)

1、第十一章多元函數(shù)積分學(xué)yxfz，且連續(xù)，0yxfxOyDDzV第一節(jié) 二重積分的概念與計(jì)算 一、二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念與性質(zhì)1引例：曲頂柱體的體積引例：曲頂柱體的體積（1）曲頂柱體 以曲面為頂（）以平面上的有界閉域?yàn)榈?，?cè)面是以的邊界線為準(zhǔn)線、母線平行于軸的柱面的立體（如圖）稱為曲頂柱體（2）曲頂柱體的體積如果曲頂柱體的高度不變，則它的體積等于底面積高，但曲頂柱體的頂是曲面，因此不能直接用上面的公式求 例如，級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)為又如級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 簡言之，數(shù)列的和式稱為級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).定義定義2 設(shè)級(jí)數(shù)（111）的前項(xiàng)之和為 稱Sn為級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和前項(xiàng)部分和當(dāng)依次取1，2，3，時(shí)， 4

2、31321211.) 1(1nnun)311ln()211ln() 11ln()11ln(nunnkknnuuuuuS1321新的數(shù)列 ， ，數(shù)列 稱為級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列部分和數(shù)列若此數(shù)列的極限存在，即 (常數(shù)),則S 稱為 的和，記作此時(shí)稱級(jí)數(shù) 收斂收斂如果數(shù)列 沒有極限，則稱級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散，這時(shí)級(jí)數(shù)沒有和 11uS 212uuSnnuuuS21nS1nnuSSnnlim1nnuSunn11nnunS1nnu當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，其部分和 是級(jí)數(shù)和S的近似值，稱 為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，記作 ，即 例例1 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解解 已知級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是：nSnSS nr21nnnnuuSSr) 1(

3、1431321211) 1(11nnnnn因?yàn)?,所以這個(gè)級(jí)數(shù)收斂,其和為1.例例2 判定級(jí)數(shù)的斂散性)111()3121()211 () 1(1321211nnnnSn111n1111limlimnSnnn111ln211ln11ln11lnnnn解解 已知級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和是因?yàn)?， 所以這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.例例3 討論等比級(jí)數(shù)（也稱幾何級(jí)數(shù)）的斂散性. nnSn1ln11ln211ln11lnnSnnn1lnlimlim1121nnnaqaqaqaaq解解 (1) 前n項(xiàng)和當(dāng) 時(shí)， ，所以級(jí)數(shù) 收斂，其和當(dāng) 時(shí)， 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散.(2) 當(dāng) 時(shí)， 于是 1qqqaaqaqaqaSnnn11121q

4、qaSnn1limqaS11qnnSlim11nnaq1q1q111nnnaaqnaSnnnlimlim所以級(jí)數(shù) 發(fā)散. 當(dāng) 時(shí)， ，其前n項(xiàng)和顯然，當(dāng)n時(shí)，Sn沒有極限.所以，級(jí)數(shù) 發(fā)散.綜上所述，等比級(jí)數(shù) ，當(dāng) 時(shí)收斂, 當(dāng)時(shí)發(fā)散. 11nnaq1q11111nnnnaaq為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)nnaSn011nnaq11nnaq1q1q例如，級(jí)數(shù)1+2+4+8+2n-1+是公比為2的幾何級(jí)數(shù), 由于 ，所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的級(jí)數(shù) 是公比為-1的幾何級(jí)數(shù), 由于 ，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散.注意注意 幾何級(jí)數(shù) 的斂散性非常重要.無論是用比較判別法判別級(jí)數(shù)的斂散性，還是用間接法將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)，都經(jīng)常以

5、幾何級(jí)數(shù)斂散性為基礎(chǔ).12 q111nn1q11nnaq例例4 把循環(huán)小數(shù) 化為分?jǐn)?shù).解解 把 化為無窮級(jí)數(shù)這是公比為 的幾何級(jí)數(shù)，由等比數(shù)列求和公式63 . 063. 0n1003610036100361003663. 0321001100111001110036nnS所以這個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和為 ，即 2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù) 收斂，其和為s, k為常數(shù)，則級(jí)數(shù) 也收斂，其和為ks；如果級(jí)數(shù) 發(fā)散，當(dāng)k0時(shí)，級(jí)數(shù) 也發(fā)散.由此可知，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不變. . 11499361001110036100111001110036limlim

6、nnnnS11411463. 01nnu1nnku1nnu1nnku性質(zhì)性質(zhì)2 若級(jí)數(shù) 與 分別收斂于與 ，則級(jí)數(shù) ，收斂于性質(zhì)性質(zhì)3 添加、去掉或改變級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)的斂散性不變.性質(zhì)性質(zhì)4 若級(jí)數(shù) 收斂，則對(duì)其各項(xiàng)間任意加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變.應(yīng)當(dāng)注意，性質(zhì)4的結(jié)論反過來并不成立.即如果加括號(hào)后級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)未必收斂. . 1nnu1nnv1)(nnnvu1nnu例如級(jí)數(shù) （1-1）+（1-1）+（1-1）+顯然收斂于零，但級(jí)數(shù)1+1-1+1-1+卻是發(fā)散的.性質(zhì)性質(zhì)5（兩邊夾定理） 如果 且 和 都收斂，則 也收斂 nunvnw1nnu1nnw1nnv性質(zhì)性質(zhì)6（級(jí)數(shù)收

7、斂的必要條件） 若級(jí)數(shù) 收斂，則 例例5判別級(jí)數(shù) 的斂散性解解 因?yàn)樗约?jí)數(shù) 發(fā)散. 例例6判別級(jí)數(shù) 的斂散性. 1nnu0limnnu12735231nn02112limlimnnunnn112nnn1111121nnnnn解解 級(jí)數(shù) 與級(jí)數(shù) 都收斂，故由性質(zhì)2知，級(jí)數(shù) 收斂.注意注意 性質(zhì)6可以用來判定級(jí)數(shù)發(fā)散：如果級(jí)數(shù)一般項(xiàng)不趨于零，則該級(jí)數(shù)必定發(fā)散.應(yīng)當(dāng)看到，性質(zhì)6只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，也就是說，即使 ，也不能由此判定級(jí)數(shù) 收斂.下面的例9正說明了這一點(diǎn)： ，但級(jí)數(shù) 發(fā)散. 11121nnn111nnn1111121nnnnn0limnnu1nnu01lim

8、nn11nn例例7 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散級(jí)數(shù).證證 調(diào)和級(jí)數(shù)部分和 如圖，考察曲線 11nnnknkS11 ，所圍成的曲邊梯形的面 積S與陰影表示的階梯形面積An之間的關(guān)系. 所以，陰影部分的總面積為它顯然大于曲邊梯形的面積S，即有01, 1,1ynxxxy和nAAAAn1,31,21, 1321nknkkknAA111131211nknnknxdxxAA111111ln|ln1而 ，表明A的極限不存在，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散.nn1lnlim二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性如果 0（n=1,2,3），則稱級(jí)數(shù) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 定理定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界

9、.例例1 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是收斂的證證 因?yàn)橛谑菍?duì)任意的有 nu1nnu0!1! 21! 111!1nnn, 4 , 3 , 221222113211!11nnnn即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界，故級(jí)數(shù) 收斂.定理定理2（比較判別法） 設(shè) 和 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 (1)若級(jí)數(shù) 收斂，則級(jí)數(shù) 也收斂； (2)若級(jí)數(shù) 發(fā)散，則級(jí)數(shù) 也發(fā)散. 2221212111!11! 21! 111nnnS3213211211121nn0!1nn1nnu1nnvnnvu 1nnv1nnu1nnu1nnv例例2 討論 級(jí)數(shù) （ ）的斂散性 解解 當(dāng) 時(shí)， ，因?yàn)?發(fā)散，所以由比較判別法知，當(dāng) 時(shí)，發(fā)散.當(dāng) 時(shí)，順次把

10、級(jí)數(shù)的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)到第3項(xiàng)，4到7項(xiàng)，8到15項(xiàng)，加括號(hào)后得它的各項(xiàng)顯然小于級(jí)數(shù) P11npn0P1Pnnp1111nn1P1PP)15181()71615141()3121(1pppppppp)8181()4141()2121(1pppppp對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)，而所得級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，其公為 ，故收斂，于是當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂.綜上所述， 級(jí)數(shù) 當(dāng) 時(shí)發(fā)散，當(dāng) 時(shí)收斂.注意注意 級(jí)數(shù)在判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性方面經(jīng)常用到，因此有關(guān) 級(jí)數(shù)斂散性的結(jié)論必須牢記. 31211)21()21(211ppp1211pP1P11npnP11npn1P1PPP 例例3判定級(jí)數(shù) 的斂散性. 解解 因?yàn)榧?jí)數(shù)的一般項(xiàng) 滿足而

11、級(jí)數(shù)是p2的 級(jí)數(shù)，它是收斂的，所以原級(jí)數(shù)也是收斂的.411631521nn411nnun214110nnnP例例4 判別級(jí)數(shù) 的斂散性.解解 因?yàn)?而 是由調(diào)和級(jí)數(shù)去掉前兩項(xiàng)后所得的級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，所以由比較判別法知級(jí)數(shù) 發(fā)散. 12131nnnn2123113122nnnnnnnun121nn12131nnnn定理定理3（達(dá)朗貝爾比值判別法） 設(shè) 是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并且 ，則 (1)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； (2)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散； (3)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.例例5 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 (1) ； (2) 1nnuquunnn1lim1q1q1q1223nnnn1!11nn 解解

12、 (1) 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散； (2)所以級(jí)數(shù) 收斂. 2222121113lim32213limlimnnnnuunnnnnnnnn12311123lim2nn1223nnnn101lim!1limlim1nnnuunnnnn1!11nn要判別一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂，通常按下列步驟進(jìn)行：(1)用級(jí)數(shù)收斂的必要條件如果 ，則級(jí)數(shù)發(fā)散，否則需進(jìn)一步判斷. (2)用比值判別法 如果 ，即比值判別法失效，則改用比較判別法. (3)用比較判別法用比較判別法必須掌握一些斂散性已知的級(jí)數(shù)，以便與要判定的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，經(jīng)常用來作為比較的級(jí)數(shù)有等比級(jí)數(shù)， 級(jí)數(shù)等. 0limnnu1lim1nnnuuPP三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)

13、及其斂散性三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性級(jí)數(shù) 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理定理4（萊布尼茲判別法） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿足萊布尼茲(Leibniz)條件: (1) (2) 則級(jí)數(shù) 收斂，其和 S ，其余項(xiàng) ),2,1, 0() 1(11nuunnnn),2,1, 0() 1(11nuunnnn, 3 , 2 , 1,1nuunn0limnnu),2,1, 0() 1(11nuunnnn1unr1nu例例6 判定交錯(cuò)級(jí)數(shù) 的斂散性.解解 此交錯(cuò)級(jí)數(shù) ，滿足： (1) ； (2) 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.四、絕對(duì)收斂與條件收斂四、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義3 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ,若 收斂，則稱 是絕絕對(duì)收斂

14、對(duì)收斂的；若 收斂，而 發(fā)散，則稱 是條件收條件收斂斂的.nn114131211111,11nununn111nn01limlimnunnn1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu定理定理5 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必是收斂的.事實(shí)上，如果 收斂， 由于 故從性質(zhì)1及性質(zhì)5知 也是收斂的. 例例7 判定級(jí)數(shù) 的斂散性.解解 因?yàn)?， 而級(jí)數(shù) 收斂，故由比較判別法可知級(jí)數(shù) 收斂，從而原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.1nnunununu1nnu12sinnnna2sinnna21n121nn12sinnnna12sinnnna例例8 判別級(jí)數(shù) 的斂散性，說明是否絕對(duì)收斂. 解解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 收斂

15、，所以原級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.11131nnnn13131lim331limlim11nnnnuunnnnnnn1113nnnnnu11131nnnn例例9 判別級(jí)數(shù) 是否絕對(duì)收斂. 解解 因?yàn)?故由比值判別法可知級(jí)數(shù) 發(fā)散，從而原級(jí)數(shù) 不是絕對(duì)收斂. 11!1nnnnn111lim1lim!11limlim11ennnnnnnuunnnnnnnnnnn11!nnnnnnu!111nnnnn例例10 證明級(jí)數(shù) 條件收斂. 證證 由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù) 收斂，而 為調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，故所給級(jí)數(shù)條件收斂.111nnn111nnn11111nnnnn 第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪

16、級(jí)數(shù)的概念1.1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) ( 11.2) 的各項(xiàng)都是定義在某個(gè)區(qū)間I上的函數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)（）為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，un(x)稱為一般項(xiàng)一般項(xiàng)或通項(xiàng)通項(xiàng).當(dāng)x在I中取某個(gè)特定值 時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).如果這個(gè)級(jí)數(shù)收斂，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)收斂點(diǎn)。若發(fā)散，則稱點(diǎn) 為這個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn).一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域收斂域. 對(duì)于收斂域內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)x，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成為一個(gè)收斂的常數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)，因此有一個(gè)確定的和 S，在收斂域內(nèi)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) )()()(21xuxuxun0 x0 x0 xS(x)，通常稱S(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)

17、數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)，即 其中 x 是收斂域內(nèi)的任一點(diǎn).將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和記作 ，則在收斂域上有 2.冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念 形如 (11.3)()()()(21xuxuxuxSn)(xSn)()(limxSxSnnnnnnnxxaxxaxxaaxxa020201000的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù) 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 當(dāng) 0時(shí)，（）冪級(jí)數(shù)變?yōu)?(11.4)稱為 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). (1)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 x 的冪級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值，則得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)0 xx ,210aaana,0 xnnnnnxaxaxaaxa22100由比值判斂法其中 當(dāng) 時(shí)，若 ，即 ，則級(jí)數(shù)

18、(11.4)收斂，若 即 ，則級(jí)數(shù)（）發(fā)散.這個(gè)結(jié)果表明，只要 就會(huì)有一個(gè)對(duì)稱開區(qū)間（-，），在這個(gè)區(qū)間內(nèi)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，在這個(gè)區(qū)間外冪 nnnnnxaxaxaaxa22100 xxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlimnnnaa1lim01xRx11xRx10RR級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng) x =R 時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.稱 為冪級(jí)數(shù)（）的收斂半徑收斂半徑.當(dāng) 時(shí)， ，則級(jí)數(shù)（）對(duì)一切實(shí)數(shù) x都絕對(duì)收斂，這時(shí)收斂半徑 . 如果冪級(jí)數(shù)僅在 x0一點(diǎn)處收斂，則收斂半徑R0. 定理定理1 如果x的冪級(jí)數(shù)（）的系數(shù)滿足 則 (1)當(dāng) 時(shí)， 1R010 xRnnnaa1lim01R

19、(2)當(dāng) 時(shí)， (3)當(dāng) 時(shí)， (2)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 若冪級(jí)數(shù)(11.4)的收斂半徑為 R，則（-R，R）稱為該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，把收斂區(qū)間的端點(diǎn)xR 代入級(jí)數(shù)中，判定數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性后，就可得到冪級(jí)數(shù)的收斂域.0R例例1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域 (1) (2) (3)解解 (1) 因?yàn)?所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .所以該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?，+）；0!nnnx1nnnx1nnnxn011lim!1!limlim1nnnaannnnnR (2)因?yàn)?所以所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1.因此該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為（-1，1）當(dāng)x1時(shí)，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散 ；當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)

20、為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂 故該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1) . 11limlim1nnaannnn11nn1) 1(nnn(3) 因?yàn)樗运o冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 .因此沒有收斂區(qū)間，收斂域?yàn)?，即只在 處收斂.111lim1limlim11nnnnaannnnnnnn0R0|xx0 x例例2 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑解解 所給級(jí)數(shù)缺少偶次方項(xiàng)，根據(jù)比值法求收斂半徑 當(dāng) ，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)，即 時(shí)，所給級(jí)數(shù)發(fā)散. 因此，所給級(jí)數(shù)的收斂半徑 .0122nnnx2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn122x22x122x22x22R二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性

21、質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)，即若 ，x（-R，R）則 在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù). 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè) 記 ，則在（-R,R）內(nèi)有如下運(yùn)算法則： (1)加（減）法運(yùn)算 0nnnxfxa xf ,;,0110nnnnnnxgxbRRxxfxa22,RRx21,minRRR 000nnnnnnnnnxgxfxbaxbxan(2)乘法運(yùn)算 性質(zhì)性質(zhì)3（微分運(yùn)算） 設(shè) ，收斂半徑為 R ，則在 （-R , R）內(nèi)這個(gè)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即且收斂半徑仍為 R . 00nnnnnnxbxa2021120011000)()(xbababaxbababannnnxbababa)(0110 xgxf 0nnnxSxa

22、 xSxnaxaxannnnnnnnn0100性質(zhì)性質(zhì)4（積分運(yùn)算）設(shè) ，收斂半徑為 R ，則在（-R ,R）內(nèi)這個(gè)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，即且收斂半徑仍為.例例3 已知 ，利用逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，可以得到 0nnnxSxa 00100001nxnnnxnnxnnndxxSxnadxxadxxa1 , 11112nxxxxxxndxxxxxdxx002111ln當(dāng) x = -1 時(shí)， 收斂； 當(dāng) x = 1 時(shí)， 發(fā)散.故收斂域?yàn)?1,1) ，即13121132nxxxxn111312111nnn131211) 1 , 1132)1ln(132nxxxxxn例例4 求 的和函數(shù) 解解 設(shè) 兩端求導(dǎo)得 兩

23、端積分得即 0121211nnnxn 012121) 1(nnnxnxS 1 , 1,11120202xxxxxSnnnn 1 , 1,arctan1102xxdxxxSx1 , 1,arctan1211012xxxnnnn 當(dāng) x = -1時(shí)， 收斂； 當(dāng) x = 1時(shí)， 收斂， 所以 12110nnn12110nnn1 , 1,arctan1211012xxxnnnn三、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)三、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 1泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式與麥克勞林公式(1) 泰勒公式定理定理2（泰勒中值定理） 如果函數(shù) f(x) 在x0 的某鄰域內(nèi)有直至 n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)此鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x，有 的

24、n 階泰勒公式 )(xf 200000! 2! 1xxxfxxxfxfxf xRxxnxfnnn00!成立，其中 為階泰勒公式的余項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)，它是比 高階的無窮小，余項(xiàng) 的拉格朗日型表達(dá)式為 (2) 麥克勞林公式在泰勒公式中當(dāng)時(shí)，則有麥克勞林公式 xRn0 xx nxx0)(xRn )(!10101之間與在xxxxnfxRnnn xRxnfxfxffxfnnn!0! 20! 1002其中， 2、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)設(shè) f(x)在所討論的鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù) 稱級(jí)數(shù) 之間與在xfnxxRnnn0,!111200000)(! 2)( )( )(xxxfxxxfxf ),(

25、,),(),( xfxfxfn )6 .11()(!)(00nnxxnxf為 在 處的泰勒級(jí)數(shù)，其系數(shù) 稱為 在 處的泰勒系數(shù).其前 n+1項(xiàng)和 由泰勒公式得：)(xf0 xx ,!)(,! 2)( ),( ),(0000nxfxfxfxfn)(xf0 x2000001)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxSnnnxxnxf)(!)(00)()()(1xRxSxfnn因此當(dāng) 時(shí)，必有 即泰勒級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)為 .反之，如果級(jí)數(shù)收斂于 于是得到下面的定理. 0)(limxRnn)(0)()()(lim)(lim1xfxfxRxfxSnnnn)(xf0)()()()(lim)(li

26、m1xfxfxsxfxRnnnn 定理定理3 如果在 的某個(gè)鄰域內(nèi)，函數(shù) 具有任意階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù) 的泰勒級(jí)數(shù)（）收斂于 的充分必要條件是： 當(dāng) 時(shí)泰勒余項(xiàng) 如果 在 處的泰勒級(jí)數(shù)收斂于 ，就說 在 處可展開稱泰勒級(jí)數(shù)，則(11.6)式為 在 處的泰勒展開式，也稱 關(guān)于 的 冪級(jí)數(shù)，也記為 0 xx )(xf)(xfn0)(xRn)(xf0 xx )(xf)(xf0 xx )(xf0 xx )(xf)(xf0 xxnnnxxnxfxf)(!)()(000)(當(dāng) 時(shí)，（）式成為稱為函數(shù) f (x) 的麥克勞林展開式，也記為00 x ,!)0(! 2)0( )0( )0()(2nnxnfxfxffx

27、fnnnxnfxf0)(!)0()(3、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法 (1)直接展開法 把 f (x)展開成的冪級(jí)數(shù)，可按下列步驟進(jìn)行：求出f (x) 的各階導(dǎo)數(shù) 計(jì)算f (x) 及其各階導(dǎo)數(shù)在x0處的值， ),(),( ),( xfxfxfn ),0(,),0( ),0( ),0(nffff 寫出冪級(jí)數(shù) 并求出它的收斂區(qū)間；考察當(dāng)x在收斂區(qū)間內(nèi)時(shí)，余項(xiàng) 的極限是否為零，如果為零，則由上式所求得的冪級(jí)數(shù)就是f (x) 的冪級(jí)數(shù)的展開式. nnxnfxfxff!)0(! 2)0( )0( )0(2)(nnxR 例例1 將函數(shù) 展開成 x 的冪級(jí)數(shù) 解解 因?yàn)?n=1，2，3

28、，所以， n =1，2，3， 又, f (0)=1因此得級(jí)數(shù) ，它的收斂區(qū)間為 . 對(duì)于任何實(shí)數(shù) x，有 xey xnexf 10 nf! 3! 2132nxxxxn),( 1!1nnxnexR之間與在x0 1!1nxnxnexR因 是收斂級(jí)數(shù) 的通項(xiàng)，所以 而 是有限正實(shí)數(shù)，因此 即 ,因此從而得到 的冪級(jí)數(shù)展開式 !11nxn01!1nnnx0!1lim1nxnnxe0!1lim1nxnxne 0limxRnn 0limxRnnxe032),(! 3! 21nnnxnxnxxxxe例例2 將函數(shù) 展開成x的冪級(jí)數(shù) 解解 因?yàn)?，n1，2，3 而f(n)(0)順次循環(huán)取四個(gè)數(shù)1，0，-1，0

29、，所以得級(jí)數(shù)對(duì)于任何有限實(shí)數(shù)， xxfsin 2sinnxxfn0)0(f!121! 5! 31253nxxxxnn!121120nxnnn, 1!121sinnnxnnxR之間與在x0于是得的冪級(jí)數(shù)展開式類似地，還可以得到下述函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式： （-1，1） )(0!11nnxxRnn01212753!121!121! 7! 5! 3sinnnnnnnxnxxxxxx),(nxxxx2111當(dāng)m為實(shí)數(shù)時(shí)， 它的收斂半徑R=1，在 處展開式是否成立，要根據(jù)m的數(shù)值，看右端級(jí)數(shù)是否收斂而定.例如 當(dāng)m =-1時(shí) (-1,1)32! 321! 2111xmmmxmmmxxmnxnnmmm!111

30、xnnxxxxx111132(2)間接展開法 間接展開法是指從已知函數(shù)的展開式出發(fā)，利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則得到所求函數(shù)的展開式的方法. 例例3 將函數(shù) 展開成x的冪級(jí)數(shù) 解解 已知 （-，+） xxfcos)(!121! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxnn!121120nxnnn而 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得到 （-，+）sincosxx !21! 8! 6! 4! 21cos28642nxxxxxxnn02!21nnnnx 例例4 將函數(shù) 展開成x 的冪級(jí)數(shù) 解解 已知 （-1，1）將上式從0到 x 逐項(xiàng)積分，得到 xxf1ln03211111nnnnnxxxxxx114321ln14

31、32nxxxxxxnn1111nnnnx這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1當(dāng)x1時(shí)，右端級(jí)數(shù)成為這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂級(jí)數(shù).當(dāng)x-1時(shí)，右端級(jí)數(shù)成為 這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù).因此 nn1141312111n14131211nxxxxxxnn 143214321ln 1,1() 1(11nxnnn四、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用四、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用 1.函數(shù)值的近似計(jì)算函數(shù)值的近似計(jì)算例例5 計(jì)算的 e 近似值解解：e 的值就是函數(shù)e 的展開式在x=1時(shí)的函數(shù)值，即 e取e則誤差x0,!1! 2111!1nnn0,!1! 2111!1nnn)!(1)!2(1!11knnnRn1) 1()!1(1) 1()!1(1)!1(1knnnnn1

32、2) 1(1) 1(1111)!1(1knnnn,!11111)!1(1nnnn故若要求精確到 ，則只需 即 即可.例如要精確到 ，由于 ，所以取 即e 讀者可以在計(jì)算機(jī)上求此值 (e ). 例例6 制作四位正余弦函數(shù)表 解解 由于 只需制作 的正余弦表就行了. k10,10!1knnknn10!101010101010813!1313n!131! 31! 21115907182818284. 2,sin)2cos(,cos)2sin(aaaa450 我們使用正余弦的展開式.注意這兩個(gè)級(jí)數(shù)都是滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù),去掉前若干項(xiàng)之后剩余項(xiàng)仍為滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù).由萊布尼茨判定定理就

33、可知,若取這兩個(gè)級(jí)數(shù)的前若干項(xiàng)作為近似時(shí),誤差不超過所棄項(xiàng)中的第一項(xiàng).因?yàn)樗砸?的四位正余弦表只需要取到至多 項(xiàng),即取 作表時(shí)須注意x以弧度為單位. ,000037. 0! 7)4(! 8)4(78.! 6! 4! 21cos,! 5! 3sin64253xxxxxxxx4506x2.求極限求極限 例例7 求 解解 把 cosx 和 的冪級(jí)數(shù)展開式代入上式，有.ecoslim4202xxxx22ex4242420420)2221 ()2421 (limecoslim2xxxxxxxxxx.121121lim440 xxx 第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 在本節(jié)中，將討論另一類重要的、應(yīng)

34、用廣泛的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù). 三角級(jí)數(shù)也稱為傅里葉（傅里葉（Fourier）級(jí)）級(jí)數(shù)數(shù).所謂三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)，就是除常數(shù)項(xiàng)外，各項(xiàng)都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的級(jí)數(shù)，它的一般形式為 (1)其中 都是常數(shù)，稱為系數(shù)系數(shù).特別當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)只含正弦項(xiàng)，稱為正正弦級(jí)數(shù)弦級(jí)數(shù).當(dāng) 時(shí)， 級(jí)數(shù)只含常數(shù)項(xiàng)和 , )sincos(210nxbnxaannn),2,1(,0nbaann),2,1,0(0nan),2,1(0nbn余弦項(xiàng)，稱為余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù).對(duì)于三角級(jí)數(shù)，我們主要討論它的收斂性以及如何把一個(gè)函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的問題.一、以一、以 為周期的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) 由于正弦函數(shù)和

35、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，顯然周期函數(shù)更適合于展開成三角級(jí)數(shù).設(shè) f (x)是以 為周期的函數(shù)，所謂的傅里葉（傅里葉（Fourier）級(jí)）級(jí)數(shù)展開數(shù)展開就是尋找一個(gè)三角級(jí)數(shù)22使得該級(jí)數(shù)以 f (x)為和函數(shù)，即 f (x)=先解決這樣的問題：如果以 為周期的函數(shù)可表為式（1）所示的三角級(jí)數(shù)，那么如何確定 和 .為了求出這些系數(shù)，先介紹下列內(nèi)容.1三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性在三角級(jí)數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù) （2） ,)sincos(210kxbkxaakkk,)sincos(210kxbkxaakkk2nanb,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx構(gòu)成了一

36、個(gè)三角函數(shù)系三角函數(shù)系，這個(gè)三角函數(shù)系有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是定理定理1（三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系（2）中任意兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在 上的積分等于0，具體的說就是有, ),3,2,1(0cosnnxdx, ),3,2,1(0sinnnxdx, ),3,2,1,(0cossinnknxdxkx這個(gè)定理的證明很容易，只要把這五個(gè)積分實(shí)際求出來即.2. f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)為了求（1）式中的系數(shù)，利用三角函數(shù)系的正交性，假設(shè)（1）式是可逐項(xiàng)積分的，把它從 到 逐項(xiàng)積分： 由定理1，右端除第一項(xiàng)外均為0，所以, ),3,2,1,(0coscosnknknxdxkx, ),3,2,1,

37、(0sinsinnknknxdxkx,)sincos(2)(10kxdxbkxdxadxadxxfkkk002)(adxadxxf于是得 為求 ，先用 乘以（）式兩端，再從 到 逐項(xiàng)積分，得由定理1，右端除 k=n 的一項(xiàng)外均為 0，所以于是得 dxxfa)(10nanxcos, )cossincoscos(cos2cos)(10nxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxfkkknnanxdxanxdxxf2coscos)(. ),3,2, 1(cos)(1nnxdxxfan類似地，用 sinnx乘以（）式兩端，再從 到 逐項(xiàng)積分，可得用這種辦法求得的系數(shù)成為 f (x)的傅里葉系數(shù)傅里

38、葉系數(shù). 綜上所述，我們有定定 定理定理2 求f (x)的傅里葉系數(shù)的公式是 (3). ),3,2, 1(sin)(1nnxdxxfbn. ),2, 1,0(sin)(1, ),2, 1,0(cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann由 f (x) 的傅里葉系數(shù)所確定的三角級(jí)數(shù) 成為f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù). 顯然，當(dāng)f (x)為奇函數(shù)時(shí)，公式（3）中的 ，當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，公式（3）中的 所以有推論推論 當(dāng)f (x)是周期為 的奇函數(shù)時(shí)，它的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù) 其中系數(shù) , )sincos(210nxbnxaannn0na. 0nb2,sin1nxbnn, ),3,2, 1(s

39、in)(20nnxdxxfbn 當(dāng) f (x) 是周期為 的偶函數(shù)時(shí)，它的傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù) 其中系數(shù) 3. 傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性上述 定理定理3（收斂定理）設(shè) 以 為周期的函數(shù)f (x)在 上滿足狄利克雷(Dirichlet)條件：（1）沒有斷點(diǎn)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，且有：2nxaanncos210. ),3,2, 1(cos)(20nnxdxxfan2,（1）當(dāng)x是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于f (x)；（2）當(dāng)x是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于這一點(diǎn)左右極限的算術(shù)平值 例例1 正弦交流I(x)=sinx電經(jīng)二極管整流后（

40、圖 11-2）變?yōu)?為整數(shù)， 把 f (x)展開為傅里葉級(jí)數(shù).2)()(00 xfxfkkxkxkxkxf,) 12(2,sin,2) 12(,0)( 圖圖 11-2解解 由收斂定理可知，f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于f (x).計(jì)算傅里葉系數(shù)： 所以，f (x)的傅里葉展開式為 （- x +.,2sin1)(100dxxdxxfanxdxxfancos)(1為偶數(shù)為奇數(shù)nnnnxdxx,) 1(2,0cossin120, 1,21, 1,0sinsin1sin)(10nnnxdxxnxdxxfbn142cos356cos154cos32cos2sin211)(2kkxxxxxxf例例2

41、一矩形波的表達(dá)式為求 f (x) 的傅里葉展開式. 解解 由收斂定理知，當(dāng) 時(shí)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于 f (x) .當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 又因?yàn)?f (x) 奇函數(shù)，由定理2的推論可知展開式必為正弦級(jí)數(shù)，只需按推論的公式求 即可.為整數(shù)，kkxkkxkxf,) 12(2, 1,2) 12(, 1)(為整數(shù)）kkx(kx .02) 1(1nb所以，的傅里葉展開式為,0,4sin12sin)(200為偶數(shù)當(dāng)為奇數(shù)當(dāng)nnnnxdxnxdxxfbn12) 12sin(55sin33sinsin4)(kxkxxxxf.,(為整數(shù)）kkx4. 或或 上的函數(shù)展開成傅里葉上的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)求 f (x) 的傅里葉系數(shù)只用到 f (x) 在 上的部分，即 f (x) 只在 上有定義或雖在 外也有定義，但不是周期函數(shù)，仍可用公式（）求 f (x)的傅里葉系數(shù)，而且如果f (x) 在 上滿足收斂定理?xiàng)l件，則 f (x) 至少在 內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)