第1.9講 二次函數(shù)的綜合-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破】考綱要求:1. 會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖像，理解二次函數(shù)的性質(zhì)。2. 利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識結(jié)合的有關(guān)問題?；A(chǔ)知識回顧: 一二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系兩個(gè)公共點(diǎn)（即有兩個(gè)交點(diǎn)），一個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)，因此有：(1)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根=b2-4ac0。(2)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，此公共點(diǎn)即為頂點(diǎn)(，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等實(shí)根，(3)拋物線y=ax2+bx+c與

2、x軸沒有公共點(diǎn)，一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根=b2-4ac0.應(yīng)用舉例:招數(shù)一、解決動點(diǎn)問題首先要結(jié)合圖形性質(zhì)理解運(yùn)動變化的細(xì)節(jié)，尤其注意分情況討論，準(zhǔn)確把我分界點(diǎn) 建立數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論。【例1】如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點(diǎn)B，與滑道y=（x1）交于點(diǎn)A，且AB=1米運(yùn)動員（看成點(diǎn)）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點(diǎn)M是下落路線的某位置忽略空氣阻力，實(shí)驗(yàn)表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時(shí)間t（秒）的平方成正比，且t=1時(shí)h=5，M，A的水平距離是vt米（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v=5用t表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x

3、和縱坐標(biāo)y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y=13時(shí)運(yùn)動員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運(yùn)動員甲、乙同時(shí)從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒當(dāng)甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時(shí)，直接寫出t的值及v乙的范圍【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=5t2+18，y=，當(dāng)y=13時(shí)，運(yùn)動員在與正下方滑道的豎直距離是10米；（3）t=1.8，v乙7.5（2）v=5，AB=1，x=5t+1，h=5t2，OB=18，y=5t2+18，由x=5t+1，則t=（x-1），y=（x-1）2+18=，當(dāng)y=13時(shí)，13=（x-1）2+18，解得x=6或4，

4、x1，x=6，把x=6代入y=，y=3，運(yùn)動員在與正下方滑道的豎直距離是133=10（米）；招數(shù)二、函數(shù)的增減性.需要特別注意，反比例函數(shù)需要分象限討論增減性;二次函數(shù)要考慮對稱軸，對稱軸的左右兩邊的增減性不同.【例2】已知二次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（1，m）（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)二次函數(shù)與反比例函數(shù)的值都隨x的增大而減小時(shí)，求x的取值范圍【答案】（1）； （2）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的值都隨x的增大而減小【解析】（1）將A（1，m）代入 得將A（1，5）代入 得 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 （2）， 拋物線的對稱軸為直線，且開口向上 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨x的增大而減

5、小 又當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減小， 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的值都隨x的增大而減小【例3】 2已知：二次函數(shù) 中的和滿足下表：0123300m(1) 觀察上表可求得的值為_；(2) 試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(3) 若點(diǎn)A（n+2，y1），B（n，y2）在該拋物線上，且y1>y2，請直接寫出n的取值范圍.【答案】（1）3；（2）；（3）n>0【解析】（1）觀察已知表格中的對應(yīng)值可知：該函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線x=1，由拋物線的對稱性可知：x=3時(shí)的對應(yīng)函數(shù)值與x= -1時(shí)的對應(yīng)函數(shù)值相等，即m的值為3；（2）把、（1，-1）、（2, 0）代入二次函數(shù) ，得，解得：這個(gè)

6、二次函數(shù)的解析式為 ；招數(shù)三、 二次函數(shù)的一般解析式用待定系數(shù)法即可求解畫出 圖形，求出相應(yīng)線段長.將不規(guī)則四邊形面積轉(zhuǎn)化為矩形面積與三角形面積的差或和即可解決.【例4】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+3x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，4），與x軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B（4，0）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動點(diǎn)（1）求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達(dá)式；（2）連接PO，PC，并把POC沿y軸翻折，得到四邊形POPC若四邊形POPC為菱形，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積【答案】（1）；（2）（，2）；（3）當(dāng)點(diǎn)P

7、的坐標(biāo)為（2 ，6）時(shí)，四邊形ACPB的最大面積值為18（2）若四邊形POPC為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上，如圖1，連接PP，則PECO，垂足為E，（3）如圖2，P在拋物線上，設(shè)P（m，m2+3m+4），來源:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得解得直線BC的解析為y=x+4，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，m+4），PQ=m2+3m+4（m+4）=m2+4m當(dāng)y=0時(shí)，x2+3x+4=0，解得x1=1，x2=4，OA=1，AB=4（1）=5，【例5】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、

8、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）求拋物線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值【答案】（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為(0, )；（2） ；（3）四邊形ABNO面積的最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(， )【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，所以直線AB的解析式為yx+， 當(dāng)x=0時(shí)，y×0+，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)； （3）如圖，作NGy軸交OB于G，OB的

9、解析式為y=x，設(shè)N(m，m2m)(0m3)，則G（m，m），GNm(m2m)m2+m，SAOB=SAOE+SBOE=××1+××3=3，SBONSONG+SBNG3(m2+m)m2+m所以S四邊形ABNOSBON+SAOBm2+m+3 (m)2+當(dāng)m時(shí)，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)【例6】已知，拋物線y=ax2+3ax+c（a0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB(1)直接寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD

10、面積的最大值【答案】(1) （0，3）；(2) y=x2+x3；(3) 四邊形ABCD面積的最大值為13.5(3)過點(diǎn)D作直線DEy軸，交AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CGDE于點(diǎn)G，如圖所示當(dāng)y=0時(shí)，有x2+x3=0，解得：x1=4，x2=1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），AB=5設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k0），將A（4，0）、C（0，3）代入y=kx+b，得：，解得：，來源:Zxxk.Com直線AC的解析式為y=x3答：四邊形ABCD面積的最大值為方法、規(guī)律歸納:1、當(dāng)數(shù)學(xué)問題中的條件、結(jié)論不明確或題目中含參數(shù)或圖形不確定是時(shí)，需要進(jìn)行分類討論。分類討論要按統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn) ，做到不重復(fù)

11、不遺漏。2、對于兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問題，一般要轉(zhuǎn)化為方程來求解 ，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合兩個(gè)函數(shù)解析式，只有將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式再利用等量代換轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解即可3、解是否存在某點(diǎn)問題時(shí)，一般先假設(shè)符合條件的點(diǎn)存在，并列出解析式，如果能求出結(jié)果，則點(diǎn)存在，反之則不存在。4、利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，一般要先通過分析已知的數(shù)量關(guān)系，確定二次函數(shù)的解析式，建立函數(shù)模型然后通過計(jì)算函數(shù)值或代入函數(shù)值得到關(guān)于自變量的方程求解得到實(shí)際問題的答案。實(shí)戰(zhàn)演練:1、足球運(yùn)動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度（單位：）與足球被

12、踢出后經(jīng)過的時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系如下表：012來源:34567來源:08141820201814下列結(jié)論：足球距離地面的最大高度為；足球飛行路線的對稱軸是直線；足球被踢出時(shí)落地；足球被踢出時(shí)，距離地面的高度是.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D42、(2017涼山)一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象大致是( )3. 二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則滿的x的取值范圍是（ ）A B或C或 D【答案】A4.如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線y1x2（x0）與y2（x0）B、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的平行線交y1于點(diǎn)D，直線DEAC，交y2于點(diǎn)E，則_【答案】【解析】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a

13、），（a0），則x2a，解得x1，點(diǎn)B（，a），a，來源:ZXXK則x2，點(diǎn)C（，a），BCCDy軸，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，為，5、如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線y=x-3交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-4，-5），點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCx軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D（1）求拋物線的解析式；（2）以O(shè)，B，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在？如存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到直線AB下方某一處時(shí)，PAB的面積是否有最大值？如果有，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）y=x2+x-3（2）存在，（-2-，-1-），（-1，-）

14、，（-3，-）（3）（-2，-8）【解析】（2）存在，設(shè)P（m，m2+m-3），（m0），D（m，m-3），PD=|m2+4m|PDBO，當(dāng)PD=OB=3，故存在以O(shè)，B，P，D為頂點(diǎn)的平行四邊形，|m2+4m|=3，當(dāng)m2+4m=3時(shí)，m1=-2-，m2=-2+（舍），當(dāng)m=-2-時(shí)，則m2+m-3=-1-P（-2-，-1-），當(dāng)m2+4m=-3時(shí)，m1=-1，m2=-3，當(dāng)m1=-1時(shí)，則m2+m-3=-，P（-1，-），當(dāng)m2=-3，m2+m-3=-，P（-3，-），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2-，-1-），（-1，-），（-3，-）6、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交

15、于點(diǎn).（1）求直線的表達(dá)式；（2）垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，結(jié)合函數(shù)的圖象，求的取值范圍.(2).由，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），對稱軸為直線x=2, ,+=4.令y=-1,y=-x+3,x=4. ，3<<4, 即7<<8, 的取值范圍為：7<<8.7、已知直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，且（）求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（）說明直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；（）直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為（）若，求線段長度的取值范圍；（）求面積的最小值（）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，即x2+(1

16、- )x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0,解得x1=1,x2 =-2，所以點(diǎn)N（-2，-6）.（i）根據(jù)勾股定理得，MN2=（-2）-12+（-6）2=20（）2，因?yàn)?1a-，由反比例函數(shù)性質(zhì)知-2 -1，所以<0，所以MN=2 （ ）=3 ，所以5MN7.（ii）作直線x=- 交直線y=2x-2于點(diǎn)E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），又因?yàn)镸（1，0），N（-2，-6），且由（）知a<0，所以QMN的面積S=SQEN+SQEM= = ，即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）8、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)

17、于x軸的對稱點(diǎn)恰為拋物線的頂點(diǎn)（1）求拋物線的對稱軸及a的值；（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)記直線與拋物線圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為W當(dāng)時(shí)，直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；若區(qū)域W內(nèi)恰有3個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求b的取值范圍【答案】（1）；（2）2；或.【解析】【詳解】解：（1）變形得：. 對稱軸為 點(diǎn)的坐標(biāo)為可得拋物線頂點(diǎn)為 把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得： 9、如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；（2）M（m，0）為x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，若以，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

18、來源:ZXXK點(diǎn)在軸上自由運(yùn)動，若三個(gè)點(diǎn)，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.請直接寫出使得，三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的的值.（2）軸，M（m，0），N( )有（1）知直線AB的解析式為，OA=3，OB=2在APM中和BPN中，APM=BPN, AMP=90°，若使APM中和BPN相似，則必須NBP=90°或BNP =90°，分兩種情況討論如下：（I）當(dāng)NBP=90°時(shí)，過點(diǎn)N作NC軸于點(diǎn)C，則NBC+BNC=90°，NC=m，BC=NBP=90°，NBC+ABO=90°，BNC=ABO，RtN