數(shù)學(xué)建模：第二章 古典模型

1、1第二章第二章 古典模型古典模型1 1 幾幾種種簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方法法一、觀測(cè)實(shí)驗(yàn)和抽象分析法一、觀測(cè)實(shí)驗(yàn)和抽象分析法歐拉多面體問題歐拉多面體問題 問題：一般凸的多面體其面問題：一般凸的多面體其面數(shù)數(shù)F F、頂點(diǎn)數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)V V和邊數(shù)和邊數(shù)E E之間有何關(guān)之間有何關(guān)系？系？ 對(duì)此歐拉具體地觀察了四面體、五對(duì)此歐拉具體地觀察了四面體、五面體面體 結(jié)果如下：結(jié)果如下： 2多面體多面體F V E 四面體四面體44 6 五面體五面體 55 8 ( 56 9) 六面體六面體6812 ( 6 610 ) 七面體七面體7712 ( 7 10 15 ) . 3歐拉猜想歐拉猜想 F+V-E=2然后，歐拉證

2、明了這一猜想，這便是著名的歐然后，歐拉證明了這一猜想，這便是著名的歐拉定理。拉定理。 說明：說明： 1)用觀察、歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理（建立模用觀察、歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理（建立模型）是一種重要方法。型）是一種重要方法。 2）觀察應(yīng)該是大量的，僅憑少量的觀察）觀察應(yīng)該是大量的，僅憑少量的觀察就去猜想有時(shí)會(huì)鑄成錯(cuò)誤。就去猜想有時(shí)會(huì)鑄成錯(cuò)誤。 4 例如：例如：1717世紀(jì)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬世紀(jì)大數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（Fermat.1601-1655Fermat.1601-1655年）對(duì)公式年）對(duì)公式122nnF進(jìn)行試算：進(jìn)行試算：30F51F172F2573F 費(fèi)爾馬斷言：費(fèi)爾馬斷言：“對(duì)任意自然數(shù)對(duì)任意自然數(shù)n n，

3、都是都是素?cái)?shù)。素?cái)?shù)?！?，這是著名的費(fèi)爾馬猜想。，這是著名的費(fèi)爾馬猜想。都是素?cái)?shù)都是素?cái)?shù) nF5相隔近相隔近100100年后，歐拉算出：年后，歐拉算出：5F42949672974294967297 67004176700417641641不是素?cái)?shù)，不是素?cái)?shù)， 后來又有很多人算出后來又有很多人算出 n=6.7.8.9.11.12.15.18.23n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素?cái)?shù)。等都不是素?cái)?shù)。3 3）不要被前人的條框所約束。）不要被前人的條框所約束。 6 假設(shè)有一對(duì)兔子，兩個(gè)月后每月可生假設(shè)有一對(duì)兔子，兩個(gè)月后每月可生一對(duì)兔子，一對(duì)小兔子兩個(gè)月后每月又可生一對(duì)兔子，一對(duì)

4、小兔子兩個(gè)月后每月又可生一對(duì)小小兔子，依次類推，問一年后共有多一對(duì)小小兔子，依次類推，問一年后共有多少對(duì)兔子？能否用計(jì)算機(jī)算出任意月份兔子少對(duì)兔子？能否用計(jì)算機(jī)算出任意月份兔子的對(duì)數(shù)？的對(duì)數(shù)？思考題：思考題： Fibonacci數(shù)數(shù) 7二、鴿籠原理二、鴿籠原理問題：?jiǎn)栴}： 在一個(gè)邊長(zhǎng)為在一個(gè)邊長(zhǎng)為1 1 的正三角形內(nèi)最多的正三角形內(nèi)最多能找到幾個(gè)點(diǎn)，而使這些點(diǎn)彼此間的距離大能找到幾個(gè)點(diǎn)，而使這些點(diǎn)彼此間的距離大于于21?方法：方法： 8思考題思考題： 在一個(gè)邊長(zhǎng)為在一個(gè)邊長(zhǎng)為1 1的正三角形內(nèi)，的正三角形內(nèi)，若要彼此間距離大于若要彼此間距離大于 ，最多不超過，最多不超過多少個(gè)點(diǎn)？多少個(gè)點(diǎn)？n1

5、9問題問題： 能否在能否在8 88 8的方格表的方格表ABCDABCD各個(gè)空格中分各個(gè)空格中分別填寫別填寫1 1、2 2、3 3這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、這三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線每列及對(duì)角線ACAC、BDBD上的各個(gè)數(shù)的和都不相同？上的各個(gè)數(shù)的和都不相同？為什么？為什么？ A A D D B B C C 圖圖2 2- -2 210 如圖如圖2-22-2，因?yàn)槊啃?、每列及?duì)角線上的，因?yàn)槊啃?、每列及?duì)角線上的數(shù)都是數(shù)都是8 8個(gè)個(gè), ,所以所以8 8個(gè)數(shù)的和最小值是個(gè)數(shù)的和最小值是1 18 88 8，最大值是最大值是3 38=248=24，共有，共有1717個(gè)不同的和。而由

6、個(gè)不同的和。而由題意知，每行、每列及對(duì)角線題意知，每行、每列及對(duì)角線ACAC、BDBD上各個(gè)上各個(gè)數(shù)的和應(yīng)有數(shù)的和應(yīng)有8+8+2=188+8+2=18個(gè)，所以要想使每行、個(gè)，所以要想使每行、每列及兩對(duì)角線上每列及兩對(duì)角線上1818個(gè)和都不相同是辦不到個(gè)和都不相同是辦不到的。的。11三、學(xué)會(huì)估算三、學(xué)會(huì)估算問題問題：能否將一張紙對(duì)折：能否將一張紙對(duì)折100100次？次？ 31010100010242所以所以30100102若每層紙厚度為若每層紙厚度為0.050.05毫米毫米，層就有3010千米22105即五萬億億千米，而從地球到太陽也不過即五萬億億千米，而從地球到太陽也不過1.51.5億億千米。

7、千米。對(duì)折對(duì)折100100次就無法辦到了。次就無法辦到了。層次共對(duì)折100210012思考題：思考題： 一塊一塊1 1立方米的正方體的木塊，立方米的正方體的木塊，分成分成1 1立方毫米的小木塊，再把小木塊立方毫米的小木塊，再把小木塊排起來，問能排多長(zhǎng)？排起來，問能排多長(zhǎng)？13四、四、“奇偶校驗(yàn)奇偶校驗(yàn)”方方法法問題：鋪瓷磚問題問題：鋪瓷磚問題 要用要用4040塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖所示的地面塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖所示的地面上，但當(dāng)時(shí)商店只有長(zhǎng)方形瓷磚，每塊大小上，但當(dāng)時(shí)商店只有長(zhǎng)方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了等于方形的兩塊。一人買了2020塊長(zhǎng)方形瓷磚，塊長(zhǎng)方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果弄來弄

8、去始終無法完整鋪試著鋪地面，結(jié)果弄來弄去始終無法完整鋪好，你能給解決嗎？好，你能給解決嗎？14 方法：在方法：在4040個(gè)方格上黑白相間個(gè)方格上黑白相間地染色（思考：發(fā)現(xiàn)了什么？），地染色（思考：發(fā)現(xiàn)了什么？）， 仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)共有仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)共有1919個(gè)白格和個(gè)白格和2121個(gè)黑格。一塊長(zhǎng)個(gè)黑格。一塊長(zhǎng)方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上1919塊長(zhǎng)方形塊長(zhǎng)方形瓷磚后（無論用什么方式），總要剩下瓷磚后（無論用什么方式），總要剩下2 2個(gè)黑格沒有鋪，個(gè)黑格沒有鋪，而一塊長(zhǎng)方形瓷磚是無法蓋住而一塊長(zhǎng)方形瓷磚是無法蓋住2 2個(gè)黑格，唯一的辦法是個(gè)黑格，唯一的

9、辦法是把最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚一分為二。把最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚一分為二。15 思考題思考題： (1)(1)設(shè)一所監(jiān)獄有設(shè)一所監(jiān)獄有6464間囚室，其排列類似間囚室，其排列類似8 88 8棋盤，看守長(zhǎng)告訴關(guān)押在一個(gè)角落里的囚犯，棋盤，看守長(zhǎng)告訴關(guān)押在一個(gè)角落里的囚犯，只要他能夠不重復(fù)地通過每間囚室到達(dá)對(duì)角的囚只要他能夠不重復(fù)地通過每間囚室到達(dá)對(duì)角的囚室（所有相鄰囚室間都有門相通），他將被釋放。室（所有相鄰囚室間都有門相通），他將被釋放。問囚犯能獲得自由嗎？如果囚室為問囚犯能獲得自由嗎？如果囚室為8 89 9的排列共的排列共7272間，將會(huì)出現(xiàn)什么情況？間，將會(huì)出現(xiàn)什么情況？16 (2)(2)某班有某班

10、有4949個(gè)學(xué)生，坐成個(gè)學(xué)生，坐成7 7行行7 7列。列。每個(gè)坐位的前后左右的坐位叫做它的每個(gè)坐位的前后左右的坐位叫做它的“鄰座鄰座”，要讓這，要讓這4949個(gè)學(xué)生都換到他的個(gè)學(xué)生都換到他的鄰座上去，問這種調(diào)換位置的方案能否鄰座上去，問這種調(diào)換位置的方案能否實(shí)現(xiàn)？實(shí)現(xiàn)？17五、問題的轉(zhuǎn)化處理法五、問題的轉(zhuǎn)化處理法問題：?jiǎn)栴}： 分析：本題局限在代數(shù)不等式的范疇不易求證，分析：本題局限在代數(shù)不等式的范疇不易求證，但將其轉(zhuǎn)化到幾何上，構(gòu)造反映題目要求的幾何模但將其轉(zhuǎn)化到幾何上，構(gòu)造反映題目要求的幾何模型即容易解決。型即容易解決。2kcAbCaB求證：kCcBbAaCBAcba滿足條件、已知正數(shù)18根

11、據(jù)題意作正三角形根據(jù)題意作正三角形PQRPQR及及NMLNML如圖如圖NQLMPNLRMSSS由PQRS, ,所以所以 3sin213sin213sin21AcCbBa3sin212k2kCbBaAc即19問題：?jiǎn)栴}： 在圓周上均勻地放上在圓周上均勻地放上4 4枚圍棋子，規(guī)定操作規(guī)則如枚圍棋子，規(guī)定操作規(guī)則如下：原來相鄰棋子若是同色的，就在其間放一枚黑子，下：原來相鄰棋子若是同色的，就在其間放一枚黑子，若異色就在其間放一枚白子，然后把原來若異色就在其間放一枚白子，然后把原來4 4枚棋子取走，枚棋子取走，完成這一程序就算是一次操作。證明：無論開始時(shí)園完成這一程序就算是一次操作。證明：無論開始時(shí)園

12、周上的黑白棋子的排列順序如何，最多只需操作周上的黑白棋子的排列順序如何，最多只需操作4 4次，次，圓周上就全是黑子。圓周上就全是黑子。 下面構(gòu)造一個(gè)反映題設(shè)要求的賦值模型，可使下面構(gòu)造一個(gè)反映題設(shè)要求的賦值模型，可使問題簡(jiǎn)化。問題簡(jiǎn)化。并給棋子賦值：枚棋子為設(shè)開始的)4 , 3 , 2 , 1(4ixi204 . 3 . 2 . 111ixxxiii為白子若為黑子若令為異色與若為同色與若并規(guī)定11111iiiiiixxxxxx12ix及第一次操作后得到的第一次操作后得到的4 4枚棋子可表示為：枚棋子可表示為：)(21xx)(32xx)(43xx)(14xx第二次操作后得到的第二次操作后得到的4

13、 4枚棋子可表示為：枚棋子可表示為：)(21xx)(32xx)(32xx)(43xx)(43xx)(14xx)(14xx)(21xx21分別化簡(jiǎn)為分別化簡(jiǎn)為 )(31xx)(42xx)(13xx)(24xx第三次操作后得到的第三次操作后得到的4 4枚棋子可表示為：枚棋子可表示為： )(31xx)(42xx)(42xx)(13xx)(13xx)(24xx)(24xx)(31xx最后都是最后都是)(4321xxxx第四次操作后得到的第四次操作后得到的4 4枚棋子都是枚棋子都是24321)(xxxx 故這故這4 4枚棋子的賦值都是枚棋子的賦值都是1 1，這表明只需操作，這表明只需操作4 4次，圓周上

14、的棋子全是黑子。次，圓周上的棋子全是黑子。22思考題：思考題： (2)(2)在一個(gè)有限的實(shí)數(shù)列中，任意在一個(gè)有限的實(shí)數(shù)列中，任意7 7個(gè)連續(xù)個(gè)連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，而任意連續(xù)項(xiàng)之和都是負(fù)數(shù)，而任意連續(xù)1111項(xiàng)之和都是正項(xiàng)之和都是正數(shù)，試問這樣的數(shù)列最多有多少項(xiàng)？數(shù)，試問這樣的數(shù)列最多有多少項(xiàng)？ (3)(3)有有1212個(gè)外表相同的硬幣個(gè)外表相同的硬幣, ,已知其中一個(gè)是已知其中一個(gè)是假的假的( (可能輕也可能重些可能輕也可能重些).).現(xiàn)要用無砝碼的天平現(xiàn)要用無砝碼的天平以最少的次數(shù)找出假幣以最少的次數(shù)找出假幣, ,問應(yīng)怎樣稱法問應(yīng)怎樣稱法. . (1) 如果問題2中是放8枚棋子，結(jié)果如何？進(jìn)

15、一步研究每一圈棋子個(gè)數(shù)為任意自然數(shù)n時(shí)棋子顏色的變化規(guī)律。232 2 幾何模擬問題幾何模擬問題 把一個(gè)復(fù)雜的問題，抽象成各種意義下的幾把一個(gè)復(fù)雜的問題，抽象成各種意義下的幾何問題加以解決，這種方法叫做幾何模擬法。幾何何問題加以解決，這種方法叫做幾何模擬法。幾何模擬法常常在發(fā)現(xiàn)問題解答的同時(shí)，也就論證了解模擬法常常在發(fā)現(xiàn)問題解答的同時(shí)，也就論證了解答的正確性，這種方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)中的一種重要思答的正確性，這種方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)中的一種重要思維方法。維方法。一、相識(shí)問題相識(shí)問題 問題：?jiǎn)栴}：在在6 6人的集會(huì)上，總會(huì)有人的集會(huì)上，總會(huì)有3 3人互相人互相認(rèn)識(shí)或者互相不認(rèn)識(shí)。認(rèn)識(shí)或者互相不認(rèn)識(shí)。 怎樣論證

16、此問題？怎樣論證此問題？24 方法：把方法：把6 6個(gè)人看作平面上的個(gè)人看作平面上的6 6個(gè)點(diǎn)，個(gè)點(diǎn)，并分別記作為并分別記作為 (i=1.26)(i=1.26)。若兩人相識(shí)，。若兩人相識(shí)，則用實(shí)線聯(lián)接此兩點(diǎn)，反之用虛線。則用實(shí)線聯(lián)接此兩點(diǎn)，反之用虛線。 于是原問題轉(zhuǎn)化為：在這個(gè)于是原問題轉(zhuǎn)化為：在這個(gè)6 6點(diǎn)圖中，點(diǎn)圖中，必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。 個(gè)人相識(shí)，至少和不妨假設(shè)31A個(gè)人不相識(shí)，必至少和否則31A 而不相識(shí)與相識(shí)在問題中是對(duì)等的，而不相識(shí)與相識(shí)在問題中是對(duì)等的，至于其它點(diǎn)的情況類似。至于其它點(diǎn)的情況類似。 iA25其它其它1010種情況類似可證，至此問

17、題得證種情況類似可證，至此問題得證 。 于是問題又轉(zhuǎn)化為：于是問題又轉(zhuǎn)化為：點(diǎn)圖中，條實(shí)線的出發(fā)并有在從631A必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。必然出現(xiàn)實(shí)三角形或虛三角形。 的連線為實(shí)線，如圖：、與現(xiàn)假設(shè)5421AAAA之一為實(shí)線，、如果525442AAAAAA則必出現(xiàn)實(shí)的三角形，則必出現(xiàn)實(shí)的三角形， 若都不是實(shí)線，若都不是實(shí)線， 為虛的三角形，則三角形542AAA即在這種情況下結(jié)論是正確的。即在這種情況下結(jié)論是正確的。 26思考題思考題： (3)(3)1717個(gè)科學(xué)家中每一個(gè)科學(xué)家都和其它個(gè)科學(xué)家中每一個(gè)科學(xué)家都和其它科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論科學(xué)家通信，在他們通信時(shí)，只討論3 3個(gè)題目，

18、個(gè)題目，而且任意而且任意2 2個(gè)科學(xué)家互相通信時(shí)只討論個(gè)科學(xué)家互相通信時(shí)只討論1 1個(gè)題個(gè)題目，證明其中至少有目，證明其中至少有3 3名科學(xué)家，他們互相通名科學(xué)家，他們互相通信中討論的是同一個(gè)題目。信中討論的是同一個(gè)題目。 （1）9人的集會(huì)中一定有人的集會(huì)中一定有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或者有者有4個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。 （2）14個(gè)人的集會(huì)中一定有個(gè)人的集會(huì)中一定有3個(gè)人互相認(rèn)識(shí)個(gè)人互相認(rèn)識(shí)或者有或者有5個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。個(gè)人互相不認(rèn)識(shí)。 27 （4 4）設(shè)有設(shè)有n n個(gè)人參加一宴會(huì)，已知沒有個(gè)人參加一宴會(huì)，已知沒有人認(rèn)識(shí)所有的人，問是否有兩個(gè)人，他們?nèi)苏J(rèn)識(shí)所有的人，問是否有兩個(gè)

19、人，他們認(rèn)識(shí)的人一樣多？認(rèn)識(shí)的人一樣多？28二、椅子問題二、椅子問題 問題：?jiǎn)栴}：將將4 4條腿長(zhǎng)相同的方椅子條腿長(zhǎng)相同的方椅子放在不平的地上，怎樣才能放平？放在不平的地上，怎樣才能放平？29 假定椅子中心不動(dòng)，每條腿的著地點(diǎn)視假定椅子中心不動(dòng)，每條腿的著地點(diǎn)視為幾何上的點(diǎn)，用為幾何上的點(diǎn)，用A A、B B、C C、D D表示，把表示，把ACAC和和BDBD連線看作坐標(biāo)系中的連線看作坐標(biāo)系中的x x軸和軸和y y軸，把轉(zhuǎn)軸，把轉(zhuǎn)動(dòng)椅子看作坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)如圖動(dòng)椅子看作坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)如圖2-62-6所示：所示： 其中其中表示對(duì)角線表示對(duì)角線ACAC轉(zhuǎn)動(dòng)后與初始位置轉(zhuǎn)動(dòng)后與初始位置x x軸的夾角。軸的夾角。

20、30 設(shè)設(shè)g(g(）表示）表示A A、C C兩腿旋轉(zhuǎn)兩腿旋轉(zhuǎn)角度后與角度后與地面距離之和地面距離之和; ; f( f(）表示）表示B B、D D兩腿旋轉(zhuǎn)兩腿旋轉(zhuǎn)角度后與地角度后與地面距離之和，面距離之和， 當(dāng)?shù)孛鏋檫B續(xù)曲面時(shí)，當(dāng)?shù)孛鏋檫B續(xù)曲面時(shí)，f()f()、g()g()皆皆為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)槿龡l腿總能同時(shí)著地，即為連續(xù)函數(shù)，因?yàn)槿龡l腿總能同時(shí)著地，即對(duì)任意對(duì)任意，總有，總有f()f()g()g()0 0 。不妨設(shè)初始位置不妨設(shè)初始位置0 0時(shí)時(shí)g(0)g(0)0 0，f(0)0f(0)0，問題轉(zhuǎn)化為：是否存在一個(gè)問題轉(zhuǎn)化為：是否存在一個(gè). 0)(000gf使得此問題可抽象成什么樣的數(shù)學(xué)問題？此

21、問題可抽象成什么樣的數(shù)學(xué)問題？31數(shù)學(xué)問題如下：數(shù)學(xué)問題如下： 已知：已知：f()、g()連續(xù)，連續(xù)， g(0)0，f(0)0，且對(duì)任意的且對(duì)任意的，有，有g(shù)()f()0。. 0)()(000fg，使得求證：存在證明：證明： 令令h()g()-f()， 則則 h(0)g(0)-f(0)0 。 位置互換，與角度，即將將椅子轉(zhuǎn)動(dòng)BDAC2. 0)2(, 0)2(fg則有所以所以 , 0)2()2()2(fgh32而而h()是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的界值定理，是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的界值定理， , 0)(2000h），使，（知必存在);()(00fg即又由條件對(duì)任意又由條件對(duì)任意，恒有，恒有g(shù)()

22、f()0, ; 0)()(00 fg所以所以方向，即存在0四條腿能同時(shí)著地。四條腿能同時(shí)著地。 所以椅子問題的答案是：所以椅子問題的答案是： 如果地面為光滑曲面，椅子中心不動(dòng)最多如果地面為光滑曲面，椅子中心不動(dòng)最多轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 角度，2則四條腿一定可以同時(shí)著地。則四條腿一定可以同時(shí)著地。 33 思考題：思考題： 怎樣把長(zhǎng)方形的課桌放平？怎樣把長(zhǎng)方形的課桌放平？34三、夫妻過河問題三、夫妻過河問題 問題：?jiǎn)栴}： 有有3對(duì)夫妻過河，船最多能載對(duì)夫妻過河，船最多能載2人，人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其它男子在一起，如何安排三對(duì)夫妻過河？其它男子在一

23、起，如何安排三對(duì)夫妻過河？ 此類問題是古典的趣味數(shù)學(xué)問題，用窮舉方法可以解決，但怎樣建立此類問題是古典的趣味數(shù)學(xué)問題，用窮舉方法可以解決，但怎樣建立數(shù)學(xué)模型用計(jì)算機(jī)解決？數(shù)學(xué)模型用計(jì)算機(jī)解決？ 模型構(gòu)成：模型構(gòu)成： 假設(shè)由北岸往南岸渡河，用向量（假設(shè)由北岸往南岸渡河，用向量（x，y）表示有）表示有x個(gè)男子、個(gè)男子、y個(gè)女子在北岸，其中個(gè)女子在北岸，其中0 x,y3， 稱向量稱向量(x,y)為狀態(tài)向量；為狀態(tài)向量； 由條件知，有些狀態(tài)是可取的，有些是不可取的，由條件知，有些狀態(tài)是可取的，有些是不可取的， 35如狀態(tài)如狀態(tài)(2,3)是不可取的，是不可取的， 而狀態(tài)而狀態(tài)(3,1)是可取的。是可取的

24、。1)可取狀態(tài)：可取狀態(tài)： 總共有總共有10種可取狀態(tài)具體如下：種可取狀態(tài)具體如下： (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (1,1) (2,2) 其中其中(i,i)表示表示i對(duì)夫妻。對(duì)夫妻。 用用S表示可取狀態(tài)的集合，稱為允許狀態(tài)集合。表示可取狀態(tài)的集合，稱為允許狀態(tài)集合。 2)可取運(yùn)載：可取運(yùn)載： (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) (1,1) ， 其中其中(1,1)表示表示1對(duì)夫妻，對(duì)夫妻， 36用用D表示可取運(yùn)載的集合，稱為允許決策集合。表示可取運(yùn)載的集合，稱為允許決策集合。 3)記第記第k次渡河前北岸男子數(shù)為次渡河

25、前北岸男子數(shù)為kykx，女子數(shù)為，女子數(shù)為 ),(kkkyxs 稱為狀態(tài)；稱為狀態(tài)； 記第記第k次渡河船上的男子數(shù)為次渡河船上的男子數(shù)為 ku，女子數(shù)為，女子數(shù)為 kv),(kkkvud 稱為決策。稱為決策。 所以狀態(tài)隨可取運(yùn)載變化規(guī)律是所以狀態(tài)隨可取運(yùn)載變化規(guī)律是(*) 1(1kkkkdss（）稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律（）稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移律37于是問題歸結(jié)為：于是問題歸結(jié)為： 求一系列的決策求一系列的決策 kdD(k=1,2n)， 使?fàn)顟B(tài)使?fàn)顟B(tài) ksS按規(guī)律按規(guī)律(*)由初始狀態(tài)由初始狀態(tài) 1s(3,3)經(jīng)過有限步經(jīng)過有限步n達(dá)到狀態(tài)達(dá)到狀態(tài) 1ns(0,0). 模型求解：模型求解： 編程序上機(jī)計(jì)算求出結(jié)

26、果。編程序上機(jī)計(jì)算求出結(jié)果。38 用窮舉法不難驗(yàn)證一種結(jié)果如下：用窮舉法不難驗(yàn)證一種結(jié)果如下： （括號(hào)內(nèi)為北岸的狀態(tài)）（括號(hào)內(nèi)為北岸的狀態(tài)）(3,3) 去兩女(3,1) 回一女(3,2) 去兩女(3,0) 回一女(3,1) 去兩男(1,1) 回一男一女(2,2) 去兩男(0,2) 回一女(0,3) 去兩女(0,1) 回一女(0,2) 去兩女(0,0) 經(jīng)過經(jīng)過11次決策即可完成。次決策即可完成。 39 思考題：思考題： (1) 在上述約束條件下，在上述約束條件下，4對(duì)夫妻能否過河？對(duì)夫妻能否過河？ (2)類似討論如果船最多可載類似討論如果船最多可載3人，人，5對(duì)夫妻對(duì)夫妻及及6對(duì)夫妻能否過河？

27、對(duì)夫妻能否過河？ （3）一般討論：）一般討論：n對(duì)夫妻過河，船最多能坐對(duì)夫妻過河，船最多能坐m個(gè)人（個(gè)人（m 1800秒秒 d(t)1.4 duut)18001 . 02 . 0(01. 01800）（853 . 1)36001 . 02 . 0(01. 02tt d(3600) 3 . 1)360036001 . 036002 . 0(01. 02（米）（米）3 . 2這說明在雪停以前除雪機(jī)已經(jīng)停止工作。這說明在雪停以前除雪機(jī)已經(jīng)停止工作。 那么除雪機(jī)是否中途被迫中斷工作？能工那么除雪機(jī)是否中途被迫中斷工作？能工作多長(zhǎng)時(shí)間？已清掃了多長(zhǎng)路程？作多長(zhǎng)時(shí)間？已清掃了多長(zhǎng)路程？115由由(5-7)

28、式和式和(5-8)式，知雪的厚度函數(shù)為式，知雪的厚度函數(shù)為 ）（秒秒秒秒9518003 . 1)36001 . 02 . 0(01. 018003600001. 05 . 0)(22ttttttd因?yàn)槌┧俣扰c雪的厚度的關(guān)系為因?yàn)槌┧俣扰c雪的厚度的關(guān)系為)105()(321 (10)(tdtV將將(5-9)代入代入(5-10)得得秒秒1800)3600002. 0004. 06 . 5(3101800)3600001. 01 (320)(22ttttttV116易知當(dāng)易知當(dāng)t1800 時(shí)，時(shí)， 0)3600001. 013202t（令令V(t)0 0)3600002. 0004. 06 .

29、5(3102tt所所以以01008000072002tt由此得由此得 t。1903秒秒 （秒秒）52971t（舍去）（舍去） 因此除雪機(jī)工作因此除雪機(jī)工作1903秒（秒（31.7分分鐘）將無法工作。鐘）將無法工作。 117思考：不求思考：不求V(t)能否知道除雪機(jī)何時(shí)停止工作？能否知道除雪機(jī)何時(shí)停止工作？ 除雪機(jī)工作的距離除雪機(jī)工作的距離190301800019031800)()()(dttVdttVdttVSdtttdtt)3600002. 0004. 06 . 5(310)3600001. 01 (3202190318001800028434米米8.434公里公里 所以除雪機(jī)只能掃除所以除

30、雪機(jī)只能掃除8.434公里就無法行走公里就無法行走了，即除雪機(jī)無法完成了，即除雪機(jī)無法完成10公里的除雪任務(wù)。公里的除雪任務(wù)。 118思考題：思考題： (1)請(qǐng)考慮其它的除雪速度函數(shù)和降雪速度請(qǐng)考慮其它的除雪速度函數(shù)和降雪速度函數(shù)。函數(shù)。 (2)在降雪過程中，除雪機(jī)清掃過的路面又在降雪過程中，除雪機(jī)清掃過的路面又會(huì)開始積雪，雪的厚度將如何變化？特別考會(huì)開始積雪，雪的厚度將如何變化？特別考慮降雪速度為非常數(shù)時(shí)的情況，能否用一個(gè)慮降雪速度為非常數(shù)時(shí)的情況，能否用一個(gè)函數(shù)描述馬路上雪的堆積情況？函數(shù)描述馬路上雪的堆積情況？ (3)當(dāng)雪速為常數(shù)時(shí)，問下雪速度為多少時(shí)當(dāng)雪速為常數(shù)時(shí)，問下雪速度為多少時(shí)除

31、雪機(jī)剛好完成除雪機(jī)剛好完成10公里除雪工作？公里除雪工作？ 119 三、廣告與利潤(rùn)問題三、廣告與利潤(rùn)問題 問題問題：某公司有一大批裝飾涂料，根據(jù)某公司有一大批裝飾涂料，根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，零售價(jià)增高，則銷售量減少，以往統(tǒng)計(jì)資料，零售價(jià)增高，則銷售量減少，具體數(shù)據(jù)如表具體數(shù)據(jù)如表2-5。若做廣告，可使銷售量。若做廣告，可使銷售量增加，具體增加量以售量提高因子增加，具體增加量以售量提高因子k表示，表示，k與廣告費(fèi)的關(guān)系如表與廣告費(fèi)的關(guān)系如表2-6，它也是以往的統(tǒng)，它也是以往的統(tǒng)計(jì)或經(jīng)驗(yàn)結(jié)果?，F(xiàn)在已知涂料的進(jìn)價(jià)是每聽計(jì)或經(jīng)驗(yàn)結(jié)果?，F(xiàn)在已知涂料的進(jìn)價(jià)是每聽2英鎊，問如何確定涂料的價(jià)格和花多少?gòu)V英鎊，問如

32、何確定涂料的價(jià)格和花多少?gòu)V告費(fèi)，可使公司獲利最大。告費(fèi)，可使公司獲利最大。 表表2-5：涂料預(yù)期銷售量與價(jià)格的關(guān)系：涂料預(yù)期銷售量與價(jià)格的關(guān)系單價(jià)（鎊）單價(jià)（鎊） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 售量（千聽）售量（千聽） 41 38 34 32 29 28 25 22 20 120表表2-6：售量提高因子與廣告費(fèi)的關(guān)系：售量提高因子與廣告費(fèi)的關(guān)系廣告費(fèi)（萬鎊）廣告費(fèi)（萬鎊） 0 1 2 3 4 5 6 7提高因子提高因子k 1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80為了解決此問題，引入以下記號(hào)：為了解

33、決此問題，引入以下記號(hào)： x預(yù)期銷售量；預(yù)期銷售量； y銷售單價(jià)；銷售單價(jià)； z廣告費(fèi)；廣告費(fèi)； c成本單價(jià)；成本單價(jià)； 由表由表2-5可看出，售量與單價(jià)近似成線性可看出，售量與單價(jià)近似成線性關(guān)系，因此可設(shè)：關(guān)系，因此可設(shè)： xayb (5-11) 可用最小二乘法，根據(jù)表可用最小二乘法，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)定出中的數(shù)據(jù)定出(5-11)式中的系數(shù)式中的系數(shù)a和和b的具體數(shù)值，顯然的具體數(shù)值，顯然a0。121 由表由表2-6可看出，提高因子與廣告費(fèi)近似二可看出，提高因子與廣告費(fèi)近似二次關(guān)系，因此可設(shè)：次關(guān)系，因此可設(shè)： )125(2fezdzK 同樣，可用曲線擬合法，由表同樣，可用曲線擬合法，由表2的

34、數(shù)據(jù)定出的數(shù)據(jù)定出(5-12)式中的系數(shù)式中的系數(shù)d、e和和f，這里，這里d0，拋物線開，拋物線開口向下?？谙蛳隆?設(shè)實(shí)際銷售量為設(shè)實(shí)際銷售量為S，它等于預(yù)期銷售量乘以銷，它等于預(yù)期銷售量乘以銷售提高因子，即售提高因子，即Skx，于是利潤(rùn)，于是利潤(rùn)P可表示為：可表示為： P收入支出收入支出 銷售收入成本支出廣告費(fèi)銷售收入成本支出廣告費(fèi) syscz kx(yc)z (5-13)122 將將( 5-11)和和(5-12)代入代入(5-13)，可見，可見P只是只是y和和z的函數(shù)，即的函數(shù)，即 zcybayfezdzP)()(2所以問題歸結(jié)為當(dāng)所以問題歸結(jié)為當(dāng)y、z為何值時(shí)為何值時(shí)P達(dá)到最大值。達(dá)到最

35、大值。由多元函數(shù)求極值的方法：由多元函數(shù)求極值的方法： P的極大值點(diǎn)為的極大值點(diǎn)為 dccybaydzabacy2)(2120000123為了得到具體的數(shù)值，需求出各系數(shù)的值。為了得到具體的數(shù)值，需求出各系數(shù)的值。下面給出計(jì)算的結(jié)果：下面給出計(jì)算的結(jié)果： a5133 b50420 c21010256. 4d510092. 4e019. 1f把以上數(shù)值代入，可得把以上數(shù)值代入，可得 x20084 y5.91 z33113 k1.91124 可以預(yù)言，按該方案銷售，可得可以預(yù)言，按該方案銷售，可得實(shí)際銷售量實(shí)際銷售量Skx1.912008438360（聽）（聽） 獲利潤(rùn)獲利潤(rùn) P116875（英鎊

36、）（英鎊） 四、交通燈模型（留給同學(xué)自學(xué)）四、交通燈模型（留給同學(xué)自學(xué)） 125五、錄像帶的長(zhǎng)度問題五、錄像帶的長(zhǎng)度問題 問題：?jiǎn)栴}：在一臺(tái)錄像機(jī)上有一個(gè)四位數(shù)字的在一臺(tái)錄像機(jī)上有一個(gè)四位數(shù)字的記數(shù)器。在磁帶開始運(yùn)行時(shí)的設(shè)置為記數(shù)器。在磁帶開始運(yùn)行時(shí)的設(shè)置為“0000”。 185分分20秒結(jié)束時(shí)顯示讀數(shù)為秒結(jié)束時(shí)顯示讀數(shù)為“1849”。并注意。并注意到記數(shù)器從到記數(shù)器從“0084”轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到“0147”時(shí)用了時(shí)用了3分分21秒。現(xiàn)在記數(shù)器上顯示為秒?，F(xiàn)在記數(shù)器上顯示為“1428”，問余下的，問余下的磁帶是否足夠再記錄磁帶是否足夠再記錄60分鐘長(zhǎng)的節(jié)目？分鐘長(zhǎng)的節(jié)目？建模目的：建模目的：建立記數(shù)器

37、讀數(shù)建立記數(shù)器讀數(shù)n和所花時(shí)間和所花時(shí)間t的關(guān)系。的關(guān)系。 假設(shè)：假設(shè)： (1)錄像磁帶厚度是均勻的設(shè)為錄像磁帶厚度是均勻的設(shè)為w，磁，磁帶繞半徑為帶繞半徑為r的軸旋轉(zhuǎn)；的軸旋轉(zhuǎn)； 126(2)磁帶繞磁頭旋轉(zhuǎn)的線速度為常數(shù)磁帶繞磁頭旋轉(zhuǎn)的線速度為常數(shù)V； (3)記數(shù)器的讀數(shù)與軸輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比；記數(shù)器的讀數(shù)與軸輪轉(zhuǎn)數(shù)成正比； (4)磁帶卷各圈松緊均勻。磁帶卷各圈松緊均勻。 錄像機(jī)運(yùn)行一段時(shí)間以后的磁帶卷如圖錄像機(jī)運(yùn)行一段時(shí)間以后的磁帶卷如圖2-18： 記記t時(shí)刻軸心到磁帶卷外側(cè)的距離為時(shí)刻軸心到磁帶卷外側(cè)的距離為R(t)， 已放過的磁帶總長(zhǎng)為已放過的磁帶總長(zhǎng)為L(zhǎng)(t),記數(shù)器讀數(shù)為記數(shù)器讀數(shù)為n(

38、t)。 下面討論下面討論t和和n(t)的關(guān)系：的關(guān)系： 127因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趖時(shí)刻磁帶卷側(cè)面的總面積為時(shí)刻磁帶卷側(cè)面的總面積為 rtRrtR)()(22所以用總面積除以厚度所以用總面積除以厚度W，有，有wrtRtL)()(22另一方面，由假設(shè)另一方面，由假設(shè)(2)知知 L(t)=Vt wrtRVt)(22 從從而而整理得整理得 )155()()(212rwVttR 128當(dāng)磁帶轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)過一個(gè)很小的角度當(dāng)磁帶轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)過一個(gè)很小的角度 時(shí)，時(shí)， 對(duì)應(yīng)的磁帶長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的磁帶長(zhǎng) ， )(tRL若轉(zhuǎn)過若轉(zhuǎn)過 角度所花時(shí)間為角度所花時(shí)間為 t， 又有又有 ，和，和 ， tVLtVtR)(取微分有取微分有 dtrwV

39、tVtRVdtd212)( 從而從而dtrwVtVdt21200 )(2212rrwVtw 129)(2)(212rrwVtwt 即即有有由假設(shè)由假設(shè)(3)有有 ，k是比例系數(shù)，是比例系數(shù)， ktn)()165()(2)(212rrwVtwktn 若從銷售商或制造商處了解到若從銷售商或制造商處了解到W、V和和r的值，并選擇一個(gè)合適的的值，并選擇一個(gè)合適的k值，就可得到值，就可得到n(t)和和t的具體關(guān)系，將的具體關(guān)系，將n(t)1428代入求得代入求得t值，再用值，再用185分分20秒去減，就可回答我們的秒去減，就可回答我們的問題。問題。130下面根據(jù)所給的條件來解決我們的問題：下面根據(jù)所給的

40、條件來解決我們的問題： 將將(5-16)式變形為式變形為)175(2)(22wVrwVrtwVktn wVk 2令令wVr2 所以所以(5-17)變?yōu)樽優(yōu)?185()()( ttn式式(5-18)中僅含兩個(gè)參數(shù)中僅含兩個(gè)參數(shù)和和。 131利用如下數(shù)據(jù)表利用如下數(shù)據(jù)表2-9： 時(shí)間時(shí)間t（分）（分） 0 + 3.35 185.33 1t1t 讀數(shù)讀數(shù)n(t) 0 0084 0147 1849 t0，n0是模型的初始條件，將后是模型的初始條件，將后3組組數(shù)據(jù)代入數(shù)據(jù)代入(5-18)式得到以下的三元方程組：式得到以下的三元方程組：)195(147)35. 3(84(1849)33.185(11 tt 這是關(guān)于這是關(guān)于 的三元方程組，含有三個(gè)方程，的三元方程組，含有三個(gè)方程，能夠解出，從而得出能夠解出，從而得出n(t)與與t的關(guān)系，解答我的關(guān)系，解答我們的問題。們的問題。 132求解此方程組很困難，下面再尋求更好的方