數(shù)學(xué)建模講座之十一--數(shù)學(xué)建模案例分析

1、2022-2-13數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模暑期培訓(xùn)班數(shù)學(xué)建模王 磊2022-2-13數(shù)學(xué)建模簡要提綱簡要提綱 1. 優(yōu)化軟件簡介優(yōu)化軟件簡介2. LINDO / LINGO軟件的簡單使用簡介軟件的簡單使用簡介3. 建模與求解實例（結(jié)合軟件使用）建模與求解實例（結(jié)合軟件使用）4. LINGO軟件基本使用方法軟件基本使用方法2022-2-13數(shù)學(xué)建模1. 優(yōu)化軟件簡介優(yōu)化軟件簡介2022-2-13數(shù)學(xué)建模 最優(yōu)化是工程技術(shù)、經(jīng)濟管理、科學(xué)研究、最優(yōu)化是工程技術(shù)、經(jīng)濟管理、科學(xué)研究、社會生活中經(jīng)常遇到的問題社會生活中經(jīng)常遇到的問題, 如如:優(yōu)化模型和優(yōu)化軟件的重要意義優(yōu)化模型和優(yōu)化軟件的重要意義結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)構(gòu)

2、設(shè)計資源分配資源分配生產(chǎn)計劃生產(chǎn)計劃運輸方案運輸方案解決優(yōu)化問題的手段解決優(yōu)化問題的手段 經(jīng)驗積累，主觀判斷經(jīng)驗積累，主觀判斷 作試驗，比優(yōu)劣作試驗，比優(yōu)劣 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型(優(yōu)化模型優(yōu)化模型)，求最優(yōu)策略，求最優(yōu)策略(決策決策)( (最最) )優(yōu)化優(yōu)化: :在一定條件下在一定條件下, ,尋求使目標(biāo)最大尋求使目標(biāo)最大( (小小) )的決策的決策 CUMCMCUMCM賽題：約一半以上與優(yōu)化有關(guān)，需用軟件求解賽題：約一半以上與優(yōu)化有關(guān)，需用軟件求解2022-2-13數(shù)學(xué)建模運籌學(xué)運籌學(xué)(OR: Operations/Operational Research)管理科學(xué)管理科學(xué)(MS: Man

3、agement Science)決策科學(xué)決策科學(xué) (DS: Decision Science)(最最)優(yōu)化理論是運籌學(xué)的基本內(nèi)容優(yōu)化理論是運籌學(xué)的基本內(nèi)容無無約約束束優(yōu)優(yōu)化化OR/MS/DS優(yōu)化優(yōu)化(Optimization), 規(guī)劃規(guī)劃(Programming)線線性性規(guī)規(guī)劃劃非非線線性性規(guī)規(guī)劃劃網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)優(yōu)優(yōu)化化組組合合優(yōu)優(yōu)化化整整數(shù)數(shù)規(guī)規(guī)劃劃不不確確定定規(guī)規(guī)劃劃多多目目標(biāo)標(biāo)規(guī)規(guī)劃劃目目標(biāo)標(biāo)規(guī)規(guī)劃劃動動態(tài)態(tài)規(guī)規(guī)劃劃2022-2-13數(shù)學(xué)建模優(yōu)化問題三要素：優(yōu)化問題三要素：決策變量決策變量；目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)；約束條件約束條件約約束束條條件件決策變量決策變量優(yōu)化問題的一般形式優(yōu)化問題的一般形式n

4、jiDxljxgmixhtsxf,.,1, 0)(,.,1, 0)(. .)(min可行解（滿足約束）與可行域（可行解的集合）可行解（滿足約束）與可行域（可行解的集合）最優(yōu)解（取到最小大值的可行解）最優(yōu)解（取到最小大值的可行解）目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)2022-2-13數(shù)學(xué)建模無約束優(yōu)化無約束優(yōu)化: :最優(yōu)解的分類和條件最優(yōu)解的分類和條件)(xfMinx給定一個函數(shù)給定一個函數(shù) f( (x),),尋找尋找 x* 使得使得 f( (x*)最小，即最小，即nTnxxxx),(21其中其中局部最優(yōu)解局部最優(yōu)解全局最優(yōu)解全局最優(yōu)解必要條件必要條件0),()(1*Txxnffxfx*f(x)xlxgo充分條件充

5、分條件0)(, 0)(*2*xfxfHessian陣陣nnjixxff22最優(yōu)解在可行域邊界上取得時不能用無約束優(yōu)化方法求解最優(yōu)解在可行域邊界上取得時不能用無約束優(yōu)化方法求解2022-2-13數(shù)學(xué)建模約束優(yōu)化的約束優(yōu)化的簡單分類簡單分類 線性規(guī)劃線性規(guī)劃(LP) 目標(biāo)和約束均為線性函數(shù)目標(biāo)和約束均為線性函數(shù) 非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃(NLP) 目標(biāo)或約束中存在非線性函數(shù)目標(biāo)或約束中存在非線性函數(shù) 二次規(guī)劃二次規(guī)劃(QP) 目標(biāo)為二次函數(shù)、約束為線性目標(biāo)為二次函數(shù)、約束為線性 整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃(IP) 決策變量決策變量(全部或部分全部或部分)為整數(shù)為整數(shù) 整數(shù)整數(shù)線性線性規(guī)劃規(guī)劃(ILP)，整數(shù)，整

6、數(shù)非線性非線性規(guī)劃規(guī)劃(INLP) 純整數(shù)規(guī)劃純整數(shù)規(guī)劃(PIP), 混合整數(shù)規(guī)劃混合整數(shù)規(guī)劃(MIP) 一般整數(shù)規(guī)劃，一般整數(shù)規(guī)劃，0-1（整數(shù)）規(guī)劃（整數(shù)）規(guī)劃njiDxljxgmixhtsxf,.,1, 0)(,.,1, 0)(. .)(min連連續(xù)續(xù)優(yōu)優(yōu)化化離離散散優(yōu)優(yōu)化化數(shù)學(xué)規(guī)劃數(shù)學(xué)規(guī)劃2022-2-13數(shù)學(xué)建模常用優(yōu)化軟件常用優(yōu)化軟件 1. LINDO/LINGO軟件軟件2. MATLAB優(yōu)化工具箱優(yōu)化工具箱3. EXCEL軟件的優(yōu)化功能軟件的優(yōu)化功能4. SAS(統(tǒng)計分析統(tǒng)計分析)軟件的優(yōu)化功能軟件的優(yōu)化功能5. 其他其他2022-2-13數(shù)學(xué)建模MATLABMATLAB優(yōu)化工具

7、箱優(yōu)化工具箱能求解的優(yōu)化模型能求解的優(yōu)化模型優(yōu)化工具箱優(yōu)化工具箱3.0 (MATLAB 7.0 R14)連續(xù)優(yōu)化連續(xù)優(yōu)化離散優(yōu)化離散優(yōu)化無約束優(yōu)化無約束優(yōu)化非線性非線性極小極小fminunc非光滑非光滑(不可不可微微)優(yōu)化優(yōu)化fminsearch非線性非線性方程方程(組組)fzerofsolve全局全局優(yōu)化優(yōu)化暫缺暫缺非線性非線性最小二乘最小二乘lsqnonlinlsqcurvefit線性規(guī)劃線性規(guī)劃linprog純純0-1規(guī)劃規(guī)劃 bintprog一般一般IP(暫缺暫缺)非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃fminconfminimaxfgoalattainfseminf上下界約束上下界約束fminbndf

8、minconlsqnonlinlsqcurvefit約束線性約束線性最小二乘最小二乘lsqnonneglsqlin約束優(yōu)化約束優(yōu)化二次規(guī)劃二次規(guī)劃quadprog2022-2-13數(shù)學(xué)建模LINDO LINDO 公司軟件產(chǎn)品簡要介紹公司軟件產(chǎn)品簡要介紹 美國芝加哥美國芝加哥(Chicago)大學(xué)的大學(xué)的Linus Schrage教授于教授于1980年前后開發(fā)年前后開發(fā), 后來成立后來成立 LINDO系統(tǒng)公司（系統(tǒng)公司（LINDO Systems Inc.），）， 網(wǎng)址：網(wǎng)址：http:/ LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.

9、1)LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V9.0)LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V3.0)Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V8.0)演示演示(試用試用)版、學(xué)生版、高級版、超級版、工業(yè)版、版、學(xué)生版、高級版、超級版、工業(yè)版、擴展版擴展版 （求解（求解問題規(guī)模問題規(guī)模和和選件選件不同）不同）2022-2-13數(shù)學(xué)建模LINDOLINDO和和LINGOLINGO軟件能求解的優(yōu)化模型軟件能求解的優(yōu)化模型 LINGO LINDO優(yōu)

10、化模型優(yōu)化模型線性規(guī)劃線性規(guī)劃(LP)非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃(NLP)二次規(guī)劃二次規(guī)劃(QP)連續(xù)優(yōu)化連續(xù)優(yōu)化整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃(IP)2022-2-13數(shù)學(xué)建模 LP QP NLP IP 全局優(yōu)化全局優(yōu)化(選選) ILP IQP INLP LINDO/LINGO軟件的求解過程 LINDO/LINGO預(yù)處理程序預(yù)處理程序線性優(yōu)化求解程序線性優(yōu)化求解程序非線性優(yōu)化求解程序非線性優(yōu)化求解程序分枝定界管理程序分枝定界管理程序1. 確定常數(shù)確定常數(shù)2. 識別類型識別類型1. 單純形算法單純形算法2. 內(nèi)點算法內(nèi)點算法(選選)1、順序線性規(guī)劃法、順序線性規(guī)劃法(SLP) 2、廣義既約梯度法、廣義既約梯度法(

11、GRG) (選選) 3、多點搜索、多點搜索(Multistart) (選選) 2022-2-13數(shù)學(xué)建模建模時需要注意的幾個基本問題建模時需要注意的幾個基本問題 1、盡量使用實數(shù)優(yōu)化，減少整數(shù)約束和整數(shù)變量盡量使用實數(shù)優(yōu)化，減少整數(shù)約束和整數(shù)變量2、盡量使用光滑優(yōu)化，減少非光滑約束的個數(shù)盡量使用光滑優(yōu)化，減少非光滑約束的個數(shù) 如：盡量少使用絕對值、符號函數(shù)、多個變量求如：盡量少使用絕對值、符號函數(shù)、多個變量求最大最大/最小值、四舍五入、取整函數(shù)等最小值、四舍五入、取整函數(shù)等3、盡量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變盡量使用線性模型，減少非線性約束和非線性變量的個數(shù)量的個數(shù) （如（如x/y

12、5 改為改為x5y）4、合理設(shè)定變量上下界，盡可能給出變量初始值合理設(shè)定變量上下界，盡可能給出變量初始值 5、模型中使用的參數(shù)數(shù)量級要適當(dāng)模型中使用的參數(shù)數(shù)量級要適當(dāng) (如小于如小于103)2022-2-13數(shù)學(xué)建模3. LINDO / LINGO軟件的使用簡介軟件的使用簡介2022-2-13數(shù)學(xué)建模需要掌握的幾個重要方面需要掌握的幾個重要方面1、LINDO: 正確閱讀求解報告（尤其要掌握敏感性分析）正確閱讀求解報告（尤其要掌握敏感性分析）2、LINGO： 掌握集合掌握集合(SETS)的應(yīng)用；的應(yīng)用；正確閱讀求解報告；正確閱讀求解報告；正確理解求解狀態(tài)窗口；正確理解求解狀態(tài)窗口； 學(xué)會設(shè)置基本

13、的求解選項學(xué)會設(shè)置基本的求解選項(OPTIONS) ； 掌握與外部文件的基本接口方法掌握與外部文件的基本接口方法2022-2-13數(shù)學(xué)建模例例1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元? A1的

14、獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？ 每天：每天：2022-2-13數(shù)學(xué)建模1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動時間勞動時間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時間時間480小時小時 至

15、多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天2022-2-13數(shù)學(xué)建模模型求解模型求解 max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0

16、.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤，利潤3360元。元。 2022-2-13數(shù)學(xué)建模模型求解模型求解 reduced cost值表值表示當(dāng)該非基變量示當(dāng)該非基變量增加一個單位時增加一個單位時（其他非基變量（其他非基變量保持不變）目標(biāo)保持不變）目標(biāo)函數(shù)減少的量函數(shù)減少的量(對對max型問題型問題) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0

17、.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2也可理解為：也可理解為：為了使該非基變?yōu)榱耸乖摲腔兞孔兂苫兞?，量變成基變量，目?biāo)函數(shù)中對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)中對應(yīng)系數(shù)應(yīng)增加的量系數(shù)應(yīng)增加的量2022-2-13數(shù)學(xué)建模 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.00

18、0000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000原料無剩余原料無剩余時間無剩余時間無剩余加工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 2022-2-13數(shù)學(xué)建模 OBJECTIVE FU

19、NCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000結(jié)果解釋結(jié)果解釋 最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增增加加1單位時單位時“效益效益”的的增量增量 原料增原料增1單位單位, 利潤增利潤增48 時間加時間加1單位單位, 利潤增利潤增2 能力增減不影響利潤能力增減不影響

20、利潤影子價格影子價格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？ 35 ”（或（或“=”（或（或“=”）功能相）功能相同同2.變量與系數(shù)間可有空格變量與系數(shù)間可有空格(甚至回車甚至回車), 但無運算符但無運算符3.變量名以字母開頭，不能超過變量名以字母開頭，不能超過8個字符個字符4.變量名不區(qū)分大小寫（包括變量名不區(qū)分大小寫（包括LINDO中的關(guān)鍵字）中的關(guān)鍵字）5.目標(biāo)函數(shù)所在行是第一行，第二行起為約束條件目標(biāo)函數(shù)所在行是第一行，第二行起為約束條件6.行號行號(行名行名)自動產(chǎn)生或人為定義。行名以自動產(chǎn)生或人為定義。行名以“）”結(jié)結(jié)束束7.行中注有行中注有“!”符號的后面部分為注

21、釋。如符號的后面部分為注釋。如: ! Its Comment.8.在模型的任何地方都可以用在模型的任何地方都可以用“TITLE” 對模型命名對模型命名（最多（最多72個字符），如：個字符），如： TITLE This Model is only an Example2022-2-13數(shù)學(xué)建模9.變量不能出現(xiàn)在一個約束條件的右端變量不能出現(xiàn)在一個約束條件的右端10.表達式中不接受括號表達式中不接受括號“( )”和逗號和逗號“,”等任何符號等任何符號, 例例: 400(X1+X2)需寫為需寫為400X1+400X211.表達式應(yīng)化簡，如表達式應(yīng)化簡，如2X1+3X2- 4X1應(yīng)寫成應(yīng)寫成 -2X1

22、+3X212.缺省假定所有變量非負(fù)；可在模型的缺省假定所有變量非負(fù)；可在模型的“END”語句語句后用后用“FREE name”將變量將變量name的非負(fù)假定取消的非負(fù)假定取消13.可在可在 “END”后用后用“SUB” 或或“SLB” 設(shè)定變量上設(shè)定變量上下界下界 例如：例如： “sub x1 10”的作用等價于的作用等價于“x1=10” 但用但用“SUB”和和“SLB”表示的上下界約束不計入表示的上下界約束不計入模型的約束，也不能給出其松緊判斷和敏感性分模型的約束，也不能給出其松緊判斷和敏感性分析。析。14. “END”后對后對0-1變量說明：變量說明：INT n 或或 INT name15

23、. “END”后對整數(shù)變量說明：后對整數(shù)變量說明：GIN n 或或 GIN name使用使用LINDOLINDO的一些注意事項的一些注意事項2022-2-13數(shù)學(xué)建模二次規(guī)劃規(guī)劃(QP)問題nLINDO可求解二次規(guī)劃可求解二次規(guī)劃(QP)問題，但輸入方式問題，但輸入方式較復(fù)雜，因為在較復(fù)雜，因為在LINDO中不許出現(xiàn)非線性表達式中不許出現(xiàn)非線性表達式n需要為每一個實際約束增加一個對偶變量需要為每一個實際約束增加一個對偶變量（LAGRANGE乘子），在實際約束前增加有關(guān)變乘子），在實際約束前增加有關(guān)變量的一階最優(yōu)條件，轉(zhuǎn)化為互補問題量的一階最優(yōu)條件，轉(zhuǎn)化為互補問題n“END”后面使用后面使用QC

24、P命令指明實際約束開始的命令指明實際約束開始的行號，然后才能求解行號，然后才能求解n建議總是用建議總是用LINGO解解QP注意注意對對QP和和IP: 敏感性分析意義不大敏感性分析意義不大2022-2-13數(shù)學(xué)建模狀態(tài)窗口狀態(tài)窗口（LINDO Solver Status） n當(dāng)前狀態(tài)：已達最優(yōu)解當(dāng)前狀態(tài)：已達最優(yōu)解n迭代次數(shù)：迭代次數(shù)：18次次n約束不滿足的約束不滿足的“量量”(不不是是“約束個數(shù)約束個數(shù)”)：0n當(dāng)前的目標(biāo)值：當(dāng)前的目標(biāo)值：94n最好的整數(shù)解：最好的整數(shù)解：94n整數(shù)規(guī)劃的界：整數(shù)規(guī)劃的界：93.5n分枝數(shù)：分枝數(shù)：1n所用時間：所用時間：0.00秒（太秒（太快了，還不到快了，

25、還不到0.005秒）秒）n刷新本界面的間隔刷新本界面的間隔:1(秒秒)2022-2-13數(shù)學(xué)建模選項設(shè)置選項設(shè)置 Preprocess：預(yù)處理：預(yù)處理(生成割平面生成割平面)； Preferred Branch：優(yōu)先的分枝方式：優(yōu)先的分枝方式： “Default”（缺省方式）、（缺省方式）、“Up”（向上取整優(yōu)先）、（向上取整優(yōu)先）、“Down”（向下取整優(yōu)先）；（向下取整優(yōu)先）； IP Optimality Tol：IP最優(yōu)值允許的誤最優(yōu)值允許的誤差上限（一個百分?jǐn)?shù)，如差上限（一個百分?jǐn)?shù)，如5%即即0.05）；）； IP Objective Hurdle：IP目標(biāo)函數(shù)的籬目標(biāo)函數(shù)的籬笆值，即

26、只尋找比這個值更優(yōu)最優(yōu)解笆值，即只尋找比這個值更優(yōu)最優(yōu)解（如當(dāng)知道當(dāng)前模型的某個整數(shù)可行解（如當(dāng)知道當(dāng)前模型的某個整數(shù)可行解時，就可以設(shè)置這個值）；時，就可以設(shè)置這個值）； IP Var Fixing Tol：固定一個整數(shù)變量：固定一個整數(shù)變量取值所依據(jù)的一個上限（如果一個整數(shù)取值所依據(jù)的一個上限（如果一個整數(shù)變量的判別數(shù)（變量的判別數(shù)（REDUCED COST）的）的值很大，超過該上限，則以后求解中把值很大，超過該上限，則以后求解中把該整數(shù)變量固定下來）。該整數(shù)變量固定下來）。Nonzero Limit：非零系數(shù)的個數(shù)上限；非零系數(shù)的個數(shù)上限；Iteration Limit：最大迭代步數(shù)；最

27、大迭代步數(shù)；Initial Contraint Tol：約束的初始誤差上限；約束的初始誤差上限；Final Contraint Tol：約束的最后誤差上限；約束的最后誤差上限；Entering Var Tol：進基變量的進基變量的REDUCED COST的誤差限；的誤差限；Pivot Size Tol：旋轉(zhuǎn)元的誤差限旋轉(zhuǎn)元的誤差限2022-2-13數(shù)學(xué)建模Report/Statistics第一行：模型有第一行：模型有5行（約束行（約束4行），行），4個變量，兩個整數(shù)變量（沒有個變量，兩個整數(shù)變量（沒有0-1變量），從第變量），從第4行開始是二次規(guī)劃的實際約束。行開始是二次規(guī)劃的實際約束。第二行

28、：非零系數(shù)第二行：非零系數(shù)19個，約束中非零系數(shù)個，約束中非零系數(shù)12個個(其中其中6個為個為1或或-1)，模型密度為模型密度為0.760(密度密度=非零系數(shù)非零系數(shù)/行數(shù)行數(shù)(變量數(shù)變量數(shù)) 。第三行的意思：按絕對值看，系數(shù)最小、最大分別為第三行的意思：按絕對值看，系數(shù)最小、最大分別為0.3和和277。第四行的意思：模型目標(biāo)為極小化；小于等于、等于、大于等于約第四行的意思：模型目標(biāo)為極小化；小于等于、等于、大于等于約束分別有、個；廣義上界約束（束分別有、個；廣義上界約束（GUBS）不超過個；）不超過個；變量上界約束（變量上界約束（VUBS）不少于個。所謂）不少于個。所謂GUBS，是指一組不，

29、是指一組不含有相同變量的約束；所謂含有相同變量的約束；所謂VUBS，是指一個蘊涵變量上界的約，是指一個蘊涵變量上界的約束，如從約束束，如從約束X1+X2-X3=0可以看出，若可以看出，若X3=0，則，則X1=0，X2=0（因為有非負(fù)限制），因此（因為有非負(fù)限制），因此X1+X2-X3=0是一個是一個VUBS約束。約束。第五行的意思：只含個變量的約束個數(shù)第五行的意思：只含個變量的約束個數(shù)=個；冗余的列數(shù)個；冗余的列數(shù)=個個ROWS= 5 VARS= 4 INTEGER VARS= 2( 0 = 0/1) QCP= 4NONZEROS= 19 CONSTRAINT NONZ= 12( 6 = +-

30、1) DENSITY=0.760SMALLEST AND LARGEST ELEMENTS IN ABSOLUTE VALUE= 0.300000 277.000OBJ=MIN, NO. : 2 0 2, GUBS = 0SINGLE COLS= 0 REDUNDANT COLS= 02022-2-13數(shù)學(xué)建模LINDOLINDO行命令、命令腳本文件行命令、命令腳本文件批處理：可以采用命令腳本（行命令序列）批處理：可以采用命令腳本（行命令序列）WINDOWS環(huán)境下行命令的意義不大環(huán)境下行命令的意義不大Example 演示演示Bat01.txt用用FILE / TAKE COMMANDS (F1

31、1) 命令調(diào)入命令調(diào)入必須是以必須是以LINDO PACKED形式形式（壓縮）保存的文件（壓縮）保存的文件FILE / SAVE命令命令SAVE行命令行命令2022-2-13數(shù)學(xué)建模LINGO軟件簡介軟件簡介 目標(biāo)與約束段目標(biāo)與約束段 集合段（集合段（SETS ENDSETS） 數(shù)據(jù)段（數(shù)據(jù)段（DATA ENDDATA） 初始段（初始段（INIT ENDINIT） 計算段計算段 (CALC ENDCALC) - LINGO9.0LINGO模型的構(gòu)成：模型的構(gòu)成：5個段個段LINGO模型的優(yōu)點模型的優(yōu)點 包含了包含了LINDO的全部功能的全部功能 提供了靈活的編程語言（矩陣生成器）提供了靈活的編

32、程語言（矩陣生成器）2022-2-13數(shù)學(xué)建模LINGOLINGO模型模型 例：選址問例：選址問題題某公司有某公司有6個建筑工地，位置坐標(biāo)為個建筑工地，位置坐標(biāo)為(ai, bi) (單位：公里單位：公里),水泥日用量水泥日用量di (單位：噸）單位：噸）ia1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d35476111)現(xiàn)有 2 料場，位于 A (5, 1), B (2, 7),記(xj,yj),j=1,2, 日儲量 ej各有 20 噸。假設(shè)：假設(shè)：料場料場和工地之間和工地之間有直線道路有直線道路目標(biāo)：制定每天的供應(yīng)計劃，即從 A, B 兩料場分別向各工地

33、運送多少噸水泥，使總的噸公里數(shù)最小。2022-2-13數(shù)學(xué)建模用例中數(shù)據(jù)計算，最優(yōu)解為i1234561ic（料料場場 A）3507012ic（料料場場 B）00406102 , 1,6,.,1,. .)()(min612121612/122jecidctsbyaxcjijiiijjjiijijij線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型決策變量：決策變量：ci j (料場料場j到到工地工地i的的運量）運量）12維維2022-2-13數(shù)學(xué)建模選址問題：選址問題：NLPNLP2）改建兩個新料場，需要確定新料場位置）改建兩個新料場，需要確定新料場位置(xj,yj)和和運量運量cij ，在其它條件不變下使總噸公里數(shù)最

34、小。，在其它條件不變下使總噸公里數(shù)最小。2 , 1,6,.,1,. .)()(min612121612/122jecidctsbyaxcjijiiijjjiijijij決策變量：決策變量：ci j，(xj,yj)16維維非線性規(guī)劃模型非線性規(guī)劃模型2022-2-13數(shù)學(xué)建模LINGO模型的構(gòu)成：模型的構(gòu)成：4個段個段集合段（集合段（SETS ENDSETS）數(shù)據(jù)段（數(shù)據(jù)段（DATA ENDDATA）初始段（初始段（INIT ENDINIT） 目標(biāo)與目標(biāo)與約束段約束段 局部最優(yōu)：局部最優(yōu)：89.8835(噸公里噸公里 ) LP：移到數(shù)據(jù)段：移到數(shù)據(jù)段2022-2-13數(shù)學(xué)建模邊界2022-2-1

35、3數(shù)學(xué)建模集合的類型集合的類型 集合集合 派生集合派生集合 基本集合基本集合 稀疏集合稀疏集合 稠密集合稠密集合 元素列表法元素列表法 元素過濾法元素過濾法 直接列舉法直接列舉法 隱式列舉法隱式列舉法setname /member_list/ : attribute_list;setname(parent_set_list) /member_list/ : attribute_list;SETS: CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/; ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/:D; ENDSETSSETS: STUDENTS /

36、S1.S8/; PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) | &2 #GT# &1: BENEFIT, MATCH;ENDSETS2022-2-13數(shù)學(xué)建模集合元素的集合元素的隱式列隱式列舉舉類型類型隱式列舉格式隱式列舉格式示例示例示例集合的元素示例集合的元素數(shù)字型數(shù)字型 1.n1.51, 2, 3, 4, 5字符字符-數(shù)字型數(shù)字型stringM.stringNCar101.car208Car101, car102, , car208星期型星期型 dayM.dayNMON.FRIMON, TUE, WED, THU, FRI月份型月份型 monthM.monthNO

37、CT.JANOCT, NOV, DEC, JAN年份年份-月份型月份型monthYearM.monthYearNOCT2001.JAN2002OCT2001, NOV2001, DEC2001, JAN20022022-2-13數(shù)學(xué)建模運算符的優(yōu)先級運算符的優(yōu)先級 優(yōu)先級優(yōu)先級運算符運算符最高最高#NOT# （負(fù)號）（負(fù)號）* /+ （減法）（減法）#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR#最低最低(=)三類運算符：三類運算符： 算術(shù)運算符算術(shù)運算符 邏輯運算符邏輯運算符 關(guān)系運算符關(guān)系運算符2022-2-13數(shù)學(xué)建模集合循環(huán)函數(shù)集合循環(huán)函數(shù)四個集合循環(huán)函

38、數(shù)：四個集合循環(huán)函數(shù)：FOR、SUM 、 MAX、MINfunction( setname ( set_index_list) | condition : expression_list);objective MAX = SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J);FOR(STUDENTS( I): constraints SUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K) =1);FOR(PAIRS( I, J): BIN( MATCH( I, J);MAXB=MAX(PAIR

39、S( I, J): BENEFIT( I, J);MINB=MIN(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J);Example:PAIRSJIJIMATCHJIBENEFIT),(),(*),(1),(),(IKorIJPAIRSKJKJMATCH2022-2-13數(shù)學(xué)建模狀態(tài)窗口狀態(tài)窗口Solver Type:B-and-BGlobal MultistartModel Class: LP， QP，ILP， IQP，PILP, PIQP，NLP，INLP，PINLP State:Global OptimumLocal OptimumFeasibleInfeasibleUnboun

40、dedInterruptedUndetermined2022-2-13數(shù)學(xué)建模7 7個選項卡個選項卡( (可設(shè)置可設(shè)置80-9080-90個控制參數(shù)個控制參數(shù)) )2022-2-13數(shù)學(xué)建模 程序與數(shù)據(jù)分離程序與數(shù)據(jù)分離文文本本文文件件使用外部數(shù)據(jù)文件使用外部數(shù)據(jù)文件 Cut (or Copy) Paste 方法方法 FILE 輸入數(shù)據(jù)、輸入數(shù)據(jù)、TEXT輸出數(shù)據(jù)（文本文件）輸出數(shù)據(jù)（文本文件） OLE函數(shù)與電子表格軟件（如函數(shù)與電子表格軟件（如EXCEL）連接）連接 ODBC函數(shù)與數(shù)據(jù)庫連接函數(shù)與數(shù)據(jù)庫連接 LINGO命令腳本文件命令腳本文件 LG4 （LONGO模型文件）模型文件） LNG

41、 （LONGO模型文件）模型文件） LTF （LONGO腳本文件）腳本文件） LDT （LONGO數(shù)據(jù)文件）數(shù)據(jù)文件） LRP （LONGO報告文件）報告文件）常用文件后綴常用文件后綴2022-2-13數(shù)學(xué)建模FILEFILE和和TEXTTEXT：文本文件輸入輸出：文本文件輸入輸出MODEL:SETS: MYSET / FILE(myfile.txt) / : FILE(myfile.txt);ENDSETSMIN = SUM( MYSET( I): SHIP( I) * COST( I); FOR( MYSET( I): CON1 SHIP( I) NEED( I); CON2 SHIP(

42、I) NEED( I); CON2 SHIP( I) SUPPLY( I);DATA: MYSET =OLE(D:JXIEBJ2004MCMmydata.xls,CITIES); COST,NEED,SUPPLY =OLE(mydata.xls); OLE(mydata.xls,SOLUTION)=SHIP; ENDDATAEND mydata.xls文件中必須有下列名稱(及數(shù)據(jù))： CITIES， COST，NEED，SUPPLY，SOLUTION 在在EXCEL中還可以通過中還可以通過“宏宏”自動調(diào)用自動調(diào)用LINGO(略略) 也可以將也可以將EXCEL表格嵌入到表格嵌入到LINGO模型中

43、模型中(略略)演示演示 MydataExample.lg42022-2-13數(shù)學(xué)建模ODBC ODBC ：與數(shù)據(jù)庫連接：與數(shù)據(jù)庫連接輸入基本集合元素：輸入基本集合元素：setname/ODBC(datasource , tablename , columnname)/輸入派生集合元素：輸入派生集合元素：setname/ODBC(source,table , column1, column2)/目前支持下列目前支持下列DBMS: (如為其他數(shù)據(jù)庫，則需自行安裝驅(qū)動如為其他數(shù)據(jù)庫，則需自行安裝驅(qū)動)ACCESS， DBASE，EXCEL，F(xiàn)OXPRO，ORACLE，PARADOX，SQL SERV

44、ER， TEXE FILES使用數(shù)據(jù)庫之前，數(shù)據(jù)源需要在使用數(shù)據(jù)庫之前，數(shù)據(jù)源需要在ODBC管理器注冊管理器注冊輸入數(shù)據(jù)：輸入數(shù)據(jù)：Attr_list=ODBC(source,table , column1, column2)輸出數(shù)據(jù)：輸出數(shù)據(jù)：ODBC(source,table , column1, column2)= Attr_list具體例子略具體例子略2022-2-13數(shù)學(xué)建模4. 建模與求解實例（結(jié)合軟件使用）建模與求解實例（結(jié)合軟件使用）2022-2-13數(shù)學(xué)建模建模實例與求解建模實例與求解最短路問題最短路問題飛機定位飛機定位露天礦的運輸問題露天礦的運輸問題鋼管運輸問題鋼管運輸問題

45、2022-2-13數(shù)學(xué)建模例例 最短路問題最短路問題求各點到求各點到T的最短路的最短路56774968658336C1B1C2B2A1A2A3TS6shortestPath.lg40,min),(TjijAjiiLTiLcL2022-2-13數(shù)學(xué)建模0yxVOR2x=629, y=375309.00 (1.30)864.3(2.0)飛機x=?, y=?VOR1x=764, y=1393161.20 (0.80)VOR3x=1571, y=25945.10 (0.60)北DMEx=155, y=987飛機與監(jiān)控臺（圖中坐標(biāo)和測量距離的單位是“公里”）實例實例: 飛機精確定位問題飛機精確定位問題

46、2022-2-13數(shù)學(xué)建模飛機精確定位模型飛機精確定位模型）飛機位置坐標(biāo)（要求計算：，距離誤差為記測量距離為，角度誤差為記測量角度為標(biāo)分別為已知數(shù)據(jù)：設(shè)備位置坐yxdiiyxiiii, . ; 3,.,1, 1,.4;),(44iixiyi原始的 (或d4）VO20（2.81347弧度）0.80（0.0140弧度）VOR262937545.10 （0.78714弧度）0.60（0.0105弧度）VOR31571259309.00（5.39307弧度）1.30（0.0227弧度）DME155987d4=864.3（km）2.0（km）2022-2-13數(shù)學(xué)建模飛機精確定

47、位模型飛機精確定位模型42424)()(),(atan2dyyxxyyxxiii第第1類模型類模型: 不考慮誤差因素不考慮誤差因素超定方程組，超定方程組，非線性最小二乘！非線性最小二乘！量綱不符！量綱不符??？ 242424312)()(),(atan2 dyyxxyyxxMiniiiix,y242424312)()(),(atan2 dyyxxyyxxMiniiiix,y222424)()( )tan()/()( dyyxxyyxxiii或或2022-2-13數(shù)學(xué)建模飛機精確定位模型飛機精確定位模型44242444)()(),(atan2dyyxxdyyxxiiiiii第第2類模型類模型: 考

48、慮誤差因素考慮誤差因素(作為硬約束作為硬約束)Min x; Min y; Max x; Max y. 以距離為約束，優(yōu)化角度誤差之和（或平方和）；以距離為約束，優(yōu)化角度誤差之和（或平方和）；或以角度為約束，優(yōu)化距離誤差或以角度為約束，優(yōu)化距離誤差. 非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃 ？ ？僅部分考慮誤差僅部分考慮誤差! 角度與距離的角度與距離的“地位地位”不應(yīng)不不應(yīng)不同！同！有人也可能會采用其他目標(biāo)，如：有人也可能會采用其他目標(biāo)，如： 誤差非均勻分布！誤差非均勻分布！ 2022-2-13數(shù)學(xué)建模飛機精確定位模型飛機精確定位模型2424244231)()(),(atan2),( yyxxdyyxxyxEMi

49、niiiii誤差一般服從什么分布？誤差一般服從什么分布？正態(tài)分布！正態(tài)分布！不同的量綱如何處理？不同的量綱如何處理？無約束非線性最小二乘模型無約束非線性最小二乘模型歸一化處理！歸一化處理！shili0702.m飛機坐標(biāo)飛機坐標(biāo)(978.31，723.98), 誤差平方和誤差平方和0.6685 ( 4) 角度需要進行預(yù)處理，如利用角度需要進行預(yù)處理，如利用Matlab的的atan2函數(shù)函數(shù), 值域值域(-pi, pi)第第3類模型類模型: 考慮誤差因素考慮誤差因素(作為軟約束作為軟約束); 且歸一化且歸一化2022-2-13數(shù)學(xué)建模飛機精確定位模型飛機精確定位模型小技巧小技巧: LINGO中沒有

50、中沒有atan2函數(shù)函數(shù), 怎么辦？怎么辦？可以直接利用可以直接利用tan函數(shù)！函數(shù)！exam0507c.lg4同前面的模型同前面的模型/結(jié)果結(jié)果2424244231)()(),( yyxxdyxEMiniiii)/()(taniiiyyxx 飛機坐標(biāo)飛機坐標(biāo)(980.21，727.30 ), 誤差平方和誤差平方和2.6 與前面的結(jié)果有所不同與前面的結(jié)果有所不同, 為什么為什么? 哪個模型合理些哪個模型合理些?2424244231)()(tantan),( yyxxdyxEMiniiiyyxxii最后最后: 思考以下模型思考以下模型:exam0507d.lg42022-2-13數(shù)學(xué)建模露天礦里

51、鏟位已分成礦石和巖石露天礦里鏟位已分成礦石和巖石: 平均鐵含量不低于平均鐵含量不低于25%的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數(shù)的為礦石，否則為巖石。每個鏟位的礦石、巖石數(shù)量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的。量，以及礦石的平均鐵含量（稱為品位）都是已知的。每個鏟位至多安置一臺電鏟，電鏟平均裝車時間每個鏟位至多安置一臺電鏟，電鏟平均裝車時間5分鐘分鐘卡車在等待時所耗費的能量也是相當(dāng)可觀的，原則上卡車在等待時所耗費的能量也是相當(dāng)可觀的，原則上在安排時在安排時不應(yīng)發(fā)生卡車等待不應(yīng)發(fā)生卡車等待的情況。的情況。 露天礦生產(chǎn)的車輛安排露天礦生產(chǎn)的車輛安排(CUMCM-2003B) 礦石卸

52、點需要的鐵含量要求都為礦石卸點需要的鐵含量要求都為29.5% 1%(品位限品位限制），搭配量在一個班次（制），搭配量在一個班次（8小時）內(nèi)滿足品位限制即小時）內(nèi)滿足品位限制即可。卸點在一個班次內(nèi)不變?？ㄜ囕d重量為可。卸點在一個班次內(nèi)不變?？ㄜ囕d重量為154噸，平噸，平均時速均時速28km,平均卸車時間為平均卸車時間為3分鐘。分鐘。問題：出動幾臺電鏟，分別在哪些鏟位上；出動幾輛問題：出動幾臺電鏟，分別在哪些鏟位上；出動幾輛卡車，分別在哪些路線上各運輸多少次卡車，分別在哪些路線上各運輸多少次 ?2022-2-13數(shù)學(xué)建模平面示意圖2022-2-13數(shù)學(xué)建模問題數(shù)據(jù)問題數(shù)據(jù) 距離鏟位1鏟位2鏟位3鏟

53、位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏5.202.952.742.461.900.641.27倒裝1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51巖場5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57巖石漏0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10倒裝4.423.863.710.781.621.270.50鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石量095105100105110125105130135125巖石量

54、125110135105115135105115135125鐵含量30%28%29%32%31%33%32%31%33%31%2022-2-13數(shù)學(xué)建模問題分析問題分析 與典型的運輸問題明顯有以下不同：與典型的運輸問題明顯有以下不同：1. 這是運輸?shù)V石與巖石兩種物資的問題；這是運輸?shù)V石與巖石兩種物資的問題；2. 屬于產(chǎn)量大于銷量的不平衡運輸問題；屬于產(chǎn)量大于銷量的不平衡運輸問題；3. 為了完成品位約束，礦石要搭配運輸；為了完成品位約束，礦石要搭配運輸；4. 產(chǎn)地、銷地均有單位時間的流量限制；產(chǎn)地、銷地均有單位時間的流量限制；5. 運輸車輛只有一種，每次滿載運輸，運輸車輛只有一種，每次滿載運輸，

55、154噸噸/車次；車次；6. 鏟位數(shù)多于鏟車數(shù)意味著要最優(yōu)的選擇不多于鏟位數(shù)多于鏟車數(shù)意味著要最優(yōu)的選擇不多于7個個產(chǎn)地作為最后結(jié)果中的產(chǎn)地；產(chǎn)地作為最后結(jié)果中的產(chǎn)地；7. 最后求出各條路線上的派出車輛數(shù)及安排。最后求出各條路線上的派出車輛數(shù)及安排。近似處理：近似處理：先求出產(chǎn)位、卸點每條線路上的運輸量先求出產(chǎn)位、卸點每條線路上的運輸量(MIP模型模型)然后求出各條路線上的派出車輛數(shù)及安排然后求出各條路線上的派出車輛數(shù)及安排2022-2-13數(shù)學(xué)建模模型假設(shè)模型假設(shè)n卡車在一個班次中不應(yīng)發(fā)生等待或熄火后再啟動卡車在一個班次中不應(yīng)發(fā)生等待或熄火后再啟動的情況；的情況；n在鏟位或卸點處由兩條路線以

56、上造成的沖突問題在鏟位或卸點處由兩條路線以上造成的沖突問題面前，我們認(rèn)為只要平均時間能完成任務(wù)，就認(rèn)面前，我們認(rèn)為只要平均時間能完成任務(wù)，就認(rèn)為不沖突。我們不排時地進行討論；為不沖突。我們不排時地進行討論；n空載與重載的速度都是空載與重載的速度都是28km/h，耗油相差很大；，耗油相差很大；n卡車可提前退出系統(tǒng)，等等?？ㄜ嚳商崆巴顺鱿到y(tǒng)，等等。如理解為嚴(yán)格不等待，難以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來解如理解為嚴(yán)格不等待，難以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來解 個別參數(shù)隊找到了可行解個別參數(shù)隊找到了可行解 （略）（略）2022-2-13數(shù)學(xué)建模符號符號nxij ：從：從i鏟位到鏟位到j(luò)號卸點的石料運量號卸點的石料運量 （車）（

57、車） 單位：單位： 噸；噸；ncij ：從：從i號鏟位到號鏟位到j(luò)號卸點的距離號卸點的距離 公公里；里；nTij :從從i號鏟位到號號鏟位到號j卸點路線上運行一個周期平均時間卸點路線上運行一個周期平均時間 分；分；nAij ：從號鏟位到號卸點最多能同時運行的卡車數(shù)：從號鏟位到號卸點最多能同時運行的卡車數(shù) 輛；輛；nBij ：從號鏟位到號卸點路線上一輛車最多可運行的次數(shù)：從號鏟位到號卸點路線上一輛車最多可運行的次數(shù) 次；次；npi：i號鏟位的礦石鐵含量號鏟位的礦石鐵含量 p=(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) %nqj : j號卸點任務(wù)需求，號卸點任務(wù)需求，q=(1.

58、2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000 噸噸ncki ：i號鏟位的鐵礦石儲量號鏟位的鐵礦石儲量 萬噸萬噸ncyi ：i號鏟位的巖石儲量號鏟位的巖石儲量 萬噸萬噸nfi :描述第描述第i號鏟位是否使用的號鏟位是否使用的0-1變量，取變量，取1為使用；為使用；0為關(guān)閉。為關(guān)閉。532平均速度距離到j(luò)iTij5ijijTAijijijTAB5) 1(608(近似近似)2022-2-13數(shù)學(xué)建模優(yōu)化模型cxijijij10151min5 , 1,10, 1,jiBAxijijij10, 1, 5/60851ifxijij5 , 1,208101jiijx10, 1,154/10000154/

59、1000043521icyxxckxxxiiiiiii（1）道路能力道路能力(卡車數(shù)卡車數(shù))約束約束（2）電鏟能力約束（3）卸點能力約束（4）鏟位儲量約束（5）產(chǎn)量任務(wù)約束（6）鐵含量約束（7）電鏟數(shù)量約束（8）整數(shù)約束 5 , 1,154/101jqxjiij5 , 2 , 1,0)5 .28(0)5 .30(101101jpxpxiiijiiij.7101iifxij為非負(fù)整數(shù)fi 為0-1整數(shù)2022-2-13數(shù)學(xué)建模計算結(jié)果（計算結(jié)果（LINGOLINGO軟件）軟件）鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦漏131354541111倒42424343巖場7070

60、1515巖漏81814343倒13132 27070鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏0.8671.8620.314倒場1.0771.162巖場1.8920.326巖石漏1.8411.229倒場0.6840.11.489cumcm2003b1.lg4注注: LINGO8.0本來是可以得到最優(yōu)解的，但有些本來是可以得到最優(yōu)解的，但有些 LINGO8.0可能出現(xiàn)系統(tǒng)錯誤可能出現(xiàn)系統(tǒng)錯誤, 可能是系統(tǒng)可能是系統(tǒng)BUG2022-2-13數(shù)學(xué)建模計算結(jié)果（派車）計算結(jié)果（派車）鏟位1鏟位2鏟位3鏟位4鏟位5鏟位6鏟位7鏟位8鏟位9鏟位10礦石漏1 (29)倒場1 (39)1 (37)巖