數(shù)學百家：波恩哈德·黎曼

1、昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家波恩哈德黎曼制作：楊榮濤制作：楊榮濤（201115010226）數(shù)學）數(shù)學2班班昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼姓名：姓名：波恩哈德波恩哈德黎曼（黎曼（Riemann,Georg Friedrich Bernhard）人物檔案人物檔案國籍：國籍：德國德國 出生地：出生地：德國德國 出生日期：出生日期：1826年年9月月17日日 逝世日期：逝世日期：1866年年7月月20日日 主要成就：主要成就：1 1、對數(shù)學分析和微分幾何做出了重要貢獻；、對數(shù)學分析和微分幾何做出了重要貢獻； 2 2、引入三角級數(shù)理論建立黎曼幾何學；、引入三角級數(shù)理論建立黎

2、曼幾何學； 3 3、他引入黎曼曲面對近代拓撲學影響很大。他引入黎曼曲面對近代拓撲學影響很大。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼提綱（提綱（Outline）一、人物簡介一、人物簡介二、二、主要成果主要成果三、生平經(jīng)歷三、生平經(jīng)歷四、四、主要貢獻主要貢獻五、人物評價五、人物評價昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼人物簡介人物簡介 出出生生： 1826年年9月月17日生于德國北部漢諾威布列斯倫茨日生于德國北部漢諾威布列斯倫茨 去世去世：1866年年7月月20日卒于意大利塞那斯加日卒于意大利塞那斯加 波恩哈德波恩哈德.黎曼是德國數(shù)學家，物理學家。父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師他

3、黎曼是德國數(shù)學家，物理學家。父親是一個鄉(xiāng)村的窮苦牧師他6歲開始上學，歲開始上學，14歲進入大歲進入大學預科學習，學預科學習，19歲按其父親的意愿進入哥丁根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧歲按其父親的意愿進入哥丁根大學攻讀哲學和神學，以便將來繼承父志也當一名牧師，由于從小酷愛數(shù)學，他在學習哲學和神學的同時，也聽些數(shù)學課。當時的哥丁根大學是世界數(shù)學師，由于從小酷愛數(shù)學，他在學習哲學和神學的同時，也聽些數(shù)學課。當時的哥丁根大學是世界數(shù)學的中心之一。一些著名的數(shù)學家，如高斯、韋伯、斯持爾在校執(zhí)教，黎曼被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研的中心之一。一些著名的數(shù)學家，如高斯、韋伯、斯持爾在校執(zhí)教，黎曼

4、被這里的數(shù)學教學和數(shù)學研究的氣氛所感染，決定放棄神學專攻數(shù)學。究的氣氛所感染，決定放棄神學專攻數(shù)學。1847年他轉(zhuǎn)到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克雷、年他轉(zhuǎn)到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克雷、施泰納、艾森斯坦的學生，施泰納、艾森斯坦的學生，1849年重回哥丁根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。年重回哥丁根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。l851年獲年獲數(shù)學博士學位。數(shù)學博士學位。l854年被聘為哥丁根大學的編外講師。年被聘為哥丁根大學的編外講師。1857年晉升為副教授，年晉升為副教授，1859年接替去世的狄年接替去世的狄利克雷被聘為教授。因長年貧困、勞累，利克雷被聘為教授。因長年

5、貧困、勞累，1862年婚后不到一個月患胸膜炎和肺結(jié)核，先后三次到意年婚后不到一個月患胸膜炎和肺結(jié)核，先后三次到意大利治病、療養(yǎng)。大利治病、療養(yǎng)。1366年病逝于意大利、終年年病逝于意大利、終年39歲。黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之歲。黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一，在其短暫的一生中為學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。一，在其短暫的一生中為學的眾多領域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學建立了豐功偉績。 昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學生。1

6、849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。l1851年，黎曼獲得數(shù)學博士學位；l854年被聘為哥廷根大學的編外講師；1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。柏林大學柏林大學圖書館圖書館昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 l9世紀數(shù)學最獨特的創(chuàng)造是復函數(shù)理論的創(chuàng)立。它是世紀數(shù)學最獨特的創(chuàng)造是復函數(shù)理論的創(chuàng)立。它是18世紀人們對復數(shù)及復函數(shù)理論研究的延續(xù)。柯西、黎曼和外世紀人們對復數(shù)及復函數(shù)理論研究的延續(xù)?？挛?、黎曼和外爾斯特拉斯是世界公認的復函數(shù)論的主要奠基人，而且后來爾斯特拉斯是世界公認的復函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在

7、處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西證明在處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來，外爾斯特拉斯的思想逐漸從柯西和黎曼的思想被融合起來，外爾斯特拉斯的思想逐漸從柯西一黎曼觀點推導出來。在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關鍵一黎曼觀點推導出來。在黎曼對多值函數(shù)的處理中，最關鍵的是他引入了被后人稱的是他引入了被后人稱“黎曼面黎曼面”的概念。通過黎曼面給多的概念。通過黎曼面給多值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數(shù)是單值的。值函數(shù)以幾何直觀，且在黎曼面上表示的多值函數(shù)是單值的。他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義連通性，開展對函數(shù)他在黎曼面上引入支點、橫剖線、定義

8、連通性，開展對函數(shù)性質(zhì)的研究獲得一系列成果。經(jīng)黎曼處理的復函數(shù)，單值函性質(zhì)的研究獲得一系列成果。經(jīng)黎曼處理的復函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值函數(shù)中。尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推多值函數(shù)中。尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分動了拓撲學的初期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼一羅赫定理。及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼一羅赫定理。 1、復函數(shù)論的奠基人、復函數(shù)論的奠基人昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家

9、家 波恩哈德黎曼黎曼函數(shù)l黎曼猜想（RH）是關于黎曼函數(shù)(s)的零點分布的猜想。黎曼函數(shù)在任何復數(shù)s 1上有定義。它在負偶數(shù)上也有零點（例如，當s = 2, s = 4, s = 6, .）。這些零點是“平凡零點”。黎曼猜想關心的是非平凡零點。（非平凡零點(在此情況下是指s不為-2、-4、-6 等點的值)的實數(shù)部份是。）黎曼函數(shù)：昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼函數(shù)在臨界線Re(s) = 1/2上的實部（紅色）和虛部（藍色）。我們可以看到最起初的幾個非平凡零點就位于Im(s) = 14.135, 21.022和 25.011上 。 黎曼函數(shù)實部與虛部的數(shù)值比較圖，也就是R

10、e(s) vs. Im(s)，沿著臨界線s = it + 1/2，t 由 0到34.昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l經(jīng)黎曼處理的復函數(shù)，單值函數(shù)是多值函數(shù)的待例，他把單值函數(shù)的一些已知結(jié)論推廣到多值函數(shù)中，尤其他按連通性對函數(shù)分類的方法，極大地推動了拓撲學的初期發(fā)展。他研究了阿貝爾函數(shù)和阿貝爾積分及阿貝爾積分的反演，得到著名的黎曼羅赫定理，首創(chuàng)的雙有理變換構(gòu)成19世紀后期發(fā)展起來的代數(shù)幾何的主要內(nèi)容。 l黎曼為完善其博士論文，在結(jié)束時給出其函數(shù)論在保形映射的幾個應用，將高斯在1825年關于平面到平面的保形映射的結(jié)論推廣到任意黎曼面上，并在文字的結(jié)尾給出著名的黎曼映射定理。

11、用現(xiàn)代記法，虧格為 g 的緊黎曼曲面與一個典范除子 K 的黎曼羅赫定理表述為：l(D) l(K D) = deg(D) g + 1. 這對所有除子除子 D 均成立。除子是曲面上點的自自由阿貝爾群由阿貝爾群中一個元素。等價地，一個除子是曲面上一些點的整系數(shù)線性組合。我們定義一個亞純函數(shù) f 的除子為昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼對數(shù)學最重要的貢獻還在于幾何方黎曼對數(shù)學最重要的貢獻還在于幾何方面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理面，他開創(chuàng)的高維抽象幾何的研究，處理幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深幾何問題的方法和手段是幾何史上一場深刻的革命，他建立了一種全新的后來以其刻

12、的革命，他建立了一種全新的后來以其名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)名字命名的幾何體系，對現(xiàn)代幾何乃至數(shù)學和科學各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影學和科學各分支的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響。響。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 德國數(shù)學家黎曼德國數(shù)學家黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。世紀中期提出的幾何學理論。1854年黎曼在格丁根大學發(fā)表的題為年黎曼在格丁根大學發(fā)表的題為論作為論作為幾何學基礎的假設幾何學基礎的假設的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中，黎曼將曲面本身的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中，黎曼將曲面本身看成一個獨立的

13、幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發(fā)展了空間看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他首先發(fā)展了空間的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用，空間中的點可用n個實數(shù)（個實數(shù)（x1，xn）作為坐標來描述。這是現(xiàn)代作為坐標來描述。這是現(xiàn)代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎。這種維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎。這種空間上的幾何學應基于無限鄰近兩點（空間上的幾何學應基于無限鄰近兩點（x1，x2，xn）與（）與（x1dx

14、1，xndxn）之間的距離，）之間的距離，用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。亦即（用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函數(shù)構(gòu)成的正定對稱矩陣。這便是）是由函數(shù)構(gòu)成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流行，就是黎曼流形。黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流行，就是黎曼流形。 2、黎曼幾何的創(chuàng)始人、黎曼幾何的創(chuàng)始人黎曼幾何黎曼幾何（1）、黎曼流形上的幾何學）、黎曼流形上的幾何學 昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就（2）、黎曼幾何）、黎曼幾何 - 與歐氏幾何的不同與歐氏幾何的不同 黎曼幾何，光線按曲線運動；而歐氏幾何中，光線

15、按直線運動。黎曼幾何，光線按曲線運動；而歐氏幾何中，光線按直線運動。 歐式幾何是把認識停留在平面上了歐式幾何是把認識停留在平面上了,所研究的范圍是絕對的平的問題所研究的范圍是絕對的平的問題,認為人生活在一個絕對平的認為人生活在一個絕對平的世界里世界里,因此在平面里畫出的三角形三條邊都是直的因此在平面里畫出的三角形三條邊都是直的,兩點之間的距離也是直的，在平面上，兩點間的兩點之間的距離也是直的，在平面上，兩點間的最短距離是線段，但是在雙曲面上，兩點間的最短距離則是曲線，因為平面上的最短距離在平面上，最短距離是線段，但是在雙曲面上，兩點間的最短距離則是曲線，因為平面上的最短距離在平面上，那么曲面上

16、的最短距離也只能在曲面上，而不能跑到曲面外伸直，所以這個最短距離只能是曲線。若那么曲面上的最短距離也只能在曲面上，而不能跑到曲面外伸直，所以這個最短距離只能是曲線。若我們把雙曲面舒展成平面以后，再繼續(xù)朝平面的另一個方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個時候，我們把雙曲面舒展成平面以后，再繼續(xù)朝平面的另一個方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個時候，如果我們在這個橢圓面上畫三角形，將發(fā)現(xiàn)，無論怎么畫，這個三角形的內(nèi)角和都大于如果我們在這個橢圓面上畫三角形，將發(fā)現(xiàn)，無論怎么畫，這個三角形的內(nèi)角和都大于180度，兩點度，兩點間的最短距離依然是曲線，這個幾何就是黎曼幾何間的最短距離依然是曲線，這個幾何就是黎曼

17、幾何 。 這個幾何在物理上非常有用，因為光在空間上就是沿著曲線跑的，并非是直線，我們生活在地球這個幾何在物理上非常有用，因為光在空間上就是沿著曲線跑的，并非是直線，我們生活在地球上，因此我們的空間也是曲面，而不是平面，但為了生活方便，都不做嚴格規(guī)定，都近似地當成了平上，因此我們的空間也是曲面，而不是平面，但為了生活方便，都不做嚴格規(guī)定，都近似地當成了平面。面。 昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就（3）、黎曼猜想與素數(shù)定理）、黎曼猜想與素數(shù)定理 黎曼黎曼 函數(shù)函數(shù) ， ，非平凡零點，非平凡零點(在此情況下是指在此情況下是指s不為不為-2、-4、-6 等點的值等點的

18、值)的實數(shù)部份是的實數(shù)部份是。 黎曼猜想（黎曼猜想（RH）是關于黎曼）是關于黎曼函數(shù)，函數(shù)，(s)的零點分布的猜想。黎曼的零點分布的猜想。黎曼函數(shù)在任何復數(shù)函數(shù)在任何復數(shù)s 1上有定義。它上有定義。它在負偶數(shù)上也有零點（例如，當在負偶數(shù)上也有零點（例如，當s = 2, s = 4, s = 6, .）。這些零點是）。這些零點是“平凡零點平凡零點”。黎曼猜想關心。黎曼猜想關心的是非平凡零點。的是非平凡零點。黎曼猜想提出黎曼猜想提出： 黎曼黎曼函數(shù)非平凡零點的實數(shù)部份是函數(shù)非平凡零點的實數(shù)部份是，即所有的非平凡零點都應該位于直線，即所有的非平凡零點都應該位于直線 + ti（“臨界線臨界線”）上。）

19、上。t為一實數(shù)，而為一實數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。沿臨界線的黎曼為虛數(shù)的基本單位。沿臨界線的黎曼函數(shù)有時通過函數(shù)有時通過Z-函數(shù)進行研究。它的實零點對應于函數(shù)進行研究。它的實零點對應于函數(shù)在臨界線上的零點。函數(shù)在臨界線上的零點。 1901年年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強條件的素數(shù)定理指出，黎曼猜想與強條件的素數(shù)定理 等價。現(xiàn)等價?，F(xiàn)在已經(jīng)驗證了最初的在已經(jīng)驗證了最初的1,500,000,000個素數(shù)對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今個素數(shù)對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明尚無人給出證明 。未解決的數(shù)學問題未解決的數(shù)學問題:

20、 黎曼黎曼函數(shù)的每個非平凡零點的實部是否同為函數(shù)的每個非平凡零點的實部是否同為？昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼猜想的提出黎曼函數(shù)非平凡零點的實數(shù)部份是l即所有的非平凡零點都應該位于直線 + ti（“臨界線”）上。t為一實數(shù)，而i為虛數(shù)的基本單位。沿臨界線的黎曼函數(shù)有時通過Z-函數(shù)函數(shù)進行研究。它的實零點對應于函數(shù)在臨界線上的零點。l素數(shù)在自然數(shù)中的分布問題在純粹數(shù)學和應用數(shù)學上都很重要。素數(shù)在自然數(shù)中的分布并沒有簡單的規(guī)律。黎曼黎曼（1826-1866）發(fā)現(xiàn)素數(shù)出現(xiàn)的頻率與黎曼函數(shù)緊密相關。l1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想與強條件的素數(shù)定理 等價。

21、現(xiàn)在已經(jīng)驗證了最初的1,500,000,000個素數(shù)對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。l黎曼猜想所以被認為是當代數(shù)學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數(shù)學和物理結(jié)果都能在它成立的大前提下被證明。大部份數(shù)學家也相信黎曼猜想是正確的（約翰.恩瑟.李特爾伍德與賽爾伯格賽爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場。在1989年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數(shù)也應當成立。）克雷數(shù)學研究所設立了$1,000,000美元的獎金給予第一個得出正確證明的人。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼猜想證明歷史l黎曼1859年在

22、他的論文ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gre 中提及了這個著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道函數(shù)的不平凡零點對稱地分布在直線s = + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位于區(qū)域0 Re(s) 1中。l1896年，雅克雅克.阿達馬阿達馬和Charles Jean de la Valle-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對于不非凡零點已經(jīng)證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區(qū)域0 Re(s) 0，我們有，我們有 （(x)為素數(shù)計

23、數(shù)函數(shù)，為素數(shù)計數(shù)函數(shù)，ln(x)為為x 的自然對數(shù)，以及右手邊用上了大的自然對數(shù)，以及右手邊用上了大0符號）。符號）。一個由一個由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等價于。提出的非近似版本，表示黎曼猜想等價于。黎曼黎曼函數(shù)的零點與素數(shù)滿足一個稱為明確公式的對偶性，這表明了：在調(diào)和分析的意義下，黎曼函數(shù)的零點與素數(shù)滿足一個稱為明確公式的對偶性，這表明了：在調(diào)和分析的意義下，黎曼函數(shù)的零點可視函數(shù)的零點可視為素數(shù)分布的諧波。將黎曼為素數(shù)分布的諧波。將黎曼函數(shù)代為更一般的函數(shù)代為更一般的L-函數(shù)，此時仍有相應的猜想：整體函數(shù)，此時仍有相應的猜想：整體L-函數(shù)的非平凡零

24、點的實部必函數(shù)的非平凡零點的實部必等于。這被稱為廣義黎曼猜想。函數(shù)域上的廣義黎曼猜想已被證明，數(shù)域的情形仍懸而未決。等于。這被稱為廣義黎曼猜想。函數(shù)域上的廣義黎曼猜想已被證明，數(shù)域的情形仍懸而未決。 黎曼黎曼函數(shù)實部與虛部的數(shù)值函數(shù)實部與虛部的數(shù)值比較圖，也就是比較圖，也就是Re(s) vs. Im(s)，沿著臨界線，沿著臨界線s = it + 1/2，t 由由0到到34昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼除對幾何和復變函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對l9世紀初興起的完善微積分理論的杰出貢獻載入史冊。l18世紀末到l9世紀初，數(shù)學界開始關心數(shù)學最龐大的分支微積分在概念和證

25、明中表現(xiàn)出的不嚴密性。并對其進行論證。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 黎曼除對幾何和復函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對黎曼除對幾何和復函數(shù)方面的開拓性工作以外，還以其對l9世紀初興起的完善微積分理論的杰出貢世紀初興起的完善微積分理論的杰出貢獻載入史冊。獻載入史冊。 18世紀末到世紀末到l9世紀初，數(shù)學界開始關心數(shù)學最龐大的分支一微積分在概念和證明中的不嚴密性。波世紀初，數(shù)學界開始關心數(shù)學最龐大的分支一微積分在概念和證明中的不嚴密性。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克雷進而外爾斯特拉斯以全力投入到分析的密化工作中。黎曼由于在柏林爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克雷進而

26、外爾斯特拉斯以全力投入到分析的密化工作中。黎曼由于在柏林大學從師狄利克雷研究數(shù)學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見大學從師狄利克雷研究數(shù)學，且對柯西和阿貝爾的工作有深入的了解，因而對微積分理論有其獨到的見解。解。 1854年黎曼為取得哥丁根大學編外講師的資格，當面要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出年黎曼為取得哥丁根大學編外講師的資格，當面要他遞交一篇反映他學術水平的論文。他交出的是的是“關于利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性的關于利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性的”文章。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對完文章。這是一篇內(nèi)容豐富、思想深刻的杰作，對完善分析

27、理論產(chǎn)生深遠的影響?？挛髟C明連續(xù)函數(shù)必定是可積的。黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。善分析理論產(chǎn)生深遠的影響?？挛髟C明連續(xù)函數(shù)必定是可積的。黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。關于連續(xù)與可微性的關系上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數(shù)學家都相信，而且在后來關于連續(xù)與可微性的關系上，柯西和他那個時代的幾乎所有的數(shù)學家都相信，而且在后來50年中許多教年中許多教科書都科書都“證明證明”連續(xù)函數(shù)一定是可微的。黎曼給了一個連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微連續(xù)函數(shù)一定是可微的。黎曼給了一個連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關系。他建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分

28、存在的必要充分條件。的關系。他建立了如現(xiàn)在微積分教科書所講的黎曼積分的概念，給出了這種積分存在的必要充分條件。他用自己獨特的方法研究傅立葉級數(shù)，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克雷條件即關于三角級數(shù)收他用自己獨特的方法研究傅立葉級數(shù)，推廣了保證博里葉展開式成立的狄利克雷條件即關于三角級數(shù)收斂的黎曼條件，得出關于三角級數(shù)收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數(shù)的斂的黎曼條件，得出關于三角級數(shù)收斂、可積的一系列定理。他還證明：可以把任一條件收斂的級數(shù)的項適當重排，使新級數(shù)收斂于任何指定的和或者發(fā)散為項適當重排，使新級數(shù)收斂于任何指定的和或者發(fā)散為 無窮大或負無窮大無窮大或負無窮大

29、。3、微積分理論的創(chuàng)造性貢獻、微積分理論的創(chuàng)造性貢獻昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就哥丁根大學1850年回到哥丁根大學年回到哥丁根大學昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 l9世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利克雷開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導入。世紀數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利克雷開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導入。黎曼百創(chuàng)用復解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。黎曼百創(chuàng)用復解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀的成果。 1859年，黎曼發(fā)表了年，黎曼發(fā)表了“在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)”的論文。他將素數(shù)的

30、分布的問題歸結(jié)為的論文。他將素數(shù)的分布的問題歸結(jié)為函數(shù)的問題，函數(shù)的問題， 現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。黎曼證明了函數(shù)的一些重要性質(zhì)，并簡要地斷言了其它的性質(zhì)而未予證明。在他死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學家，盡了最大的努力想證明他的而未予證明。在他死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學家，盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支，如今，除了他的一這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支，如今，除了他的一個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決

31、。那個未解決的問題現(xiàn)稱為個斷言外，其余都按黎曼所期望的那樣得到了解決。那個未解決的問題現(xiàn)稱為“黎曼猜想黎曼猜想”。數(shù)。數(shù)論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù)淪理論的貢獻，也極論中很多問題的解決有賴于這個猜想的解決。黎曼的這一工作既是對解析數(shù)淪理論的貢獻，也極大地豐富了復函數(shù)論的內(nèi)容。大地豐富了復函數(shù)論的內(nèi)容。4、解析數(shù)論跨世紀的成果、解析數(shù)論跨世紀的成果昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓撲的零散結(jié)果，其中著名的如歐拉關于閉凸多面體的項點、在黎曼博士論文發(fā)表以前，已有一些組合拓撲的零散結(jié)果，其中

32、著名的如歐拉關于閉凸多面體的項點、棱、面數(shù)關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，棱、面數(shù)關系的歐拉定理。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，促使人們對組合拓撲學當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼促使人們對組合拓撲學當時被人們稱為位置幾何學或位置分析學的研究。但拓撲研究的最大推動力來自黎曼的復變函數(shù)論的工作。的復變函數(shù)論的工作。 黎曼在黎曼在1851年博士論文中以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里，都強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要年博士論文中以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里，都

33、強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。他利用橫剖線降低連通性的階。他按連通性把曲面分類。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，位置分析學的一些定理。他利用橫剖線降低連通性的階。他按連通性把曲面分類。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，黎曼審實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類，如果曲面是虧格黎曼審實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類，如果曲面是虧格P的，把它剪成單連通的曲面所需要的紐形剖線的個的，把它剪成單連通的曲面所需要的紐形剖線的個數(shù)就是數(shù)就是2p，并用，并用2P+1條就能把這曲面剪成兩片。黎曼面及阿貝爾積分的分類是組合拓撲學的早期最精彩的條就能把這曲面剪成兩片。黎曼面及阿貝爾積分的分類是組合拓撲學的早期最精彩的一頁，

34、有的學者認為他在復分析中的幾何方法是拓撲學的真正開始。值得提到的是，在其學位論文中，他說一頁，有的學者認為他在復分析中的幾何方法是拓撲學的真正開始。值得提到的是，在其學位論文中，他說到某些函數(shù)的全體組成到某些函數(shù)的全體組成(空間點的空間點的)連通閉區(qū)域是最早的泛函思想。比薩大學的數(shù)學教授貝蒂曾在意大利與黎連通閉區(qū)域是最早的泛函思想。比薩大學的數(shù)學教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會，黎曼由于病魔纏身曼相會，黎曼由于病魔纏身, 自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學的其他

35、領域作出杰出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學的其他領域作出杰出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。拓者。 5、組合拓撲的開拓者、組合拓撲的開拓者昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 19世紀后半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。世紀后半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。當時他們把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何，而后當時他們把代數(shù)不變量和雙有理變換的研究稱為代數(shù)幾何，而后20世紀代數(shù)幾何指的是后者。世紀代數(shù)幾何指

36、的是后者。 黎曼在黎曼在1857年的論文中認為所有能彼此雙有理變換的方程年的論文中認為所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面或曲面)屬于同一類，它們有相同的虧格屬于同一類，它們有相同的虧格P。然而，不同的類別可具有相同的然而，不同的類別可具有相同的P值值(因為歧點可以不同因為歧點可以不同)虧格為虧格為P的最普遍的類。當?shù)淖钇毡榈念?。當P0時，用時，用3P3個個(復復數(shù)數(shù))常數(shù)常數(shù)(方程中的系數(shù)方程中的系數(shù))去刻劃；當去刻劃；當Pl時，用一個常數(shù)刻劃；當時，用一個常數(shù)刻劃；當P0時，用零個常數(shù)去刻劃。在橢圓函時，用零個常數(shù)去刻劃。在橢圓函數(shù)的情況下，數(shù)的情況下，P1，于是有一個常量。對于三角函數(shù)，于

37、是有一個常量。對于三角函數(shù)P0，故沒有任何常量。黎曼把常量的個數(shù)叫做，故沒有任何常量。黎曼把常量的個數(shù)叫做“類模數(shù)類模數(shù)”，常量在雙有理變換下是不變量。，常量在雙有理變換下是不變量?！邦惸?shù)類模數(shù)”的概念是現(xiàn)在的概念是現(xiàn)在“參模參?！钡奶厥馇闆r。研究參模上的特殊情況。研究參模上的結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代最熱門的領域之一。著名的代數(shù)幾何學家克萊布什的結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代最熱門的領域之一。著名的代數(shù)幾何學家克萊布什(R.F.A.Clebsch1833.1.191872.11.7)后來到哥丁根大學擔任數(shù)學教授，進一步熟悉了黎曼的工作，并對黎曼的工作給予新的發(fā)展。雖然黎曼由后來到哥丁根大學擔任數(shù)學教授，進一步熟悉了黎曼的工作

38、，并對黎曼的工作給予新的發(fā)展。雖然黎曼由于年輕早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。于年輕早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。 6、代數(shù)幾何的開源貢獻、代數(shù)幾何的開源貢獻昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 黎曼不但對純數(shù)學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數(shù)學與物理世界的關系，他寫了關于熱、黎曼不但對純數(shù)學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數(shù)學與物理世界的關系，他寫了關于熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對沖擊波作數(shù)學處理的第一人。他企圖將引力與光光、磁、

39、氣體理論、流體力學及聲學方面的有關論文。他是對沖擊波作數(shù)學處理的第一人。他企圖將引力與光統(tǒng)一起來，并研究人耳的數(shù)學結(jié)構(gòu)。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列統(tǒng)一起來，并研究人耳的數(shù)學結(jié)構(gòu)。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一系列豐碩成果。豐碩成果。 黎曼在黎曼在1857年寫的一個沒有發(fā)表而后收集在其全集中的一個片斷中他處理了超幾何微分方程和討論帶代年寫的一個沒有發(fā)表而后收集在其全集中的一個片斷中他處理了超幾何微分方程和討論帶代數(shù)系數(shù)的數(shù)系數(shù)的n階線性微分方程。這是關于微分方程奇點理論的重要文獻。黎曼對復的階線性微分方程。這是關于微分方程奇點理

40、論的重要文獻。黎曼對復的x證明了：為得到有三個奇證明了：為得到有三個奇點的二階微分方程的特解在奇點附近的性態(tài)的一些結(jié)論，不必知道微分方程本身，而只需知道當自變量沿著圍點的二階微分方程的特解在奇點附近的性態(tài)的一些結(jié)論，不必知道微分方程本身，而只需知道當自變量沿著圍繞三個奇點的諸閉路變動時，兩個獨立解是怎樣變動的。他還考慮比有三個奇點的二階方程更為普遍的方程。繞三個奇點的諸閉路變動時，兩個獨立解是怎樣變動的。他還考慮比有三個奇點的二階方程更為普遍的方程。他假定有一個函數(shù)，除了在某些指定點他假定有一個函數(shù)，除了在某些指定點(奇點奇點)上之外，是一致、有限和連續(xù)的。然后他證明這種函數(shù)系要滿足上之外，是

41、一致、有限和連續(xù)的。然后他證明這種函數(shù)系要滿足一個一個n階線性微分方程，但是他沒有證明這些分枝點階線性微分方程，但是他沒有證明這些分枝點(奇點奇點)和這些替換可以任意選擇，留下一個稱做黎曼問題和這些替換可以任意選擇，留下一個稱做黎曼問題的未解決的問題。的未解決的問題。 l9世紀后半期許多數(shù)學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到世紀后半期許多數(shù)學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和年希爾伯特和Kellogg借借助當時已經(jīng)發(fā)展了的積分方程理論才第一次給出完全解。黎曼在常微分方程理論中的自守函數(shù)的研究上也有建助當時已經(jīng)發(fā)展了的積分方程理論才第一次給出完全解。黎

42、曼在常微分方程理論中的自守函數(shù)的研究上也有建樹，在他的樹，在他的1858一一1859年關于超幾何級數(shù)的講義和年關于超幾何級數(shù)的講義和1867年發(fā)表的關于極小正曲面的一篇遺著中他建立了為研年發(fā)表的關于極小正曲面的一篇遺著中他建立了為研究二階線性微分方程究二階線性微分方程 而引進的自守函數(shù)理論，即現(xiàn)在通稱的黎曼而引進的自守函數(shù)理論，即現(xiàn)在通稱的黎曼許瓦茲定理。在偏微分方程的理論和應許瓦茲定理。在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在用上，黎曼在1858年一年一1859年論文中，他創(chuàng)造的解波動方程初值問題的新方法簡化了許多物理問題的難度。年論文中，他創(chuàng)造的解波動方程初值問題的新方法簡化了許多物理問題的難度

43、。他推廣了格林定理。他對關于微分方程的解的存在性的狄里克雷原理作了杰出的工作，他推廣了格林定理。他對關于微分方程的解的存在性的狄里克雷原理作了杰出的工作，黎曼在物理學中使黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講的用的偏微分方程的講的數(shù)學物理的微分方程數(shù)學物理的微分方程編輯出版，這是一本歷史名著編輯出版，這是一本歷史名著 。7、在數(shù)學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果、在數(shù)學物理、微分方程等其他領域的豐碩成果 昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼生平經(jīng)歷生平經(jīng)歷l1826年，他出生于漢諾威王國（今德國）的小鎮(zhèn)布列斯倫茨（年，他出生于漢諾威王國（今德國）的小鎮(zhèn)布列斯倫茨（Breselenz

44、）。他的父親弗雷德里希）。他的父親弗雷德里希波恩波恩哈德哈德黎曼是當?shù)氐穆返聲翈?。他在六個孩子中排行第二。黎曼是當?shù)氐穆返聲翈?。他在六個孩子中排行第二。l1840年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活并進入中學學習。年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活并進入中學學習。l1842年祖母去世后，他搬到呂內(nèi)堡（年祖母去世后，他搬到呂內(nèi)堡（Lneburg）的約翰紐姆（）的約翰紐姆（Johanneum）。）。l1846年，按照父親的意愿，黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數(shù)學講座，包年，按照父親的意愿，黎曼進入哥廷根大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數(shù)學講座，包括高斯關于最小二乘法的講座。在

45、得到父親的允許后，他改學數(shù)學。括高斯關于最小二乘法的講座。在得到父親的允許后，他改學數(shù)學。l1847年春，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和年春，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門下。兩年后他回到哥廷根。門下。兩年后他回到哥廷根。 哥廷根大學哥廷根大學柏林大學柏林大學昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼生平經(jīng)歷生平經(jīng)歷l1854年他初次登臺作了題為年他初次登臺作了題為“論作為幾何基礎的假設論作為幾何基礎的假設”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學基礎。提供了數(shù)學基礎。l1857年升為

46、哥廷根大學的編外教授；年升為哥廷根大學的編外教授；l1859年狄利克雷去世后成為正教授。年狄利克雷去世后成為正教授。l1862年，他與愛麗絲年，他與愛麗絲科赫（科赫（Elise Koch）結(jié)婚。）結(jié)婚。 l1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺結(jié)核在塞拉斯卡（年，他在第三次去意大利的的途中因肺結(jié)核在塞拉斯卡（Selasca）去世。）去世。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼主要貢獻主要貢獻l他對他對數(shù)學分析數(shù)學分析和和微分幾何微分幾何做出了重要貢獻，對做出了重要貢獻，對微分方程微分方程也有很大貢獻。也有很大貢獻。l他引入三角級數(shù)理論，從而指出積分論的方向，并奠定了近代他引入三

47、角級數(shù)理論，從而指出積分論的方向，并奠定了近代解析數(shù)論解析數(shù)論的基礎，提出一系列的基礎，提出一系列問題；他最初引入問題；他最初引入黎曼曲面黎曼曲面這一概念，對近代這一概念，對近代拓撲學拓撲學影響很大；在代數(shù)函數(shù)論方面，如黎曼影響很大；在代數(shù)函數(shù)論方面，如黎曼-諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之后建立黎曼幾何學。諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之后建立黎曼幾何學。l他的名字出現(xiàn)在黎曼他的名字出現(xiàn)在黎曼函數(shù)，函數(shù)，黎曼積分黎曼積分，黎曼引理黎曼引理，黎曼流形黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯希爾伯特問題，特問題，柯西柯西-黎曼方程黎曼方程，黎曼思路回環(huán)矩陣中。

48、，黎曼思路回環(huán)矩陣中。昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼生平l1826年，他出生于漢諾威王國（今德國）的小鎮(zhèn)布列斯倫茨（Breselenz）。他的父親弗雷德里希波恩哈德黎曼是當?shù)氐穆返聲翈?。他在六個孩子中排行第二。l 1840年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活并進入中學學習。l1842年祖母去世后，他搬到呂內(nèi)堡的約翰紐姆。1846年，按照父親的意愿，黎曼進入哥根廷大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數(shù)學講座，包括高斯的最小二乘法的講座。在得到父親的允許后，他改學數(shù)學。l 1847年春，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門下。兩年后他回到哥廷根。l 185

49、4年他初次登臺作了題為“論作為幾何基礎的假設”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論提供了數(shù)學基礎。他在1857年升為哥廷根大學的編外教授，并在1859年狄利克雷去世后成為正教授。l1862年，他與愛麗絲科赫（Elise Koch）結(jié)婚。 l1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺結(jié)核在塞拉斯卡（Selasca）去世 。 昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼在1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學的一些定理。按現(xiàn)代拓撲學術語來說，黎曼事實上已經(jīng)對閉曲面按虧格分類。值得提到的是，在其學位論文中，他說到

50、某些函數(shù)的全體組成(空間點的)連通閉區(qū)域的思想是最早的泛函思想。l比薩大學的數(shù)學教授貝蒂曾在意大利與黎曼相會，黎曼由于當時病魔纏身，自身已無能力繼續(xù)發(fā)展其思想，把方法傳授給了貝蒂。貝蒂把黎曼面的拓撲分類推廣到高維圖形的連通性，并在拓撲學的其他領域作出杰出的貢獻。黎曼是當之無愧的組合拓撲的先期開拓者。 歷史上的七橋問題昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲面)屬于同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數(shù)叫做“類模數(shù)”，常量在雙有理變換下是不變量?！邦惸?shù)”的概念是現(xiàn)在“參?！钡奶厥馇闆r，研究參模上的結(jié)構(gòu)是現(xiàn)代最熱門的領域之一。l著名的代數(shù)幾何學家克萊布什后來到哥廷根大學擔任數(shù)學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，并對黎曼的工作給予新的發(fā)展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。幾何草稿昆明學院數(shù)學系數(shù)數(shù) 學學 百百 家家 波恩哈德黎曼人物評價黎曼是數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一，在他的諸多思想成果中，他親手創(chuàng)造出來的黎曼幾何，也就是黎曼是數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一，在他的