數(shù)學人教B版選修22第1章111函數(shù)的平均變化率

1、中國人民大學附屬中學中國人民大學附屬中學1.1.1 函數(shù)的平均變化率函數(shù)的平均變化率微積分主要與四類問題的處理相關微積分主要與四類問題的處理相關:一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的求物體在任意時刻的速度速度與與加速度加速度等等;二、求二、求曲線的切線曲線的切線;三、求已知函數(shù)的三、求已知函數(shù)的最大值與最小值最大值與最小值;四、求四、求長度、面積、體積和重心長度、面積、體積和重心等。等。 導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐柡瘮?shù)增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最

2、有效的工具。題最一般、最有效的工具。例子例子 : 假設下圖是一座山的剖面示意圖，并在假設下圖是一座山的剖面示意圖，并在上面建立平面直角坐標系。上面建立平面直角坐標系。a是出發(fā)點，是出發(fā)點，h是山頂。爬山路線用函數(shù)是山頂。爬山路線用函數(shù)y=f(x)表示。表示。h 自變量自變量x表示某旅游者的水平位置，函表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值數(shù)值y=f(x)表示此時旅游者所在的高度。表示此時旅游者所在的高度。想想看，如何用數(shù)量表示此旅游者登山路想想看，如何用數(shù)量表示此旅游者登山路線的平緩及陡峭程度呢？線的平緩及陡峭程度呢？ 某旅游者從某旅游者從a點爬到點爬到b點，假設這段山路點，假設這段山路是平直的。設點

3、是平直的。設點a的坐標為的坐標為(x0，y0)，點，點b的的坐標為坐標為(x1，y1)，自變量，自變量x的改變量為的改變量為x1x0，記作記作x，函數(shù)值的改變量為，函數(shù)值的改變量為y1y0，記作，記作y，即，即x=x1x0，y=y1y0， 假設向量假設向量 對對x軸的傾斜角為軸的傾斜角為，直線，直線ab的斜率為的斜率為k，容易看出，容易看出 于是此人從點于是此人從點a爬到點爬到點b的位移可以用的位移可以用向量向量 來表示，來表示，(, )abxy ab 1010tanyyykxxx 顯然，顯然，“線段線段”所在直線的斜率的絕所在直線的斜率的絕對值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位對值越大，山坡越

4、陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比移與水平位移之比 的絕對值越大，山的絕對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。坡越陡；反之，山坡越平緩。yx 現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？程度呢？ 一個很自然的想法是將彎曲的山路分一個很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的。例如，山坡的。例如，山坡de可近似的看作線段可近似的看作線段de，再用對平直山坡再用對平直山坡ab分析的方法，得到此分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近

5、似地刻畫。段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻畫。 11()()kkkkf xf xyxxx 注意各小段的注意各小段的 是不盡相同的。但不是不盡相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均變化都可管是哪一小段山坡，高度的平均變化都可以用起點、終點的縱坐標之差與橫坐標之以用起點、終點的縱坐標之差與橫坐標之差的比值差的比值 來度量。來度量。由此我們引出由此我們引出函數(shù)平均變化率函數(shù)平均變化率的概念。的概念。 yx11()()kkkkf xf xyxxx平均變化率的概念：平均變化率的概念： 一般地，已知函數(shù)一般地，已知函數(shù)y=f(x)，x0，x1是其定是其定義域內(nèi)不同的兩點，記義域內(nèi)不同的兩點，記x=x1

6、x0，y=y1y0=f(x1)f(x0)=f(x0+x)f(x0). 則當則當x0時，商時，商稱作函數(shù)稱作函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間x0，x0+x(或或x0+x，x0)的平均變化率。的平均變化率。00()()f xxf xyxx進一步理解：進一步理解：1.式子中式子中x 、y的值可正、可負，但的值可正、可負，但的的x值不能為值不能為0， y 的值可以為的值可以為0；2.若函數(shù)若函數(shù)f (x)為常函數(shù)時，為常函數(shù)時， y=0； 3. 變式變式:211121()()()()f xf xf xxf xxxx例例1求函數(shù)求函數(shù)y=x2在區(qū)間在區(qū)間x0，x0+x (或或x0+x，x0)的平均變化率。的

7、平均變化率。解：函數(shù)解：函數(shù)y=x2在區(qū)間在區(qū)間x0，x0+x (或或x0+x，x0)的平均變化率為的平均變化率為220000()()()f xxf xxxxxx02xx 由上式可以看出，當由上式可以看出，當x0取定值時，取定值時，x取不同的值，函數(shù)的平均變化率不同，當取不同的值，函數(shù)的平均變化率不同，當x取定值，取定值，x0取不同的值時，該函數(shù)的平取不同的值時，該函數(shù)的平均變化率也不一樣。均變化率也不一樣。 例如，例如，x0取正值，并不斷增大時，該函取正值，并不斷增大時，該函數(shù)的平均變化率也不斷地增大，曲線變得數(shù)的平均變化率也不斷地增大，曲線變得越來越陡峭。越來越陡峭。例例2求函數(shù)求函數(shù) 在

8、區(qū)間在區(qū)間x0，x0+x (或或x0+x，x0)的平均變化率的平均變化率(x00，且，且x0+x0).1yx解：函數(shù)解：函數(shù) 的平均變化率為的平均變化率為 1yx00000011()()1()f xxf xxxxxxxx x 例例3已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上的一的圖象上的一點點a(1, 2)及臨近一點及臨近一點b(1+x, 2+y), 則則 xy3x練習題練習題1.設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)，當自變量，當自變量x由由x0改變到改變到x0+x時，函數(shù)的改變量為（）時，函數(shù)的改變量為（） af(x0+x)b f(x0)+x cf(x0 ) x df(x0+x) f(x0)d 2. 一質(zhì)點運動的方程為一質(zhì)點運動的方程為s=12t2，則在一，則在一段時間段時間1，2內(nèi)的平均速度為（）內(nèi)的平均速度為（） a4 b8 c 6 d6c3. 將半徑為將半徑為r的球加熱，若球的半徑增加的球加熱，若球的半徑增加r，則球的表面積增加，則球的表