常微分方程33線性常系數(shù)齊次方程ppt課件

1、3.3線性齊次常系數(shù)方程 在上一節(jié)中我們討論了線性方程通解的在上一節(jié)中我們討論了線性方程通解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，但卻沒(méi)有給出求通解的具體方法出，結(jié)構(gòu)問(wèn)題，但卻沒(méi)有給出求通解的具體方法出，對(duì)一般的線性方程沒(méi)有普遍的解法，對(duì)一般的線性方程沒(méi)有普遍的解法，但對(duì)常系數(shù)線性方程及可化為這一類型的方程，但對(duì)常系數(shù)線性方程及可化為這一類型的方程，可以說(shuō)是徹底的解決了，本節(jié)將介紹求解常系數(shù)可以說(shuō)是徹底的解決了，本節(jié)將介紹求解常系數(shù)齊次方程通解的解法。齊次方程通解的解法。一一 復(fù)值函數(shù)復(fù)值函數(shù) 假如假如 和和是區(qū)間是區(qū)間(a,b)(a,b)上定義的上定義的)(t)(t稱稱為該區(qū)間上為該區(qū)間上(a,b)()()(titt

2、z實(shí)函數(shù)，實(shí)函數(shù)，的復(fù)值函數(shù)的復(fù)值函數(shù) . 1 1 連續(xù)連續(xù) 如果實(shí)函數(shù)如果實(shí)函數(shù) 和和在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上上)(t)(t就稱就稱在區(qū)間上在區(qū)間上(a,b)上連續(xù)上連續(xù).)(tz連續(xù)連續(xù),2 2 可微可微 如果實(shí)函數(shù)如果實(shí)函數(shù) 和和在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上上)(t)(t就稱就稱在區(qū)間上在區(qū)間上(a,b)上可微上可微.)(tz可微可微,且復(fù)值函數(shù)且復(fù)值函數(shù) )(tz的導(dǎo)數(shù)定義如下的導(dǎo)數(shù)定義如下: : dtdidtddtdzdttdzdttdzdttztzd)()()()(2121dttdzcdttczd)()(11dttdztztzdttdzdttztzd)()()()(

3、)()(212121性質(zhì)性質(zhì)1:性質(zhì)性質(zhì)2:性質(zhì)性質(zhì)3:那么有如下性質(zhì)那么有如下性質(zhì): :假設(shè)假設(shè))(1tz)(2tz和和可微可微,c為復(fù)值常數(shù)，為復(fù)值常數(shù)，! 4)(! 2)(1 42tt! 5)(! 3)(53tttititsincos 3 3 歐拉公式歐拉公式 1) 1) 復(fù)指函數(shù)與歐拉公式復(fù)指函數(shù)與歐拉公式titetisincos)(21costitieet)(21sintitieeit其中其中)(tie! 3)(! 2)(132titititittiteeee)(2) 2) 復(fù)指函數(shù)的性質(zhì)復(fù)指函數(shù)的性質(zhì)記記i表示表示i的共軛的共軛.性質(zhì)性質(zhì)1:ttee性質(zhì)性質(zhì)2:1212()ttte

4、ee性質(zhì)性質(zhì)3:()ttdeedt 4 4 復(fù)值解復(fù)值解 考慮方程考慮方程 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt其中其中( )ftatb ),2 , 1)(nitai及及是區(qū)間是區(qū)間 上的上的實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù).若有區(qū)間若有區(qū)間a,b上復(fù)值函數(shù)上復(fù)值函數(shù):)()()(tittzx為上述方程的復(fù)值解為上述方程的復(fù)值解. .滿足上述方程，滿足上述方程，)(tzx 則稱則稱定理定理3.123.12 如果方程如果方程1111( )( )( )0nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt中所有系數(shù)中所有系數(shù)),2 , 1)(nitai

5、都是實(shí)值函數(shù)都是實(shí)值函數(shù).而而是該方程的復(fù)值解是該方程的復(fù)值解, ,)()()(tittz以及以及那么那么 的實(shí)的實(shí)部部和虛部和虛部)(tz)(t)(t)(tz的的共軛共軛)(tz也都是該方程的解也都是該方程的解.(3.3.4)(3.3.4)證明：證明：由已知條件及由已知條件及 的性質(zhì)可得的性質(zhì)可得 xL0)()()()(tiLtLtitL由此得由此得0)()(tLtL所以所以 ， 都是方程都是方程3.3.4的解的解)(t)(t0 )(tzL)(tz即即 也是方程也是方程3.3.4的解的解.0)()(tLtL因?yàn)橐驗(yàn)?可得可得)()( )(tiLtLtzL又又1111( )( )( )0nnn

6、nnnd xdxdxa tata t xdtdtdt(3.3.4)(3.3.4)二二 常系數(shù)齊次線性方程常系數(shù)齊次線性方程 11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）（其中（其中 為常數(shù)為為常數(shù)為n n階常系數(shù)齊次線性方程階常系數(shù)齊次線性方程. .12,na aa 為求得該方程的通解，我們先利用為求得該方程的通解，我們先利用待定指數(shù)函數(shù)法求其基本解組待定指數(shù)函數(shù)法求其基本解組. . 一階常系數(shù)齊次線性微分方程一階常系數(shù)齊次線性微分方程xdtdx有通解有通解tcex因而，對(duì)方程因而，對(duì)方程3.3.53.3.5求指數(shù)函求指數(shù)函數(shù)形式的解數(shù)形式的解tex（3.

7、3.63.3.6）把把3.3.63.3.6代入方程代入方程3.3.53.3.5得得0)(12211tnnnnnteaaaaeL成為方程成為方程3.3.53.3.5解的充要條件為：解的充要條件為：te11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5） 方程方程3.3.73.3.7稱為方程稱為方程3.3.53.3.5的特征方程，的特征方程，它的根稱為方程它的根稱為方程3.3.53.3.5的特征根的特征根. .0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7）1 1 特征根為單根特征根為單根 設(shè)設(shè) 是是3.3.73.3.7的的n n個(gè)不相同根，個(gè)不相同根，

8、12,n 則對(duì)應(yīng)方程則對(duì)應(yīng)方程3.3.53.3.5有有n n個(gè)解個(gè)解12,nttteee（3.3.83.3.8）11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt（3.3.53.3.5）0)(12211nnnnnaaaaF（3.3.73.3.7） 這這n n個(gè)解在區(qū)間個(gè)解在區(qū)間a t ba t 1重實(shí)根重實(shí)根 k方程有方程有m m個(gè)解個(gè)解 1,kkktttmetete11110nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdtc) 對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)為對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)為1的共軛復(fù)根的共軛復(fù)根 cos,sinttet eti方程有方程有2 2個(gè)解：個(gè)解：d)d)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù) m 1m 1

9、的共軛復(fù)根的共軛復(fù)根 i第三步第三步 根據(jù)第二步寫(xiě)出基本解組和通解根據(jù)第二步寫(xiě)出基本解組和通解 解：特征方程解：特征方程 32340故特征根為故特征根為 11 2,32例例1 1：求：求3232340d xd xxdtdt的通解的通解. .其中其中11 2,32是單根，是單根，是二重根，是二重根，因此有解因此有解.,22tttteee方程通解為：方程通解為：.)(23221ttttececectx其中其中123,c c c為任意常數(shù)為任意常數(shù). .例例2 2：求：求的通解的通解. .044 xdtxd解：特征方程解：特征方程 014故特征根為故特征根為 ii4321, 1, 1上述兩實(shí)根和兩復(fù)

10、根均是單根，方程通解為：上述兩實(shí)根和兩復(fù)根均是單根，方程通解為：.sincos)(4321tctcecectxtt其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù). .4321,cccc例例3 3：求：求的通解的通解. .033223344dtdxdtxddtxddtxd解：特征方程解：特征方程 0) 1(333234故特征根為故特征根為 1, 021.)()(24321tetctccctx其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù). .4321,cccc方程通解為：方程通解為：其中其中是單根，是單根，是三重根，是三重根，0112例例 4 4：求：求 的通解的通解 424220d xd xxdtdt方程的四個(gè)實(shí)值解為：方程的四

11、個(gè)實(shí)值解為：cos , cos ,sin , sint ttt tt故通解為故通解為 解：特征方程解：特征方程 422221(1)0 特征根特征根 i2, 1是二重根是二重根. .1234( )()cos()sinx tcc ttcc tt其中其中為任意常數(shù)為任意常數(shù). .4321,cccc三三 某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法1 1 化為常系數(shù)法化為常系數(shù)法 歐拉方程歐拉方程 111110nnnnnnnnd xdxdxta taa xdtdtdt這里這里為常數(shù)為常數(shù). .),2, 1(niai令令 ute將歐拉方程化為常系數(shù)將歐拉方程化為常系數(shù) 齊次微分方程齊

12、次微分方程. .特點(diǎn)：特點(diǎn)：x的的k k 階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是t t 的的k k 次方的常數(shù)倍次方的常數(shù)倍. . 例例5 5 ：求：求 2220d xdxttxdtdt解：令解：令 ，那么，那么 , ,utelnut1.dxdx duxdtdu dtt du222221.()dxdd xdud xdxdtdtdudttdudu代入原方程得代入原方程得: : 2220d xdxxdudu方程的通解為方程的通解為: : 12()ux tcc u e為任意常數(shù)為任意常數(shù). . 12(ln)x tcct t故原方程的通解為：故原方程的通解為： 其中其中21,cc考慮二階變系數(shù)方程考慮二階變系數(shù)

13、方程 化為常系數(shù)方程化為常系數(shù)方程. .這里這里 a(t )a(t )是待定的函數(shù)是待定的函數(shù). .( )( )0 xp t xq t x（3.3.173.3.17）的系數(shù)的系數(shù) 和和 ( )p t( )q t滿足什么條件，可經(jīng)線性變換滿足什么條件，可經(jīng)線性變換 ( ) ( )xa t y t（3.3.183.3.18）( )2 ( )( ) ( )( )a t ya tp t a t ya t( ) ( )( ) ( )0p t a tq t a ty將將3.3.183.3.18代入代入3.3.173.3.17得得: :（3.3.193.3.19）211( )( )( )( )42I tq

14、tp tp t假如假如為常數(shù)為常數(shù),)(21()(dttpexpta 取取代入代入3.3.193.3.19整理得整理得 211 ( )( )( )042yq tp tp ty（3.3.203.3.20）解：解： 1( )p tt21( )14q tt 因?yàn)橐驗(yàn)?22111( )11442I tttt 故令故令 1 11exp()2xdt yytt例例6 6：求：求221()04t xtxtx的通解的通解 故原方程的通解為：故原方程的通解為： 12cossinttxcctt將原方程化為常系數(shù)方程：將原方程化為常系數(shù)方程：0yy12cossinyctct通解為：通解為： 2 2 降階法降階法對(duì)對(duì)n

15、 n階線性齊次微分方程階線性齊次微分方程0)()()1(1)(xtaxtaxnnn(3.3.22)(3.3.22)若能找到若能找到k k個(gè)線性無(wú)關(guān)解個(gè)線性無(wú)關(guān)解(k n),(k n),則可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q則可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q, ,使使n n階齊次方程降低階齊次方程降低k k階，階，化為化為n-kn-k階方程，且保持線性和齊次性階方程，且保持線性和齊次性設(shè)設(shè))(1txx 是齊次方程的一個(gè)非零解，是齊次方程的一個(gè)非零解，作線性變換作線性變換ytxx)(1代入代入(3.3.22)(3.3.22)，則可得：，則可得：0)()(1)1(1)(ytbytbynnn再令再令 uy 例例 7 7：求：求 的通解的通解 解：解： 方程有特