數(shù)學方法在物理中的應用

1、 20152015年物理教研組講座年物理教研組講座 數(shù)學知識在高中物理中的應用數(shù)學知識在高中物理中的應用 方法概述方法概述數(shù)學是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學方法可使一數(shù)學是解決物理問題的重要工具，借助數(shù)學方法可使一些復雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達到打通關卡、些復雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，能達到打通關卡、長驅直入地解決物理問題的目的中學物理長驅直入地解決物理問題的目的中學物理考試大綱考試大綱中中對學生應用數(shù)學方法解決物理問題的能力作出了明確的要對學生應用數(shù)學方法解決物理問題的能力作出了明確的要求，要求考生有求，要求考生有“應用數(shù)學處理物理問題應用數(shù)學處理物理問題”的能力對這一的

2、能力對這一能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮。能力的考查在歷年高考試題中也層出不窮。所謂數(shù)學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關系和過程所謂數(shù)學方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關系和過程用數(shù)學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對用數(shù)學語言表達出來，并進行推導、演算和分析，以形成對問題的判斷、解釋和預測可以說，任何物理問題的分析、問題的判斷、解釋和預測可以說，任何物理問題的分析、處理過程，都是數(shù)學方法的運用過程本專題中所指的數(shù)學處理過程，都是數(shù)學方法的運用過程本專題中所指的數(shù)學方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有極值法、幾何幾何法、圖象法

3、、數(shù)學歸納推理法、微元法、等差法、圖象法、數(shù)學歸納推理法、微元法、等差(比比)數(shù)列求和數(shù)列求和法等法等 一、極值法一、極值法數(shù)學中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值數(shù)學中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等判別式法等1利用三角函數(shù)求極值利用三角函數(shù)求極值ya cos b sin ( cos sin )令令sin ，cos 則有：則有：y (sin cos cos sin ) sin ()所以當所以當 時，時，y有最大值，且有最大值，且ymax 22ab 22aab 2

4、2bab 22aab 22bab 22ab 22ab 222ab 例例1：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為，物體重為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力勻速直線運動，所用的最小拉力F為多大？為多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，當物體受三力平衡時，將三力矢量首尾相連后，必定構成三角形，利用點到直線的垂直線段最短可求極值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF應用幾何圖形應用幾何圖形分析物理問題分析物理問題2利用二次函數(shù)求極值利用二次函數(shù)求極值二次函數(shù)

5、：二次函數(shù)：yax2bxca(x2 x )c a(x )2 (其中其中a、b、c為實常數(shù)為實常數(shù))，當當x 時，有極值時，有極值ym (若二次項系數(shù)若二次項系數(shù)a0，y有極小值；若有極小值；若a1，由三角函數(shù)的單調性可知，由三角函數(shù)的單調性可知所以所以i增大，增大，r增大，（增大，（i-r）也增）也增大，大，x 增大，故選增大，故選D。將將“數(shù)學數(shù)學”問題回歸問題回歸到到“物理物理”問題問題rridxcos)sin( 例例2：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動：物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為，物體重為，物體重為G，欲使物體沿水平地面做，欲使物體沿水平地面做勻

6、速直線運動，所用的最小拉力勻速直線運動，所用的最小拉力F為多大？為多大？ NFfmg矢量就是解析知何中的向量，當物體受三力平衡時，將三力矢量首尾相連后，必定構成三角形，利用點到直線的垂直線段最短可求極值。mgFtan= =sinminmgF2min1sinGGF應用幾何圖形應用幾何圖形分析物理問題分析物理問題例例15：(2009江蘇單科江蘇單科)15題如圖所示，兩平行的光滑金屬導題如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌間距為l、足夠長且電阻忽略、足夠長且電阻忽略不計，導軌平面的傾角為不計，導軌平面的傾角為，條形勻強磁場的寬度為，條形勻強磁

7、場的寬度為d，磁感應，磁感應強度大小為強度大小為B、方向與導軌平面垂直。長度為、方向與導軌平面垂直。長度為2d的絕緣桿將導的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成 “ ”型裝置，型裝置，總質量為總質量為m，置于導軌上。，置于導軌上。導體棒中通以大小恒為導體棒中通以大小恒為I的電流的電流（由（由外接恒流源產生，圖中未畫出）。線框的邊長為外接恒流源產生，圖中未畫出）。線框的邊長為d（d l），），電阻為電阻為R，下邊與磁場區(qū)域上邊界重合。，下邊與磁場區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區(qū)域下邊界處返回，體棒恰好運動到

8、磁場區(qū)域下邊界處返回，導體棒在整個運動過程導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直。重力加速度為中始終與導軌垂直。重力加速度為g。求：。求：（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱Q； （2）線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間）線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時間t1 ； （3）經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大）經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區(qū)域下邊界的最大距離距離m 。導體棒中通以大小恒為導體棒中通以大小恒為I的電流的電流將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區(qū)域下邊界處返回將裝置由靜止釋放，導體棒恰好運動到磁場區(qū)域下邊

9、界處返回V=0甲甲V1乙乙V=0丙丙212102sinmvBIlddmg乙到丙動能定理：乙到丙動能定理：tmRvdBgtmdIBmgv)sin(sin22dtv2甲到乙微元法：甲到乙微元法：mRdBgtvtmRvdBgv3211222sin)sin(求和求和sin2)sin2(2321mgRdBmgdBIldmt等量的同種電荷形成的電場的特點等量的同種電荷形成的電場的特點（以正電荷形成的場為例）（以正電荷形成的場為例）1.1.場強特點場強特點中點中點O O點處的場強點處的場強E Eo o: :0ABOEEE設兩點電荷設兩點電荷的帶電量均的帶電量均為為q q，間距為，間距為R R，向右為正，向右

10、為正方向方向兩點電荷連線上任意一點兩點電荷連線上任意一點P P處的場強處的場強E EP P: :22()ABAAPqqEEEkkrR r總結：在兩個等量正電荷的連線上，總結：在兩個等量正電荷的連線上，由由A A點向點向B B點方向，電場強度的大小先點方向，電場強度的大小先減后增，在減后增，在r rA A=R/2=R/2（即中點（即中點O O處）場強處）場強最小為零；場強的方向先向右再向左最小為零；場強的方向先向右再向左即除中點即除中點O O外，場強方向指向中點外，場強方向指向中點O O。兩點電荷連線的中垂線上任意一點兩點電荷連線的中垂線上任意一點Q Q處的場強處的場強E EQ Q: :2224

11、2sin2sin(2sin cos)()2cosABAQqkqEEEEkRR 解析方程可得：當解析方程可得：當=35.26=35.26 時出現(xiàn)場強最大值時出現(xiàn)場強最大值R42x總結：在兩個等量正電荷連線的中垂線上，由總結：在兩個等量正電荷連線的中垂線上，由O O點向點向N N（M M）點方向，電場強度的大小先增后減，）點方向，電場強度的大小先增后減，當當=35.26=35.26時出現(xiàn)場強最大值；時出現(xiàn)場強最大值；場強場強的方向的方向由由O O點指向點指向N N（M M）。）。29316maxRkqE結論：結論：在兩個等量負電荷的在兩個等量負電荷的連線上連線上，由，由A A點點向向B B點方向，

12、電場強度的大小點方向，電場強度的大小先減后增先減后增，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點中點O O處）場強最小為零處）場強最小為零；場強；場強的方向先向左再向右（除中點的方向先向左再向右（除中點O O外）。在其外）。在其連線的連線的中垂線上中垂線上，由，由O O點向點向N N（M M）點方向，）點方向，電場強度的大小電場強度的大小先增后減，當先增后減，當=35.26=35.26時出現(xiàn)場強最大值時出現(xiàn)場強最大值；場強的方向由；場強的方向由 N N（M M）指向指向O O點。點。等量的兩個負等量的兩個負電荷形成的場電荷形成的場外外推推EOx+Q+Q等量同種正電荷形成的電場等量同種正電荷

13、形成的電場兩電荷的連線和延長線上兩電荷的連線和延長線上E-x圖象圖象 yEO圖5 在中垂線上，隨距離增在中垂線上，隨距離增大，場強大小先增后減，場大，場強大小先增后減，場強方向相反；在兩電荷連線強方向相反；在兩電荷連線中點場強為零。中點場強為零。 E-Y圖象圖象 例題分析例題分析（2010江蘇物理江蘇物理5）空間有一沿）空間有一沿x軸對稱分布的電場，軸對稱分布的電場，其電場強度其電場強度E隨隨x變化的圖像如圖所示下列說法正確變化的圖像如圖所示下列說法正確的是的是（A）O點的電勢最低點的電勢最低（B）x2點的電勢最高點的電勢最高（C）x1和和x1兩點的電勢相等兩點的電勢相等（D）x1和和x3兩點

14、的電勢相等兩點的電勢相等【解析】由以上規(guī)律判斷可知等量正（負）點電荷或均勻帶正（負）電圓環(huán)的中垂線上符合題目所給的E-x圖像。由等量正點電荷中垂線上電勢的規(guī)律可知A錯，因為O點電勢可能最高；x2點的電勢不是最高，而是場強最大；x1和x3兩點的電勢不相等，可能x1高于x3，也可能相反；由對稱性可知C正確?！?0082008上海上海】如圖所示，在光滑絕緣如圖所示，在光滑絕緣水平面上，兩個帶等量正電的點電荷水平面上，兩個帶等量正電的點電荷M M、N N，分別固定在，分別固定在A A、B B兩點，兩點，O O為為ABAB連線的連線的中點，中點，CDCD為為ABAB的垂直平分線。在的垂直平分線。在COC

15、O之間之間的的F F點由靜止釋放一個帶負電的小球點由靜止釋放一個帶負電的小球P P（設不改變原來的電場分布），在以后的一段時間內，設不改變原來的電場分布），在以后的一段時間內，P P在在CDCD連線上做往復運動。若連線上做往復運動。若A.A.小球小球P P的帶電量緩慢減小，則它往復運動過程中振幅不的帶電量緩慢減小，則它往復運動過程中振幅不斷減小斷減小B.B.小球小球P P的帶電量緩慢減小，則它往復運動過程中每次經的帶電量緩慢減小，則它往復運動過程中每次經過過O O點時的速率不斷減小點時的速率不斷減小C.C.點電荷點電荷M M、N N的帶電量同時等量地緩慢增大，則小球的帶電量同時等量地緩慢增大，

16、則小球P P往往復運動過程中周期不斷減小復運動過程中周期不斷減小D.D.點電荷點電荷M M、N N的帶電量同時等量地緩慢增大，則小球的帶電量同時等量地緩慢增大，則小球P P往往復運動過程中振幅不斷減小復運動過程中振幅不斷減小等量的異種電荷形成的電場的特點等量的異種電荷形成的電場的特點1.1.場強特點場強特點中點中點O O點處的場強點處的場強E Eo o: :2282()2ABOqkqEEEkRR 設兩點電荷的帶電設兩點電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R，向右為正方向向右為正方向兩點電荷連線上任意一點兩點電荷連線上任意一點P P處的場強處的場強E EP P: :22()ABAAP

17、qqEEEkkrR r 總結：在兩個等量異種電荷的連線上，總結：在兩個等量異種電荷的連線上，由由A A點向點向B B點方向，電場強度的大小先減點方向，電場強度的大小先減小后增大，在小后增大，在r rA A=R/2=R/2（即中點（即中點O O處）場處）場強最??；場強的方向指向負電荷。強最??；場強的方向指向負電荷。32282cos2coscos()2cosABAQqkqEEEEkRR 總結：在兩個等量異種電荷的連線的中垂線上，由總結：在兩個等量異種電荷的連線的中垂線上，由O O點向點向N N（M M）點方向，電場強度的大小一直在減??；場強的方）點方向，電場強度的大小一直在減??；場強的方向平行于向

18、平行于ABAB連線指向負電荷一端。連線指向負電荷一端。兩點電荷連線的中垂線上任意一點兩點電荷連線的中垂線上任意一點Q Q處的場強處的場強E EQ Q: :等量異種電荷形成的電場等量異種電荷形成的電場-QQXE+QO 關于兩電荷連線的中點關于兩電荷連線的中點O對稱的對稱的 任意兩任意兩點，場強大小相等，方向相同，越靠近兩電點，場強大小相等，方向相同，越靠近兩電荷的地方電場強度越大；在兩電荷連線中，荷的地方電場強度越大；在兩電荷連線中，中點中點O 處場強最小，但不為零。處場強最小，但不為零。E-x圖象圖象 EOy圖圖2 在兩點電荷連線的中垂線上，場強方向在兩點電荷連線的中垂線上，場強方向處處相同，

19、關于處處相同，關于O 點對稱的任意兩點場強點對稱的任意兩點場強大小相等，大小相等，O 點場強最大點場強最大 E-y圖象圖象 2.2.電勢特點電勢特點中點中點O O點處的電勢點處的電勢o o: :40ABOkqR兩點電荷連線上任意一點兩點電荷連線上任意一點P P處的電勢處的電勢P P: :設兩點電荷的帶電設兩點電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R。()()ABAAAAPqqkqRkkrRrr Rr總結：在兩個總結：在兩個等量正等量正電荷的連線上，由電荷的連線上，由A A點點向向B B點方向，電勢先減后增，在點方向，電勢先減后增，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點中點O O處

20、）電勢最小，但電勢總為正。處）電勢最小，但電勢總為正。兩點電荷連線的中垂線上任意一點兩點電荷連線的中垂線上任意一點Q Q處的電勢處的電勢Q Q: :4cos202cosABQqkqkRR總結：在兩個總結：在兩個等量正等量正電荷的連線的中垂線電荷的連線的中垂線上，由上，由O O點向點向N N（M M）點方向，電勢一直減）點方向，電勢一直減小且大于零，即小且大于零，即O O點最大，點最大，N(M)N(M)點為零。點為零。等量的兩個負等量的兩個負電荷形成的場電荷形成的場外外推推結論：結論：在兩個等量負電荷在兩個等量負電荷連線上連線上，由，由A A點向點向B B點方向，電勢點方向，電勢先增后減先增后減

21、，在，在r rA A=R/2=R/2（即（即中點中點O O處）電勢最大但電勢總為處）電勢最大但電勢總為負負；在兩個點電荷的連線的；在兩個點電荷的連線的中垂線上中垂線上，由，由O O點向點向N N（M M）點）點方向，電勢方向，電勢一直增大且小于零一直增大且小于零，即，即O O點最小，點最小，N(M)N(M)點為零。點為零。2.2.電勢特點電勢特點中點中點O O點處的電勢點處的電勢o o: :022ABOqqkkRR（ ） （ ）設兩點電荷的帶電設兩點電荷的帶電量均為量均為q q，間距為，間距為R R。兩點電荷連線的中垂線上任意一點兩點電荷連線的中垂線上任意一點Q Q處的電勢處的電勢Q Q: :

22、02cos2cosABQqqkkRR總結：總結：等量異種等量異種電荷連線的中垂線上電荷連線的中垂線上任意一點電勢均為零即等量異種電荷任意一點電勢均為零即等量異種電荷的連線的中垂線（面）是零勢線（面）的連線的中垂線（面）是零勢線（面）兩點電荷連線上任意一點兩點電荷連線上任意一點P P處的電勢處的電勢P P: :()ABAAPqqkkrRr總結：在兩個等量異種電荷的連線上，總結：在兩個等量異種電荷的連線上，由由A A點向點向B B點方向，電勢一直在減小，在點方向，電勢一直在減小，在r rA A=R/2=R/2（即中點（即中點O O處）電勢為零，正電處）電勢為零，正電荷一側為正勢，荷一側為正勢，負電

23、荷一側為負勢負電荷一側為負勢。 等量同種正電荷形成的電場，若取無窮遠處電勢為零，電場中各點的電勢都大于零；關于兩電荷連線的中點O 對稱的任意兩點電勢相等，在兩電荷連線上，越接近中點，電勢越低，中點是連線上電勢的最低點，但不為零。在連線的延長線上，關于某電荷對稱的兩點電勢不相等，連線上的連線上的電勢高于延長線上的電勢（疊加）電勢高于延長線上的電勢（疊加）。若以兩電荷連線中點為坐標原點O，兩電荷連線所在線為 x軸，以縱軸為電勢，作出的x 圖象如圖6所示。xO+Q+Q圖6yO圖7 在兩電荷連線中垂線上，中點電勢最高，根據沿電場線方向電勢逐漸降低。若以電荷連線中點為坐標原點O，中垂線方向為橫軸y ?？v

24、軸為電勢 ，作出的 y圖象如圖7所示。 等量同種負電荷形成的電場與上述相反yO 關于正電荷對稱的兩點，根據等勢面圖，延長線上的電勢比連線上的電勢高，關于負電荷對稱的兩點，延長線上的電勢比連線上的電勢低。再根據正電荷周圍的電勢大于零，負電荷周圍的電勢小于零。以兩電荷連線中點為坐標原點O，連線所在線橫軸為x 軸，縱軸為電勢 ，建立直角坐標系。-x圖象。 Ox+Q-Q圖3（2011上海單科）14兩個等量異種點電荷位于x軸上，相對原點對稱分布，正確描述電勢 隨位置x變化規(guī)律的是圖【解析】電場線如下圖， 根據“沿電場線方向電勢降低”的原理，C、D是錯誤的；再根據正電荷周圍的電勢為正，負電荷周圍的電勢為負

25、，B也錯誤，A正確。所以本題選A。（2009江蘇物理江蘇物理8）空間某一靜電場的電勢 在X 軸上分布如圖所示，X軸上兩點B、C點電場強度在X方向上的分量分別是 、 ，下列說法中正確的有 A 的大小大于 的大小 B 的方向沿軸正方向 C電荷在0點受到的電場力在x方向上的分量最大 D負電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場力先做正功，后做負功【解析】本題的入手點在于如何判斷的大小，由圖象可知在x軸上各點的電場強度在x方向的分量不相同，如果在x方向上取極小的一段，可以把此段看做是勻強磁場，用勻強磁場的處理方法思考，從而得到結論，此方法為微元法微元法；需要對電場力的性質和能的性質由較為全面的理解。在B點和

26、C點附近分別取很小的一段d，由圖象，B點段對應的電勢差大于C點段對應的電勢差，(正點電荷電勢）ADBxECxEBxEBxECxE正正弦定理的應用正弦定理的應用 正弦定理：正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即 CcBAsinsinbsina例例1.（2008年四川延理綜考卷）年四川延理綜考卷）兩個可視為質點的小球a和b，用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖1所示。己知小球a和b的質量之比為 ，細桿長度是球面半徑的 倍。兩球處于平衡狀態(tài)時，細桿與水平面的夾角是 A450 B300 C22.50 D150圖12、利用導數(shù)求物理極值、利用導數(shù)求物理極值一般地，求函數(shù)一般地，求函數(shù) 極值的方法是：解方程極值的方法是：解方程 ，當，當 時時（1）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 則則 是極大值是極大值（2）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 則則 是極小值是極小值導數(shù)在物理中的應用例1 (利用三角函數(shù)求極值)如圖甲所示,