導數在經濟上的應用ppt課件

1、一、邊際分析 第三章 二、彈性分析3.6.1 常用的經濟函數常用的經濟函數3.6.1 常用的經濟函數常用的經濟函數( )QQ p需求函數:就是商品需求量與價格之間的函數關系。1. 需求函數需求函數常見的需求函數有以下幾種類型 (1) 線性需求函數 (0,0);QabpabdQdQabpop(2) 二次需求函數 2Qabpcp(0,0,0);abcdQop2dQabpcp(3) 指數需求函數 bpdQaedQop(0,0).bpQaeab一般來說，需求函數是價格的單調減少函數.( )SS p供給函數:就是商品供給量與價格之間的函數關系。需求函數的反函數 稱為價格函數。( )PP q2. 供給函數

2、供給函數常見的供給函數有以下幾種類型 (1) 線性供給函數 sQcdp sQop(2) 二次供給函數略） sQop( ,0)asQkpa k(3) 冪供給函數 (4) 指數供給函數 sQop( ,0)bpsQaea b一般來說，供給函數是價格的單調增加函數.( )QQ p需求函數( )SS p供給函數pQ均衡價格均衡量價格 p Qo供過于求供不于求3. 均衡點均衡點需求函數 2510p 供給函數 2005 ,Qp求均衡點。(,)(7,165)p Q解：由均衡條件QS得：2005 , p2510,Sp4. 成本函數成本函數FC(q)和變動成本(variable cost,VC(q).固定成本包括

3、設備的固定費用和其他管理費用；變動成本是隨銷售量或有形成本函數：一個企業(yè)的成本包括固定成本(fixed cost產量的變化而變化。總成本=固定成本+可變成本，即( )( )( ).C qFC qVC q平均成本函數( )( )C qC qq例例3.6.2 如果已知某產品的成本如果已知某產品的成本C是產量是產量q的線性函數，而的線性函數，而2000q 當時，9000C ；當4400q 時，12600C ，求出當5600q 時的成本是多少？解：設,Caqb那么90002000,126004400,abab解之得：1.50,6000,ab所以1.56000,Cq5600q 將代入上式，得( )141

4、00C q （元）實際上，6000是固定成本，1.5q是可變成本。( )R qqp即收益=價格售出量，即利潤函數：利潤是一個企業(yè)所追求的主要目標之一。利潤利潤L(q)是產量或銷售量的函數，利潤是產量或銷售量的函數，利潤=收益收益-本錢，本錢，( )( )( ).L qR qC q( )0L q 當時，生產者盈利；( )0L q 當時，生產者虧損；( )0L q 當時，生產者盈虧平衡；( )0L q 使的點，稱為盈虧平衡點又稱保本點）為100元，當年產量超過800臺，超過的部分只能以9折的價格出售，這樣可以多出售200臺。再多生產，將無法出售。試寫出本年的收益函數。解：解：( )R q,100q

5、),(800q90100800，若800q0,20090100800.1000q 若，若1000q800),(800q9080000,980000例例3.6.5 設某產品的價格函數是設某產品的價格函數是60(10000),1000qpq其中p為價格元），q為產品銷售量。又設產品的固定成本為6000元，變動成本為20元/件。求成本函數、收益解：解：( )206000;C qq成本函數為收益函數( )R qqp260(10000);1000qqq利潤函數( )( )( )L qR qC q2601000qq(206000)q24060001000qq 函數和利潤函數。1.最大利潤問題：最大利潤問題

6、： 3.6.2.最大值與最小值在經濟問題中的應用舉最大值與最小值在經濟問題中的應用舉例例215( )10,R qqq總成本函數為 解：利潤函數為解：利潤函數為( )( )( )L qR qC q215850qq502Cq, 求產量為多少時總利潤最大. ( )L q258q25( )L q ( )0L q令，20q 得這是L(q) 唯一的駐點25(20)0,L 0y所以當 q = 20 時總利潤最大.最大利潤：2158 20205030(20)L小結：一般地，當小結：一般地，當( )0L q時，即( )( )R qC q時，總利潤最大。200臺，市場調查指出，當價格降低10元時，一周的銷售量可增

7、加20臺。求出價格函數和銷售額函數, 商店要達到最大銷售額，應該把價格降低多少元 200臺，市場調查指出，當價格降低10元時，一周的銷售量解：設調價后每周能售出解：設調價后每周能售出x臺，臺，可增加20臺。求出價格函數和銷售額函數, 商店要達到最大200,x而每多銷售一臺，則價格降低11020元，說明若價格降低所以(450)P12450450 225銷售額，應該把價格降低多少元 則每周增加的銷售量為故價格函數為：10( )350(200)20P xx有唯一的極大值，即為最大值。1450,2x銷售額函數為：( )( )R xxP x21450,2xx求其最大值：( )0R x令，( )R x24

8、50,x450(x 得臺),( )10,R x 350225125()元，銷售額可達到最大。2.最小成本問題：最小成本問題： 2( )1004qCC q求 當產量為多少時，平均成本最小。解解: 平均成本：( )( )C qC qq1004qq21001( ),4C qq3200( )Cqq( )0,C q令20q 得（只取正值）0y0y(20)0,C20.q時平均成本最小1. 邊際函數：邊際函數： 設函數設函數()( )yf xxf xxxdyy( )yf x0limxyx稱為稱為f (x)在在 x 處的變化率。處的變化率。( )fx稱為稱為f (x)在在 平均變化率。平均變化率。( ,)x

9、xx( )dfxx( )fx所以，邊際函數近似等于所以，邊際函數近似等于( ).fx當當 自變量自變量 從從 x 處改變一個單位時，處改變一個單位時，y 相應的改變量稱相應的改變量稱為邊際函數。此時，為邊際函數。此時，實際上，經常省略實際上，經常省略“近似近似”。3.6.3 導數在經濟分析中的應用導數在經濟分析中的應用一一. 邊際分析邊際分析計劃生產 q 件產品后再多生產 1 件產品, 成本的實際改變是: (1)( )C qC q0()( )( )limqC qqC qC qq(1)( )1C qC q(1)( )C qC q即: 產品數量為 q 時， 邊際成本 增減一件產品時成本的實際改變

10、邊際成本: (或少)( )(1)C qC q(1)( )( )1C qC qC q( )(1)C qC q( )1000530C qqq求生產100件和225件產品時的邊際成本. 解解:( )C q1000530qq5 1302 q155q15(100)5100C6.5 (/)元 件15(225)5225C6 (/)元 件 經濟含義經濟含義: 當產量為當產量為 225 件時件時, 再增加再增加 1 件產品件產品, 總成本將總成本將增加增加 6 元左右。元左右。 經濟含義經濟含義: 當產量為當產量為100件時件時, 再增加再增加1件產品件產品,總成本將總成本將增加增加 6 .5元左右。元左右。R

11、p q總收益：總收益： 邊際收益函數：邊際收益函數：( )R q在銷售了 q 件產品后再多或少銷售 1 件產品, 收益的實際改變是: (1)( )R qR q邊際收益: ( )(1)R qR q(1)( )( )1R qR qR q( )(1)R qR q0()( )( )limqR qqR qR qq(1)( )1R qR q(1)( )R qR q含義含義: 產品數量為產品數量為 q 時，時， 邊際收益邊際收益 多多(或少或少)售一件產品時收益的增加售一件產品時收益的增加(或減少或減少)量量1005 ,qp其中 p 為單價, 求邊際收益函數及 q = 20,50,70 時的邊際收益，并解釋

12、所得結果的經濟意義。解：產品單價為解：產品單價為 15(100)pq總收益函數為( )R qq p15(100)qq邊際收益函數：15( )(1002 )R qq15(20)(100220)R 1215(50)(1002 50)R 08 215(100)qq15(70)(1002 70)R q = 20時, 再多售一件產品總收益將增加12個單位q = 50時, 再多售一件產品總收益不會增加q = 70時, 再多售一件產品總收益反而減少7個單位設 q 為商品售出量, ( )CC q總成本函數： 利潤函數：利潤函數：( )( )R qC q( )L q( )RR q總收益函數： L = 總收益 總

13、成本邊際利潤：邊際利潤：( )L q邊際利潤的含義邊際利潤的含義: 銷售量為銷售量為 q 時，時， 邊際利潤邊際利潤 再多售一件產品時利潤的增加量再多售一件產品時利潤的增加量(少售)(減少量)二二. 彈性分析彈性分析 定義定義3.6.1 設函數設函數()( )( )yf xxf xyf xxxxx( )yf x稱為稱為f (x)在在 x 處的彈性相對變化率）。處的彈性相對變化率）。1. 函數彈性的概念函數彈性的概念 邊際函數是指函數的絕對改變量與絕對變化率，而函數邊際函數是指函數的絕對改變量與絕對變化率，而函數的彈性是指相對改變量與相對變化率。的彈性是指相對改變量與相對變化率?？蓪?，稱為稱為f

14、 (x)在在 和和 之間的彈性之間的彈性(平均相對變化率平均相對變化率)。xxx0limyyxxx( )Ef xEx0limyyxxxEyEx0limxy xxy.xyy記為2. 需求彈性需求彈性設需求函數為設需求函數為P為產品的價格,( )P0limddQQPPP0limdPdQPPQ( ).( )fPPf P( ),dQf P當 很小時，有P故需求彈性 近似地表示當價格為P時，價格變動1%，需求量將近似地變動 %。所以需求彈性反映了需求量對價格變動反映的靈敏度。一般地，因為需求函數為單減函數，故需求彈性為負值。該函數在P點可導，則該產品在價格為P時的需求彈性：.PPQQdd例例3.6.11

15、 設某種商品的需求量設某種商品的需求量Q與價格與價格P的關系為的關系為(1)求需求彈性 ；( )( )fPPf P(2)當商品的價格為10元時，再提高1%，求商品需求量的變化情況。解解 (1)需求彈性為需求彈性為,)41(1600)(PPQ)(P)(PPPP)41(1600)41(1600(PPP)41(160041ln)41(1600P2ln2.39. 1P需求彈性為負，說明價格P提高1%時，需求量減少 %。(2)當價格為10元時，)10(1039. 19 .13說明當價格為10元時，價格提高1%時，需求量減少13.9 %.價格降低1%時，需求量增加13.9 %.3. 供給彈性：與需求彈性的

16、定義類似。供給彈性：與需求彈性的定義類似。設供給函數為設供給函數為P為產品的價格,( )P0limssQQPPP0limsPsQPPQ( ).( )PPP( ),sQP該函數在P點可為P時的供給彈性：所以供給彈性反映了供給量對價格變動反映的靈敏度。一般地，因為供給函數為單增函數，故供給彈性為正值。導，則該產品在價格當 很小時，有P故供給彈性 近似地表示當價格為P時，價格變動1%，供給量將近似地變動 %。.PPQQss4. 總收益彈性總收益彈性因為因為該函數對P求導，得QPR),(PfPR)()(PfPPf)()(1)(PfPfPPf)1)(PfEPERPPRRP0limPRRPP0limRRPRPfP)1)(RR)1 (1總收益彈性例例3.6.12 設某種商品的需求函數為設某種商品的需求函數為(1)求當P=4時的邊際需求，并說明其經濟意義。( )( )fPPf P解解 (1)當當P=4時的邊際需求為時的邊際需求為,75)(2PPQ)(P)4(說明當P=4時，價格提高1%時，需求量減少0.54 %.42)4(PPQ; 8說明當價格P=4時，價格提高1個單位，需求量減少8個(2)求當P=4時的需求彈性，并說明其經濟意義。2275)75(