微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、羅爾一、羅爾(Rolle(Rolle) )定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束一、一、羅爾羅爾(Rolle(Rolle) )定理定理1. .【費(fèi)瑪引理【費(fèi)瑪引理】?jī)?nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )( )( 00

2、 xUxxf )( 00有有，如果對(duì)如果對(duì)處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，并且在并且在xUxx )()( ( )()(00 xfxfxfxf 或或0)( 0 xf則則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束亦有亦有)()(00 xfxxf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x0)()(00 xxfxxf時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x0)()(00 xxfxxf由極限的由極限的保號(hào)性保號(hào)性及可導(dǎo)的充要條件立得及可導(dǎo)的充要條件立得0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx所以所以0)(0 xf證完證完【證【證】 )()( 0的情形的情形僅證僅證xfxf )

3、(0時(shí)時(shí)xUx 則則)( 00 xUxx 對(duì)于對(duì)于機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【幾何意義【幾何意義】x0 xyo)(xfy 水平切線水平切線若曲線在取得極大值若曲線在取得極大值（或極小值）的點(diǎn)處（或極小值）的點(diǎn)處具有切線，則該切線具有切線，則該切線必是水平的必是水平的. .【定義【定義】通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束例如例如32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)

4、3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf2. . 【羅爾羅爾（RolleRolle）定理）定理】 如果如果 f ( (x) )滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a , b）內(nèi)可導(dǎo)；）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f (a) = f (b)則則 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得 f ()=0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫?！疚锢斫忉尅疚锢斫忉尅孔兯僦本€運(yùn)動(dòng)在變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處折返點(diǎn)處, ,瞬時(shí)速瞬時(shí)速度等于零度等于零. .【幾何解

5、釋【幾何解釋】ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【證【證】.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf . 取得取得最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在即即 ,bax 有有Mfxf )()( 由費(fèi)瑪引理立得

6、由費(fèi)瑪引理立得. 0)( f證完證完機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【注意【注意】( (1) )羅爾定理的條件是充分的，不必要羅爾定理的條件是充分的，不必要. .反例反例1;2 , 2, xxy, ,)0(2 , 2的的一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( 2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能，但但在在區(qū)區(qū)間間( (2) )若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足, ,其結(jié)論可能成立，也可能不成立其結(jié)論可能成立，也可能不成立. .故若不滿足第（故若不滿足第（2）條：）條：xyo2 xy

7、2有不可導(dǎo)點(diǎn)有不可導(dǎo)點(diǎn)無水平切線無水平切線機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束;0, 01 , 0(,1)( xxxxy .1 , 0, xxy反例反例2不滿足第（不滿足第（1 1）條：）條：不滿足第（不滿足第（3 3）條：）條：xyo11)(xy 有不連續(xù)點(diǎn)有不連續(xù)點(diǎn)兩端點(diǎn)值不相等兩端點(diǎn)值不相等xyo11xy 反例反例3無水平切線無水平切線無水平切線無水平切線機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例【補(bǔ)例1】.1 0155的的正正實(shí)實(shí)根根于于有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小證證明明方方程程 xx【證【證】, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連

8、續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1 1的正實(shí)根的正實(shí)根. .,),1 , 0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使 ,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根【分析【分析】（1）有有 存在性存在性（2）僅一個(gè)僅一個(gè)唯一性唯一性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例

9、【補(bǔ)例2】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f ( (x)=()=(x 1)(1)(x 2)(2)(x 3), 3), 試判斷方試判斷方程程f x【解解】因?yàn)橐驗(yàn)?f( (1)=)=f( (2)=)=f( (3), ), 且且f ( (x) )在在 1, 2 上連續(xù)上連續(xù), ,在在( (1,2) )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , 由羅爾定理由羅爾定理, , 1 1 ( (1, 2),),使使 f ( ( 1 1; ;同理同理, , 2 ( , ), , 使使 f ( ( 2 ; ;又因又因f ( (x 是二次方程是二次方程, , 至多兩個(gè)實(shí)根至多兩個(gè)實(shí)根, ,故故f ( (x 有兩個(gè)實(shí)根有兩個(gè)實(shí)根, , 分別位于分別位于(

10、(1,2) ) 和和( (2,3) )內(nèi)內(nèi). .(1)(1)修改修改: :f ( (x)=()=(x 1)()(x 2)()(x 3)()(x 4), ), 結(jié)論如何結(jié)論如何? ?(2)修改修改: 不解方程不解方程, 問問 (x 2)(x 3)+(x 1)(x 3) +(x 1)(x 2)=0有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根, 分別在何區(qū)間分別在何區(qū)間?有幾個(gè)實(shí)根有幾個(gè)實(shí)根, 分別在何區(qū)間分別在何區(qū)間?機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束二、二、拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定中值定理理).()(bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件

11、中中).()()( fabafbf 結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成【注意【注意】如果如果 f ( (x) )滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a , b）內(nèi)可導(dǎo)；）內(nèi)可導(dǎo)；【拉氏定理【拉氏定理】則則 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得f(b) f(a)= f ()(ba)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM【幾何解釋【幾何解釋】.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧【分析【分析】).()( bfaf 條件中與羅爾定理

12、相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy , )(yABxf的的縱縱標(biāo)標(biāo)減減去去弦弦曲曲線線 ., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線在所得曲線在baFlash動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF , )(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式【注意【注意】

13、拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .【證【證】（要驗(yàn)證）（要驗(yàn)證）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在設(shè)設(shè)babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 在區(qū)間在區(qū)間 上上,00 xxx ),(00 xxx 顯有顯有10 xx xx 0 yf (x0) x增量增量y的的

14、近似近似表達(dá)式表達(dá)式0 xxx 0 x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf【推論【推論】【證【證】Ixx 21,21xx )()()(1212xxfxfxf )(21xx 由假定由假定0)( f)( )( 21xfxf )(常數(shù)常數(shù) xf證完證完在在 上應(yīng)用拉氏定理得上應(yīng)用拉氏定理得,21

15、xx由由 的任意性立知的任意性立知 21,xx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例【補(bǔ)例3】).11(2arccosarcsin xxx 證明證明【證明【證明】1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx推論的應(yīng)用推論的應(yīng)用證明函數(shù)為常函數(shù)證明函數(shù)為常函數(shù))1 , 1(0 x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束拉氏定理拉氏定理應(yīng)用應(yīng)用證明不等式證明不等式【例【例3】.)1

16、ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)【分析【分析】據(jù)拉氏定理據(jù)拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由由 的范圍，確定的范圍，確定 的范圍的范圍 )( f 從而得到從而得到 的范圍，變形可的范圍，變形可得所求不等式得所求不等式 . . abafbf )()(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【證【證】),1ln()(xxf 觀察可設(shè)觀察可設(shè), , 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11x

17、xxx .)1ln(1xxxx 即即例例3變形為：變形為：10)01ln()1ln(11 xxx【注【注】教材教材P132習(xí)題第習(xí)題第9、10、11題均屬此類型題均屬此類型. .（要驗(yàn)證）（要驗(yàn)證）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束三、三、柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理【柯西（【柯西（Cauchy）中值定理）中值定理】 如果如果 f ( (x) )及及F( (x) )滿足滿足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（）在開區(qū)間（a , b）內(nèi)可導(dǎo)；）內(nèi)可導(dǎo)；則則 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得（3）對(duì)任一）對(duì)

18、任一x(a , b),F (x)0)()()()()()( FfaFbFafbf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【幾何解釋【幾何解釋】)(1 F)(2 FXOY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM. )(),(ABfFC處的切線平行于弦處的切線平行于弦點(diǎn)點(diǎn) 【證【證】作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , )(件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條x )(af)(bf xxFxfdXdY)()(切線斜率切線斜率弦弦AB斜率斜率)()()()(aFbFafbf 曲線曲線 )()(為參數(shù)為參數(shù)

19、xxfYxFX 即即（要驗(yàn)證）（要驗(yàn)證）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf證完證完【注意【注意】即為拉氏中值定理即為拉氏中值定理機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)【例【例4】【證【證】【分析【分析】