版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反常積分 (廣義積分)反常積分 第五五章 一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分引例引例. 曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積21xy A1可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1. 設(shè), ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限反常積分反常積分, 記作xxf
2、xxfbabad)(limd)(這時(shí)稱反常積分xxfad)(收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 , ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分第一類反常積分. ,并非不定型 ,說(shuō)明說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 它表明該反常積分發(fā)散 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號(hào)
3、; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xoy211xy思考思考: ?01d2對(duì)嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對(duì)反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例例2. 證明第一類 p 積分apxxd證證:當(dāng) p =1 時(shí)有 a
4、xxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 計(jì)算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、無(wú)界函數(shù)的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02x
5、y10A1xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義2. 設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時(shí)稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作則定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則稱此極限為函 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 說(shuō)明說(shuō)明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacba
6、xf而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分第二類反常積分, 無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .例如,xxxd11112xxd) 1(11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 間斷點(diǎn),而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義注意注意: 若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都
7、為瑕點(diǎn), 則, ),(bac則xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂例例4. 計(jì)算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 討論反常積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散 .例例6. 證明反常積分baqaxx)(d證證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baa
8、xxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.解解:,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與的無(wú)窮間斷點(diǎn), 故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arcta
9、nxf232222732arctan222732arctan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx)令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)
10、動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分. (3) 有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分. 其定義為baxxfd)(v.p.),(bcac為瑕點(diǎn)xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP256 題 1 (1) , (2) , (7) , (8) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxfxxfbccad)(d)(lim0常積分收斂 .注意注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習(xí)思考與練習(xí)P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提示提示: P256 題22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1時(shí)當(dāng)k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .作業(yè)作業(yè)備用題備用題 試證xxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 水上飼料運(yùn)輸協(xié)議
- 烘焙店裝修合同樣本
- 旅游景區(qū)裝修中止協(xié)議
- 籃球場(chǎng)全包裝修合同
- 家居裝修終身保障合同樣本
- 期中測(cè)試卷(1-4單元)(試題)-2024-2025學(xué)年六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教版
- 高速服務(wù)區(qū)裝修合同樣本
- 藥品批發(fā)配送承攬協(xié)議
- 飲料整車配送協(xié)議
- 電力電纜運(yùn)輸承攬合同模板
- 華為認(rèn)證智能協(xié)作中級(jí)HCIP-CollaborationH11-861考試題及答案
- 電站安全操作規(guī)程
- 老年人多重用藥評(píng)估與管理中國(guó)專家共識(shí)(2024版)解讀課件
- 2020-2024年高考地理復(fù)習(xí)試題分類匯編:地球上的水(北京專用)(解析版)
- -企業(yè)償債能力分析-以小米有限公司為例
- 2024-2030年中國(guó)合成革行業(yè)發(fā)展分析及發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)與投資風(fēng)險(xiǎn)研究報(bào)告
- 贛美版-美術(shù)-初二-八年級(jí)-上冊(cè)-全冊(cè)課件-江西美術(shù)出版社
- 公務(wù)車定點(diǎn)輛維修 投標(biāo)方案(技術(shù)方案)
- 2024-2030年中國(guó)鎂合金行業(yè)市場(chǎng)深度調(diào)研及發(fā)展趨勢(shì)與投資前景預(yù)測(cè)研究報(bào)告
- 工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)采集技術(shù) 課件 項(xiàng)目3 工業(yè)數(shù)據(jù)傳輸與處理
- 九年級(jí)歷史上冊(cè) 第一至四單元 單元測(cè)試卷(人教版 2024年秋)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論