一元二次方程應(yīng)用題 (2)

1、21.3實際問題與一元二次方程實際問題與一元二次方程（第（第3課時）課時）九年級上冊九年級上冊例例1 1如圖，如圖，一塊長和寬分別為一塊長和寬分別為60厘米和厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為槽，使它的底面積為800平方厘米平方厘米.求截去正求截去正方形的邊長。方形的邊長。 例題例題例1如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長。

2、 x解：設(shè)截去正方形的邊長 厘米，則圖中虛線部分長等于_厘米，寬等于_厘米60-240-2800 xx 依題意得：1210, 40 xx解得：240, 1 , . 0 xx不合題意 應(yīng)舍去經(jīng)檢驗答：截去正方形的邊長為10厘米。 60 2x40-2x例例1 在長方形鋼片上沖去一個在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長長方形框。已知長方形鋼片的長為為30cm，寬為，寬為20cm,要使制成的要使制成的長方形框的面積為長方形框的面積為400cm2，求這，求這個長方形框的框邊寬。個長方形框的框邊寬。 XX30cm20cm解解:設(shè)長方形框

3、的邊寬為設(shè)長方形框的邊寬為xcm,依題意依題意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20, x2=5當(dāng)當(dāng)=20時時,20-2x= -20(舍去舍去);當(dāng)當(dāng)x=5時時,20-2x=10答答:這個長方形框的框邊寬為這個長方形框的框邊寬為5cm1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知問題問題1要設(shè)計一本書的封面要設(shè)計一本書的封面，封面長封面長 27 cm，寬寬 21 cm，正中央是一個矩形正中央是一個矩形，如果要使四周的如果要使四周的彩色彩色邊襯所占邊襯所占面積是封面面積的四分之一面積是封面面積的四分之一，上、下上、下、左、右邊襯等寬左、右邊襯等

4、寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度？2721還有其還有其他他方法列出方程嗎？方法列出方程嗎？方法一方法一1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知2721解：解：可設(shè)四周邊襯的寬度為可設(shè)四周邊襯的寬度為 x cm，則中央矩形的面，則中央矩形的面積可以表示為積可以表示為 （ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x（ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x2127212741方法二方法二1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知利用未知數(shù)表示邊長，通過面利用未知數(shù)表示邊長，通過面積之間的等量關(guān)系建立方程解決積之間的等量關(guān)系建立方程解決問問題題2721解：解：可設(shè)四周邊襯的寬度為可設(shè)四周

5、邊襯的寬度為 x cm，則中央矩形的面，則中央矩形的面積可以表示為積可以表示為 （ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x（ ）（ ）27 - 2x 21 - 2x2127432動腦思考，解決問題動腦思考，解決問題問題問題2 要設(shè)計一本書的封面，封面要設(shè)計一本書的封面，封面長長 27 cm，寬寬 21 cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使果要使四周的彩色邊襯所占面積四周的彩色邊襯所占面積是是封面面積封面面積的的四分之一四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬

6、度襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位） ？分析：分析：封面的長寬之比是封面的長寬之比是9 7，中央的矩形的長寬之比也，中央的矩形的長寬之比也應(yīng)是應(yīng)是 9 727219a7a設(shè)中央的矩形的長和寬分別設(shè)中央的矩形的長和寬分別是是 9a cm和和 7a cm，由此得上、下，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是邊襯與左、右邊襯的寬度之比是（ ）（ ）27 - 9a 21 - 7a = 9 7.2121整理得：整理得：16y 2 - 48y + 9 = 0解法一：解法一：設(shè)上、下邊襯的寬均為設(shè)上、下邊襯的寬均為 9y cm，左、右邊，左、右邊襯寬均為襯寬均為 7y cm，依題意得

7、，依題意得方程的哪個根合乎實際意義？為什么？方程的哪個根合乎實際意義？為什么？2動腦思考，解決問題動腦思考，解決問題解方程得解方程得4336y4336y4327549y4321427y1.8 cm，1.4 cm（ ） （ ）27 - 18y 21 - 14y212743解法二：解法二：設(shè)正中央的矩形兩邊分別為設(shè)正中央的矩形兩邊分別為 9x cm，7x cm，依題意得依題意得故故上、下邊襯上、下邊襯的寬度為：的寬度為：2動腦思考，解決問題動腦思考，解決問題21274379xx解得：，（不合題意，舍去）解得：，（不合題意，舍去） 2331x2332x左、右邊襯左、右邊襯的寬度為：的寬度為：2233

8、9272927x4327541.8 cm，（）22337212721x4321421.4 cm（）例例2 2：某校為了美化校園某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長準(zhǔn)備在一塊長32米米,寬寬20米的長方形場地上修筑若干條道路米的長方形場地上修筑若干條道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并請全校同學(xué)參與設(shè)計并請全校同學(xué)參與設(shè)計,現(xiàn)在現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計了一種方案有兩位學(xué)生各設(shè)計了一種方案(如圖如圖),根據(jù)兩根據(jù)兩種設(shè)計方案各列出方程種設(shè)計方案各列出方程,求圖中道路的寬分求圖中道路的寬分別是多少別是多少?使圖使圖(1),(2)的草坪的草坪面積面積為為540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1

9、):(1)如圖，設(shè)道路的寬為如圖，設(shè)道路的寬為x米，則米，則540)220)(232(xx化簡得，化簡得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去.圖圖(1)中道路的寬為中道路的寬為1米米.則橫向的路面面積為則橫向的路面面積為 ，分析：此題的相等關(guān)系分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面是矩形面積減去道路面積等于積等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如圖，設(shè)道路的寬為如圖，設(shè)道路的寬為x x米，米，32x 32x 米米2 2縱向的路面面積為縱向的路面面積為 。20 x 20 x 米米2 2注意：這兩

10、個面積的重疊部分是注意：這兩個面積的重疊部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？圖中的道路面積不是圖中的道路面積不是3220 xx米米2 2。(2)1.如圖，用長為如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃墻圍成矩形的苗圃.要圍成苗圃的面積為要圍成苗圃的面積為81m2,應(yīng)該應(yīng)該怎么設(shè)計怎么設(shè)計?解解:設(shè)苗圃的一邊長為設(shè)苗圃的一邊長為xm,則則81)18( xx化簡得，化簡得，081182xx0)9(2 x答答:應(yīng)圍成一個邊長為應(yīng)圍成一個邊長為9米的正方形米的正方形.921xx一、列方程解應(yīng)

11、用題的一般步驟是一、列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: :v1.1.審審: :審清題意審清題意: :已知什么已知什么, ,求什么求什么? ?已已, ,未知之間有什么關(guān)系未知之間有什么關(guān)系; ;v2.2.設(shè)設(shè): :設(shè)未知數(shù)設(shè)未知數(shù), ,語句要完整語句要完整, ,有單位的要注明單位有單位的要注明單位; ;v3.3.列列: :列代數(shù)式列代數(shù)式, ,列方程列方程; ;v4.4.解解: :解所列的方程解所列的方程; ;v5.5.驗驗: :是否是所列方程的解是否是所列方程的解; ;是否符合題意是否符合題意; ;v6.6.答答: :答案也必需是完整的語句答案也必需是完整的語句, ,注明單位注明單位. .二、列方程

12、解應(yīng)用題的二、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵關(guān)鍵是是: :v 找出相等關(guān)系找出相等關(guān)系. .回顧舊知回顧舊知一元二次方程及應(yīng)用題1、直角三角形問題：（勾股定理）2、體積不變性問題：3、數(shù)字問題：4、互贈禮物問題：5、增長率問題：10abab(1 )2nn 2(1)axb2(1)(1)aaxaxb(1)n n 例例1：某縣國民經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃要求，2013年的社會總產(chǎn)值要比2011年增長21%，求平均每年增長的百分率（提示：基數(shù)為2001年的社會總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增長增長21%aa+21%aa(1+x) 2

13、 =a+21%a分析：分析：例例1：某縣綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間，某縣綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間，綠地面積增加綠地面積增加44%，求平均每年增長的百，求平均每年增長的百分率分率 練習(xí)練習(xí)3.小紅的媽媽前年存了小紅的媽媽前年存了5000元一年期元一年期的定期儲蓄，的定期儲蓄，定定期期一年一年后后取出取出3000元，剩余元，剩余的錢繼續(xù)定期一年存入的錢繼續(xù)定期一年存入.如果每年的年利率如果每年的年利率不變，到期后不變，到期后取取出出2750元，元，.求這種儲蓄的求這種儲蓄的年利率年利率.問題問題: 某花圃用花盆培育某種花苗某花圃用花盆培育某種花苗,經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)

14、構(gòu)成一定的關(guān)系盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入每盆植入3株株時時,平均單株盈利平均單株盈利3元元;以同樣的栽培條件以同樣的栽培條件,若每盆增加若每盆增加1株株,平均單株盈利就減少平均單株盈利就減少0.5元元.要使每盆的盈利達到要使每盆的盈利達到10元元,每盆應(yīng)該植多少株每盆應(yīng)該植多少株?如果直接設(shè)每盆植如果直接設(shè)每盆植x株株,怎樣表示問題中相關(guān)的量怎樣表示問題中相關(guān)的量?解解:設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為x株株,則每盆花苗有則每盆花苗有_株株,平均單平均單株盈利為株盈利為_元元.相等關(guān)系相等關(guān)系:平均單株盈利平均單株盈利株數(shù)株數(shù)=10元元由題意由題意,得得(x+3)

15、(3-0.5x)=10解這個方程解這個方程,得得:x1=1, x2=2(x+3)(3-0.5x)如果設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為如果設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為x株呢？株呢？思考思考:這個問題設(shè)什么為這個問題設(shè)什么為x?有幾種設(shè)法有幾種設(shè)法?化簡，整理，得化簡，整理，得 x2-3x+2=0經(jīng)檢驗，經(jīng)檢驗，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合題意都是方程的解，且符合題意.答答:要使每盆的盈利達到要使每盆的盈利達到10元元,每盆應(yīng)植入每盆應(yīng)植入4株或株或5株株. 某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷某市場銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售售20件，每件贏利件，每件贏利40元。為了擴大銷售，增加贏元。為了擴大銷

16、售，增加贏利，盡快減少庫存，商場決定采取社黨降價措施利，盡快減少庫存，商場決定采取社黨降價措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫煤降價。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫煤降價1元，商場元，商場平均每天可多售出平均每天可多售出2件。件。 求（求（1）若商場平均每天要贏利）若商場平均每天要贏利1200元，每件襯元，每件襯衫應(yīng)降價多少元？衫應(yīng)降價多少元？ （2）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設(shè)計方）要使商場平均每天贏利最多，請你幫助設(shè)計方案。案。典型練習(xí)題1、一個兩位數(shù)個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)比原數(shù)大9，求：這個兩位數(shù)2、一件商品原價200元經(jīng)過兩次降價后162元，求：平均降

17、價的百分比3、某班同學(xué)在圣誕節(jié)期間互贈禮物182件，求：這個班級的人數(shù)4、某校進行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場，問：共有多少名同學(xué)參加5、 一名同學(xué)進行登山訓(xùn)練，上山速度為2千米/小時，下山速度為6千米/小時，求：往返一次的平均速度練習(xí)練習(xí)1：用一根長：用一根長22厘米的鐵絲，能否折厘米的鐵絲，能否折成一個面積是成一個面積是30厘米的矩形？能否折成一厘米的矩形？能否折成一個面積為個面積為32厘米的矩形？說明理由。厘米的矩形？說明理由。2：在一塊長：在一塊長80米，寬米，寬60米的運動場外米的運動場外圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條跑道的面積是跑道的面積是150

18、0平方米，求這條跑平方米，求這條跑道的寬度。道的寬度。 3. 如圖，在長為如圖，在長為40米，寬為米，寬為22米的矩米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為面積為760平方米，道路的寬應(yīng)為多少？平方米，道路的寬應(yīng)為多少？40米米22米米4、如圖，在寬為、如圖，在寬為20m，長為，長為32m的矩形耕地的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊試驗地，要使

19、試驗地面分成大小相等的六塊試驗地，要使試驗地面積為積為570m，問道路的寬為多少？，問道路的寬為多少？列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層 ?解解:要放要放x層層,則每一則每一層放層放(1+x) 支鉛筆支鉛筆.得得x (1+x) =1902 X X 3800解解得X119， X2 20(不合題意)答:要放要放19層層.2列一元二次方程解應(yīng)題補充補充練習(xí)：練習(xí)： 18米2米如圖，有一面積是如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一米），墻對面有一個個2米寬

20、的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長成，籬笆總長33米求雞場的長和寬各多少米求雞場的長和寬各多少米？米？例例1 在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,點點P從點從點A開始以開始以1cm/s的速度沿的速度沿AB邊向點邊向點B移動移動,點點Q從點從點B開始以開始以2cm/s的速度沿的速度沿BC邊向點邊向點C移動移動,如果如果P、Q分別從分別從A、B同時出同時出發(fā)，幾秒后發(fā)，幾秒后 PBQ的面積等于的面積等于8cm2？BACDQP解：設(shè)解：設(shè)x秒后秒后 PBQ的面積等于的面積等于8cm2根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得整理，得整理，得解這個方程，

21、得解這個方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的的面積等于面積等于8cm2例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,動點動點P從從A點出發(fā)點出發(fā),沿沿AB向向B移動移動,通過點通過點P引平行于引平行于BC,AC的直線與的直線與AC,BC分別分別交于交于R、Q.當(dāng)當(dāng)AP等于多少厘米時等于多少厘米時,平行平行四邊形四邊形PQCR的面積等于的面積等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：設(shè)AP=x，則PR=x，PB=8-x根據(jù)題意得：x 8-x整理得：解這個方程得：答：當(dāng)時，四邊形面積為16cm

22、例例3：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足為垂足為D,CD=2,P是是AB上的一動點上的一動點(不與不與A,B重重合合),且且AP=x,過點過點P作直線作直線l與與AB垂直垂直.i)設(shè)設(shè) ABC位于直線位于直線l左側(cè)部分的面積為左側(cè)部分的面積為S,寫出寫出S與與x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式;ii)當(dāng)當(dāng)x為何值時為何值時,直線直線l平分平分 ABC的面積的面積? lACDBP2210222333xSxxSx解：當(dāng)時，當(dāng)時，例例4：客輪沿折線：客輪沿折線A-B-C從從A出發(fā)經(jīng)出發(fā)經(jīng)B再到再到C勻速航行勻速航行,貨輪從貨輪從AC的中點的中點D出發(fā)沿某出發(fā)沿某一方向勻速直線航

23、行一方向勻速直線航行,將一批物品送達客將一批物品送達客輪輪,兩船若同時起航兩船若同時起航,并同時到達折線并同時到達折線A-B-C上的某點上的某點E處處,已知已知AB=BC=200海里海里, ABC=90,客輪速度是貨輪速度的客輪速度是貨輪速度的2倍倍. DCAB(1)選擇選擇:兩船相遇之處兩船相遇之處E點點( )A.在線段在線段AB上上;B.在線段在線段BC上上;C.可以在線段可以在線段AB上上,也可以在線段也可以在線段BC上上;ii)求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里少海里?(結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號)FDCBAE解：設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行解：設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了了x海里，過海里，過D作作D