泛函分析總結(jié)

1、泛函分析知識點(diǎn)小結(jié)及應(yīng)用第七章 度量空間 §1 度量空間的進(jìn)一步例子 一 度量空間的定義 設(shè)是任一非空集合，假設(shè)對于，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，且滿足1非負(fù)性：，=0;2. 對稱性：d(x,y)=d(y,x);3三角不等式：對，都有+， 那么稱(，)為度量空間，中的元素稱為點(diǎn)。 歐氏空間 對中任意兩點(diǎn)和，規(guī)定距離為 =. 空間 表示閉區(qū)間上實(shí)值(或復(fù)值)連續(xù)函數(shù)的全體.對中任意兩點(diǎn)，定義=. 空間 記=.設(shè)，定義 =. 二 度量空間的進(jìn)一步例子例1 序列空間令表示實(shí)數(shù)列(或復(fù)數(shù)列)的全體，對，令 =. 例2 有界函數(shù)空間設(shè)是一個給定的集合，令表示上有界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)的全體. ，

2、定義 =.例3 可測函數(shù)空間設(shè)為上實(shí)值(或復(fù)值)的可測函數(shù)的全體，為Lebesgue測度，假設(shè)，對任意兩個可測函數(shù)及，由于，故不等式左邊為上可積函數(shù). 令 =.§2 度量空間中的極限 設(shè)是中點(diǎn)列，假設(shè)，s.t. ()那么稱是收斂點(diǎn)列，是點(diǎn)列的極限.收斂點(diǎn)列的極限是唯一的. 假設(shè)設(shè)既牧斂于又收斂，那么因?yàn)?，而有 =0. 所以=. 注 ()式換一個表達(dá)方式：=. 即當(dāng)點(diǎn)列極限存在時，距離運(yùn)算與極限運(yùn)算可以換序. 更一般地有 距離是和的連續(xù)函數(shù). 證明 + -+; + -+. 所以|-|+ 具體空間中點(diǎn)列收斂的具體意義： 1. 歐氏空間 =，為中的點(diǎn)列，=， =. 對每個，有 . 2.

3、設(shè)，那么 = 在一致收斂于. 3. 序列空間 設(shè)=，及=分別是中的點(diǎn)列及點(diǎn)，那么 依坐標(biāo)收斂于. 4. 可測函數(shù)空間 設(shè)，那么因=，有 .§3 度量空間中的稠密集 可分空間 定義 設(shè)是度量空間，和是的兩個子集，令表示的閉包，假設(shè)，那么稱集在集中稠密，當(dāng)=時，稱為的一個稠密子集. 假設(shè)有一個可數(shù)的稠密子集，那么稱是可分空間.例1 維歐氏空間是可分空間. 事實(shí)上，坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體是的可數(shù)稠密子集. 例2 離散距離空間可分 是可數(shù)集. 例3 是不可分空間. §4 連續(xù)映照 定義 設(shè)=，=是兩個度量空間，是到中的映射：= =. ，假設(shè)0，0，s.t. 且，都有，那么稱在連續(xù)：

4、 定理 1 設(shè)是度量空間到度量空間中的映射：， 那么在連續(xù) 當(dāng)時，必有. 定理2 度量空間到中的映照是上的連續(xù)映射 任意開集，是中的開集. 定理 度量空間到中的映照是上的連續(xù)映照 任意閉集，是中的閉集.§5 柯西點(diǎn)列和完備度量空間定義 1 設(shè)=(，)是度量空間，是中的點(diǎn)列. 假設(shè)0,，s.t.當(dāng)時，有，那么稱是中的柯西點(diǎn)列或根本點(diǎn)列. 假設(shè)度量空間(，)中每個柯西點(diǎn)列都收斂，那么稱(，)是完備的度量空間.在一般空間中，柯西點(diǎn)列不一定收斂，如點(diǎn)列1, 1.4, 1,41, 在中收斂于，在有理數(shù)集中不收斂.但度量空間中每一個收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列. 定理1 完備度量空間的子空間是完備度量空

5、間 是中的閉子空間.常見例子：(1)收斂的實(shí)或復(fù)數(shù)列的全體是完備度量空間 (2) 是完備的度量空間(3) (實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體) 是不完備的度量空間§6 度量空間的完備化定義 1 設(shè)(,)，(,)是兩個度量空間，假設(shè)存在到上的保距映射(,，有(,)=(,)，那么稱(,)和(,)等距同構(gòu)，此時稱為到上的等距同構(gòu)映照。等距同構(gòu)映照是1-1映射. 因設(shè),，且，那么因(,)0及(,)=(,)0，知.定理1 (度量空間的完備化定理) 設(shè)=(,)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=(,)，使與的其個稠密子空間等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即假設(shè)(,)也是一完備度量空間，且與的其個稠密

6、子空間等距同構(gòu)，那么(,)與(,)等距同構(gòu).§7壓縮映照原理及其應(yīng)用定義 設(shè)是度量空間，是到中的壓映照，假設(shè)存在一個數(shù)：01，s.t. 、，成立 那么稱是到中的壓縮映照(簡稱壓縮映照). 定理1.(壓縮映射定理) 設(shè)是完備度量空間，是上的壓縮映照，那么有且只有一個不動點(diǎn)(即方程有且只有一個解).補(bǔ)充定義：假設(shè)TX=X,那么稱X是T的不動點(diǎn)，即X是T的不動點(diǎn)X是方程TX=X的解。定理2. 設(shè)函數(shù)在帶狀域，中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，假設(shè)存在常數(shù)和， 滿足 ，0， 那么方程 =0 在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解：0，.§8賦范線性空間和Banach空間線性空間+范數(shù)&#

7、222;線性賦范空間線性賦范空間+完備性Þ巴拿赫空間定義1 設(shè)X是任一非空集合，假設(shè)K是一個數(shù)域R或C，如果X對某種規(guī)定的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，且"x,y,zÎX, l,ÎmK, 滿足： 1) x+y=y+x 加法交換律2) (x+y)+z+x+(x+y) 加法結(jié)合律3) Îq$X, 使x+q=x 零元素存在性4) $xÎX,使x+x=q 逆元存在性5) l(mx)=mlx=m(lx) 數(shù)乘結(jié)合律6) 1x=x, 0x=q7) (l+m)x=lx+mx 元素對數(shù)的加法分配律8) l(x+y)=lx+ly 數(shù)對元素的加法分配律那么稱x+y為x與y的和，lx為數(shù)l與x的數(shù)乘 , 稱X為線性空間或向量空間 (實(shí)或復(fù))，X中的元素稱為向量。 定義 (范數(shù)，賦范線性空間) 設(shè)為是實(shí)或復(fù)數(shù)域的線性空間，假設(shè)對，存在一個實(shí)數(shù)于之對應(yīng)，且滿足以下條件：(1) ; 且； 非負(fù)性(2) ，； 正齊次性(3) ，； 三角不等式那么稱為的范數(shù)(norm)，稱或：為賦范線性空間 定義 完備的賦范線性空間稱為巴拿赫Banach空間。例子：，空間，維Euclidean空間，都是Banach空間。度量空間與賦范線性空間 區(qū)