課題注重解題反思開發(fā)解題智慧結題報告

1、“注重解題反思，開發(fā)解題智慧”的實踐研究 -結題報告【摘要】許多數(shù)學家、數(shù)學教育家都對數(shù)學解題過程做過深入探討，他們不約而同地把“評價與反思”作為解題過程的第四個階段。對于學生而言，在解題中出現(xiàn)的諸多問題或錯誤，往往并非缺少必要的知識，而是缺少必要的習慣和技能，而反思就能很好的解決這個難題。本課題以學生在解決數(shù)學問題時自我反思現(xiàn)狀的調查為依據(jù)，以喬治·波利亞的 “怎樣解題表”為依托，對數(shù)學解題反思內容和學生解題過程中反思意識培養(yǎng)的策略進行研究，以兩個班的學生為實踐研究對象，通過各項數(shù)據(jù)對比得出研究結論：通過反思意識的培養(yǎng)，能明顯改善學生的數(shù)學學習興趣，有效解決學生知識點易混淆的通病，

2、更快速有效的找準解題突破口，使用高效策略,放棄低效策略,促進知識的同化和遷移，開發(fā)解題智慧，提高思維能力，提升學生的應試能力；長期堅持下去，不僅能進一步培養(yǎng)學生的樂觀、勤奮、勇敢、鎮(zhèn)定等優(yōu)秀思維品質，同時可使學生思維的深刻性、批判性、廣闊性，靈活性和創(chuàng)新性得以鍛煉和提高，達到減負增效的目的。【關鍵詞】反思 規(guī)律 策略 自我提問單 習慣 學習成績 學習興趣一、問題的提出在不等式這一章中，由于恒成立問題處于比較重要的地位，我們設計了這樣兩個題：已知對恒成立，求實數(shù)的范圍。已知對恒成立，求實數(shù)的范圍。一個作為例題，一個作為課后訓練測試題。這兩題事實上是同一類型的問題，但訓練的結果卻讓人吃驚，有一半以

3、上的同學不會求解。對于這兩個幾乎是一模一樣的題，為什么會產(chǎn)生這種結果呢？調查表明，在中學階段，明確表示對數(shù)學感興趣，喜歡數(shù)學，并想以數(shù)學研究作為未來從事的職業(yè)的學生幾乎沒有。在教學過程中我碰到許多學生因急功近利，只顧埋頭完成作業(yè)或進行大量解題訓練，普遍缺少一個重要的環(huán)節(jié)-解題反思。而解題反思是提高解題能力的一個重要的環(huán)節(jié)，引導學生解題后反思，能促進學生的理解上升到一個更高的層次,促使他們從不同的角度，不同的層次，多方面地對問題進行反思,從而深化對問題的理解,揭示問題的本質,探索出問題的一般規(guī)律,得以優(yōu)化學生的思維品質,才能高質量的完成教學任務，學生也就能真正的擺脫題海。因此如何培養(yǎng)學生的解題反

4、思意識，教會他們如何反思與總結，待以探索與研究。二、課題研究的理論視角1國外：喬治·波利亞十分重視解題在數(shù)學學習中的作用，繪制出舉世聞名的“怎樣解題表”,被各國數(shù)學界奉為解題寶典。波利亞在怎樣解題表中給出解題過程的四個步驟：弄清過程擬定計劃實施計劃回顧。其中回顧就是指解題的反思。所謂反思，就是從一個新的角度，多層次，多角度地對問題及解決問題的思維過程進行全面的考察、分析和思考，從而深化對問題的理解，優(yōu)化思維過程，揭示問題的本質，探索一般規(guī)律，溝通知識間的相互聯(lián)系，促進知識的同化和遷移，并進而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。一個好的教師應該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何問題是可以解決得十全十美的，

5、總剩下些工作要做，經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。2國內：時紅軍、嚴曉鳳著運用波利亞“怎樣解題表”有效實施數(shù)學解題教學（原載中國數(shù)學教育高中版2008年第11期）指出：所謂解題后的反思是指在解決了數(shù)學問題后，通過對審題過程、解題思路、解題途徑、題目結論的反思來進一步暴露數(shù)學解題的思維過程，從而開發(fā)學習者的解題智慧，以達到事半功倍，提高中學生數(shù)學學科自我監(jiān)控能力的目的。教師可以在課堂小結，單元復習時，適時地對某種數(shù)學思想方法的關鍵點或要素進行概括、強化和揭示，對它的內容、規(guī)律、運用等有意識地適度點撥。三、研究目標與內容 (1)通

6、過對解題反思的研究，使教師與學生達成共識：對解題的真正學習是“解題反思”。解題的目的是為了積累解題經(jīng)驗，形成有效的解題策略與方法，從而在遇到新問題時，能準確找到解題突破口，快速、準確、清晰的形成解題思路，開發(fā)解題智慧，培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學思維品質，提高分析解決問題的能力。(2) 通過對解題反思的研究，更新數(shù)學解題傳統(tǒng)觀念，把握數(shù)學解題規(guī)律，提高數(shù)學教學質量，從而提高學生學習成績，減輕各方面對教學的壓力。(3)通過本課題的研究與實踐，使學生的個性與智慧得到充分地釋放。四、研究的方法與步驟：（一）研究方法：(1)個案研究法；(2)行動研究法；(3)調查法；(4)文獻研究法。（二）研究步驟、申報階段（201

7、0年4月2010年5月）：完成課題研究方案制定、申報工作，進行理論資料的準備、調查分析，收集整理資料，確定研究方法，制訂課題實施構思研究框架、執(zhí)行計劃，對方案進行論證。、研究階段（2010年6月2011年4月）實施課題計劃，課題開展研討活動，收集第一手資料，進行資料研究，數(shù)據(jù)處理、補充調查，專家咨詢， 、總結階段（2011年4月2010年6月）系統(tǒng)分析課題研究有關資料，形成課題總結報告，為推廣工作和開展進一步研究奠定基礎。五、研究的過程與策略(一)解決數(shù)學問題后自我反思現(xiàn)狀調查分析通過調查，發(fā)現(xiàn)大部分學生在解決問題后都不善于反思，其表現(xiàn)為：1許多學生因急功近利，只是把解決問題當作一種任務，只求

8、快速完成做了許多題，但是過一段時間，前面做過的題目全忘了，做了很多無用功。2對做過講評過的題印象很淺，許多思考多次的問題仍處于迷茫狀態(tài)，基礎知識、基本技能總感覺把握不住，夯不實，知識連貫不起來，學習了后面忘了前面，3他們普遍關注的是問題解決了沒有，而很少有人去關注解決問題的策略。4解決問題后，學生自覺檢查意識差。學生做作業(yè)老師批改天經(jīng)地義，至于檢查作業(yè)對錯那是老師的事情，似乎和他們沒有關系。5學生分析錯誤原因意識較差。教師講評或對過答案后，他們知道題目做錯時，并不思考錯在什么地方，為什么錯，而是把正確的解答照抄一遍。(二) 數(shù)學解題反思內容的研究-“解題反思”思什么1反思過程，查缺補漏，追求完

9、美，確保解題的合理性和正確性解數(shù)學題時，常由于審題不慎、概念不清、忽視隱含條件、套用相近知識、考慮不周或計算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，因此數(shù)學解題，并不能保證一次性準確和完善。學生解題錯誤類型，多不勝舉，有些明顯可見，有些較為隱蔽，可惜的是不少同學只滿足于完成任務，解完了事，不加以思考回顧，任其漏洞百出，由此產(chǎn)生大量學生自以為由粗心、不仔細造成的謬誤。如果學生有解題后反思的習慣，是不難發(fā)現(xiàn)并及時予以糾正的。因此要在平時多注意培養(yǎng)學生的錯誤警戒意識。提醒學生在解題之后，要對自已的解題過程進行有效的反思，確保解題的合理性和正確性。解題結束時，對解題的過程進行反思回顧，目的是審視自己在讀題、推

10、理、運算等方面是否存在明顯失誤，通過即時的糾正使解題過程盡善盡美。這是反思的初級階段。2反思方法、探究規(guī)律，使重要題型、方法的解題規(guī)律條理化，在解題中應用自如，減少解題思考時間對于容易題，大部分同學能很快抓住問題的本質，找到解題的思路和方法，但拿到一個較復雜的題目，思路會多次受阻，在尋找解題的思路和方法上花大量的時間，在考試時就表現(xiàn)為時間不足，倉促應對，造成成績不穩(wěn)定或下滑。事實上數(shù)學題型雖然千變萬化，但萬變不離其宗，大部分類型的題目有其固定的解題模式與思路，若在解題后能善于總結各類題型的基本解題思路，并應用于相近的題型中，能使解題少走彎路，大幅減少解題前的思考時間，提高解題的速度與正確率。解

11、題結束后，如果能及時反思，復現(xiàn)一下整個解題思維過程，重新認知已知條件，形成通用解題模型，優(yōu)化整合思維過程與方法，促進學生知識的正向遷移，勢必能提高學生的分析、綜合能力。這是反思的較高境界。3反思題型、探求題目的引申推廣，由點到面、觸類旁通、走向創(chuàng)新在解題之后，如果解完題就此罷手，不進行反思回顧，那么解答這個題目也就失去了它的意義，因為在平時考試與高考中，出現(xiàn)一模一樣的題是小概率事件，基本不會發(fā)生。這也是平時訓練時做過多遍的題型仍不能解決的原因。解題的最重要目的是一種經(jīng)驗獲得的過程，為以后的解題提供可參照的思路與方法，從而提高綜合解題能力，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的廣闊性和創(chuàng)造性。例如排列組合問題雖題目

12、繁多，但從一類排隊問題就可引申出幾乎所有的解排列組合問題的策略，如特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略、多排問題直排策略、定序問題倍縮空位插入策略、不相鄰問題插空策略、相鄰元素捆綁策略、正難則反總體淘汰策略等等。許多的排列組合問題都可歸納為這樣的排隊問題，構造占位插空模型。只要善于總結與觀察，雖解題技巧方法繁多，解題思路靈活多變，但最終卻能殊途同歸。現(xiàn)有高中數(shù)學共要考查二十一個章節(jié)或板塊，知識體系龐大，縱橫交錯，但又存在有機聯(lián)系，因而讓學生通過反思回顧，自主、自覺的對題型歸類、探究，養(yǎng)成自主思考解題方法、解題技巧、解題規(guī)律的良好習慣就顯得尤為重要。一般說來，習題做完之后，要反思這樣幾個方面：1、怎樣做出

13、來的？想自己解題采用的方法；2、為什么要這樣做？想解題依據(jù)的原理；3、為什么想到這種方法？想解題的思路；4、有無其它方法，哪種方法更好？想多種途徑，培養(yǎng)求異思維；5、能否將條件、結論或圖形變化一下而成一新題？想一題多變，培養(yǎng)發(fā)散思維。通過這樣的反思，自主回憶與該題同類或相近的習題，并進行認真對比分析，找到解決這類題目的技巧和方法，并能進行適當?shù)耐卣购捅匾难由?，達到舉一反三、由點到面、觸類旁通、由一題到一類題的目的，達到解一題破百題的學習效果，這也表明反思已進入更高境界。(三) 學生解題過程中反思意識培養(yǎng)的策略研究策略一、開展反思性教學，有意外顯解題反思的過程與方法，加強反思方法的指導，確保學

14、生感知反思在平時的解題教學或作業(yè)講評過程中，都“有意無意"地外顯反思的過程與方法，讓聽者能清楚地知道教師在解完一題后是如何總結反思的。在教學過程中,教師要將引導學生對解題思路及策略的形成過程的反思以及與相關知識的類比聯(lián)想作為教學的必要環(huán)節(jié)。在學生解題后，設計一系列體現(xiàn)各種解題策略基本思想的提示或問題，用來啟發(fā)學生思考，指出思考的方向與方法，使學生在提示的指引下或對問題的思考過程中，不知不覺地學會探索解題途徑的方法，寫出完整的解題過程，由此反思與總結的習慣將逐步養(yǎng)成。在一題講評后，抓住契機引導學生對解題方法進行反思。我們可設計一些問題進行引導，比如：在解題教學中，可以從以下幾個方面引導

15、學生進行解題后的反思：(1)所研究問題和以前的哪些問題是相類似的？這些題的本質特征是什么？ 你能找到解這類題的通法嗎？(2)解題思路中關鍵的是哪幾步？ 自己在探索思路的形成過程中有哪些成功與失敗的地方？(3)哪一種方法最基本、最典型？ 哪一種最簡便？ 哪一種更巧妙？(4)解題過程是否正確、圓滿？ 有無增、漏、錯、等情況？(5)若解答正確，能否總結你的解題思路、解題策略、解題方法？(6)命題是否能進行變式，結論能否引申和推廣？ (7)解題中運用了哪些數(shù)學思想方法？(8)通過做這道題，你的收獲是什么？ 你注意到哪些問題？上述反思是緊緊扣住解題目標層層深入的， 解題方法與技巧只是實現(xiàn)解題目標的手段而

16、不是解題目的，通過反思讓學生明確數(shù)學思想方法在解題中的作用，培養(yǎng)其思維的深刻性。教學中，在適時的對反思的方法進行總結提煉的同時，對解題的方法進行橫向的遷移，給出可用相似解法解出的不同題或不能用相同解法解出的相似題，進行比較分析，讓學生在對比分析中，明確該類方法的適用范圍及注意事項，引導學生進行恰當?shù)姆此肌２呗远?、建立自我提問單，進行自我觀察、自我評價和自我控制，完善知識體系。在我教學過程中，特別是習題教學的過程中，提示學生解題結束時，可以按照如下步驟進行自我發(fā)問和提示，一步步回顧反思。 第一步：回顧“理解題意時期”的自我提問：本題的已知條件是什么？已知條件足夠嗎?還是有多余條件或不足條件？已知

17、與未知之間是否存在著一定的關系？在此類問題審題時要注意哪幾個關鍵詞？第二步：回顧“解題擬定計劃，探索思路時期”的自我提問：在這一階段可以問自已“過去見過這個題目或類似的題目嗎？如果沒見過，這樣陳述的條件你見過嗎？結論見過嗎？見過的話，原來的題目是怎樣求解的？沒見過的話，能想象出一個更加容易解決的相關問題嗎?使用了所有的條件了嗎？你能夠考慮到能用于確定未知條件的其它數(shù)據(jù)嗎？” 第三步：回顧“執(zhí)行計劃時期”的自我提問：能清楚地確定這一步是對的嗎？能檢驗自己的推理過程嗎？能證明它是對的嗎？書寫的格式是否規(guī)范，有無漏掉某些細節(jié)(如單位)，最后的答案合理或符合實際嗎? 第四步：“全局回顧反思時期”的自我

18、提問：從這一題中獲得哪些解題體驗？解題思路中關鍵的是哪幾步？能用一句話概括本題的解決思路嗎？有沒有其它方法可以解決？命題是否可進行變式、引申和推廣？ 命題的逆命題是否成立？解題中運用了哪些數(shù)學思想方法？你能將這一方法或結果用于其它問題嗎？以上的四個反思步驟，其實就是學生思考和反思的過程，可以使學生解題時有解題監(jiān)控，這其實就是元認知里的元認知監(jiān)控，解題體驗其實就是元認知中的元認知體驗，這些元認知體驗和監(jiān)控進一步豐富了學生的元認知知識。所以在具體的解題時我就指導學生參照這些步驟進行思考和回顧，讓學生根據(jù)這四個步驟，設計出學生自己解題后的自我提問單。學生在進行知識建構時，自我提問單可以提供幫助，讓他

19、們檢查自己的理解。在學生學習過程中，自我觀察、自我評價和自我控制的問題清單都可以由自我提問單制成和提供。學生利用自我提問單的過程就是一個認知、體驗、和監(jiān)控的過程。自我提問單對學生有如下的幫助：明白反思的過程與步驟；讓自己的思考過程充分暴露；挖掘隱含條件，理清區(qū)別聯(lián)系，克服思維定勢，形成解題套路；促使自己從不同的角度，不同的層次，多方面地對問題進行反思，從而深化對問題的理解，揭示問題的本質，探索出問題的一般規(guī)律，得以優(yōu)化學生的思維品質。訓練研究表明，學生在運用這種自我提問單進行大量訓練后，可以逐步引導和監(jiān)控思考過程，從而能特別有效地解決復雜問題。因為自我提問單使學生更加意識到解決問題時自己的認知

20、加工策略，能更有意識地調節(jié)自己的認知加工過程，更自覺地使用所學到的有效知識工具和策略方法。策略三、明確要求，讓反思形成習慣反思固然有效，但讓學生養(yǎng)成反思的習慣并非易事，因此，需要加強對學生解題后反思的督促，逐步將反思作為對學生的日常要求。我采取的方法是：每天選擇一個題，建立并上交“自我提問單”；采取每周一次學生自我批改或者同學間互批的批改方式，批改后在錯題邊上寫出做錯的原因，做對的題邊上用一句話概括解題思路；創(chuàng)設交流機會，讓學生在交流中進行反思。指定專題，每月集中一次，為學生創(chuàng)設交流的機會。讓學生在與伙伴的交流中分析題意，說出自己的解題思路?？山涣鞑煌慕忸}方法進行算法優(yōu)化，也可說說自己做錯的

21、原因，提醒其他伙伴不要犯同樣的錯誤。實際上，學生形成反思的習慣之時，也是學生跳出題海、自主學習之時。通過對適量典型題目的訓練，而讓學生逐步學會反思，概括總結一類問題的解決策略，這樣的勞動才是高效的，這樣的學習才是自主的，學生獲得的才可能不僅僅是數(shù)學學習成績的提升，還有學習能力的提升。當然，讓學生習慣于反思，并非一日之功，需要循序漸進、小步慢走；而且要給學生一個寬松的氛圍，在過重學業(yè)負擔下，學生更多的是完成任務，不可能實現(xiàn)真正意義上的反思。六、研究的成效分析(一)能顯著提高學生數(shù)學學習成績研究對象是普通高中的高二學生，有兩個班級的111個學生參與本研究，年齡分布為17-18歲。實驗班55人，控制

22、班56人。本研究在實驗實施前，每個班根據(jù)高一時的兩次期末考試成績的平均分及原來數(shù)學老師的評定，選出優(yōu)秀生和學困生（主要區(qū)分標準：高于年級平均分的為優(yōu)秀生，反之為學困生）。教學內容以高二第一個學期的教學內容為測試內容。從學生的高一期末數(shù)學考試成績看，實驗班與控制班中的優(yōu)秀生及學困生的檢測成績無明顯差異（見表1），高二上學期期末考試實驗班與控制班成績檢測有明顯差異（見表2）。表1 實驗班和控制班高一期末成績結果統(tǒng)計（前測）類型班級樣本平均分標準差Z值顯著性水平優(yōu)秀生實驗班27111.214.910.346P>0.05無顯著差異控制班29110.815.18學困生實驗班2887.517.210

23、.259P>0.05無顯著差異控制班2787.216.89表2 實驗班和控制班高二第一學期期末成績結果統(tǒng)計（后測）類型班級樣本平均分標準差Z值顯著性水平優(yōu)秀生實驗班34118.318.962.619P<0.05顯著差異控制班30115.116.89學困生實驗班2191.516.121.771P<0.05顯著差異控制班2689.415.98從統(tǒng)計結果可以看出，經(jīng)過一個學期的反思意識培養(yǎng)，實驗班與控制班之間的優(yōu)秀生與學困生成績差異明顯，解題反思對高效策略獲得的促進作用體現(xiàn)在后續(xù)解題中,并且反思對優(yōu)生的促進作用比對差生的促進作用明顯。(二)能明顯改善學生的數(shù)學學習興趣，提升學生的學

24、習動力興趣水平量表的使用：該量表包括15個陳述句，每個句子描述一種學生對數(shù)學感興趣的行為和特征，要求被試如實做出回答，答題為是非題（見附錄）。每題一分，總分15分，第3,6,9,10,12題是答“否”得一分，其余試題答“是”得一分。此表就整個班的得分，不再區(qū)分優(yōu)秀生與學困生。表3 實驗班與控制班興趣測驗結果統(tǒng)計（前測）班級有效試卷興趣平均分標準差實驗班5510.986.78控制班5610.836.24顯著性水平Z=0.288 p>0.05從上表可以看出，兩個班對學習數(shù)學的興趣無明顯差異，興趣平均分還可以。經(jīng)過半年后，重新對兩個班進行數(shù)學興趣水平調查，發(fā)放試卷111份，回收111份，回收率

25、100%。統(tǒng)計結果見表4。表4 實驗班與控制班興趣測驗結果統(tǒng)計（后測）班級有效試卷興趣平均分標準差實驗班5513.684.53控制班5611.234.11顯著性水平Z=5.775 p<0.01從上表可以看出，經(jīng)過一個學期的反思意識培養(yǎng)，兩個班的數(shù)學興趣均有所提高，實驗班提高的更快一些，說明解題后反思意識的培養(yǎng)有助于學生數(shù)學學習興趣的提高，進而提升學生的學習動力。 (三) 能有效開發(fā)解題智慧，提高思維能力，提升學生應試能力表5 2010學年高二數(shù)學聯(lián)賽獲獎對比班級縣三等獎人數(shù)縣二等獎人數(shù)縣一等獎人數(shù)實驗班421控制班210從上表可以看出，經(jīng)過一個學期的反思意識培養(yǎng)，實驗班競賽獲獎的人數(shù)與檔次明顯優(yōu)于控制班。結論：通過反思意的識培養(yǎng)，能明顯改善學生的數(shù)學學習興趣，有效解決學生知識點易混淆的通病，更快速有效的找準解題突破口，使用高效策略,放棄低效策略,促進知識的同化和遷移，開發(fā)解題智慧，提高思維能力，提升學生的應試能力；長期堅持下去，不僅能進一步培養(yǎng)學生的樂觀、勤奮、勇敢、鎮(zhèn)定等優(yōu)秀思維品質，同時可使學生思維的深刻性、批判性、廣闊