大學(xué)物理_物理學(xué)_課件_振動(dòng)與波動(dòng)

1、1第七章第七章振動(dòng)與波動(dòng)振動(dòng)與波動(dòng)2 一般地說(shuō)一般地說(shuō),任何一個(gè)物理量在某一量值附近隨時(shí)間任何一個(gè)物理量在某一量值附近隨時(shí)間作周期性變化都可以稱為作周期性變化都可以稱為振動(dòng)振動(dòng)。 振動(dòng)有機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)、光振動(dòng)振動(dòng)有機(jī)械振動(dòng)、電磁振動(dòng)、光振動(dòng).。 本章著重研究本章著重研究機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)。物體在一定的位置附近。物體在一定的位置附近作往返運(yùn)動(dòng)，稱為作往返運(yùn)動(dòng)，稱為機(jī)械振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)。 振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本最有代表性的是振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本最有代表性的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 振動(dòng)的傳播就是振動(dòng)的傳播就是波波。在彈性介質(zhì)中發(fā)生的波動(dòng)，。在彈性介質(zhì)中發(fā)生的波動(dòng)，是依靠彈性介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械振動(dòng)而產(chǎn)生和傳播的，

2、因是依靠彈性介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械振動(dòng)而產(chǎn)生和傳播的，因而稱為而稱為機(jī)械波機(jī)械波，或，或彈性波彈性波。 并不是所有的波都依靠介質(zhì)傳播并不是所有的波都依靠介質(zhì)傳播，光波、無(wú)線，光波、無(wú)線電波可以在真空中傳播，稱為電波可以在真空中傳播，稱為電磁波電磁波。微觀粒子也。微觀粒子也有波動(dòng)性，這種波稱為有波動(dòng)性，這種波稱為實(shí)物波實(shí)物波或或德布羅意波德布羅意波。3一一 . .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的意義研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的意義在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡(jiǎn)諧振

3、動(dòng)的合成1、以彈簧振子為例、以彈簧振子為例O O點(diǎn)為小球水平方向不受力的位置，稱為點(diǎn)為小球水平方向不受力的位置，稱為平衡位置平衡位置。42、彈簧振子運(yùn)動(dòng)的、彈簧振子運(yùn)動(dòng)的定性分析定性分析BO：彈性力向右，加速度向右，加速；：彈性力向右，加速度向右，加速；OC： 向左，向左， 向左，減速；向左，減速；CO： 向左，向左， 向左，加速；向左，加速；OB： 向右，向右， 向右，減速。向右，減速。物體在物體在B、C之間來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)之間來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)3、物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件、物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的條件物體的慣性物體的慣性 阻止系統(tǒng)停留在平衡位置阻止系統(tǒng)停留在平衡位置作用在物體上的彈性力作用在物體上的彈性力驅(qū)使系

4、統(tǒng)回復(fù)到平衡位置驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置54、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征取平衡位置取平衡位置O點(diǎn)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為向右為x軸的正方軸的正方向。向。xkxf 小球所受力的大小與它的位移的大小成正比，力的方向與位小球所受力的大小與它的位移的大小成正比，力的方向與位移的方向相反，始終指向平衡位置的，稱為移的方向相反，始終指向平衡位置的，稱為線性回復(fù)力線性回復(fù)力。maf xmkmfa mk2 0222xdtxd 222dtxdxa簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程65、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征)t cos()t sin( ) cos(2 22 Adt

5、xdaAdtdxvtAx說(shuō)明：說(shuō)明：物體在簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是物體在簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是周期性周期性變變化的化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的。簡(jiǎn)諧振動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程的解為：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程的解為：71、從受力角度來(lái)看、從受力角度來(lái)看動(dòng)力學(xué)特征動(dòng)力學(xué)特征kxf 2、從加速度角度來(lái)看、從加速度角度來(lái)看運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征xa2 3、從位移角度來(lái)看、從位移角度來(lái)看運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征) cos( tAx說(shuō)明：說(shuō)明：要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要證明上面三個(gè)式子中的要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要證明上面三個(gè)式子中的一個(gè)即可

6、，且由其中的一個(gè)可以推出另外兩個(gè)；一個(gè)即可，且由其中的一個(gè)可以推出另外兩個(gè)；要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單的方法就是受力方析，要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)最簡(jiǎn)單的方法就是受力方析，得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。8二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量二、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量1、振幅、振幅A振動(dòng)物體離開平衡振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移的位置的最大位移的絕對(duì)值絕對(duì)值。振幅恒為正值，單位為米振幅恒為正值，單位為米(m);(m);振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，由系統(tǒng)振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，由系統(tǒng)的初始條件確定。的初始條件確定。x =Acos( t+ )9

7、2、周期、周期定義：物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，用定義：物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，用T表表示，單位為秒示，單位為秒(s) (cos) cos( TtAtAx 2T 2 T頻率頻率定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用用表示，單位為赫茲表示，單位為赫茲(Hz)。 21 T10角頻率角頻率定義：物體在定義：物體在2秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用表表示，單位為弧度示，單位為弧度/秒秒(rad.s-1)。T 22 說(shuō)明說(shuō)明簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特性是它的周期性簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特性是它的周期性周期、頻率或角頻率均由振動(dòng)系統(tǒng)本身

8、的性質(zhì)所決定，故周期、頻率或角頻率均由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，故稱之為固有周期、固有頻率或固有角頻率。對(duì)于彈簧振子稱之為固有周期、固有頻率或固有角頻率。對(duì)于彈簧振子kmTmkmk 2,21, 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以表示為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以表示為) 2cos() 2cos() cos( tAtTAtAx113、相位和初相位、相位和初相位相位相位 t 初相位初相位 對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若振幅、周期和初相振幅、周期和初相位位已知，就可以寫出完整的運(yùn)動(dòng)方程，即已知，就可以寫出完整的運(yùn)動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫

9、做幅、周期和初相位叫做描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量個(gè)特征量。124、常數(shù)、常數(shù)A和和 的確定的確定 sincos00AvAx )arctan(002020 xvvxA)t sin( ) cos( AdtdxvtAx說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō) 的取值在的取值在和和(或或0和和2)之間；之間；(2) 在應(yīng)用上面的式子求在應(yīng)用上面的式子求 時(shí)，時(shí)，一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)值，還要由初一般來(lái)說(shuō)有兩個(gè)值，還要由初始條件來(lái)判斷應(yīng)該取哪個(gè)值；始條件來(lái)判斷應(yīng)該取哪個(gè)值；(3)常用方法：由常用方法：由2020 vxA求求A，然后由，然后由x0=Acos v0=-Asin 兩者的共同部分求兩者的共同部

10、分求 。13三三 .簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述1.解析法：解析法： x =Acos( t+ )角頻率角頻率 由由諧振系統(tǒng)確定。諧振系統(tǒng)確定。mk 對(duì)彈簧振子：對(duì)彈簧振子： 順便指出，順便指出，彈簧彈簧的串聯(lián)和并聯(lián)公式與的串聯(lián)和并聯(lián)公式與電阻電阻的串聯(lián)和的串聯(lián)和并聯(lián)公式是并聯(lián)公式是相反相反。 例如例如:一根倔強(qiáng)系數(shù)為一根倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧的輕彈簧,減去一半后減去一半后,倔強(qiáng)系倔強(qiáng)系數(shù)是多少數(shù)是多少?11111kkkkk2114 振幅振幅A和初相和初相 由由初始條件初始條件(即即t=0時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)刻物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)狀態(tài))來(lái)確定：來(lái)確定：x =Acos( t+ ) = - Asin( t+ )

11、 o = - Asin 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，時(shí)，xo =Acos sinAo)arctan(oox22020vxA15 例題例題7-1 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作諧振動(dòng)，周期軸作諧振動(dòng)，周期T= s, t=0時(shí)，時(shí)，,mxo2, s/mo22 求振動(dòng)方程。求振動(dòng)方程。解：解：22T4+ 43mtx)432cos(2得代入：代入：x =Acos( t+ ), 1tanoox222020vxA（m ）16 例題例題7-2 有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量m1=80g的的物體而平衡時(shí)，伸長(zhǎng)量為物體而平衡時(shí)，伸長(zhǎng)量為4.9cm。用這個(gè)彈簧和質(zhì)量。用這個(gè)彈簧和質(zhì)量m2=40g的物體組成一彈

12、簧振子。若取平衡位置為原的物體組成一彈簧振子。若取平衡位置為原點(diǎn)，向上為點(diǎn)，向上為x軸的正方向。將軸的正方向。將m2從平衡位置向下拉從平衡位置向下拉2cm后，給予向上的初速度后，給予向上的初速度 o=10cm/s并開始計(jì)時(shí)，并開始計(jì)時(shí)，試求振動(dòng)方程。試求振動(dòng)方程。解：由解：由 m1g=k x , 得得16/1xgmk202mk t=0時(shí)時(shí), xo=-2cm, o=10cm/smxo oxot=0=2.06cm22020vxA17ooxtan= 0.25 =14.04=0.24 radt=0時(shí)時(shí), xo=-2cm, o=10cm/s應(yīng)?。簯?yīng)?。?=0.24 + =3.38 (rad)所求振動(dòng)方程

13、為所求振動(dòng)方程為 x =2.06cos(20t+3.38)cm把把 A=2.06cm, =20, =3.38 代入代入 x =Acos( t+ )mxo oxot=0182.矢量圖解法矢量圖解法旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法oM =A負(fù)最大負(fù)最大 ( )平衡位置平衡位置(+ /2)平衡位置平衡位置(- /2) 矢量矢量oM繞繞o點(diǎn)以角速點(diǎn)以角速度度 作作逆時(shí)針逆時(shí)針的的勻速勻速轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng), 端點(diǎn)端點(diǎn)M在在x軸上的投軸上的投影點(diǎn)影點(diǎn)(p點(diǎn)點(diǎn))的位移：的位移： x =Acos( t+ ) 顯然，顯然，p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 矢量矢量oM與與x軸正方向軸正方向間的夾角：間的夾角：( t+

14、 ) 相位相位正最大正最大 (0)x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )MAox oM轉(zhuǎn)一圈轉(zhuǎn)一圈,就是簡(jiǎn)諧就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一個(gè)周期振動(dòng)的一個(gè)周期T 。px( t+ )19ox例題例題7-3 求簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初相求簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初相 。(1)t=0時(shí)，時(shí)，xo=-A, = 。 (2)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平衡時(shí)，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)平衡位置正向位置正向x軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng), 則則 = 3 /2(或或- /2)。 (3)t=0時(shí)，時(shí)， xo=A/2，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)正向正向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng), 則則 =xo =Acos (4)t=0時(shí)，時(shí)， 質(zhì)質(zhì)點(diǎn)正向點(diǎn)正向x軸正方向運(yùn)動(dòng)軸正方向運(yùn)動(dòng), 則則

15、 =,Axo22 /3。A平衡位置平衡位置5 /45 /4（或（或3 /4 ）。）。 /320 例題例題7-4 一質(zhì)量一質(zhì)量m=9kg質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn), 在力在力 (N)的作用下沿的作用下沿x軸運(yùn)動(dòng)。當(dāng)軸運(yùn)動(dòng)。當(dāng)t=0，xo=0; t=1s, =-2m/s, 求求振動(dòng)方程。振動(dòng)方程。xF42解解 質(zhì)點(diǎn)受彈性回復(fù)力的作用，故作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)受彈性回復(fù)力的作用，故作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由由,42xF,42k知知6 mkooxtan要想直接用下述公式求要想直接用下述公式求A、 是困難的：是困難的： 我們可利用旋轉(zhuǎn)矢量先求出初相。我們可利用旋轉(zhuǎn)矢量先求出初相。 ,T=12s。22020vxA21于是：于是：)26cos

16、(tAx)26sin(6tAdtdxt=1, 2)26sin(6A38A最后得：最后得：m)tcos(x26 38 由由t=0, xo=0， 知知 = /2；又因又因T=12s, t=1s, =-20, 振動(dòng)振動(dòng)x2超前超前x1( 2 - 1） ；0, 振動(dòng)振動(dòng)x2落后落后x1( 2 - 1) ；=0, 振動(dòng)振動(dòng)x2和和x1同相同相 ；= , 振動(dòng)振動(dòng)x2和和x1反相反相 。相差相差 = 2 - 1例：例： x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )= Acos( t+ + /2 )a =- 2Acos( t+ )= 2Acos( t+ + )=- 2x 超前超前x /2； a 超

17、前超前 /2； a與與 x反相反相。 28例：例： x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t )23x2 超前超前 x123 =0.4cos( t )2x1 超前超前 x2229 例題例題7-7 一光滑斜面上的彈簧振子，已知一光滑斜面上的彈簧振子，已知m , k , 證證明它作諧振動(dòng)，并求出周期。明它作諧振動(dòng)，并求出周期。 解解 (1)找出平衡位置找出平衡位置:(2)將物體將物體m對(duì)平衡位置位移對(duì)平衡位置位移x；(3)沿斜面方向應(yīng)用牛二定律：沿斜面方向應(yīng)用牛二定律： mgsin -k(x+xo )=ma -kx = maxmka,mk kmT 22xa2比較：比較：是諧振動(dòng)。

18、是諧振動(dòng)。(T與傾角與傾角 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān))ox建立坐標(biāo)；建立坐標(biāo)；mgsin =kxo ，xokm mx30 例題例題7-8 一正方體形木塊在水面上作諧振動(dòng)，吃水一正方體形木塊在水面上作諧振動(dòng)，吃水深度為深度為h(水面下的木塊高度水面下的木塊高度)，求振動(dòng)周期求振動(dòng)周期T=？ 解解 設(shè)木塊的質(zhì)量為設(shè)木塊的質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為、邊長(zhǎng)為b, 則平衡條件為則平衡條件為 mg= 水gb2h建立圖示坐標(biāo)，建立圖示坐標(biāo)，由牛二定律有由牛二定律有令木塊位移令木塊位移x, 水gb2(h-x)-mg=ma即即 - 水gb2x =ma因因,12hmb水xhga,hg ghT 22比較：比較： a=- 2xoxhx31x

19、=Acos( t+ ) =- Asin( t+ )振動(dòng)勢(shì)能：振動(dòng)勢(shì)能：221kxEp振動(dòng)動(dòng)能：振動(dòng)動(dòng)能：221mEk 對(duì)彈簧振子對(duì)彈簧振子(任何一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)也都可以等效為一任何一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)也都可以等效為一個(gè)彈簧振子個(gè)彈簧振子)，有，有 k=m 2)(sin21222tAm)(cos2122tkA=恒量恒量221kAEEEpk總能：總能：32 1.由上面可以看出由上面可以看出,諧振系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間諧振系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間t作周期性的變化；而且作周期性的變化；而且, 動(dòng)能和勢(shì)能的周期為其振動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能的周期為其振動(dòng)周期的二分之一。周期的二分之一。勢(shì)能最大時(shí)勢(shì)能最大時(shí),動(dòng)能最小動(dòng)能最小;

20、動(dòng)能最大時(shí)動(dòng)能最大時(shí),勢(shì)能最小勢(shì)能最小。但系統(tǒng)的但系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒總機(jī)械能守恒。)(sin21212222tAmmEk)(cos2121222tkAkxEpEkAdtETETpP21411202.平均勢(shì)能：平均勢(shì)能：平均動(dòng)能：平均動(dòng)能：EkAdtETETkk2141120221kAEEEpk=恒量恒量333.振動(dòng)勢(shì)能與彈性勢(shì)能不一定相同。振動(dòng)勢(shì)能與彈性勢(shì)能不一定相同。,212kxEp振動(dòng)勢(shì)能：振動(dòng)勢(shì)能：其中其中x是對(duì)平衡位置的位移。是對(duì)平衡位置的位移。,212kxEp彈性勢(shì)能：彈性勢(shì)能：其中其中x是彈簧的伸長(zhǎng)量。是彈簧的伸長(zhǎng)量。221kxEp振2)(21xxkEop彈例例221kxEEpp振

21、彈xo(原長(zhǎng)原長(zhǎng))(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原長(zhǎng)原長(zhǎng))(平衡位置平衡位置)x34 例題例題7-9 如圖，有一光滑水平面上的彈簧振子，彈如圖，有一光滑水平面上的彈簧振子，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=24N/m, 物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量m=6kg, 靜止在平靜止在平衡位置。設(shè)以一水平恒力衡位置。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體，使向左作用于物體，使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了s=0.05m, 此時(shí)撤去外力此時(shí)撤去外力F。取物體運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)處開始計(jì)時(shí)，求：取物體運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)處開始計(jì)時(shí)，求：(1)物體的物體的振振動(dòng)方程動(dòng)方程; (2)何處何處Ek=Ep?解解 (1)

22、振動(dòng)能量來(lái)源于外力的功：振動(dòng)能量來(lái)源于外力的功：,212kASF A=0.204m,mk2 = x =0.204cos(2 t+ )m(2) 22221kxEEEkAEppkm.Ax144022smFkxo35例例7-10 一長(zhǎng)度為一長(zhǎng)度為l的無(wú)彈性細(xì)的無(wú)彈性細(xì)線，一端被固定在線，一端被固定在A點(diǎn)，另一點(diǎn)，另一端掛一質(zhì)量為端掛一質(zhì)量為m、體積很小的、體積很小的物體。靜止時(shí)，細(xì)線沿豎直方物體。靜止時(shí)，細(xì)線沿豎直方向，物體處于點(diǎn)向，物體處于點(diǎn)O，這是振動(dòng)，這是振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。若將物體移系統(tǒng)的平衡位置。若將物體移離平衡位置，使細(xì)線與豎直方離平衡位置，使細(xì)線與豎直方向夾一小角度，然后將物體由向夾一

23、小角度，然后將物體由靜止釋放，物體就在平衡位置靜止釋放，物體就在平衡位置附近往返擺動(dòng)起來(lái)，這種裝置附近往返擺動(dòng)起來(lái)，這種裝置稱為稱為單擺單擺。證明單擺的振動(dòng)是證明單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并分析其能量。簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并分析其能量。36解：我們選擇物體相對(duì)于平衡位置的角位移解：我們選擇物體相對(duì)于平衡位置的角位移為描述為描述單擺位置的變量，并規(guī)定物體處于平衡位置右方，單擺位置的變量，并規(guī)定物體處于平衡位置右方，為正，處于平衡位置左方，為正，處于平衡位置左方， 為負(fù)。為負(fù)。物體受到兩個(gè)力的作用，一個(gè)是重力物體受到兩個(gè)力的作用，一個(gè)是重力mg，另一個(gè)是，另一個(gè)是細(xì)線的張力細(xì)線的張力T，將重力分解為徑向分量，將

24、重力分解為徑向分量mgcos 和切和切向分量向分量mgsin ，其中徑向分量與張力，其中徑向分量與張力T一起為物體一起為物體的運(yùn)動(dòng)提供向心力，切向分量作為物體的回復(fù)力的運(yùn)動(dòng)提供向心力，切向分量作為物體的回復(fù)力由于：由于：l = s，所以，所以2222dtdldtsdasin22mgdtdml單擺的振動(dòng)方程為單擺的振動(dòng)方程為(1)37當(dāng)偏角當(dāng)偏角很小時(shí)，很小時(shí)， sin ，式（，式（1）可寫為）可寫為mgdtdml22（2）即即022lgdtd0222dtd其中其中l(wèi)g2（3）單擺的振動(dòng)方程（單擺的振動(dòng)方程（3）與彈簧）與彈簧振子的振動(dòng)方程完全相似振子的振動(dòng)方程完全相似)cos(0t單擺演示單擺

25、演示1單擺演示單擺演示238單擺系統(tǒng)的機(jī)械能包括兩部分，一部分是物體的動(dòng)能單擺系統(tǒng)的機(jī)械能包括兩部分，一部分是物體的動(dòng)能)(sin21)(21212220222tmldtdlmmvEk另一部分是系統(tǒng)的勢(shì)能另一部分是系統(tǒng)的勢(shì)能)cos1 (mglmghEp將將cos進(jìn)行級(jí)數(shù)展開進(jìn)行級(jí)數(shù)展開,!6!4!21cos642由于由于很小，我們只很小，我們只取前兩項(xiàng)取前兩項(xiàng))(cos21212202tmglmglEp39可見，單擺系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都是時(shí)間的周期函數(shù)可見，單擺系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都是時(shí)間的周期函數(shù)單擺系統(tǒng)的總能量為：?jiǎn)螖[系統(tǒng)的總能量為：2022202121mlmglEEEpk上式說(shuō)明，盡管在單擺

26、系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧振上式說(shuō)明，盡管在單擺系統(tǒng)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間作周期性變化，但總能量式恒定不間作周期性變化，但總能量式恒定不變的，并與振幅的平方成正比。變的，并與振幅的平方成正比。40一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：分振動(dòng)：x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )合振動(dòng)：合振動(dòng)： x= x1+x2=A1cos( t+ 1 )+ A2cos( t+ 2 ) 利用三角公式或旋轉(zhuǎn)矢量可求得合振動(dòng)利用三角公式或旋轉(zhuǎn)矢量可求得合振動(dòng): x= x1+x2= Acos( t+ )可見，可

27、見， (1) 合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。合振動(dòng)仍是同頻率的諧振動(dòng)。 (2)合振動(dòng)的振幅和初相合振動(dòng)的振幅和初相, 用旋轉(zhuǎn)矢量容易求得用旋轉(zhuǎn)矢量容易求得:41 （1）由余弦定理，合振動(dòng)的振幅為）由余弦定理，合振動(dòng)的振幅為22112211coscossinsinarctanAAAA（2）合振動(dòng)的初相：）合振動(dòng)的初相：( ( 2-2- 1 1) )M1A1 1 1MA2xoxx1x2A A2 2 2M2x= x1+x2= Acos( t+ ) x1 =A1cos( t+ 1 ) x2 =A2cos( t+ 2 )(cos212212221AAAAA)cos(212212221AAAAA42 (3)合

28、振動(dòng)的強(qiáng)弱，取決于兩分振動(dòng)的相位差：合振動(dòng)的強(qiáng)弱，取決于兩分振動(dòng)的相位差： = 2 - 12k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加強(qiáng)加強(qiáng)(2k+1) , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 減弱減弱=其他情況，其他情況，A處于處于A1+A2 和和|A1-A2 |之間之間的某一確定值的某一確定值43 解解 合振動(dòng)方程合振動(dòng)方程：x =Acos( t+ ) 例題例題7-11 設(shè)設(shè)分振動(dòng)：分振動(dòng)： x1 =0.3cos( t+ )cm, x2 =0.4cos( t+ )cm，求合振動(dòng)方程。求合振動(dòng)方程。2=0.522112211coscossinsintanAAAA,

29、43 =180-36.86 =-0.64+ =2.5rad 合振動(dòng)方程合振動(dòng)方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cmx0.30.4 A-36.86已知：已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= )cos(212212221AAAAA44 例題例題7-12 t=0時(shí)，時(shí)， x1 和和 x2的的振動(dòng)曲線如圖所示，振動(dòng)曲線如圖所示，求合振動(dòng)方程。求合振動(dòng)方程。 解解 由圖由圖可知，可知，x1與與x2是反相的。因而是反相的。因而 合振幅合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振動(dòng)的初相合振動(dòng)的初相: =- /2 (振幅大的分振動(dòng)的初相振幅大的分振動(dòng)的初相) 合振動(dòng)的

30、角頻率：合振動(dòng)的角頻率： =2 /T= x(m)t(s)x2x10.120.08o1 合振動(dòng)方程合振動(dòng)方程： x =0.04cos( t- /2 ) m45 例題例題7-13 兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合兩個(gè)同方向、同頻率的諧振動(dòng)合成后，合振幅振幅A=20cm, 合振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相差為合振動(dòng)與第一個(gè)振動(dòng)的相差為 /6, A1=17.3cm, 求：求：(1)A2=? (2)兩兩振動(dòng)的相差振動(dòng)的相差( 2 - 1)=? 解解 直接用下述公式是無(wú)法求解的：直接用下述公式是無(wú)法求解的：A1=17.3 1 1A=20 /6A2xo=10cm 此題宜用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。此題宜用旋轉(zhuǎn)矢量法求解。由

31、圖由圖, 用余弦定理得：用余弦定理得：A2 2 2)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA6cos212122AAAAA46用正弦定理有：用正弦定理有：6sin)(sin212AA 因因A=20, A2=10, 由上式由上式可可求出：求出：2)(12( ( 2-2- 1 1) )A1=17.3 1 1A=20 /6A2xoA2 2 247二、兩個(gè)同方向頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成二、兩個(gè)同方向頻率相近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：分振動(dòng)：x1 =Acos( 1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ )， 且且 1 與與 2相差很小。相差很小。 合振動(dòng)：

32、合振動(dòng)： x= x1+x2= )2cos(2cos22112ttA 由于由于 1 與與 2相差很小相差很小,故故 1 - 2比比 1 + 2小得多小得多; 即即t2cos12比比 的周期長(zhǎng)得多的周期長(zhǎng)得多！t2cos12 所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧所以，合振動(dòng)可近似看作是一個(gè)振幅緩慢變化的諧振動(dòng)振動(dòng)拍拍:),2cos(21tAxotAAo2cos21248顯然，拍頻顯然，拍頻 (振幅振幅Ao的變化頻率的變化頻率)為為 拍拍 = 2 - 1tAAo2cos212xt拍的應(yīng)用：拍的應(yīng)用：用音叉的振動(dòng)來(lái)校準(zhǔn)樂(lè)器；用音叉的振動(dòng)來(lái)校準(zhǔn)樂(lè)器；利用拍的規(guī)律測(cè)量超聲波的頻率；利用拍的規(guī)律測(cè)量

33、超聲波的頻率；在無(wú)線電技術(shù)中，可以用來(lái)測(cè)定無(wú)線電波在無(wú)線電技術(shù)中，可以用來(lái)測(cè)定無(wú)線電波頻率以及調(diào)制頻率以及調(diào)制49三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 x =Acos( t+ ) y =Bcos( t+ )從上兩式中消去從上兩式中消去t, 就得到合振動(dòng)的軌跡方程為就得到合振動(dòng)的軌跡方程為)(sin)cos(222222ABxyByAx 在一般情況下在一般情況下,這是一個(gè)橢圓方程。這是一個(gè)橢圓方程。 (1)當(dāng)當(dāng) - =0時(shí)，上式為一直線：時(shí)，上式為一直線： xABy xy50 xAByxy（1）（）（2）合振動(dòng)仍為諧振動(dòng)）合振動(dòng)仍為諧振動(dòng):22yxr (3

34、)當(dāng)當(dāng) - = /2時(shí)，上式仍為一時(shí)，上式仍為一橢圓橢圓：12222ByAx合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。)tcos(2221 AA(2)當(dāng)當(dāng) - = 時(shí)，時(shí)， 上上式也為一直線：式也為一直線：若若A=B,橢圓變?yōu)閳A橢圓變?yōu)閳A51xy - = /2xy - =- /2（4）如果）如果 - 不為上述數(shù)值，那么合振動(dòng)的軌不為上述數(shù)值，那么合振動(dòng)的軌跡為邊長(zhǎng)分別為跡為邊長(zhǎng)分別為2A(x方向）和方向）和2B（y方向）的矩方向）的矩形范圍內(nèi)的任意確定的橢圓。形范圍內(nèi)的任意確定的橢圓。教材圖教材圖612畫出了幾種不同相位差所對(duì)應(yīng)的合振動(dòng)的畫出了幾種不同相位差所對(duì)應(yīng)的合振動(dòng)的軌跡圖形。軌跡圖形。5

35、2四、兩個(gè)相互四、兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種情況討論合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成：兩個(gè)振動(dòng)的相位差緩視為同頻率的合成：兩個(gè)振動(dòng)的相位差緩慢地變化，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道循環(huán)變化。慢地變化，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道循環(huán)變化。012情況情況1：兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差很?。簝蓚€(gè)分振動(dòng)的頻率相差很小合振動(dòng)的軌道是周期性的有一定規(guī)則的合振動(dòng)的軌道是周期性的有一定規(guī)則的穩(wěn)定的閉合曲線。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形穩(wěn)定的閉合曲線。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為稱為利薩如圖形利薩如圖形。應(yīng)用應(yīng)用測(cè)量頻率測(cè)量頻率在示波器上，垂直方向與水平方向

36、同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的利薩如知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的利薩如圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。2:1:yxTT情況情況2：兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差較大，且有：兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相差較大，且有簡(jiǎn)單整數(shù)比關(guān)系簡(jiǎn)單整數(shù)比關(guān)系53一、一、阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)dtdxvf振動(dòng)系統(tǒng)受粘滯阻力與速度大小成正比，方向相反。振動(dòng)系統(tǒng)受粘滯阻力與速度大小成正比，方向相反。彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動(dòng)力學(xué)方程：彈性力或準(zhǔn)彈性力和上述阻力作用下的動(dòng)力學(xué)方程：1、阻尼振動(dòng)

37、的概念、阻尼振動(dòng)的概念振幅隨時(shí)間的變化而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。振幅隨時(shí)間的變化而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。2、阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程、阻尼振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程kxdtdxdtxdm22022022xdtdxdtxdm2mk 20 固有角固有角頻率頻率阻尼阻尼常數(shù)常數(shù)演示演示54情況情況1：欠阻尼欠阻尼202220 )cos()(0teAtxt這種情況稱為這種情況稱為欠阻尼欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大3、討論、討論t欠阻尼欠阻尼)(tx由初始條件決定由初始條件決定A0和初相位和初相位 ,設(shè)設(shè)00)0(,)0(,0vvxxt即有即有： cossincos00000AAvAx2200200)(xvxA0

38、00tanxxv55tteCeCtx)(2)(1202202 )(t過(guò)阻尼過(guò)阻尼)(tx無(wú)振動(dòng)發(fā)生無(wú)振動(dòng)發(fā)生202情況情況2：過(guò)阻尼過(guò)阻尼t(yī)臨界阻尼臨界阻尼)(txtetCCtx 21)()(情況情況3：臨界阻尼臨界阻尼202220是從有周期性因子是從有周期性因子 到無(wú)周期性的到無(wú)周期性的臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)。稱之為臨界阻尼情況。稱之為臨界阻尼情況。應(yīng)用在天平調(diào)衡中。應(yīng)用在天平調(diào)衡中。56系統(tǒng)受力：彈性力系統(tǒng)受力：彈性力 -kx；阻尼力阻尼力tddx 周期性驅(qū)動(dòng)力周期性驅(qū)動(dòng)力 f =Fcos ttFtddxkxtdxdmcos22二、受迫振動(dòng)二、受迫振動(dòng) 在周期性外力作用下發(fā)生的振動(dòng)，稱為在周期性外力

39、作用下發(fā)生的振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。該外力稱為驅(qū)動(dòng)力。該外力稱為驅(qū)動(dòng)力。振動(dòng)方程可寫為：振動(dòng)方程可寫為：tmFxtddxtdxdcos22022令令,mkom257該微分方程的解為該微分方程的解為tmFxtddxtdxdcos22022)cos()cos(22tAtAexot 可以看出可以看出,此等幅振動(dòng)的頻率此等幅振動(dòng)的頻率 就是驅(qū)動(dòng)力的頻率就是驅(qū)動(dòng)力的頻率,其振幅和初相為其振幅和初相為 上式表明上式表明,受迫振動(dòng)可以看成是兩個(gè)振動(dòng)合成的。第受迫振動(dòng)可以看成是兩個(gè)振動(dòng)合成的。第一項(xiàng)表示的是減幅振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后一項(xiàng)表示的是減幅振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,這一分振動(dòng)這一分振動(dòng)就減弱到可以忽略不

40、計(jì)了。而第二項(xiàng)表示的是受迫振就減弱到可以忽略不計(jì)了。而第二項(xiàng)表示的是受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的等幅振動(dòng)。因此動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的等幅振動(dòng)。因此,穩(wěn)態(tài)解為穩(wěn)態(tài)解為 x =Acos( t- ) 58 可以看出，可以看出， A、 不僅不僅與振動(dòng)系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，與振動(dòng)系統(tǒng)自身的性質(zhì)有關(guān)，而且與驅(qū)動(dòng)力的頻率和幅度有關(guān)。而且與驅(qū)動(dòng)力的頻率和幅度有關(guān)。 222tano222224)(/omFA59222or三、共振三、共振 受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān)受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān),當(dāng)驅(qū)動(dòng)力當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率達(dá)某一值時(shí)頻率達(dá)某一值時(shí),振幅達(dá)最大值。用求極值的方法可振幅達(dá)最大值。用求極值的方法可以求出使振幅達(dá)

41、到極大值的角頻率為以求出使振幅達(dá)到極大值的角頻率為相應(yīng)的最大振幅為相應(yīng)的最大振幅為222/ormFA 在弱阻尼在弱阻尼(即即 o)的情況下的情況下,由式可以看出由式可以看出,當(dāng)當(dāng) r= o , 即驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)即驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí),振幅達(dá)到最大值。我們把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)振幅達(dá)到最大值。我們把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象叫做象叫做共振共振。蕩秋千演示蕩秋千演示60應(yīng)用應(yīng)用防止防止鋼琴、小提琴等樂(lè)器利用共振來(lái)提高音響效果；鋼琴、小提琴等樂(lè)器利用共振來(lái)提高音響效果；收音機(jī)利用電磁共振進(jìn)行選臺(tái)；收音機(jī)利用電磁共振進(jìn)行選臺(tái)；核內(nèi)的核磁共振被用來(lái)進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究和核

42、內(nèi)的核磁共振被用來(lái)進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究和醫(yī)療診斷等。醫(yī)療診斷等。改變系統(tǒng)的固有頻率或外力的頻率；改變系統(tǒng)的固有頻率或外力的頻率；破壞外力的周期性；破壞外力的周期性；增大系統(tǒng)的阻尼；增大系統(tǒng)的阻尼；對(duì)精密儀器使用減振臺(tái)。對(duì)精密儀器使用減振臺(tái)。6162 在彈性介質(zhì)中，各質(zhì)點(diǎn)之間是以彈性力相互聯(lián)系在彈性介質(zhì)中，各質(zhì)點(diǎn)之間是以彈性力相互聯(lián)系著的。著的。一、機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播一、機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播7-4 波動(dòng)的基本概念波動(dòng)的基本概念 產(chǎn)生機(jī)械波的條件：產(chǎn)生機(jī)械波的條件： 波源波源產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)；產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)； 彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)傳播振動(dòng)狀態(tài)。傳播振動(dòng)狀態(tài)。 當(dāng)介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)開始振動(dòng)后當(dāng)介質(zhì)中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)開始振

43、動(dòng)后,在彈性力的在彈性力的作用下作用下,就會(huì)帶動(dòng)鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)就會(huì)帶動(dòng)鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng),鄰近質(zhì)點(diǎn)又帶動(dòng)更遠(yuǎn)鄰近質(zhì)點(diǎn)又帶動(dòng)更遠(yuǎn)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)。這樣依次帶動(dòng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)。這樣依次帶動(dòng),就把振動(dòng)由近及遠(yuǎn)地傳播就把振動(dòng)由近及遠(yuǎn)地傳播出去出去,形成了波動(dòng)。形成了波動(dòng)。u63t = 00481620 12 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4t = T 64容易看出容易看出, , 沿著波的傳播方向沿著波的傳播方向, , 振動(dòng)是依次落后的。振動(dòng)是依次落后的。P點(diǎn)比點(diǎn)比o點(diǎn)時(shí)間落后：點(diǎn)時(shí)間落后：uxt P點(diǎn)比點(diǎn)比o點(diǎn)位相落后：點(diǎn)位相落后：uxt)2:(T注意(這里：這里：u是波速是波速)pyuxo(波源波源)x值

44、得注意的是：值得注意的是：波動(dòng)是波源的振動(dòng)狀態(tài)或波動(dòng)能量在介質(zhì)中的傳播波動(dòng)是波源的振動(dòng)狀態(tài)或波動(dòng)能量在介質(zhì)中的傳播介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)，只是在各自的平衡位置附介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)并不隨波前進(jìn)，只是在各自的平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)。近往復(fù)運(yùn)動(dòng)。65二、橫波與縱波二、橫波與縱波波的傳播方向波的傳播方向向右向右波的傳播方向波的傳播方向向右向右質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向水平水平uabxyo質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)方向振動(dòng)方向向上向上a分類標(biāo)準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波動(dòng)的傳播方向的關(guān)系波動(dòng)的傳播方向的關(guān)系1、橫波橫波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直。傳播方向垂直。波峰波峰波形凸

45、起部分波形凸起部分波谷波谷波形凹下部分波形凹下部分2、縱波縱波質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向與波的傳播方向平行。傳播方向平行?？v波的傳播表現(xiàn)為縱波的傳播表現(xiàn)為疏密疏密狀態(tài)沿波傳播方向移動(dòng)。狀態(tài)沿波傳播方向移動(dòng)。66三、波面和波線三、波面和波線波線波線(波射線波射線) 波的傳播方向。波的傳播方向。 波面波面(波陣面波陣面) 波動(dòng)過(guò)程中，振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連波動(dòng)過(guò)程中，振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連成的面。最前面的那個(gè)波面稱為波前。成的面。最前面的那個(gè)波面稱為波前。 平面波平面波波面為平面的波動(dòng)。本章只討論這種波。波面為平面的波動(dòng)。本章只討論這種波。 球面波球面波波面為球面的波動(dòng)。波面為球面的波動(dòng)。 在各向

46、同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。在各向同性媒質(zhì)中，波線總是與波面垂直。 波面波面 波面和波線波面和波線都是為了形象地描述波在空間的傳播而引都是為了形象地描述波在空間的傳播而引入的概念。入的概念。67四、波速四、波速 波長(zhǎng)波長(zhǎng) 波的周期和頻率波的周期和頻率 1、 波速波速u單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)傳播的距離，也就是單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)傳播的距離，也就是波面向前推進(jìn)的速率。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)波面向前推進(jìn)的速率。波速完全由媒質(zhì)的性質(zhì)(彈性彈性和慣性和慣性)來(lái)確定。來(lái)確定。如液體、氣體中的縱波，波速：如液體、氣體中的縱波，波速： Bu 體變彈性模量體變彈性模量質(zhì)量密度質(zhì)量密度(慣性慣性)固體中的橫波，波速：固體中的

47、橫波，波速： Gu 切變彈性模量切變彈性模量縱波，波速：縱波，波速： Yu 楊氏彈性模量楊氏彈性模量柔繩中的橫波，波速：柔繩中的橫波，波速： Tu 繩中的張力繩中的張力質(zhì)量線密度質(zhì)量線密度682、波長(zhǎng)、波長(zhǎng)反映波動(dòng)的空間周期性反映波動(dòng)的空間周期性定義：定義：同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為差為2 的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離，離，或或沿波的傳播方向，相鄰沿波的傳播方向，相鄰的兩個(gè)同相質(zhì)點(diǎn)之間的距離叫的兩個(gè)同相質(zhì)點(diǎn)之間的距離叫波長(zhǎng)波長(zhǎng)。說(shuō)明：說(shuō)明：波長(zhǎng)可形象地想象為一個(gè)完整的波長(zhǎng)可形象地想象為一個(gè)完整的“波波”的長(zhǎng)度；的長(zhǎng)度；橫波橫波：相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距

48、離相鄰兩個(gè)波峰或波谷之間的距離縱波縱波：相鄰兩個(gè)密部中心或疏部中心之間的距離相鄰兩個(gè)密部中心或疏部中心之間的距離xyo693、周期和頻率、周期和頻率反映波動(dòng)的時(shí)間周期性反映波動(dòng)的時(shí)間周期性定義：定義：周期周期：一個(gè)完整的波（即一個(gè)波長(zhǎng)的波）通過(guò)：一個(gè)完整的波（即一個(gè)波長(zhǎng)的波）通過(guò)波線上某點(diǎn)所需要的時(shí)間，叫周期，用波線上某點(diǎn)所需要的時(shí)間，叫周期，用T T表示。表示。頻率頻率：周期的倒數(shù)叫做頻率，用：周期的倒數(shù)叫做頻率，用v v表示表示T/1 說(shuō)明：說(shuō)明：由于波源作一次完全的振動(dòng)，波就前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離，由于波源作一次完全的振動(dòng)，波就前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離，因此因此波的周期等于波源振動(dòng)的周期；波的周期

49、等于波源振動(dòng)的周期；波的周期只與振源有關(guān)，而與傳播介質(zhì)無(wú)關(guān)。波的周期只與振源有關(guān)，而與傳播介質(zhì)無(wú)關(guān)。70 周期周期T反映波的時(shí)間周期性，而波長(zhǎng)反映波的時(shí)間周期性，而波長(zhǎng) 反映的是波的反映的是波的空間周期性。顯然，周期空間周期性。顯然，周期T也就是波傳播一個(gè)波長(zhǎng)距也就是波傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所需的時(shí)間。離所需的時(shí)間。Tu 71例例7-15：在室溫下，已知空氣中的聲速為：在室溫下，已知空氣中的聲速為u1=340ms-1，水中的聲水中的聲速為速為u2=1450ms-1，求頻率為求頻率為200Hz的聲波在空氣和水中的波長(zhǎng)。的聲波在空氣和水中的波長(zhǎng)。解：由解：由 u 得得 空氣中空氣中 mu7 . 1200

50、34011 水中水中 mu25. 7200145022 結(jié)論結(jié)論：同一頻率的聲波，在水中的波長(zhǎng)要比在空氣中的波長(zhǎng)要長(zhǎng)。：同一頻率的聲波，在水中的波長(zhǎng)要比在空氣中的波長(zhǎng)要長(zhǎng)。原因原因：波速?zèng)Q定于介質(zhì)，頻率決定與振源，所以同一波源發(fā)出的：波速?zèng)Q定于介質(zhì)，頻率決定與振源，所以同一波源發(fā)出的一定頻率的波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)，頻率不變，但波速不同，因一定頻率的波在不同介質(zhì)中傳播時(shí)，頻率不變，但波速不同，因而波長(zhǎng)也不同。而波長(zhǎng)也不同。721.波的疊加原理波的疊加原理五、五、 波動(dòng)所遵從的基本原理波動(dòng)所遵從的基本原理 大量的觀察和研究表明大量的觀察和研究表明:幾列波可以保持各自的幾列波可以保持各自的特點(diǎn)特點(diǎn)(

51、頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等)同時(shí)通過(guò)同一同時(shí)通過(guò)同一媒質(zhì)媒質(zhì),好像在各自的傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到其他波一樣。好像在各自的傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到其他波一樣。因此因此,在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi),任一點(diǎn)的振動(dòng)任一點(diǎn)的振動(dòng),為為各個(gè)波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)的合成。這一規(guī)律稱為各個(gè)波單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)的合成。這一規(guī)律稱為波的獨(dú)立傳播原理波的獨(dú)立傳播原理或或波的疊加原理波的疊加原理。 管弦樂(lè)隊(duì)合奏或幾個(gè)人同時(shí)講話時(shí)管弦樂(lè)隊(duì)合奏或幾個(gè)人同時(shí)講話時(shí),在空氣中同時(shí)在空氣中同時(shí)傳播著許多聲波傳播著許多聲波,但我們?nèi)阅軌蜣q別出各種樂(lè)器的音調(diào)但我們?nèi)阅軌蜣q別出各種樂(lè)器

52、的音調(diào)或某個(gè)人的聲音或某個(gè)人的聲音,這就是波的疊加原理的具體例子。這就是波的疊加原理的具體例子。 數(shù)學(xué)方法：傅里葉分析。數(shù)學(xué)方法：傅里葉分析。732. 惠更斯原理惠更斯原理 介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn)介質(zhì)中波動(dòng)傳播到的各點(diǎn),都可以看作是發(fā)射子波都可以看作是發(fā)射子波的波源的波源,其后任一時(shí)刻其后任一時(shí)刻,這些子波的包絡(luò)就是新的波面。這些子波的包絡(luò)就是新的波面。這就是惠更斯原理。這就是惠更斯原理。 作用：知道某一時(shí)刻的波陣面作用：知道某一時(shí)刻的波陣面,用幾何作圖的方法用幾何作圖的方法就能確定下一時(shí)刻的波陣面就能確定下一時(shí)刻的波陣面,從而確定波的傳播方向。從而確定波的傳播方向。球球面面波波 tt + t

53、平面波平面波t+ t時(shí)刻波面時(shí)刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時(shí)刻波面時(shí)刻波面74惠更斯原理的不足：不能求出波的強(qiáng)度分布?；莞乖淼牟蛔悖翰荒芮蟪霾ǖ膹?qiáng)度分布。a 用惠更斯原理可以解釋波的衍射現(xiàn)象。所謂用惠更斯原理可以解釋波的衍射現(xiàn)象。所謂波的波的衍射衍射是指波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)是指波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí),其傳播方向其傳播方向發(fā)生改變發(fā)生改變,能繞過(guò)障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)且強(qiáng)度重新能繞過(guò)障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)且強(qiáng)度重新分布的現(xiàn)象分布的現(xiàn)象。 我們用惠更斯原理畫出了我們用惠更斯原理畫出了新的波陣面及波的傳播方向。很明顯新的波陣面及波的傳播方向。很明顯,波已繞過(guò)障礙波已繞過(guò)障礙物的邊緣

54、而傳播了物的邊緣而傳播了,即發(fā)生了衍射現(xiàn)象。若縫的寬度即發(fā)生了衍射現(xiàn)象。若縫的寬度比波長(zhǎng)小得多時(shí)比波長(zhǎng)小得多時(shí),衍射現(xiàn)象將更加顯著。衍射現(xiàn)象將更加顯著。在下圖中在下圖中,75例例7-16 在波線上有相距在波線上有相距2.5 cm的的A、B兩點(diǎn)，已知兩點(diǎn)，已知點(diǎn)點(diǎn)B的振動(dòng)相位比點(diǎn)的振動(dòng)相位比點(diǎn)A落后落后300,振動(dòng)周期為振動(dòng)周期為2.0s，求，求波速和波長(zhǎng)。波速和波長(zhǎng)。解：我們知道：波線上相距解：我們知道：波線上相距的兩點(diǎn)的相位差為的兩點(diǎn)的相位差為2，而現(xiàn)在已知而現(xiàn)在已知波線上相距波線上相距2.5 cm的的A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)的相的相位差位差300 /6，因此有：因此有：6105 . 222得：m30

55、. 0smTu/15. 0230. 076一、平面簡(jiǎn)諧波的概念一、平面簡(jiǎn)諧波的概念波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，波動(dòng)所到之處的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)也在作簡(jiǎn)諧振波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，波動(dòng)所到之處的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)也在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相應(yīng)的波稱為動(dòng)，相應(yīng)的波稱為簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波。任意一種復(fù)雜的波都可以表示。任意一種復(fù)雜的波都可以表示為若干不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)諧波的合成。波面為平面為若干不同頻率、不同振幅的簡(jiǎn)諧波的合成。波面為平面的簡(jiǎn)諧波稱為的簡(jiǎn)諧波稱為平面簡(jiǎn)諧波平面簡(jiǎn)諧波。二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)二、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)uxtAy cos0波源波源X軸上任一點(diǎn)軸上任一點(diǎn)P(x)，時(shí)間上要落，時(shí)間上要落后后=x/u/u，P處振動(dòng)的相位要比處振動(dòng)的相

56、位要比O處的相位落后處的相位落后 uxtAtAyP coscos演示演示7-5 平面簡(jiǎn)諧波的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波函數(shù)77平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù) uxtAy cos xTtAy2cos xtAy2cos若考慮若考慮O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位 uxtAycos kxtAy cos /2 k波數(shù)波數(shù)波數(shù)為波數(shù)為2米內(nèi)所米內(nèi)所包含的完整波的包含的完整波的數(shù)目。數(shù)目。78三、波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度和加速度三、波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度和加速度 uxtAtyauxtAtyv cos sin 222四、沿四、沿X軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式 xtAyxT

57、tAykxtAyuxtAy2cos2cos) cos(cos演示演示79五、波函數(shù)的物理意義五、波函數(shù)的物理意義1、x一定，則位移僅是時(shí)間一定，則位移僅是時(shí)間的函數(shù)，對(duì)于的函數(shù)，對(duì)于x=x1 12cosxtAy質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程2、t 一定，則位移僅是坐標(biāo)的函一定，則位移僅是坐標(biāo)的函數(shù)，對(duì)于數(shù)，對(duì)于 t=t1 xtAy2cos1對(duì)于不同的點(diǎn)對(duì)于不同的點(diǎn) 22112 2 xtxt )(2)2 ()2 (12212112xxxtxt 21122x 演示演示803、x 和和 t 都變化都變化波函數(shù)表示波線上所有質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移。波函數(shù)表示波線上所有質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移。(x,t)與（與

58、（x+ x,t+ t)處的相位相同處的相位相同 )()(22xxttuxut tux 結(jié)論：波的傳播是相結(jié)論：波的傳播是相位的傳播（行波）位的傳播（行波）演示演示81 例題例題7-17 已知波動(dòng)方程：已知波動(dòng)方程： ),)(212(cos5 . 0SIxty 求：求：(1)此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、波長(zhǎng)和波速，以及坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)初相；波長(zhǎng)和波速，以及坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)初相； (2)x=2m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，及處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，及t=1s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。度和加速度。 (3)x1=1m和和x2=2m兩點(diǎn)的相差。兩點(diǎn)的相差。 解解 (

59、1)比較法比較法。2)42(2cos5 . 0 xtyTtAy(2cos)ox 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點(diǎn)的振動(dòng)初相原點(diǎn)的振動(dòng)初相 o= /2。82 (2)將將x=2m代入波動(dòng)方程就得該代入波動(dòng)方程就得該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：)(212(cos5 . 0SIxtymty)2cos(5 . 0t=1s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為)2sin(5 . 0tdtdy)2cos(5 . 02tdtdat=1-0.5(m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m兩點(diǎn)的相差：兩點(diǎn)

60、的相差：)(212xx 2) 12(4283 例題例題7-18 一波動(dòng)以一波動(dòng)以u(píng)=20cm/s沿沿x軸負(fù)方向傳播，軸負(fù)方向傳播，A點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 yA=0.4cos4 t(cm), 求求波動(dòng)方程：波動(dòng)方程： (1)以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)；為坐標(biāo)原點(diǎn)； (2)以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。 解解 (1)以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。 tAy(cos)oux=0.4cos4(t20 x)cmx5cmABux5cmABuyo1.標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)法：標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)法：84已知已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 yA=0.4cos4 t(cm)P(x)點(diǎn)比點(diǎn)比已知點(diǎn)已知點(diǎn)A時(shí)間時(shí)間超前：超前：uxt x5c