2021屆全品高考復習方案：第38講-空間點、直線、平面之間的位置關系課件

1、(2003課標實驗版)新高考第七單元 立體幾何第38講空間點、直線、平面之間的位置關系課前雙基鞏固 課前考點探究 教師備用例題內容與要求 1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題. 知識聚焦1.四個公理文字語言圖形語言符號語言作用公理1如果一條直線上的 在一個平面內,那么這條直線在此平面內可用來證明點、直線在平面內公理2過 的三點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線有且只有一個平面,使A,B,C可用來確定一個平面;證明點、線共面兩點不在一條直線上（續(xù)表）文字語言圖形語言符號語言作用公理3

2、如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們 過該點的公共直線P,且P=l,且Pl可用來確定兩個平面的交線;判斷或證明多點共線;判斷或證明多線共點公理4平行于同一條直線的兩條直線 ab,bcac證明空間中兩條直線平行有且只有一條互相平行2.公理2的三個推論推論1:經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面;推論2:經過兩條直線有且只有一個平面;推論3:經過兩條直線有且只有一個平面. 相交平行銳角(或直角)相等或互補4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a=A個平行a個在平面內a 個10無數(shù)（續(xù)表）圖形語言符號語言公共點平面與平面平行個相交=l 個0無數(shù)常

3、用結論1.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.2.異面直線的判定定理過平面外一點和平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線. 對點演練題組一常識題1.教材改編給出下列命題:空間中不同的三點確定一個平面;空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面;若兩個圓交于兩點,則這兩個圓確定一個平面;一條直線與兩條平行直線都相交,則這三條直線確定一個平面.其中真命題的序號是. 解析 當三點共線時,過三點有無數(shù)個平面,是假命題;當三

4、條直線共點時,不能確定一個平面,是假命題;一個圓是平面圖形,兩個相交的圓不一定在一個平面內,所以是假命題;兩條平行直線確定一個平面,第三條直線與這兩條平行直線都相交,所以第三條直線在這個平面內,所以是真命題.2.教材改編已知直線a與b平行,直線c與b相交,則直線a與c的位置關系是 . 解析 當直線c在直線a與b確定的平面內時,a與c相交;當直線c與直線a,b確定的平面相交時,a與c異面.相交或異面3.教材改編一條直線l上有三個相異的點A,B,C到平面的距離相等,那么直線l與平面的位置關系是 . 解析 當距離不為零時,l;當距離為零時,l.l或l4.教材改編已知D為ABC所在平面外一點,E,F分

5、別為線段DA,DC上的點,G,H分別為線段BA,BC上的點,且直線EF和直線GH相交于點M,則點M一定在直線上. 解析 如圖所示,EAD,FDC,GAB,HBC,EF平面ACD,GH平面ABC,EFGH=M,M平面ABC,M平面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,MAC.AC5.教材改編如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當AC,BD滿足條件 時,四邊形EFGH為菱形;(2)當AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為正方形. AC=BDAC=BD且ACBD題組二常錯題索引:對異面直線的概念理解有誤;判斷直線與平面的位置關系時,忽視“直線在平面

6、內”;對平面的性質掌握不熟,應用不靈活;用平行移動法求異面直線所成的角致誤(如角的范圍).6.下列關于異面直線的說法正確的是.(填序號)若a,b,則a與b是異面直線;若a與b異面,b與c異面,則a與c異面;若a,b不同在平面內,則a與b異面;若a,b不同在任何一個平面內,則a與b異面.解析 中的兩條直線還有可能平行或相交,由異面直線的定義可知中說法正確.7.已知直線a,b和平面,若ab,且直線b在平面內,則直線a與平面的位置關系是. 解析 當a 時,由ab,b,得a;當a時,滿足題中條件.綜上直線a與平面的位置關系是a或a.a或a8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,

7、CC1的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有 條. 解析 在EF上任意取一點M,則直線A1D1與M確定一個平面(如圖所示),這個平面與CD有且僅有1個交點N,當M取不同的位置時就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與三條異面直線A1D1,EF,CD都有交點.故滿足題意的直線有無數(shù)條.無數(shù)4560探究點一平面的基本性質例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,ACBD=P,A1C1EF=Q.(1)求證:B,D,E,F四點共面;(2)若A1C交平面BDEF于點R,求證:P,Q,R三點共線.思路點撥 (1)利用EFBD確

8、定平面即可;(2)證明三點都在兩個平面的交線上即可.證明:(1)連接B1D1.因為E,F分別為D1C1,C1B1的中點,所以EFB1D1,又因為B1D1BD,所以EFBD,所以EF與BD共面,所以B,D,E,F四點共面.例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,ACBD=P,A1C1EF=Q.(1)求證:B,D,E,F四點共面;(2)若A1C交平面BDEF于點R,求證:P,Q,R三點共線.(2)連接PQ,因為ACBD=P,A1C1EF=Q,所以平面AA1C1C平面BDEF=PQ.因為A1C平面BDEF=R,所以R平面AA1C1C,R平面BDEF,所以RP

9、Q,即P,Q,R三點共線.總結反思 (1)三個公理是立體幾何的基礎.公理1是確定直線在平面內的依據(jù);公理2是利用點或直線確定平面的依據(jù);公理3是確定兩個平面有一條交線的依據(jù),同時也是證明多點共線、多線共點的依據(jù).(2)要證明點共線或線共點的問題,關鍵是轉化為證明點在直線上,也就是利用公理3,證明點在兩個平面的交線上,或者選擇其中兩點確定一條直線,然后證明另一點也在該直線上.變式題 如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AA1,D1C1的中點,過D,M,N三點的平面與正方體的下底面A1B1C1D1相交于直線l.(1)作出直線l;(2)設lA1B1=P,求線段PB1的長

10、.探究點二空間兩條直線的位置關系例2 (1)已知三條不同的直線a,b,c,且ab,cb,則a與c的位置關系是()A.acB.a與c相交于一點C.a與c異面D.以上都有可能思路點撥 (1)根據(jù)直線a與直線c共面或異面判斷位置關系即可;D解析 (1)當直線a,c共面時,直線a,c可能平行或相交;當直線a,c異面時也可能滿足題目的條件.故選D.例2 (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AA1異面的棱有()A.8條B.6條C.4條D.2條解析 (2)正方體共有12條棱,其中與AA1平行的有BB1,CC1,DD1,共3條,與AA1相交的有AD,AB,A1D1,A1B1,共4條,因此與棱AA1

11、異面的棱有11-3-4=4(條),故選C.C思路點撥 (2)在正方體的12條棱中,先找到與棱AA1平行的、相交的棱,然后可計算出與棱AA1異面的棱的條數(shù).總結反思 判斷空間直線的位置關系一般有兩種方法:一是構造幾何體(如長方體、空間四邊形等)模型來判斷;二是排除法.特別地,對于異面直線的判定常用到以下結論:“平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過點B的直線是異面直線”.變式題 (1)若平面和直線a,b滿足a=A,b,則a與b的位置關系是 ()A.相交B.平行C.異面D.相交或異面D解析 (1)當Ab時,a與b相交,當A b時,a與b異面.故選D.變式題 (2)已知a,b是兩條異面直線,

12、ca,那么c與b的位置關系()A.一定是異面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能垂直C解析 (2)a,b是兩條異面直線,ca,那么c與b可能異面或相交,但不可能平行.假設cb,因為ca,由平行公理得ab,與a,b是兩條異面直線相矛盾,故c與b不可能平行.故選C.探究點三異面直線所成的角思路點撥 (1)首先連接C1D,則由異面直線所成的角的定義確定出BC1D是異面直線AB1與BC1所成的角,最后在BC1D中計算此角的余弦值即可;DDD思路點撥 (2)首先由三視圖確定出三棱錐的直觀圖,然后在直觀圖中作DEAB于E,連接PE,得出EDP是直線PD與AC所成的角,然后計算可得結果.D總結反思 求異面

13、直線所成角的一般步驟如下:找(或作)平移兩條直線中的一條或兩條,到一個平面中,找出適合題意的角;求轉化為求一個三角形的內角,通過解三角形,求出所找的角;結論設由求出的角的大小為,若090,則即為所求,若90180,則180-即為所求.CC探究點四正方體中的位置關系例4 (1)如圖,下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB平面MNP的圖形序號是()A.B. C.D.思路點撥 (1)利用面面平行的性質或線面平行的判定定理來判斷;C微點1正方體中的簡單幾何性質例4 (1)如圖,下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的

14、中點,能得出AB平面MNP的圖形序號是()A.B. C.D.C解析 (1)在中,設過點B且垂直于上底面的棱與上底面的交點為C,連接AC,由NPCB,MNAC可知平面MNP平面ABC,得AB平面MNP;在中,易知ABNP,又AB 平面MNP,所以AB平面MNP.在中,易證AB與平面MNP不平行.故選C.解析 (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AA1垂直的棱有A1D1,AD,B1C1,BC,A1B1,AB,C1D1,CD,共8條.例4 (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與棱AA1垂直的棱有條. 8思路點撥 (2)利用正方體的幾何性質來求解.總結反思 正方體是一個特殊的四棱柱

15、,它有8個頂點、6個面、12條棱、12條面對角線、4條體對角線,它們之間的位置關系也十分特殊,通常在解題中可直接應用,由此可進一步推導出更多的平行與垂直關系.C思路點撥 (1)首先作出截面,然后根據(jù)截面形狀求面積;微點2正方體中的截面問題C思路點撥 (2)首先作出截面,根據(jù)截面位置得到正方體被分割后上下兩部分的分界線,然后求面積即可.解析 (2)設正方體的棱長為1,則四個側面的面積之和為4,如圖,向兩個方向延長EF,分別交A1B1,A1D1的延長線于M,P,連接GM,交BB1于N,連接GP,交DD1于Q,連接FN,QE,則五邊形GNFEQ即為截面,C總結反思 (1)作截面應遵循的三個原則:在同

16、一平面上的兩點可引直線;凡是相交的直線都要畫出它們的交點;凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種:利用公理3作交線;利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行關系,然后根據(jù)性質作出交線.A思路點撥 (1)借助正方體還原所給三視圖的直觀圖,進而求出幾何體的體積;微點3正方體中的切截問題(從正方體中切出或者截出一個幾何體)思路點撥 (2)將正四面體補成正方體,則正四面體與正方體有相同的外接球.總結反思 立體幾何中的許多概念、定理都可以用正方體的點、線、面的關系說明.構造正方體模型,依據(jù)題中幾何體的特點,把線面關系問題轉化到正方體中解決,是一種常用且有效的解題方法.D應用演練2.【微點1】在下列四個正方體中,能得出ABCD的是()AC4.【微點2】如圖,用小刀切一塊正方體橡皮的一個角,在棱AD,AA1,AB上的截點分別是E,F,G,則所得截面EFG()A.一定是等邊三角形B.一定是鈍角三角形C.一定是銳角三角形D.一定是直角三角形C2【備選理由】 例1考查異面直線所成的角,涉及翻折問題,難度較大;例2考查正方體中直線與平面間的平行和垂直關系;例3考查幾何體與正方體的關系.證明:(1)連接A1C1,設A1C1B1D1=O1,連接AO1,ABCD-A1B1C1D1是正方體,A1ACC1是