理論力學(xué) 7 剛體的基本運(yùn)動(dòng)

1、7 剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體的基本運(yùn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式：剛體運(yùn)動(dòng)的兩種基本形式： 剛體的平行移動(dòng)剛體的平行移動(dòng) 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 研究目的：研究目的： （1）基本運(yùn)動(dòng)在工程實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。）基本運(yùn)動(dòng)在工程實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用。 （2）研究剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)）研究剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ) 。7. .1 剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng)剛體的平動(dòng)運(yùn)動(dòng) 7.1.1 7.1.1定義定義 剛體在運(yùn)動(dòng)的過程中，如其上任一直線始終剛體在運(yùn)動(dòng)的過程中，如其上任一直線始終保持與初始位置平行則稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的平行保持與初始位置平行則稱這種運(yùn)動(dòng)為剛體的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平動(dòng)（移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平動(dòng)（Translation）。）。

2、 平動(dòng)分為直線平動(dòng)和曲線平動(dòng)兩種。 例如，電梯的升降，沿直線行駛的火車車廂（見圖7-1），擺動(dòng)篩AB的運(yùn)動(dòng)（見圖7-2），刨床工作臺(tái)的移動(dòng)，等等。 B A B A 圖 7-1 B A O1 O2 圖 7-2 7.1.2 7.1.2平動(dòng)剛體上各點(diǎn)的軌跡、速度和加速度平動(dòng)剛體上各點(diǎn)的軌跡、速度和加速度 BAABrr （7-1） 為常矢量。因此只要把點(diǎn)A的軌跡沿 方向平行搬移一段距離AB，就能與點(diǎn)B的軌跡完全重合（見圖7-3）。 ABAB （1） 剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同。剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同。 B y z O x A ABrA rB vA aB vB aA 圖 7-3 （2

3、 2）剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的速度相同，加速）剛體平動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。度也相同。BAABrrddddABttrrABvv（7-2） ddddABttvvABaa（7-3） 研究剛體的平動(dòng)，可以歸結(jié)為研究剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 7. .2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上（或其延伸部分）存剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上（或其延伸部分）存在一條始終保持不動(dòng)的直線，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體在一條始終保持不動(dòng)的直線，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（Rotation about a fixed axis），簡(jiǎn)稱），簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。這條不動(dòng)的直線段稱為轉(zhuǎn)軸。 轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)的

4、速度和加速度為零，轉(zhuǎn)軸外各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。 z M O P0 P O1 M0 圖 7-4 r O M （a） （b） M0 r S （+） v a an a 角角 稱為稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（Angle of rotation），），如圖7-4（a）所示。 按右手螺旋法則確定，或從z 軸的正向向負(fù)向看，從定平面起按逆時(shí)針轉(zhuǎn)向量得的角 取正；反之，取負(fù)。 7 7.2 2.1 1 轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程 剛體上平行于轉(zhuǎn)軸的任一直線均為平動(dòng)，剛體上平行于轉(zhuǎn)軸的任一直線均為平動(dòng)，其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征量相同，因此剛體的定軸轉(zhuǎn)其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征量相同，因此剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為垂直于轉(zhuǎn)軸的平面圖形在自

5、身平面動(dòng)可以簡(jiǎn)化為垂直于轉(zhuǎn)軸的平面圖形在自身平面內(nèi)繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖內(nèi)繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖7-4（b）所示，定點(diǎn)所示，定點(diǎn)O是轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)中心。是轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)中心。 ( )f t 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程（Equation of rotation）。）。 （7-4） 剛體的角速度（剛體的角速度（Angular velocity）等于其轉(zhuǎn)）等于其轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度 是代數(shù)量，從 軸的正向向負(fù)向看，剛體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度為正，反之為負(fù)。 7.2.2 7.2.2 角速度和角加速度角速度和角加速度 角速度：角速度：0dlimdttt （7-5）

6、z轉(zhuǎn)速 n 與角速度的關(guān)系： 26030nn（7-6） 轉(zhuǎn)速：剛體每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。單位：r / min。 角加速度角加速度 剛體的角加速度（剛體的角加速度（Angular acceleration）等于其角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于其轉(zhuǎn)角對(duì)等于其角速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于其轉(zhuǎn)角對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。 （7-7） 220ddlimddtttt 當(dāng)當(dāng)同號(hào)時(shí)，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；同號(hào)時(shí)，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；與與異號(hào)時(shí)，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。異號(hào)時(shí)，剛體作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。 當(dāng)當(dāng)與與7.37.3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作

7、圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)剛體上任選一點(diǎn)M，設(shè)它到轉(zhuǎn)軸的垂直距離（稱為轉(zhuǎn)動(dòng)半徑）為r，其轉(zhuǎn)動(dòng)中心為O （見圖7-4（b）。取當(dāng)剛體轉(zhuǎn)角 為零時(shí)點(diǎn)M所在位置M0為弧坐標(biāo)原點(diǎn)，以轉(zhuǎn)角增加的方向?yàn)榛∽鴺?biāo)正向，則任一瞬時(shí)點(diǎn)M的弧坐標(biāo)可表示為：Sr（7-8） 點(diǎn)M的速度大小為 ：（7-9）ddddSvrrtt 結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于剛體角結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于剛體角速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積。速度的方向垂直于轉(zhuǎn)速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積。速度的方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致。動(dòng)半徑，指向與角速度的轉(zhuǎn)向一致。 點(diǎn)M的切向加速度為： （7-10）ddddvarrtt 點(diǎn)M的法向加速度為： 22

8、2()nvrarrr（7-11） 結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度等于剛結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度等于剛體角加速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積，其法向加速度體角加速度與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積，其法向加速度剛體角速度平方與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積。切向加速剛體角速度平方與該點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的乘積。切向加速度垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，指向與角加速度的轉(zhuǎn)向一致；度垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，指向與角加速度的轉(zhuǎn)向一致；而法向加速度總是沿轉(zhuǎn)動(dòng)半徑指向轉(zhuǎn)軸，又稱向心而法向加速度總是沿轉(zhuǎn)動(dòng)半徑指向轉(zhuǎn)軸，又稱向心加速度。加速度。點(diǎn) M 的全加速度 a 的大小和方向?yàn)?2222224()()naaarrr2tannaa（7-13） 在給定瞬時(shí)，剛

9、體的角速度和角加速度有確定的值，對(duì)剛體上任何點(diǎn)都是一樣。因而，在同一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的速度 v 和加速度 a 的大小均與該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑 r 成正比；各點(diǎn)速度 v 的方向都垂直于各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，各點(diǎn)加速度 a 與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的夾角都相等。轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)在垂直于轉(zhuǎn)軸平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑上各點(diǎn)的速度和加速度的分布規(guī)律，如圖7-5所示。 v O （a） （b） 圖 7-5 a O v a 例7-1 如圖7-6所示，曲柄O1A繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 （rad），O2B 桿繞 O2 軸轉(zhuǎn)動(dòng)，且桿O1A與桿O2B平行等長(zhǎng)，O1A = O2B = 0.6 m，試求當(dāng) ，直桿AB上D點(diǎn)的速度和加速度。 B D A

10、nAa O2 O1 nDa Aa vA vD Da aD 圖 7-6 23t1st 解：由于O1A與O2B平行等長(zhǎng)，則直桿AB作平動(dòng)。 曲柄O1A的角速度和角加速度為：d2d3ttrad / s d2d3trad / s2 直桿AB上D點(diǎn)的速度和加速度分布等于A點(diǎn)的速度和加速度。當(dāng) 時(shí)st1120.61.2563DAvvO Am / s 120.61.2563DAaaO Am / s2 22120.62.6293nnDAaaO Am / s2 m / s2 D點(diǎn)的全加速度為 2222=() +() = 1.2562.6292.914nDDDaaa全加速度與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的夾角為 2tan0.4777

11、25.5DnDaa24tt 例7-2 如圖7-7所示，一半徑為R = 0.2 m圓輪繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)方程為 （1）當(dāng)t = 1 s時(shí)，試求輪緣上M點(diǎn)速度和加速度； （2）若輪上繞一不可伸長(zhǎng)的繩索，并在繩索下端懸一物體A，求當(dāng)t = 1 s時(shí)，物體A的速度和加速度。 A v A a A vM aM R O nMa Ma M 圖 7-7 解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為 d24dtt rad / s d2dt rad / s2 當(dāng)t = 1 s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn) M 的速度和加速度為 =0.2 20.4MvRm / s m / s2 0.2 ( 2)0.4MaR 22=0.2 20.8

12、MnaRm / s2 點(diǎn)M的全加速度為 m / s2 22+0.8944nMMMaaa22tan0.526.572MnMaa A物體作直線運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的大小與輪緣上M點(diǎn)的速度大小和切向加速度大小相等，即 0.4 m/sAMvv20.4 m/sAMaa 例7-3 一飛輪由靜止（ = 0）開始作為變速轉(zhuǎn)動(dòng)。輪的半徑 r = 0.4 m，輪緣上點(diǎn)M在某瞬時(shí)的全加速度a = 20 m / s2，與半徑的夾角 ，如圖7-8所示。當(dāng)t = 0時(shí)， 。試求：（1）飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程；（2）當(dāng)t = 2 s時(shí)點(diǎn)M的速度和法向加速度。030 00 解：將點(diǎn)M在圖7-8所示瞬時(shí)的全加速度沿軌跡的切向和法向分解，

13、則切向加速度及角加速度為 2sin10 m/saa2/25 rad/sar a r O M 圖 7-8 ddtddtddt ddt00ddtt25rad/stt 00ddtt2112.5rad22tt 即為飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。 當(dāng)t = 2 s時(shí)，飛輪的角速度為 25 250trad/st = 2 s時(shí)，點(diǎn)M的速度及法向加速度為 0.45020 m /svr 220.4 501000nar 2m/s 例7-4 定軸輪系如圖7-9所示，主動(dòng)輪I通過輪齒與從動(dòng)輪II輪齒嚙合實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞。主動(dòng)輪I和從動(dòng)輪II的節(jié)圓半徑分別為r1、r2，齒數(shù)分別為z1、z2。設(shè)I輪的角速度為 （轉(zhuǎn)數(shù)為n1），角加速度為

14、；II輪的角速度為 （轉(zhuǎn)數(shù)為n2），角加速度為 。試求上述各參數(shù)之間滿足的關(guān)系。 1122 2 r2 O2 M II M I O1 IMv r1 1 IIMv 圖 7-9 1 2 解：在齒輪的傳動(dòng)中，齒輪相互嚙合，可看作兩輪的節(jié)圓作無相滑動(dòng)的滾動(dòng)，因此，兩輪節(jié)圓的相切點(diǎn)（齒輪的嚙合點(diǎn)）MI、MII的速度相等，切向加速度相等，即I、II輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) I111130MnvrrII222230MnvrrI11MarII22Mar2211rr或 112221nrnr1122rr1221rr或 IIIMMvvIIIMMaa齒數(shù)與節(jié)圓周長(zhǎng)成正比，即11122222zrrzrr 工程中常把主動(dòng)輪與從動(dòng)輪

15、的角速度（或轉(zhuǎn)數(shù)）之比稱為傳動(dòng)比，并用 表示，則12i111221222211nrzinrz（7-14） 7.4 7.4 轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度和加速度的矢積表示轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)點(diǎn)的速度和加速度的矢積表示 7.4.1 角速度和角加速度矢量 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度可以用矢量表示，如圖7-10所示，角速度矢 的大小等于角速度的絕對(duì)值，即 z k 圖 7-10 ddt （7-15） 角速度矢 沿轉(zhuǎn)軸，它的指向表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，按照右手螺旋法則確定，即右手的四指表示剛體繞軸的轉(zhuǎn)向，大拇指的指向就表示 的指向。角速度矢 的起點(diǎn)可以在轉(zhuǎn)軸上任意選取，因此，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度矢是滑動(dòng)矢量。 以 k 表示剛體轉(zhuǎn)軸

16、z 的單位矢量，則 ddt kk（7-16） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度也可用一個(gè)沿軸線的滑動(dòng)矢量表示 k（7-17） dd()ddddttt kk =（7-18） 即角加速度矢 等于角速度矢 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。 當(dāng)剛體繞定軸加速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 與 同向；減速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)， 與 異向，如圖7-11所示。 z k 圖 7-11 （a） z k （b） 7.4.2 速度和加速度的矢積表達(dá)式 設(shè) M 為繞 z 軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體內(nèi)的任一點(diǎn)，點(diǎn) M 的矢徑為 r ，矢徑 r 與 z 軸正向的夾角為。如圖7-12所示。在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)， 和r 的模 r 保持不變，但r 的方向在不斷變化，是時(shí)間的

17、函數(shù)。d0dtd0drt y x O M z k 圖 7-12 i j r v 對(duì)于Oxyz固定坐標(biāo)系，設(shè)其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量為i、j、k， i、j、k為常矢量，不隨時(shí)間變化。 0 ，kk ，kji kijd0dt ，id0dt ，jd0dtk點(diǎn) M 的矢徑為r可表示成sincossinsincosrrrrijk點(diǎn) M 的速度為 ddsin sinsin cosdddrrttdt rvijddtkksin sin()cos sinsin ()sincos ()cos () sincossinsincosrrrrrrr vijkjkikkkij+kr（7-19） 即繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上任意一點(diǎn)的速度 v 等于剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢 與該點(diǎn)矢徑 r 的矢積。 點(diǎn) M 速度的大小為 sinvr方向垂直于和 r 所組成的平面，指向按右手法則確定，如圖7-12所示。 式（7-19）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得 dddd()ddddt