大學物理學上冊習題解答

1、大學物理學習題答案習題一答案習題一1.1 簡要回答下列問題：(1) 位移和路程有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？在什么情況下二者的量值不相等？(2) 平均速度和平均速率有何區(qū)別？在什么情況下二者的量值相等？(3) 瞬時速度和平均速度的關(guān)系和區(qū)別是什么？瞬時速率和平均速率的關(guān)系和區(qū)別又是什么？(4) 質(zhì)點的位矢方向不變，它是否一定做直線運動？質(zhì)點做直線運動，其位矢的方向是否一定保持不變？(5) 和有區(qū)別嗎？和有區(qū)別嗎？和各代表什么運動？(6) 設(shè)質(zhì)點的運動方程為：，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出，然后根據(jù) 及 而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 及 你認為

2、兩種方法哪一種正確？兩者區(qū)別何在？(7) 如果一質(zhì)點的加速度與時間的關(guān)系是線性的，那么，該質(zhì)點的速度和位矢與時間的關(guān)系是否也是線性的？(8) “物體做曲線運動時，速度方向一定在運動軌道的切線方向，法向分速度恒為零，因此其法向加速度也一定為零.”這種說法正確嗎？(9) 任意平面曲線運動的加速度的方向總指向曲線凹進那一側(cè)，為什么？(10) 質(zhì)點沿圓周運動，且速率隨時間均勻增大，、三者的大小是否隨時間改變？(11) 一個人在以恒定速度運動的火車上豎直向上拋出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子拋出后，火車以恒定加速度前進，結(jié)果又如何？ 1.2 一質(zhì)點沿軸運動，坐標與時間的變化關(guān)系為，式中分別以、

3、為單位，試計算：(1)在最初內(nèi)的位移、平均速度和末的瞬時速度；(2)末到末的平均加速度；(3)末的瞬時加速度。 解：(1) 最初內(nèi)的位移為為： 最初內(nèi)的平均速度為： 時刻的瞬時速度為：末的瞬時速度為： (2) 末到末的平均加速度為： (3) 末的瞬時加速度為：。1.3 質(zhì)點作直線運動，初速度為零，初始加速度為，質(zhì)點出發(fā)后，每經(jīng)過時間，加速度均勻增加。求經(jīng)過時間后，質(zhì)點的速度和位移。解: 由題意知，加速度和時間的關(guān)系為利用，并取積分得，再利用，并取積分設(shè)時得，1.4 一質(zhì)點從位矢為的位置以初速度開始運動，其加速度與時間的關(guān)系為.所有的長度以米計，時間以秒計.求：（1）經(jīng)過多長時間質(zhì)點到達軸；（2

4、）到達軸時的位置。解： （1） 當，即時，到達軸。（2） 時到達軸的位矢為 ： 即質(zhì)點到達軸時的位置為。1.5 一質(zhì)點沿軸運動，其加速度與坐標的關(guān)系為，式中為常數(shù)，設(shè)時刻的質(zhì)點坐標為、速度為，求質(zhì)點的速度與坐標的關(guān)系。解：按題意 由此有 ，即 ，兩邊取積分 ，得 由此給出 ， 1.6 一質(zhì)點的運動方程為，式中，分別以、為單位。試求：(1) 質(zhì)點的速度與加速度；(2) 質(zhì)點的軌跡方程。 解：(1) 速度和加速度分別為： ， (2) 令，與所給條件比較可知 ，所以軌跡方程為：。1.7 已知質(zhì)點作直線運動，其速度為，求質(zhì)點在時間內(nèi)的路程。解: 在求解本題中要注意：在時間內(nèi)，速度有時大于零，有時小于零

5、，因而運動出現(xiàn)往返。如果計算積分，則求出的是位移而不是路程。求路程應(yīng)當計算積分。令，解得。由此可知：s時，； s時，；而s時，。因而質(zhì)點在時間內(nèi)的路程為 。1.8 在離船的高度為的岸邊，一人以恒定的速率收繩，求當船頭與岸的水平距離為時，船的速度和加速度。解: 建立坐標系如題1.8圖所示，船沿軸方向作直線運動，欲求速度，應(yīng)先建立運動方程，由圖題1.8，可得出 習題1.8圖兩邊求微分，則有船速為按題意(負號表示繩隨時間縮短)，所以船速為負號表明船速與軸正向反向，船速與有關(guān)，說明船作變速運動。將上式對時間求導(dǎo)，可得船的加速度為負號表明船的加速度與軸正方向相反，與船速方向相同，加速度與有關(guān)，說明船作變

6、加速運動。1.9 一質(zhì)點沿半徑為的圓周運動，其角坐標(以弧度計)可用下式表示其中的單位是秒()試問：(1)在時，它的法向加速度和切向加速度各是多少？(2)當?shù)扔诙嗌贂r其總加速度與半徑成角 ？解：(1) 利用 ，得到法向加速度和切向加速度的表達式 ，在時，法向加速度和切向加速度為： ，(2) 要使總加速度與半徑成角，必須有，即解得 ，此時 1.10 甲乙兩船，甲以的速度向東行駛，乙以的速度向南行駛。問坐在乙船上的人看來，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看來乙船的速度又如何？解：以地球為參照系，設(shè)、分別代表正東和正北方向，則甲乙兩船速度分別為，根據(jù)伽利略變換，當以乙船為參照物時，甲船速度為 ，即在乙

7、船上看，甲船速度為，方向為東偏北同理，在甲船上看，乙船速度為，方向為西偏南。1.11 有一水平飛行的飛機，速率為，在飛機上安置一門大炮，炮彈以水平速度向前射擊。略去空氣阻力，(1) 以地球為參照系，求炮彈的軌跡方程；(2) 以飛機為參照系，求炮彈的軌跡方程；(3) 以炮彈為參照系，飛機的軌跡如何？解：(1) 以地球為參照系時，炮彈的初速度為，而，消去時間參數(shù)，得到軌跡方程為： （若以豎直向下為y軸正方向，則負號去掉，下同） (2) 以飛機為參照系時，炮彈的初速度為，同上可得軌跡方程為 (3) 以炮彈為參照系，只需在(2)的求解過程中用代替，代替，可得 .1.12如題1.12圖，一條船平行于平直

8、的海岸線航行，離岸的距離為，速率為，一艘速率為的海上警衛(wèi)快艇從一港口出去攔截這條船。試證明：如果快艇在盡可能最遲的時刻出發(fā)，那么快艇出發(fā)時這條船到海岸線的垂線與港口的距離為；快艇截住這條船所需的時間為。 港口 習題1.12圖證明：在如圖所示的坐標系中，船與快艇的運動方程分別為 和 攔截條件為： 即 所以，取最大值的條件為：，由此得到，相應(yīng)地。因此的最大值為取最大值時對應(yīng)的出發(fā)時間最遲?？焱Ы刈∵@條船所需的時間為 。習題二答案習題二2.1 簡要回答下列問題：(1) 有人說：牛頓第一定律只是牛頓第二定律在合外力等于零情況下的一個特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2) 物體的運動方向與合外力方向

9、是否一定相同？(3) 物體受到了幾個力的作用，是否一定產(chǎn)生加速度？(4) 物體運動的速率不變，所受合外力是否一定為零？(5) 物體速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6) 為什么重力勢能有正負，彈性勢能只有正值，而引力勢能只有負值？(7) 合外力對物體所做的功等于物體動能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物體動能的增量？(8)質(zhì)點的動量和動能是否與慣性系的選取有關(guān)？功是否與慣性系有關(guān)？質(zhì)點的動量定理與動能定理是否與慣性系有關(guān)？請舉例說明.(9)判斷下列說法是否正確，并說明理由： (a)不受外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒.(b)內(nèi)力都是保守力的系統(tǒng)，當它所受的合外力為零時，其機械能

10、守恒. (c)只有保守內(nèi)力作用而沒有外力作用的系統(tǒng)，它的動量和機械能都守恒.(10) 在彈性碰撞中，有哪些量保持不變，在非彈性碰撞中，又有哪些量保持不變？(11) 放焰火時，一朵五彩繽紛的焰火質(zhì)心運動軌跡如何？為什么在空中焰火總是以球形逐漸擴大？(忽略空氣阻力)2.2 質(zhì)量為質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力（為常數(shù)）作用，時質(zhì)點的速度為，證明：（1）時刻的速度為；（2）由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為；（3）停止運動前經(jīng)過的距離為。證明：(1) 由 分離變量得 ，積分得 ，(2) (3) 質(zhì)點停止運動時速度為零，即，故有。2.3一質(zhì)量為10 kg的物體沿x軸無摩擦地運動，設(shè)時，物體的速度

11、為零，物體在力(N)(t以s為單位)的作用下運動了3s，求它的速度和加速度.解. 根據(jù)質(zhì)點動量定理, 根據(jù)牛頓第二定律，(m/s2)2.4 一顆子彈由槍口射出時速率為 ms-1，當子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為N（a,b為常數(shù)），其中t以秒為單位：（1）假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；（2）求子彈所受的沖量；（3）求子彈的質(zhì)量。解：(1)由題意，子彈到槍口時，有, 得 (2)子彈所受的沖量，將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量 2.5 一質(zhì)量為的質(zhì)點在xoy平面上運動，其位置矢量為，求質(zhì)點的動量及到時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量。解：

12、質(zhì)點的動量為將和分別代入上式，得 ，動量的增量，亦即質(zhì)點所受外力的沖量為2.6 作用在質(zhì)量為10kg的物體上的力為，式中的單位是。（1）求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量；（2）為了使這力的沖量為200Ns，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度的物體，回答這兩個問題。解：(1)若物體原來靜止，則，沿x軸正向，若物體原來具有初速度，則 于是 同理， 這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理(2)同上理，兩種情況中的作用時間相同，即令，解得。2.7

13、一小船質(zhì)量為100kg，船頭到船尾共長3.6m?，F(xiàn)有一質(zhì)量為50kg的人從船尾走到船頭時，船頭將移動多少距離？假定水的阻力不計。 習題2.7圖解：由動量守恒 又 ，如圖，船的長度 所以 即船頭相對岸邊移動2.8 質(zhì)量的質(zhì)點,從靜止出發(fā)沿軸作直線運動，受力(N)，試求開始內(nèi)該力作的功。解 而所以2.9 一地下蓄水池，面積為，水深度為，假定水的上表面低于地面的高度是，問欲將這池水全部抽到地面，需作功多少? 習題2.9圖解:建坐標如習題2.9圖，圖中表示水面到地面的距離，表示水深。水的密度為，對于坐標為、厚度為的一層水，其質(zhì)量，將此層水抽到地面需作功將蓄水池中的水全部抽到地面需作功(J)2.10一炮

14、彈質(zhì)量為，以速度飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為 ，。證明：設(shè)一塊的質(zhì)量為，則另一塊的質(zhì)量為。利用，有 ， 又設(shè)的速度為，的速度為，則有 動量守恒 聯(lián)立、解得， 聯(lián)立、解得，于是有將其代入式，有又因為爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，當時只能取 。2.11一質(zhì)量為的子彈射入置于光滑水平面上質(zhì)量為并與勁度系數(shù)為的輕彈簧連著的木塊后使彈簧最大壓縮了，求子彈射入前的速度. 習題2.10圖解： 子彈射入木塊到相對靜止的過程是一個完全非彈性碰撞，時間極短，木塊獲得了速度，尚未位移，因而彈簧尚未壓縮.此時

15、木塊和子彈有共同的速度，由動量守恒，此后，彈簧開始壓縮，直到最大壓縮，由機械能守恒，由兩式消去，解出得2.12質(zhì)量的物體從靜止開始，在豎直平面內(nèi)沿著固定的四分之一圓周從滑到。在處時，物體速度的大小為。已知圓的半徑為，求物體從滑到的過程中摩擦力所作的功：(1)用功的定義求； (2)用動能定理求；(3)用功能原理求。 習題2.11圖解 方法一：當物體滑到與水平成任意角的位置時，物體在切線方向的牛頓方程為即 注意摩擦力與位移反向，且，因此摩擦力的功為方法二： 選為研究對象，合外力的功為考慮到，因而 由于動能增量為，因而按動能定理有，。方法三：選物體、地球組成的系統(tǒng)為研究對象，以點為重力勢能零點。初始

16、在點時，、終了在點時，由功能原理知：經(jīng)比較可知，用功能原理求最簡捷。2.13墻壁上固定一彈簧，彈簧另一端連接一個物體，彈簧的勁度系數(shù)為，物體與桌面間的摩擦因素為，若以恒力將物體自平衡點向右拉動，試求到達最遠時，系統(tǒng)的勢能。 習題2.12圖解：物體水平受力如圖，其中，。物體到達最遠時，。設(shè)此時物體的位移為, 由動能定理有即 解出 系統(tǒng)的勢能為 2.14 一雙原子分子的勢能函數(shù)為式中為二原子間的距離，試證明：為分子勢能極小時的原子間距；分子勢能的極小值為；當時，原子間距離為； 證明：（1）當、時，勢能有極小值。由得 所以，即為分子勢能取極值時的原子間距。另一方面，當時，所以時，取最小值。（2）當時

17、，（3）令，得到，2.15 質(zhì)量為7.2×10-23kg，速度為6.0×107m/s的粒子A，與另一個質(zhì)量為其一半而靜止的粒子B相碰，假定這碰撞是彈性碰撞，碰撞后粒子A的速率為5×107m/s，求：粒子B的速率及偏轉(zhuǎn)角；粒子A的偏轉(zhuǎn)角。 習題2.14圖解：兩粒子的碰撞滿足動量守恒寫成分量式有碰撞是彈性碰撞，動能不變：利用 ， ，可解得，。 2.16 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物。小球作勻速圓周運動，當半徑為時重物達到平衡。今在的下方再掛一質(zhì)量為的物體，如題2-15圖。試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑為多少？ 習題

18、2.15圖解：在只掛重物時，小球作圓周運動的向心力為，即 掛上后，則有 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒即 聯(lián)立、得2.17 哈雷慧星繞太陽運動的軌道是一個橢圓。它離太陽最近距離為時的速率是，它離太陽最遠時的速率是，這時它離太陽的距離r2是多少？（太陽位于橢圓的一個焦點。）解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有 2.18 查閱文獻，對變質(zhì)量力學問題進行分析和探討，寫成小論文。參考文獻：1石照坤，變質(zhì)量問題的教學之淺見，大學物理，1991年第10卷第10期。2任學藻、廖旭，變質(zhì)量柔繩問題研究

19、，大學物理，2006年第25卷第2期。2.19 通過查閱文獻，形成對慣性系的進一步認識，寫成小論文。參考文獻：1高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考，大學物理，2002年第21卷第4期。2高炳坤、李復(fù)，“慣性系”考(續(xù))，大學物理，2002年第21卷第5期。習題三答案習題三3.1簡要回答下列問題：(1) 地球由西向東自轉(zhuǎn)，它的自轉(zhuǎn)角速度矢量指向什么方向？ 作圖說明.(2) 剛體的轉(zhuǎn)動慣量與那些因素有關(guān)？“一個確定的剛體有確定的轉(zhuǎn)動慣量”這句話對嗎？(3) 平行于軸的力對軸的力矩一定為零，垂直于軸的力對軸的力矩一定不為零.這種說法正確嗎？(4) 如果剛體轉(zhuǎn)動的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作

20、用于其上的力矩是否一定很大？(5) 兩大小相同、質(zhì)量相同的輪子，一個輪子的質(zhì)量均勻分布，另一個輪子的質(zhì)量主要集中在輪子邊緣，兩輪繞通過輪心且垂直于輪面的軸轉(zhuǎn)動。問：(a)如果作用在它們上面的外力矩相同，哪個輪子轉(zhuǎn)動的角速度較大？(b)如果它們的角加速度相同，哪個輪子受到的力矩大？(c)如果它們的角動量相等，哪個輪子轉(zhuǎn)得快？(6) 為什么質(zhì)點系動能的改變不僅與外力有關(guān)，而且也與內(nèi)力有關(guān)，而剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能只與外力矩有關(guān)，而與內(nèi)力矩無關(guān)？(7) 下列物理量中，哪些與參考點的選擇有關(guān)，哪些與參考點的選擇無關(guān)：(a) 位矢；(b)位移；(c)速度；(d)動量；(e)角動量；(f)力；(g)力矩.(8

21、) 做勻速圓周運動的質(zhì)點，對于圓周上某一定點，它的角動量是否守恒？對于通過圓心并與圓平面垂直的軸上任一點，它的角動量是否守恒？對于哪一個定點，它的角動量守恒？(9) 一人坐在角速度為的轉(zhuǎn)臺上，手持一個旋轉(zhuǎn)著的飛輪，其轉(zhuǎn)軸垂直于地面，角速度為。如果忽然使飛輪的轉(zhuǎn)軸倒轉(zhuǎn)，將發(fā)生什么情況？設(shè)轉(zhuǎn)臺和人的轉(zhuǎn)動慣量為，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為。3.2質(zhì)量為長為的均質(zhì)桿，可以繞過端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。開始時，用手支住端，使桿與地面水平放置，問在突然撒手的瞬時，(1)繞點的力矩和角加速度各是多少？(2)桿的質(zhì)心加速度是多少？ 習題3.1圖解：(1)繞B點的力矩由重力產(chǎn)生，設(shè)桿的線密度為，則繞B點的力矩為 桿繞B點

22、的轉(zhuǎn)動慣量為 角加速度為 (2)桿的質(zhì)心加速度為 3.3 如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為與，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為，半徑為。如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與(設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動)； 如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力與。 習題3.2圖解：先做受力分析，物體1受到重力和繩的張力，對于滑輪，受到張力和，對于物體2，在水平方向上受到摩擦力和張力，分別列出方程 通過上面三個方程，可分別解出三個未知量， 在的解答中，取即得， ，。3.4 電動機帶動一個轉(zhuǎn)動慣量為I=50kg·m2的系統(tǒng)作定軸轉(zhuǎn)動。在0.5s內(nèi)由靜止開始最后達到120r/min的

23、轉(zhuǎn)速。假定在這一過程中轉(zhuǎn)速是均勻增加的，求電動機對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加的力矩。解：由于轉(zhuǎn)速是均勻增加的，所以角加速度為從而力矩為3.5 一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻的加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達到10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；拉力及拉力所作的功；從拉動后t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。解： 飛輪的角加速度為 轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為 ， 所以，拉力的大小為 拉力做功為 從拉動后t=10s時，輪角速度為 輪邊緣上一點的速度為 輪邊緣上一點的加速度為 。3.6 飛輪

24、的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r/min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。習題3.6圖解：設(shè)在飛輪接觸點上所需要的壓力為，則摩擦力為，摩擦力的力矩為，在制動過程中，摩擦力的力矩不變，而角動量由變化到0，所以由 有 解得。由桿的平衡條件得 。3.7 彈簧、定滑輪和物體的連接如圖3.7所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0N m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg m2，半徑為0.30m，問當6.0kg質(zhì)量的物體落下0.40m時，它的速率為多大？假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長。習題3.7圖解：當物體落下

25、0.40m時，物體減少的勢能轉(zhuǎn)化為彈簧的勢能、物體的動能和滑輪的動能， 即 ， 將，代入，得 3.8 在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤的半徑為，轉(zhuǎn)動慣量為，角速度為。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。解：系統(tǒng)的角動量在整個過程中保持不變。人在盤邊時，角動量為 人走到盤心時角動量為 因此 人在盤邊和在盤心時，系統(tǒng)動能分別為，系統(tǒng)動能增加 3.9 在半徑為，質(zhì)量為的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當這人開始沿著與圓盤同心，半徑為的圓周勻速地走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？解：整個體系的角動量保

26、持為零，設(shè)人勻速地走動時圓盤的角速度為，則 解得 3.10 如題3.10圖示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量=5×10-5 kg·m2。現(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)樗ǖ臅r間。習題3.10圖解：要使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)椋捎谏傲Ｂ湎聲r不能改變體系角動量，所以必須要使體系的轉(zhuǎn)動慣量加倍才行，即 。將和代入得所以 3.11 一脈沖星質(zhì)量為1.5×1030kg，半徑為20km。自旋轉(zhuǎn)速為2.1 r/s，并且以1.0×10-15r/s的變化率減慢。問它的轉(zhuǎn)動動能以多大

27、的變化率減??？如果這一變化率保持不變，這個脈沖星經(jīng)過多長時間就會停止自旋？設(shè)脈沖星可看作勻質(zhì)球體。解：脈沖星的轉(zhuǎn)動慣量為 轉(zhuǎn)動動能為 轉(zhuǎn)動動能的變化率為 由，得停止自旋所需要的時間為3.12 兩滑冰運動員，質(zhì)量分別為MA=60kg，MB=70kg，它們的速率VA=7m/s，VB=6m/s，在相距1.5m的兩平行線上相向而行，當兩者最接近時，便拉起手來，開始繞質(zhì)心作圓周運動并保持兩者間的距離為1.5m。求該瞬時：系統(tǒng)的總角動量；系統(tǒng)的角速度；兩人拉手前、后的總動能。這一過程中能量是否守恒，為什么？解：設(shè)兩滑冰運動員拉手后，兩人相距為，兩人與質(zhì)心距離分別為和，則 ， 兩人拉手前系統(tǒng)總角動量為 設(shè)兩

28、人拉手后系統(tǒng)的角速度為，由于兩人拉手后系統(tǒng)角動量不變 所以， 兩人拉手前總動能為： 拉手后，由于整個體系的動量保持為零，所以體系動能為 所以體系動能保持守恒?？梢运愠?，當且僅當時，體系能量守恒，否則能量會減小，且 3.13一長=0.40m的均勻木棒，質(zhì)量M=1.00kg，可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，開始時棒自然地豎直懸垂?，F(xiàn)有質(zhì)量m=8g的子彈以v=200m/s的速率從A點與O點的距離為，如圖。求：棒開始運動時的角速度；棒的最大偏轉(zhuǎn)角。 習題3.13圖解：系統(tǒng)繞桿的懸掛點的角動量為 子彈射入后，整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為 所以 子彈射入后，且桿仍然垂直時，系統(tǒng)的動能為 當桿轉(zhuǎn)至最大偏轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)動

29、能為零，勢能的增加量為 由機械能守恒， 得 3.14 通過查閱文獻，探討計算剛體轉(zhuǎn)動慣量的簡化方法，寫成小論文。參考文獻：周海英、陳浩、張曉偉，巧算一類剛體的轉(zhuǎn)動慣量，大學物理，2005年第24卷第2期。 3.15 通過上網(wǎng)搜尋，查找對稱陀螺規(guī)則進動在生活、生產(chǎn)中的應(yīng)用事例，并進行分類。習題四參考解答4.1 慣性系相對慣性系以速度運動。當它們的坐標原點與重合時，。在慣性系中一質(zhì)點作勻速率圓周運動，軌道方程為 ， 試證：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點作橢圓運動，橢圓的中心以速度運動。 提示：在慣性系中的觀測者觀測到該質(zhì)點的軌道方程為 。證明：根據(jù)洛侖茲坐標變換關(guān)系 代入原方程中，得到 化簡得 所

30、以，在K系中質(zhì)點做橢圓運動，橢圓中心以速度運動。4.2 一觀測者測得運動著的米尺長，問此米尺以多大的速度接近觀測者？解：由相對論長度縮短關(guān)系 得到 4.3 如題圖4.3所示，在系的平面內(nèi)放置一固有長度為的細桿，該細桿與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運動，試求在系中測得的細桿的長度和細桿與軸的夾角。 ，題圖4.3解：細桿在系中的兩個坐標上的投影分別為 細桿在系中的兩個坐標上的投影分別為 在系中細桿的長度為與X軸正向夾角為 4.4 一飛船以的速率相對于地面假設(shè)地面慣性系勻速飛行。若飛船上的鐘走了的時間，用地面上的鐘測量是經(jīng)過了多少時間？解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 4.5

31、已知介子束的速度為為真空中的光速，其固有平均壽命為，在實驗室中看來，介子在一個平均壽命期內(nèi)飛過多大距離？解：根據(jù)相對論中時間延長關(guān)系 代入數(shù)據(jù)，可得 因此 4.6 慣性系相對另一慣性系沿軸作勻速直線運動，在慣性系中觀測到兩個事件同時發(fā)生軸上，且其間距是，在系觀測到這兩個事件的空間間距是，求系中測得的這兩個事件的時間間隔。解：由相對論的同時性的兩個等價關(guān)系 (1) (2)聯(lián)立兩式得到 代入(2)式中得到 4.7論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同的地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時發(fā)生。 證明：令在某個慣性系中兩事件滿足 ， 則在有相對運動的另一個慣性系中(相

32、對運動速度為),兩事件的時間間隔是由于 ， 且所以 ，即兩事件一定不同時發(fā)生。4.8 試證明：(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩 個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短；(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短。證明(1) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同一地點發(fā)生，即，時間間隔為，則在另一個相對運動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為所以，在原慣性系中時間間隔最短。證明(2) 設(shè)兩事件在某慣性系中于同時發(fā)生，即，時間間隔為，則在另一個相對運動速度為的慣性系中，兩事件的時間間隔為所以，在原慣性系中空間間

33、隔最短。4.9 若電子和電子均以為真空中的光速的速度相對于實驗室向右和向左飛行，問兩者的相對速度是多少？ 答案：4.10 一光源在系的原點發(fā)出一光線。光線在平面內(nèi)且與軸的夾角為。設(shè)系相對于系沿軸正向以速率運動。試求在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角。解：光線的速度在系中兩個速度坐標上的投影分別為 由速度變換關(guān)系 ， 則在系中速度的兩個投影分別為， 所以，在系中的觀測者觀測到此光線與軸的夾角4.11 如果一觀測者測出電子的質(zhì)量為為電子的靜止質(zhì)量，問電子的速度是多大？解：由相對論質(zhì)量關(guān)系 而且 得到 4.12 如果將電子由靜止加速到 為真空中的光速 的速度，需要對它作多少功？速度從加速到，又要作

34、多少功？解(1) 由相對論動能定理：因為 ， 代入得到 (2) 將 ， 代入原式4.13 在什么速度下粒子的動量是其非相對論動量的兩倍？在什么速度下粒子的動能等于它的靜止能量？ 解(1) 由相對論動量公式 而且 聯(lián)立兩式 (2) 由相對論動能公式 而且 聯(lián)立兩式 4.14 靜止質(zhì)量為的電子具有倍于它的靜能的總能量，試求它的動量和速率。提示：電子的靜能為解：由總能量公式 而且 (1)其中 (2)聯(lián)立(1)、(2)兩式 將(1)式代入動量公式4.15 一個質(zhì)量為的靜止粒子，衰變?yōu)閮蓚€靜止質(zhì)量為和的粒子，求這兩個粒子的動能。提示：利用能量守恒和動量守恒關(guān)系解：令兩粒子的動能分別為與由相對論能量守恒得

35、到 (1)由相對論動量和能量的關(guān)系 得到 由相對論動量守恒得到 (2)聯(lián)立(1)、(2)兩式解得，習題五參考解答5.1 簡答下列問題：（1） 什么是簡諧振動？分別從運動學和動力學兩方面作出解釋。一個質(zhì)點在一個使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作簡諧振動？（2） 在什么情況下，簡諧振動的速度和加速度是同號的？在什么情況下是異號的？加速度為正值時，振動質(zhì)點一定是加快地運動嗎？反之，加速度為負值時，肯定是減慢地運動嗎？（3） 同一彈簧振子，如果它在水平位置是作簡諧振動，那么它在豎直懸掛情況下是否仍作簡諧振動？把它裝在光滑斜面上，它是否仍將作簡諧振動？（4） 如果某簡諧振動振動的運動學方程是，那

36、么這一振動的周期是多少？（5） 在地球上，我們認為單擺(在小角幅下)的運動是簡諧振動，如果把它拿到月球上，那么，振動周期將怎樣改變？（6） 什么是位相？一個單擺由最左位置開始擺向右方，在最左端位相是多少？經(jīng)過中點、到達右端、再回中點、返回左端等各處的位相是多少？ （7） 初位相是個什么物理量？初位相由什么確定？如何求初周相？試分別舉例說明： (a)已知初始狀態(tài)，如何確定初位相；(b)已知初位相，如何確定初始狀態(tài)。5.2 一質(zhì)點作簡諧振動cm。某時刻它在cm處，且向X軸負向運動，它要重新回到該位置至少需要經(jīng)歷的時間為(A) ; (B) ; (C) ; (D) 。答案：(B) Y X 如圖： 位相

37、差5.3 以頻率作簡諧振動的系統(tǒng)，其動能和勢能隨時間變化的頻率為(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。答案：(C)5.4 勁度系數(shù)為的輕彈簧和質(zhì)量為10g的小球組成的彈簧振子，第一次將小球拉離平衡位置4cm，由靜止釋放任其運動；第二次將小球拉離平衡位置2cm并給以2cm/s的初速度任其振動。這兩次振動能量之比為(A) 1:1; (B) 4:1; (C) 2:1; (D) 。答案：(C) ， 5.5 一諧振系統(tǒng)周期為0.6s，振子質(zhì)量為200g，振子經(jīng)平衡位置時速度為12cm/s，則再經(jīng)0.2s后振子動能為(A) ； (B) 0; (C) ; (D) 。答案：(D)， ， 5.6 一彈簧

38、振子系統(tǒng)豎直掛在電梯內(nèi)，當電梯靜止時，振子諧振頻率為?，F(xiàn)使電梯以加速度向上作勻加速運動，則其諧振頻率將(A) 不變； (B) 變大； (C) 變??； (D) 變大變小都有可能答案：(A) ， X5.7 將一物體放在一個沿水平方向作周期為1s的簡諧振動的平板上，物體與平板間的最大靜摩擦系數(shù)為0.4。要使物體在平板上不致滑動，平板振動的振幅最大只能為(A) 要由物體質(zhì)量決定； (B) ; (C) ; (D) 0.4cm答案：(C) 最大靜摩擦力為，最大加速度為 由得5.8 兩分振動方程分別為和，則它們合振動的表達式為(A) ;(B) ;(C) ;(D) 。 答案：(C)5.9 質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作簡諧振動，式中 以秒為單位，以米為單位。試求：(1) 振動的圓頻率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值；(2) 求時刻的位相。(3) 利用Mathematica繪出位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線。解(1)： , , , (2) 5.10 勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的物體按題圖5.10所示的兩種方式連接試證明它們的振動均為諧振動。 題圖5.10證明：(1)當物體向右移動時，左端彈簧伸長，而右端彈簧縮短，它們對物體作用力方向相同，均與物體位移方向相反，所以 因此物體將作簡諧振動