材料力學(xué)《第三章》扭曲

1、上海交通大學(xué)9-1 引引 言言9-2 動力傳遞與動力傳遞與扭矩扭矩9-3 切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律9-4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力9-5 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù)9-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件9-7 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件*9-8 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面軸扭轉(zhuǎn)簡介第九章第九章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)上海交通大學(xué)一、一、 工程實(shí)例工程實(shí)例9-1 引引 言言汽車傳動軸、轉(zhuǎn)向盤軸；汽車傳動軸、轉(zhuǎn)向盤軸；機(jī)床傳動軸；機(jī)床傳動軸；攻螺紋絲錐；攻螺紋絲錐；行車傳動軸；行車傳動軸；船舶推進(jìn)軸等。船舶推

2、進(jìn)軸等。上海交通大學(xué)O軸：工程中以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件。軸：工程中以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件。AOBg gBAf f二、二、特點(diǎn)特點(diǎn)受力：兩端受一對大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作受力：兩端受一對大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作 用平面與桿軸線垂直；用平面與桿軸線垂直；變形：各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。變形：各橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角f f ：任意兩橫截面轉(zhuǎn)過的角度。如：任意兩橫截面轉(zhuǎn)過的角度。如：f fABMM上海交通大學(xué)一、軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系一、軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩之間的關(guān)系m)(N9549nPM式中：式中：P 功率，千瓦功率，千瓦(kW)

3、 n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分分(r/min) M 外力偶矩，牛頓外力偶矩，牛頓米米(Nm) 9-2 動力傳遞與動力傳遞與扭矩扭矩可知：可知：P 一定時(shí)，一定時(shí)，n ， M 工程實(shí)際中常已知軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速，需換算成作用在軸上工程實(shí)際中常已知軸傳遞的功率、轉(zhuǎn)速，需換算成作用在軸上的外力偶矩：的外力偶矩：如：一萬噸輪，如：一萬噸輪，P =7060 kW，n =119 r/min，則：，則：m)566.5(kNm)(N566520119706095499549nPM上海交通大學(xué)mmx二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 T1. 扭矩扭矩Mmm規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的符號：規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭

4、矩的符號：截面法：截面法： MM設(shè)橫截面上的內(nèi)力偶矩為設(shè)橫截面上的內(nèi)力偶矩為T： S S Mx=0 T M = 0 T = M 稱稱 T 為扭矩為扭矩 ，為橫截面上內(nèi)力的合力偶矩。，為橫截面上內(nèi)力的合力偶矩。 2. 扭矩扭矩圖圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化情況的圖線。：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化情況的圖線。上海交通大學(xué) B C A D例例1 已知一傳動軸，已知一傳動軸， n = 300 r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 PA = 500 kW， 從動輪輸出從動輪輸出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW，試?yán)L，試?yán)L 制軸的扭矩圖。制軸的扭矩圖。nMB

5、MC MA MD解：解：(1) 計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩m15.92kN30050095499549AAnPMm4.775kN30015095499549BCBnPMMmkN366. 630020095499549DDnPM上海交通大學(xué) B C A DMB MC MA MD(2) 各段扭矩各段扭矩n112233BC段：截面段：截面1-1 B11MBT1S S Mx=0 T1 + MB = 0 T1 = MB= 4.775 kNm CA段：截面段：截面2-2S S Mx=0 T2 + MB + MC = 0 T2 = MB MC = 9.55 kNm AD段：截面段：截面3-3S S Mx=0

6、T3 MD = 0 T3 = MD = 6.336 kNm B C22T2MBMCD33T3MD上海交通大學(xué)(3) 繪制扭矩圖繪制扭矩圖 CA 段為危險(xiǎn)截面：段為危險(xiǎn)截面：xT4.7759.556.336 B C A DMB MC MA MDBACD| T |max = 9.55 kNm + +- - -T1 = 4.775 kNm T2 = 9.55 kNm T3 = 6.336 kNm 上海交通大學(xué)薄壁圓筒：薄壁圓筒：R0：為：為圓筒圓筒平均半徑平均半徑。一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。9-3

7、切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律切應(yīng)力互等定理與剪切胡克定律薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)：薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)：壁厚壁厚 d d R0/10上海交通大學(xué)兩端加外力偶矩兩端加外力偶矩 M，使，使薄壁圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。薄壁圓筒產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。(1) 圓周線形狀、大小、圓周線形狀、大小、 間距不變，僅繞軸線間距不變，僅繞軸線 相對轉(zhuǎn)動；相對轉(zhuǎn)動；推知：推知：實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：(2) 縱向線傾斜了縱向線傾斜了 g g 角角；(3) 矩形矩形abcd變成了平行變成了平行 四邊形四邊形abcd。(1) 過半徑的縱向截面上無正應(yīng)力；過半徑的縱向截面上無正應(yīng)力；(2) 橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。橫截面上無正應(yīng)力，只有切應(yīng)

8、力。abcdabcd上海交通大學(xué)截面法：取橫截面截面法：取橫截面 m-m 分析分析 d2020dd RTTAA0：為平均半徑處圓的面積。：為平均半徑處圓的面積。 圓周各點(diǎn)對稱于圓心，沿圓周各點(diǎn)圓周各點(diǎn)對稱于圓心，沿圓周各點(diǎn) 切應(yīng)力切應(yīng)力 相等相等，方向與半徑垂直。方向與半徑垂直。 d d R0，切應(yīng)力，切應(yīng)力 沿壁厚均布。沿壁厚均布。 橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力 相等，相等，方方 向與半徑垂直。向與半徑垂直。dd 2 2 0 20ATRT取微面積：取微面積：dA= d d R0d d 微內(nèi)力：微內(nèi)力： dA= d d R0d 對圓心微力矩：對圓心微力矩：dT = dAR0= d d

9、R02d 合力偶矩即為橫截面上的扭矩：合力偶矩即為橫截面上的扭矩：d02 RT dA上海交通大學(xué)acdbdxdy 二、純剪切與切應(yīng)力互等定理二、純剪切與切應(yīng)力互等定理取微小單元體取微小單元體 abcd ：左、右側(cè)面左、右側(cè)面(橫截面橫截面)： 合力：合力： d d dy其力偶矩：其力偶矩： ( d d dy)dx上、下底面上、下底面(縱向截面縱向截面)： 合力：合力： d d dx其力偶矩：其力偶矩： ( d d dx)dyS S Mz=0( d d dx)dy ( d d dy)dx = 0 = 切應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)通過任意一點(diǎn)的兩相互垂直截面上切切應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)通過任意一點(diǎn)的兩相互

10、垂直截面上切 應(yīng)力必成對存在，且數(shù)值相等，方向相反，應(yīng)力必成對存在，且數(shù)值相等，方向相反， 兩者都垂直于兩截面的交線，方向同時(shí)指向兩者都垂直于兩截面的交線，方向同時(shí)指向 或背離這一交線?；虮畴x這一交線。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體無正應(yīng)力，只受切應(yīng)力作用。純剪切應(yīng)力狀態(tài)：單元體無正應(yīng)力，只受切應(yīng)力作用。上海交通大學(xué)acdbdxdy三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律切應(yīng)變切應(yīng)變 g g ：單元體直角的改變量。：單元體直角的改變量。單位：單位：rad (弧度弧度)由試驗(yàn)可得由試驗(yàn)可得 - - g g 曲線。曲線?？芍嚎芍?當(dāng)當(dāng) p 時(shí)，有時(shí)，有g(shù) = Gg g稱為剪切胡克定律。稱為剪切胡克定律。 p：

11、材料的剪切比例極限；：材料的剪切比例極限；G：材料的切變模量，單位：材料的切變模量，單位：GPa鋼鋼 ：G = 80 80 GPa對各向同性材料，有對各向同性材料，有)1 (2 +EG g gO p在材料的三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知在材料的三個(gè)彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個(gè)，就可以確定第三個(gè)。道任意兩個(gè)，就可以確定第三個(gè)。上海交通大學(xué)一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式一、扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式9-4 圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力1. 扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)研究扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)研究變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系目的：目的： 確定橫截面上各點(diǎn)應(yīng)變確定橫截面上各點(diǎn)應(yīng)變 分布規(guī)律。分布規(guī)律。圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：薄壁圓筒表面

12、作圓周線，縱向薄壁圓筒表面作圓周線，縱向線，形成小矩形。線，形成小矩形。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：(1) 圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動，但 形狀、大小、間距不變；形狀、大小、間距不變；(2) 縱向線仍為直線，但傾斜了縱向線仍為直線，但傾斜了g g 角角；(3) 矩形矩形abcd變成了平行四邊形變成了平行四邊形abcd。上海交通大學(xué)(1) 橫截面上無正應(yīng)力；橫截面上無正應(yīng)力；假設(shè)：軸的圓形橫截面扭轉(zhuǎn)變形后仍為同樣的圓形平面，其半假設(shè)：軸的圓形橫截面扭轉(zhuǎn)變形后仍為同樣的圓形平面，其半 徑仍為直線。徑仍為直線?？芍嚎芍?2) 橫截面上切應(yīng)力方向與半徑垂直。橫截面上切應(yīng)力方向與半徑垂直。

13、取截面取截面1、截面、截面2之間的微段之間的微段dx 分析：分析：橫截面橫截面 2 相對截面相對截面 1 轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過 df f；半徑半徑O2c 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 O2c ；縱向線縱向線 ac 傾斜了傾斜了g g 角至角至 ac ；表層單元體表層單元體 abcd 發(fā)生剪切變形；發(fā)生剪切變形；abcdabcd變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：cc = R df f = g g dx表層切應(yīng)變：表層切應(yīng)變：xRddfg上海交通大學(xué)在橫截面上半徑在橫截面上半徑 r r 處處 e 點(diǎn)：點(diǎn)：同樣有同樣有：ee = r r df f = g gr rdx e 點(diǎn)點(diǎn)切應(yīng)變：切應(yīng)變：xddfrg(a)：xddf扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 f

14、 f 沿軸線沿軸線 x 的變化率，對給定的截面為一常量。的變化率，對給定的截面為一常量。橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律：橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律：橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)半徑成正比，方向與半徑垂直。橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)半徑成正比，方向與半徑垂直。軸線上：軸線上：r r = 0，g gr r = 0軸表層：軸表層： r r = R，maxddgfgrxR上海交通大學(xué)2. 物理關(guān)系物理關(guān)系剪切胡克定律剪切胡克定律小變形下為彈性變形，滿足胡克定律：小變形下為彈性變形，滿足胡克定律：xGGddrgrr目的：目的： 由橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律確定切應(yīng)力分布規(guī)律。由橫截面上切應(yīng)變分布規(guī)律確定切應(yīng)力分布規(guī)律

15、。(b)橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律：橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)半徑橫截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)半徑成正比，方向與半徑垂直并與扭矩方成正比，方向與半徑垂直并與扭矩方向一致。向一致。即切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。即切應(yīng)力沿半徑呈線性分布。軸線上：軸線上：r r = 0， r r = 0軸表層：軸表層： r r = R，xGRddmaxf min上海交通大學(xué)OdAr3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系rrATAdAIAd2pr令令xGI Tdd pfp dd GITx f將將(b)式代入式代入(c)式得：式得：目的：目的： 找橫截面上扭矩與切應(yīng)力之間關(guān)系，建立切應(yīng)力計(jì)算公式。找橫截面上扭矩與

16、切應(yīng)力之間關(guān)系，建立切應(yīng)力計(jì)算公式。取微面積取微面積dA，距圓心為，距圓心為r r ，切應(yīng)力切應(yīng)力 r r 微內(nèi)力：微內(nèi)力： r r dA對圓心微力矩：對圓心微力矩：dT = r r dAr r整個(gè)橫截面上的內(nèi)力矩即為扭矩整個(gè)橫截面上的內(nèi)力矩即為扭矩 T：AxGAxGTAAddd ddd22rffr(c)稱為橫截面對形心稱為橫截面對形心O點(diǎn)的極慣性矩，僅與點(diǎn)的極慣性矩，僅與橫截面的形狀尺寸有關(guān)。橫截面的形狀尺寸有關(guān)。為計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基為計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)變形的基本公式。本公式。 r r上海交通大學(xué)pITr為計(jì)算圓軸橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的基本公式。為計(jì)算圓軸橫截面扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的基本公式。p dd GIT

17、x f將將代入代入(b)式，得：式，得：二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力二、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力在圓軸表層：在圓軸表層： r rmax = R，有最大切應(yīng)力：，有最大切應(yīng)力：RITIRTppmax令令RIWpp稱為橫截面的抗扭截面系數(shù)，單位：稱為橫截面的抗扭截面系數(shù)，單位：m3，mm3。pmaxWT可知：可知：Wp ， max Wp 代表截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。代表截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度。注意：公式適用于彈性變形范圍內(nèi)的注意：公式適用于彈性變形范圍內(nèi)的圓圓截面直桿。截面直桿。上海交通大學(xué)OD9-5 極慣性矩與抗扭截面系數(shù)極慣性矩與抗扭截面系數(shù)一、實(shí)心圓截面一、實(shí)心圓截面r rdr rAIAd2prRIWpp取微面積：取微面積：d

18、A=2r r dr r，距圓心為，距圓心為r r ，3221d2d44032pDRAIRArrr324pDI單位：單位：m4，cm4，mm4。162/3pppDDIRIW單位：單位：m3，cm3，mm3。工程中近似可?。汗こ讨薪瓶扇。?Wp = 0.2D3上海交通大學(xué)二、空心圓截面二、空心圓截面外徑：外徑：D 內(nèi)徑：內(nèi)徑：d可求得：可求得：)1 (32)(324444p-DdDIDdDOd)1 (162/43ppp-DDIRIW上海交通大學(xué)一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力一、扭轉(zhuǎn)失效與扭轉(zhuǎn)極限應(yīng)力低碳鋼試件：低碳鋼試件：鑄鐵試件：鑄鐵試件：9-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)破壞與強(qiáng)度條件圓軸扭

19、轉(zhuǎn)試驗(yàn)：扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。圓軸扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)：扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。由試驗(yàn)可知：由試驗(yàn)可知：先發(fā)生屈服，產(chǎn)生較大的塑性變先發(fā)生屈服，產(chǎn)生較大的塑性變形，最后沿橫截面斷開。形，最后沿橫截面斷開。由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)屈服極限：由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)屈服極限： s變形很小，無屈服現(xiàn)象，最后沿變形很小，無屈服現(xiàn)象，最后沿與軸線約成與軸線約成45 的螺旋面斷裂。的螺旋面斷裂。由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限：由試驗(yàn)可得扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度極限： b上海交通大學(xué)二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力：材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力：強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：maxnu對等截面圓軸：對等截面圓軸：(1) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核(2) 設(shè)計(jì)截面尺

20、寸設(shè)計(jì)截面尺寸(3) 確定許可載荷確定許可載荷pmaxmaxWT316maxTD pmaxWT最大工作應(yīng)力不超過材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。最大工作應(yīng)力不超過材料的扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力。對階梯圓軸要分段考慮確定對階梯圓軸要分段考慮確定 max。圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算：圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度計(jì)算：max由由pmaxmaxWT得：得：空心圓軸：空心圓軸：3)-(1164maxTD 由由 Tmax MM P 上海交通大學(xué)例例2 功率為功率為 150kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為 924 r/min的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，的電動機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖， 材料材料許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 = 30 MPa。試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。nPM9549mN155

21、092415095491550 Nm解：解：(1) 確定確定外力偶矩外力偶矩(3) 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 此軸滿足強(qiáng)度要求。此軸滿足強(qiáng)度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCMMTxMPa01.23107015501693pmax-WTmN1550BC MT(2) 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖作扭矩圖。作扭矩圖。上海交通大學(xué)一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形由公式由公式p dd GITx f對同材料等截面圓軸，只在兩端有外力偶作用時(shí)，對同材料等截面圓軸，只在兩端有外力偶作用時(shí)，T、Ip 不變：不變： d d0plxGITff9-7 圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件xGIT

22、dd pf得：得： 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 d d p0p0pGITlxGITxGITllf為圓軸扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式。為圓軸扭轉(zhuǎn)角計(jì)算公式。f f 單位：弧度單位：弧度(rad) 。由上式可知：由上式可知：T、l 一定時(shí)，一定時(shí)， GIp ， f f 稱稱GIp 為圓軸截面的抗扭剛度。為圓軸截面的抗扭剛度。表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。上海交通大學(xué)(rad/m) dd pGITx f二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件二、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件 pmaxmaxGIT /m)( 180 pmaxGIT ：rad/m， ：/m對一般傳動軸：對一般傳動軸： = (0.51.0) /m當(dāng)圓軸的當(dāng)圓軸的 T、Ip

23、 分段變化時(shí)：分段變化時(shí)： pSiiiiGIlTff單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角 ：在工程實(shí)際中，對軸類構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形有一定限制，即要求有一定的扭轉(zhuǎn)剛度。在工程上限制在工程上限制 ，使其不超過許用扭轉(zhuǎn)角，使其不超過許用扭轉(zhuǎn)角 ：對精密機(jī)械的軸：對精密機(jī)械的軸： = (0.250.50) /m上海交通大學(xué)三種類型的剛度計(jì)算：三種類型的剛度計(jì)算：(1) 校核軸的剛度校核軸的剛度(2) 設(shè)計(jì)軸的直徑設(shè)計(jì)軸的直徑(3) 確定許可載荷確定許可載荷按剛度條件確定軸直徑時(shí)：按剛度條件確定軸直徑時(shí)：由由 /m)( 18032180 4pmaxDGTGIT 4180322maxGTD得：得：空心軸：空心軸：4)

24、-(11803242maxGTD在同時(shí)按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸直徑時(shí)，應(yīng)選擇其中較大在同時(shí)按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸直徑時(shí)，應(yīng)選擇其中較大的直徑。的直徑。上海交通大學(xué)例例3 例例1中傳動軸中傳動軸為鋼制實(shí)心軸，許用切應(yīng)力為鋼制實(shí)心軸，許用切應(yīng)力 = 30 MPa， = 0.3 /m，G = 80 Gpa。 試按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑試按強(qiáng)度條件和剛度條件設(shè)計(jì)軸的直徑 D。解：應(yīng)先作出軸的扭矩圖，解：應(yīng)先作出軸的扭矩圖，確定確定Tmax，在例中完成。，在例中完成。 B C A DMB MC MA MDCA 段：段：|T |max = 9.55 kNm。(1) 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件11.75

25、cmm1075.1110301055.91616263max33-TD(2) 剛度條件剛度條件.34cm12m1034.123 . 010801055. 9180321803229232max44-GTD D 12.34 cm， 圓整，取圓整，取 D = 12.5 cm 上海交通大學(xué)例例4 某汽車的主某汽車的主傳動軸用傳動軸用40鋼鋼管制成，鋼管外徑，鋼鋼管制成，鋼管外徑，D = 76 mm， 壁厚壁厚 d d =2.5 mm，軸傳遞轉(zhuǎn)矩，軸傳遞轉(zhuǎn)矩 M = 1.98 kNm。材料的許用切。材料的許用切 應(yīng)力應(yīng)力 = 100 MPa，G = 80 GPa，軸軸 = 2 /m。 試校核該軸的強(qiáng)度

26、和剛度。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。解：解：(1) 軸的扭矩軸的扭矩M MT = M = 1.98 kNm。(2) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核9342. 0765 . 22762-DDDdd444pcm05.78)1 (32-DI343pcm54.20)1 (16-DWMPa4 .961054.201098. 163pmax-WT 滿足強(qiáng)度要求。滿足強(qiáng)度要求。(3) 剛度校核剛度校核 m/82. 11801005.7810801098. 1180 893pmax-GIT 滿足剛度要求。滿足剛度要求。上海交通大學(xué)例例5 如將如將例例4中的空心軸改為同一材料的實(shí)心軸，且仍使中的空心軸改為同一材料的實(shí)心軸，且仍使

27、 max= 96.4 MPa。 試確定實(shí)心軸的直徑試確定實(shí)心軸的直徑 d，并比較兩者的重量。，并比較兩者的重量。解：解：(1) 確定實(shí)心軸的直徑確定實(shí)心軸的直徑 dM MMPa4 .961098. 11616/333pmaxddTWT(2) 比較兩者的重量比較兩者的重量 兩者的重量比兩者的重量比4.712cmm10712.4104 .961098.1162633-d空心軸：空心軸：實(shí)心軸：實(shí)心軸：222cm773.54)1 .76 .7(-空空A22cm44.174712.4實(shí)實(shí)A%08.33%10044.17773. 5空空空空AA上海交通大學(xué)可知：此時(shí)在承載能力相同的條件下，可知：此時(shí)在承

28、載能力相同的條件下，空心軸的重量只為實(shí)心空心軸的重量只為實(shí)心 軸軸的的 1/3，比實(shí)心軸節(jié)省材料。比實(shí)心軸節(jié)省材料。為什么為什么空心軸能空心軸能節(jié)省材料呢？節(jié)省材料呢？由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布圖可知：由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布圖可知：在實(shí)心軸中靠近軸心處的切應(yīng)力很小，這在實(shí)心軸中靠近軸心處的切應(yīng)力很小，這部分材料沒有充分發(fā)揮作用。部分材料沒有充分發(fā)揮作用。若將這部分材料向外移，制成空心軸，使若將這部分材料向外移，制成空心軸，使其承擔(dān)較大的應(yīng)力。其承擔(dān)較大的應(yīng)力。maxmax同時(shí)材料離軸心遠(yuǎn)了，內(nèi)力的力臂增大同時(shí)材料離軸心遠(yuǎn)了，內(nèi)力的力臂增大了，軸的抗扭能力更加增大。了，軸的抗扭能力更加增大。 minmaxmax在橫截面面積相同時(shí)，由實(shí)心軸改為空心在橫截面面積相同時(shí)，由實(shí)心軸改為空心軸后，軸后，Ip、Wp 都大幅度增大，軸的強(qiáng)度和都大幅度增大，軸的強(qiáng)度和剛度都有較大提高。且節(jié)約材料，重量輕。剛度都有較大提高。且節(jié)約材料，重量輕。 空心圓截面是軸的合理截面，可提高扭空心圓截面是軸的合理截面，可提