第5章之一三維圖形生成和變換技術(shù)-1(計算機(jī)圖形學(xué))

1、教材：教材：計算機(jī)圖形學(xué)計算機(jī)圖形學(xué)王汝傳等王汝傳等 編著編著 人民郵電出版社人民郵電出版社 第五章第五章 目錄目錄 第五章第五章 三三維圖形生成和變換技術(shù)維圖形生成和變換技術(shù) 5.1 5.1 三維圖形的概念三維圖形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三維圖形的變換三維圖形的變換 5.4 5.4 三維圖形剪裁和消隱三維圖形剪裁和消隱 第五章第五章 三維圖形生成和變換技術(shù)三維圖形生成和變換技術(shù) 5.1 5.1 三維圖形的概念三維圖形的概念 在計算機(jī)圖形學(xué)中最重要的部分還是三維圖形生在計算機(jī)圖形學(xué)中最重要的部分還是三維圖形生成與變換，不僅人們對它感興趣，而且在實際

2、應(yīng)用中成與變換，不僅人們對它感興趣，而且在實際應(yīng)用中更加廣泛。三維圖形生成比起二維圖形生成要復(fù)雜得更加廣泛。三維圖形生成比起二維圖形生成要復(fù)雜得多，其根本原因在于我們的圖形輸入設(shè)備和輸出設(shè)備多，其根本原因在于我們的圖形輸入設(shè)備和輸出設(shè)備基本上都是二維的，用這些二維的圖形設(shè)備去表現(xiàn)空基本上都是二維的，用這些二維的圖形設(shè)備去表現(xiàn)空間三維實體自然會增加許多復(fù)雜性優(yōu)需要運(yùn)用許多新間三維實體自然會增加許多復(fù)雜性優(yōu)需要運(yùn)用許多新的方法去處理三維圖形。的方法去處理三維圖形。 在計算機(jī)圖形學(xué)研究中，三維圖形概念有幾種在計算機(jī)圖形學(xué)研究中，三維圖形概念有幾種: :1 1、是采用線框圖構(gòu)成的三維圖形，這是最基本、

3、最簡、是采用線框圖構(gòu)成的三維圖形，這是最基本、最簡單的，它實際上是在二維屏幕上展示的具有三維視覺效單的，它實際上是在二維屏幕上展示的具有三維視覺效果的圖形；果的圖形；2 2、三維實體圖形，它是采用各種顏色圖案、紋理等填、三維實體圖形，它是采用各種顏色圖案、紋理等填充過的圖形，在視覺上也具有三維效果；充過的圖形，在視覺上也具有三維效果；3 3、三維立體圖形，它借助于光照、濃淡和明暗技術(shù)，、三維立體圖形，它借助于光照、濃淡和明暗技術(shù)，產(chǎn)生了真正的三維立體效果。產(chǎn)生了真正的三維立體效果。 這些三維圖形都是我們在計算機(jī)圖形學(xué)中要研究和這些三維圖形都是我們在計算機(jī)圖形學(xué)中要研究和予以實現(xiàn)的內(nèi)容。予以實現(xiàn)

4、的內(nèi)容。 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成一、概述一、概述 在計算機(jī)出現(xiàn)之前以及在計算幾何沒有很好地發(fā)展在計算機(jī)出現(xiàn)之前以及在計算幾何沒有很好地發(fā)展之前，一些工程實際中應(yīng)用的復(fù)雜自由曲面，如飛機(jī)、之前，一些工程實際中應(yīng)用的復(fù)雜自由曲面，如飛機(jī)、船舶、汽車等幾何外形的描述以及地形形狀的表示，船舶、汽車等幾何外形的描述以及地形形狀的表示，傳傳統(tǒng)的處理辦法是用一組或幾組平行平面去裁這個曲面，統(tǒng)的處理辦法是用一組或幾組平行平面去裁這個曲面，畫出幾組截交線來表示這個曲面。畫出幾組截交線來表示這個曲面。例如船體就是用互相例如船體就是用互相正交的三組平面截得的縱剖線，橫剖線和水平線表示；正交的三

5、組平面截得的縱剖線，橫剖線和水平線表示；地面則是用一組水平面截得等高線表示的。這實際上是地面則是用一組水平面截得等高線表示的。這實際上是把曲面問題轉(zhuǎn)化成了曲線問題。這種處理辦法可稱為曲把曲面問題轉(zhuǎn)化成了曲線問題。這種處理辦法可稱為曲線網(wǎng)格表示法。線網(wǎng)格表示法。一組等高線一組等高線表示地面表示地面 正是利用這些曲線網(wǎng)格來近似地表示自由曲面，因正是利用這些曲線網(wǎng)格來近似地表示自由曲面，因此，在產(chǎn)生一張曲面時，我們可以利用一系列的縱橫交此，在產(chǎn)生一張曲面時，我們可以利用一系列的縱橫交錯且相互平行的樣條曲線來構(gòu)造曲面，如下圖所示。錯且相互平行的樣條曲線來構(gòu)造曲面，如下圖所示。 我們?nèi)绾未_定這張曲面上任

6、意一點位置呢？很明顯我們?nèi)绾未_定這張曲面上任意一點位置呢？很明顯，如果這點恰好落在某一條網(wǎng)格線上，如圖，如果這點恰好落在某一條網(wǎng)格線上，如圖A A點，那么點，那么就可以根據(jù)這條網(wǎng)格線函數(shù)表示來計算這一點位置（坐就可以根據(jù)這條網(wǎng)格線函數(shù)表示來計算這一點位置（坐標(biāo)）；若這一點不在任何網(wǎng)格線上，如圖中的標(biāo)）；若這一點不在任何網(wǎng)格線上，如圖中的B B點，那點，那么就無法計算出該點精確位置，只能用離該點最近一條么就無法計算出該點精確位置，只能用離該點最近一條網(wǎng)格線上的點近似地表示。網(wǎng)格線上的點近似地表示。圖5.1 曲面的網(wǎng)格表示 這使得本來精度不很高近似曲面在這一點精度更加這使得本來精度不很高近似曲面在

7、這一點精度更加降低，所以用這種方法來產(chǎn)生曲面只適合于一部分精度降低，所以用這種方法來產(chǎn)生曲面只適合于一部分精度要求不太高場合，我們可以把平面里自由曲線生成方法要求不太高場合，我們可以把平面里自由曲線生成方法加以推廣，借助于加以推廣，借助于曲面的解析表達(dá)式曲面的解析表達(dá)式來處理有關(guān)曲面問來處理有關(guān)曲面問題。題。 曲面的種類繁多，為便于討論，將曲面分為兩類，曲面的種類繁多，為便于討論，將曲面分為兩類，（1 1）規(guī)則曲面：如柱、錐、橢球、環(huán)、雙曲面、拋物）規(guī)則曲面：如柱、錐、橢球、環(huán)、雙曲面、拋物面等，它可以用參數(shù)方程解析地描述。面等，它可以用參數(shù)方程解析地描述。（2 2）不規(guī)則曲面、如）不規(guī)則曲面

8、、如CoonsCoons曲面、曲面、BezierBezier曲面、曲面、B B樣條樣條曲面等，這是構(gòu)造某種曲面方程問題，也是下面要討論曲面等，這是構(gòu)造某種曲面方程問題，也是下面要討論重點。重點。 二、空間曲面的參數(shù)表示二、空間曲面的參數(shù)表示 在空間解析幾何中，三維空間內(nèi)一張任意曲面一段用在空間解析幾何中，三維空間內(nèi)一張任意曲面一段用兩個參數(shù)曲面矢量兩個參數(shù)曲面矢量 方程或參數(shù)方程表示，可以寫成，方程或參數(shù)方程表示，可以寫成， 式中式中u u、v v為參數(shù)為參數(shù) 1010),(),(),() 15(),(),(),(),(vvvuuuvuzzvuyyvuxxvuzvuyvuxvur 或或曲面的圖

9、形如圖所示，曲面有兩族參數(shù)曲線，或稱坐標(biāo)曲面的圖形如圖所示，曲面有兩族參數(shù)曲線，或稱坐標(biāo)曲線，通常簡稱曲線，通常簡稱u u線和線和v v線。當(dāng)線。當(dāng)u u= =u ui i時，代人式（時，代人式（5 51 1）得得上式中是曲面上一條參數(shù)曲線上式中是曲面上一條參數(shù)曲線r(ur(ui i, ,v)v)，即一條即一條v v線。當(dāng)線。當(dāng)v=vv=vj j時，代人式（時，代人式（5 51 1）得）得, , 上式則是另一條參數(shù)曲線上式則是另一條參數(shù)曲線r r( (u u, ,v vj j) )，或稱或稱u u線。上述兩條線。上述兩條參數(shù)曲線參數(shù)曲線r r( (u ui i, ,v v) )和和r r( (

10、u u, ,v vj j) )的交點則是的交點則是r r( (u ui i, , v vj j) ) 。事事實上，用實上，用u u= = u ui i, ,v v= =v vj j代人式（代人式（5 5l l）也得到曲面上同一也得到曲面上同一點位置矢量點位置矢量r r( (u ui i, ,v vj j) ) ),(),(),(),(vuzvuyvuxvuriiii ),(),(),(),(jjjjvuzvuyvuxvur ),(),(),(),(jijijijivuzvuyvuxvur vur(ui,v)r(u,vj)r(ui,vj)例如，如圖的平面片方程為：例如，如圖的平面片方程為： 式中

11、矢量式中矢量r r0 0為平面上一點的位置矢量，為平面上一點的位置矢量，a a和和b b為常矢量，為常矢量，且且a a不平行于不平行于b b，該平面片是由矢量該平面片是由矢量a a和和b b張成的四邊形。張成的四邊形。 )1,(),(0 vuobvaurvurr(u,v)圖5.4 柱面又例如，如圖又例如，如圖5.45.4所示，以固定方向長度為所示，以固定方向長度為a a的直線段作的直線段作為母線沿給定一條空間曲線為母線沿給定一條空間曲線r r1 1 （u u）移動生成一個柱面移動生成一個柱面，其方程為，其方程為 式中式中a a是沿母線方向的常矢量。是沿母線方向的常矢量。 ) 1,(),(1 v

12、uoavurvur（二、二、Bezier(Bezier(貝塞爾）曲面貝塞爾）曲面 如前所述，如前所述，BezierBezier曲線是一條與控制多邊形頂點位曲線是一條與控制多邊形頂點位置有嚴(yán)格的相關(guān)聯(lián)關(guān)系的曲線，置有嚴(yán)格的相關(guān)聯(lián)關(guān)系的曲線，BezierBezier曲線形狀趨向于曲線形狀趨向于特征多邊形形狀，階次由控制多邊形頂點個數(shù)來決定。特征多邊形形狀，階次由控制多邊形頂點個數(shù)來決定。BezierBezier曲面是由曲面是由BezierBezier曲線拓廣而來，它也是以曲線拓廣而來，它也是以BernsteinBernstein函數(shù)作為基函數(shù)，可以構(gòu)造由空間點陣列的函數(shù)作為基函數(shù)，可以構(gòu)造由空間點

13、陣列的位置來控制曲面。位置來控制曲面。 P0P1P2P3由四個數(shù)據(jù)點由四個數(shù)據(jù)點控制的三次貝控制的三次貝塞爾曲線塞爾曲線1 1、貝塞爾曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式、貝塞爾曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式 在三維空間里，給定在三維空間里，給定( (n nl)l)( (m m+1)+1)個點的空間點到個點的空間點到P Pijij（i=0i=0，l ln n；j=0j=0，1 1m m），），稱稱n nm m次參數(shù)曲面：次參數(shù)曲面：為為 n nm m 次次 BezierBezier曲面。曲面。 P Pijij是的控制頂點，和為是的控制頂點，和為BernsteinBernstein基函數(shù)，具體表示為：基函數(shù)，具體表示為： )1,

14、0()()(),(00 vuvBuBPvuPmjninimjij，jmjjmmjiniinnivvCvBuuCuB )1()()1()(， 如果用一系列直線段將相鄰的點如果用一系列直線段將相鄰的點P Pi0i0，P Pi1i1P Pimim(i=0(i=0，1 1n)n)和和P P0j0j，P P1j1jP Pnjnj(j=0(j=0，l l，m m) )一連接起來組成一張空間網(wǎng)格一連接起來組成一張空間網(wǎng)格，稱這張網(wǎng)絡(luò)為，稱這張網(wǎng)絡(luò)為m mn n次曲面特征網(wǎng)格，如圖所示。次曲面特征網(wǎng)格，如圖所示。 類似于類似于BezierBezier曲線情況，特征網(wǎng)格框定了曲線情況，特征網(wǎng)格框定了P(P(u,

15、vu,v) )的大致形的大致形狀；狀；P(P(u,vu,v) )是對特征網(wǎng)格的逼近。是對特征網(wǎng)格的逼近。p00p10p20p30p31p21p11p01p32p22p12p02p33p23p13p033 3* *3 3次的特次的特征曲面網(wǎng)格征曲面網(wǎng)格2 2、貝塞爾曲面的性質(zhì)、貝塞爾曲面的性質(zhì) BezierBezier曲面有類似于曲面有類似于BezierBezier曲線的性質(zhì)。曲線的性質(zhì)。 （l l）端點位置端點位置由于由于P P0000= =P P(0,0) (0,0) P P0m0m= =P P(0,1) (0,1) P Pn0n0= =P P(1,0) (1,0) P Pnmnm= =P

16、P(1,1)(1,1)說明說明P P0000、P P0m0m、P Pn0n0、P Pnmnm是曲面是曲面P P( (u,vu,v) )的四個端點，見圖的四個端點，見圖 p00p30p03p33 （2 2）邊界線位置）邊界線位置BezierBezier曲面的四條邊界線曲面的四條邊界線P P(0,v)(0,v)、P P(u,0)(u,0)、P P(1,v)(1,v)、P P(u,1)(u,1)分分別是以別是以P P0000P P0101P P0202P P0m0m、P P0000P P1010P P2020P Pn0n0、P Pn0n0P Pn1n1 P Pn2n2P Pn nm m和和P P0m

17、0mP P1m1mP P2m2mP Pnmnm為控制多邊形的為控制多邊形的BezierBezier曲線，見圖。曲線，見圖。控制多邊形控制多邊形邊界線邊界線（3 3）端點的切平面）端點的切平面 由計算易知，三角由計算易知，三角P P0000P P1010P P0101、P P0n0nP P1m1mP P0 0，m-1m-1、P PnmnmP Pn-1,mn-1,mP Pn,m-1n,m-1和和P Pn0n0P Pn-1,0n-1,0P Pn1n1( (圖圖5.65.6中打上斜線三角形中打上斜線三角形) )所在的平面分別所在的平面分別在點在點P P0000、P P0m0m和和P Pn0n0與曲面與

18、曲面P P( (u,vu,v) )相切。相切。 p00p30p03p33（4 4）凸包性）凸包性 曲面曲面P P( (u,vu,v) )位于其控制頂點位于其控制頂點P Pijij（i=0i=0，l l，2 2n n；j=0j=0，1 1，2 2m m）的凸包內(nèi)。的凸包內(nèi)。（5 5）幾何不變性）幾何不變性曲面曲面P P( (u,vu,v) )的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，僅和點的形狀和位置與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，僅和點P P0000、P P0101、P Pnmnm位置有關(guān)。位置有關(guān)。 3.3.幾個低次的貝塞爾曲線幾個低次的貝塞爾曲線 (1) (1)雙一次雙一次BezierBezier曲面曲面當(dāng)當(dāng)n n

19、= =m m=1=1時，得雙一次時，得雙一次BezierBezier曲面曲面, ,給定給定( (n n1)1)( (m m+1) =2+1) =22=42=4個控制點：個控制點：P P0000、P P0101、P P1010、P P1111。 11011000111001001,11,01,11,01101111001001,11,011,1010)1()1()1)(1(11),()(,1)()(,1)()()()()()()(),(uvPvPuPvuPvuvvPPPPuuvuPvvBvvBuuBuuBvBvBPPPPuBuBvBuBPvuPjiijij 所所以以由由于于 其圖形表示如圖所示，

20、可以證明它是一個雙曲拋物面（其圖形表示如圖所示，可以證明它是一個雙曲拋物面（馬鞍面）上的一塊曲面片。馬鞍面）上的一塊曲面片。 在上式中，當(dāng)在上式中，當(dāng)u u=0=0和和u u=1=1時，得到的兩條邊界為直線段；時，得到的兩條邊界為直線段；同樣，當(dāng)同樣，當(dāng)v v=0=0和和v v=1=1時，得到兩條也是直線段。時，得到兩條也是直線段。所以雙一次所以雙一次BezierBezier曲面由四條直線段包圍而成。曲面由四條直線段包圍而成。1110010011011000)1(), 1()1(),()1()1()1)(1(),(vPPvvPvPPvvoPuvPvPuPvuPvuvuP 11011000110

21、11000)1()1 ,()1()0 ,()1()1()1)(1(),(uPPuuPuPPuuPuvPvPuPvuPvuvuP (2) (2)雙二次雙二次BezierBezier曲面曲面當(dāng)當(dāng)n n= =m m=2=2時，得雙二次時，得雙二次BezierBezier曲面曲面, ,給定給定( (n n1)1)( (m m+1) =3+1) =33=93=9個控制點：個控制點：P P0000、P P0101、P P0202、P P1010、P P1111、P P1212、P P2020 、P P2121 、P P2222。由由BezierBezier數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 22,222,122,022

22、,222,122,02,22,12,02221201211100201002,22,12,022,2020)(,22)(, 12)()(,22)(, 12)()()()()()()()()(),(vvBvvvBvvvBuuBuuuBuuuBvBvBvBPPPPPPPPPuBuBuBvBuBPvuPjiijij 由由于于 10010221211),(22221201211100201002vvPPPPPPPPPuuvuP所所以以當(dāng)當(dāng)u u取定值時，是關(guān)于取定值時，是關(guān)于v v的二次參數(shù)曲線，是拋物線；的二次參數(shù)曲線，是拋物線；當(dāng)當(dāng)v v取定值時，是關(guān)于取定值時，是關(guān)于u u的二次參數(shù)曲線。的二次

23、參數(shù)曲線。當(dāng)當(dāng)u u=0=0和和u u=1=1時，兩條邊界是拋物線段；時，兩條邊界是拋物線段； 22212202222120121110020100020120022221201211100201001001022121111), 1(1001022121100),0(PvPvPvvPPPPPPPPPvPPvPvPvvPPPPPPPPPvP 同理，當(dāng)同理，當(dāng)v v=0=0和和v v=1=1時，另外兩條邊界是拋物線段。時，另外兩條邊界是拋物線段。所以雙二次所以雙二次BezierBezier曲面由四條拋物線段包圍而成。顯然，中間的曲面由四條拋物線段包圍而成。顯然，中間的一個頂點的變化對邊界曲線不產(chǎn)

24、生影響，這意味著在周邊八點不一個頂點的變化對邊界曲線不產(chǎn)生影響，這意味著在周邊八點不變的情況下，適當(dāng)選擇中心頂點的位置可以控制曲面凹凸，這種變的情況下，適當(dāng)選擇中心頂點的位置可以控制曲面凹凸，這種控制方式是極其直觀的，而且極其簡易?？刂品绞绞菢O其直觀的，而且極其簡易。 （3 3）雙三次貝塞爾曲線）雙三次貝塞爾曲線 當(dāng)當(dāng)n n= =m m=3=3時，得到雙三次時，得到雙三次BezierBezier曲面，給定曲面，給定 ( (n n1)1)( (m m+1)=4+1)=44=164=16個控制點，個控制點， P Pijij（i=0,1,2,3,j=0,1,2,3i=0,1,2,3,j=0,1,2,

25、3）。）。 333322332133203333322332133203)(,3)(363,331)(,3)(363,331vvBvvvBvvvBvvvBuuBuuuBuuuBuuuB 由由于于 10000003303631331*00000033036313311)()()()()()()()()()(),(2333323130232221201312111003020100233, 33, 23, 13, 033323130232221201312111003020100332313033,3,3030vvvPPPPPPPPPPPPPPPPuuuvBvBvBvBPPPPPPPPPPPPPP

26、PPuBuBuBuBvBuBPvuPjiijij所所以以 VUNPNvuPvvvVPPPPPPPPPPPPPPPPPNNuuuUTT ,100010033036313311233332313023222120131211100302010023令令矩陣矩陣P P表示雙三次表示雙三次BezierBezier曲面片特征多面體曲面片特征多面體16 16 個控制頂個控制頂點的位置向量。點的位置向量。 圖 5.9 雙三次 Bezier 曲面 雙三次雙三次BezierBezier曲面曲面邊界曲線邊界曲線1616個控制點中個控制點中只有只有4 4個頂點個頂點位于位于BezierBezier曲曲面上面上P P

27、矩陣中周圍的矩陣中周圍的1212個控制點定義了個控制點定義了4 4 條三次條三次BezierBezier曲線，即曲線，即邊界曲線。其余的邊界曲線。其余的4 4個點與邊界曲線無關(guān)，但影響曲面片的個點與邊界曲線無關(guān)，但影響曲面片的形狀形狀 4 4、貝塞爾曲線的拼接、貝塞爾曲線的拼接 一對于單個一對于單個BezierBezier曲面可以通過以下兩步生成：曲面可以通過以下兩步生成：（1 1）固定）固定v,v,隨著隨著u u變化可得一簇變化可得一簇BezierBezier曲線；曲線；（2 2）固定）固定u,u,隨著隨著v v變化可得一簇變化可得一簇BezierBezier曲線。曲線。 Bezier Be

28、zier曲面是由曲面是由BezierBezier曲線交織而成的曲面。曲線交織而成的曲面。 然而一個復(fù)雜的曲面往往不能用單一的然而一個復(fù)雜的曲面往往不能用單一的BezierBezier曲面來曲面來實現(xiàn)，于是要用幾塊實現(xiàn)，于是要用幾塊BezierBezier曲面拼接起來。曲面拼接起來。 以下討論兩張雙三次以下討論兩張雙三次BezierBezier曲面的拼接。曲面的拼接。下面給出兩個相鄰的下面給出兩個相鄰的BezierBezier曲面片，我們分別將它命名為曲面片，我們分別將它命名為P P(1)(1)(u,v)(u,v)和和P P(2)(2)(u,v)(u,v) 。 P P(1)(1)(u,v)(u,

29、v)P P(2)(2)(u,v)(u,v)u uv vP P(1)(1)(1,1)=P(1,1)=P(2)(2)(0,1)(0,1) 如果對如果對00v1v1中所有中所有v v，有有P P(1)(1)(1,v)(1,v)= =P P(2)(2)(0,v) (0,v) ，就可以，就可以得到跨界位置處曲面函數(shù)連續(xù)性。得到跨界位置處曲面函數(shù)連續(xù)性。要使要使BezierBezier曲面拼接：曲面拼接：（1 1）兩曲面片間的一個公共邊界需要兩個特征多邊形之）兩曲面片間的一個公共邊界需要兩個特征多邊形之間的一個共同邊界多邊形。間的一個共同邊界多邊形。 （2 2）要使跨界處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即曲面在跨界處光順，

30、）要使跨界處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即曲面在跨界處光順，對對00v1v1中的所有中的所有v v，曲面片曲面片1 1在在u=1u=1的切平面必須與曲的切平面必須與曲面面2 2在在u=0u=0的切平面重合。的切平面重合。 三、三、B B樣條曲面樣條曲面 B B樣條曲面是樣條曲面是B B樣條曲線的拓廣。樣條曲線的拓廣。1 1B B樣條曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式樣條曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式 在三維空間里，給定在三維空間里，給定 個個點，用向量點，用向量 (i=0 (i=0，1 1，n n，j=0j=0，1 1，m)m)表示，稱表示，稱 （0u0u，v1v1）為）為 次次B B樣條曲面；樣條曲面； 是是 的控制頂點，的控制頂點，F(xiàn)

31、 Fi,ni,n(u)(u)和和F Fj,mj,m(v)(v)為為B B樣條樣條基函數(shù)，具體表示為：基函數(shù)，具體表示為：(1) (1)nmijP,00( , )( )( )nmiji nj mijP u vP Fu Fv n m( , )P u vijP,101F( )(1)()!nikkni nnkuCunikn ,101F( )( 1)()!mjkkmj mmkvCvmjkm如果用一系列直線段將相鄰的點如果用一系列直線段將相鄰的點 ， ， ，（i=0i=0，1 1，n n）和）和 ， ， ，(j=0(j=0，1 1，m)m)一一連接起來，組成一張空間網(wǎng)格，稱這張網(wǎng)一一連接起來，組成一張空間

32、網(wǎng)格，稱這張網(wǎng)格為格為 次次B B樣條曲面特征網(wǎng)格，如下圖所示。樣條曲面特征網(wǎng)格，如下圖所示。 0iP1 iPimPn m1 jP0 jPnjP2 2幾個低次幾個低次B B樣條曲面樣條曲面 （1 1）雙二次）雙二次B B樣條曲面樣條曲面 當(dāng)當(dāng) 時，得雙二次時，得雙二次B B樣條曲面，給定樣條曲面，給定9 9個控制點，個控制點，即即P P0000、P P0101、P P0202、P P1010、P P1111、P P1212、P P2020、P P2121和和P P2222。 2nm由于由于 20,21( )(21)2Fuuu21,21( )( 221)2Fuuu22,21( )2Fuu20,2

33、1( )(21)2Fvvv21,21F ( )( 221)2vvv22,21( )2Fvv所以，雙二次所以，雙二次B B樣條曲面為：樣條曲面為： 22,2,200( , )( )( )ijijijP u vP Fu Fv 2114uu20001021011122021221211212202211101101PPPvPPPvPPP由左圖可知，由左圖可知， B B樣條曲面不經(jīng)過任樣條曲面不經(jīng)過任何一個網(wǎng)格頂點。左圖表示了雙二何一個網(wǎng)格頂點。左圖表示了雙二次次B B樣條曲面的一片，如果網(wǎng)格向樣條曲面的一片，如果網(wǎng)格向外擴(kuò)展，曲面也相應(yīng)延伸。由于二外擴(kuò)展，曲面也相應(yīng)延伸。由于二次次B B樣條曲面基函

34、數(shù)是一階連續(xù)的，樣條曲面基函數(shù)是一階連續(xù)的，所以對于兩片雙二次所以對于兩片雙二次B B樣條曲面片，樣條曲面片，其連接亦是一階連續(xù)的。其連接亦是一階連續(xù)的。 2 2幾個低次幾個低次B B樣條曲面樣條曲面 （2 2）雙三次）雙三次B B樣條曲面樣條曲面 當(dāng)當(dāng) 時，得雙三次時，得雙三次B B樣條曲面：樣條曲面：3nm 33,3,300,ijijijP u vP Fu Fv300010203210111213322021222330313233131 1133 13630360411303033316141010001PPPPvPPPPvuuuPPPPvPPPP 雙三次雙三次B B樣條曲面片四個角點不

35、在給定的點的位樣條曲面片四個角點不在給定的點的位置上。如果將網(wǎng)格向外擴(kuò)展，曲面也相應(yīng)延伸，而且置上。如果將網(wǎng)格向外擴(kuò)展，曲面也相應(yīng)延伸，而且由于三次由于三次B B樣條基函數(shù)是二階連續(xù)的，所以雙三次樣條基函數(shù)是二階連續(xù)的，所以雙三次B B樣樣條曲面也二階連續(xù)。條曲面也二階連續(xù)。 雙三次雙三次B B樣條曲面特征網(wǎng)格樣條曲面特征網(wǎng)格 四、四、CoonsCoons（孔斯）曲面孔斯）曲面 Coons Coons曲面是曲面是19641964年由孔斯（年由孔斯（coons)coons)提出的構(gòu)造曲面提出的構(gòu)造曲面的方法，這種方法的基本思想是將任意復(fù)雜的曲面分割的方法，這種方法的基本思想是將任意復(fù)雜的曲面分割

36、成若干小塊，而每小塊用參數(shù)方程來描述，即用四條邊成若干小塊，而每小塊用參數(shù)方程來描述，即用四條邊界曲線來定義，再通過適當(dāng)?shù)剡x擇塊與塊之間的連接條界曲線來定義，再通過適當(dāng)?shù)剡x擇塊與塊之間的連接條件，使邊界上一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，最后獲得整個件，使邊界上一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，最后獲得整個曲面。曲面。 1 1、混合函數(shù)、混合函數(shù)（1 1）定義定義 Coons Coons在他所研究的孔斯曲面中，定義了四個一元三在他所研究的孔斯曲面中，定義了四個一元三次函數(shù)次函數(shù) F Fo o（u u），），F(xiàn) F1 1（u u），），G G0 0（u u），），G G1 1（u u），），它們的功它們的功能是用四

37、條給定的邊界曲線生成一張曲面。能是用四條給定的邊界曲線生成一張曲面。 定義在區(qū)間定義在區(qū)間0 0， l l上四個三次函數(shù)上四個三次函數(shù) )25()10(232132231230321230 uuuuGuuuuGuuuFuuuF（2 2）混合函數(shù)性質(zhì)）混合函數(shù)性質(zhì) , 11,01,00,00,01,01, 10,00,01, 11,00,00,01, 11,00, 101111000011110000GGGGGGGGFFFFFFFF列列性性質(zhì)質(zhì)：三三次次混混合合函函數(shù)數(shù)。具具有有下下 我們構(gòu)造這樣一段曲線我們構(gòu)造這樣一段曲線P P（u u），），來理解這四個混合函數(shù)的來理解這四個混合函數(shù)的功能。

38、若要求功能。若要求u=0u=0時時P P（0 0）=A=A0 0且且u u0 0處切向量處切向量P P(0)=B(0)=B0 0u=1u=1時，時，P(1)P(1)A A1 1，且且u ul l處的切向量處的切向量P P(1)=B(1)=B1 1。顯然，根據(jù)上述四個一元三次函數(shù)顯然，根據(jù)上述四個一元三次函數(shù)F F0 0(u)(u)，F(xiàn) F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)的端點性質(zhì)，我們很容易得到的端點性質(zhì)，我們很容易得到 )10(11001100 uuGBuGBuFAuFAuP 由此我們可以看出四個函數(shù)由此我們可以看出四個函數(shù)F F0 0(u),F(u),

39、F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u) 在在P P（u u）的表示中所起作用：的表示中所起作用： F F0 0(u)(u)，F(xiàn) F1 1(u)(u)和用于控制兩個端點（和用于控制兩個端點（x x0 0）和（和（x=1x=1）的函數(shù)值，的函數(shù)值， G G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)而和卻用來控制兩個端點（而和卻用來控制兩個端點（x x 0 0）和（和（x x l l）的切向量。的切向量。 正是由于正是由于F F0 0(u)(u)，F(xiàn) F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)和的上述作用，使和的上述作用，使得它們被用

40、來定義雙三次得它們被用來定義雙三次CoonsCoons曲面。曲面。 2 2、雙三次、雙三次CoonsCoons曲面曲面 Coons Coons曲面有幾種類型，雙三次曲面是其中最有實用曲面有幾種類型，雙三次曲面是其中最有實用價值的一種。在幾何造型計算中使用的價值的一種。在幾何造型計算中使用的coonscoons曲面，都是曲面，都是這種雙三次曲面。雙三次這種雙三次曲面。雙三次coonscoons曲面是定義在一個單位區(qū)曲面是定義在一個單位區(qū)域域R R0 0上，并用向量方式表示的雙參數(shù)向量方程。上，并用向量方式表示的雙參數(shù)向量方程。 設(shè)兩個參數(shù)分別用設(shè)兩個參數(shù)分別用u u和和v v表示，則空間曲面上任

41、意一表示，則空間曲面上任意一點用向量點用向量P P可表示為，其分量形式為：可表示為，其分量形式為：其中參數(shù)其中參數(shù)u u，v v的定義域為單位區(qū)域的定義域為單位區(qū)域R R0 0上的值，即上的值，即 vuzvuyvuxvuP, 01,01,0,Ryx （1 1）CoonsCoons簡潔符號簡潔符號為了研究方便，運(yùn)算簡潔，為了研究方便，運(yùn)算簡潔，CoonsCoons提出了一套表示參數(shù)曲面的簡潔符號。在提出了一套表示參數(shù)曲面的簡潔符號。在CoonsCoons記號中，參數(shù)記號中，參數(shù)u u和和v v之間的逗號以及矢量的各分量之間的逗號都省略掉之間的逗號以及矢量的各分量之間的逗號都省略掉。當(dāng)僅在討論一張

42、曲面時，向量函數(shù)。當(dāng)僅在討論一張曲面時，向量函數(shù)P(u,v)P(u,v)前面字母前面字母P P連同其后圓括號也一連同其后圓括號也一起省略掉。符號起省略掉。符號u u0 0, ,u ul l,0,0v v,1,1v v分別表示曲面的四條邊界曲線，曲面的四個角分別表示曲面的四條邊界曲線，曲面的四個角點則簡記為點則簡記為00,01,10,1100,01,10,11，如圖所示。，如圖所示。 00111001u0u11v0v曲面的偏導(dǎo)向量的記號是：曲面的偏導(dǎo)向量的記號是：其中。分別其中。分別0 0v vu u,1v,1vu u,u0,u0v v,u1,u1v v為邊界為邊界0 0v v,1,1v v,

43、,u u0 0和和u u1 1上的斜率上的斜率。0000u u,01,01u u,10,10u u和和1111u u，是在四個角點是在四個角點u u向切矢；向切矢；0000v v,01,01v v,10,10v v和和1111v v。是在四個角點是在四個角點v v向切矢；向切矢； 00 00uvuv,01,01uvuv,10,10uvuv和和1111uvuv是四個角點混合偏導(dǎo)，又稱扭矢。是四個角點混合偏導(dǎo)，又稱扭矢。 01200221000 vuuvvvuuuvuvuuvvuvuuuvvvuuvuvvuuvuv(2)(2)CoonsCoons曲面定義曲面定義 由式（由式（5 52 2），我們得

44、到四個混合函數(shù)的矩陣，表），我們得到四個混合函數(shù)的矩陣，表示形式如下：示形式如下： UMGGFFMuuuUuuuuGuGuFuF 1010232310100001010012331122100010100123311221于于是是有有令令VMGGFFvvvGGFFGGFFGGFFT 10102310101010101010011012100321032vu于于是是有有的的形形式式來來表表示示，即即以以列列矩矩陣陣若若自自變變量量的的形形式式來來表表示示，以以行行距距陣陣以以上上是是自自變變量量 根據(jù)點動生線、線動生面的幾何原理，把根據(jù)點動生線、線動生面的幾何原理，把U U和和V V取作兩取作兩

45、個獨(dú)立參數(shù)，即得一張個獨(dú)立參數(shù)，即得一張CoonsCoons雙三次曲面片，其數(shù)學(xué)表達(dá)雙三次曲面片，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式如下： 式中式中C C稱為角點信息矩陣。稱為角點信息矩陣。TTuvuvuuuvuvuuvvvvVUMCMGGFFGGFFUV 1010101011101110010001001110111001000100 扭扭矢矢切切矢矢量量切切矢矢量量角角點點uvCuvuvuuuvuvuuvvvv11101110010001001110111001000100其中前三組信息可以完全決定四邊邊界曲線位置的形狀，而第其中前三組信息可以完全決定四邊邊界曲線位置的形狀，而第四組與四條邊界曲線形狀無

46、關(guān)，反映四組與四條邊界曲線形狀無關(guān)，反映R R0 0的內(nèi)部曲面形狀變化。的內(nèi)部曲面形狀變化。 這里角點信息這里角點信息矩陣矩陣C C元素可以元素可以分成四組，分成四組，其左上角一塊代表四個角點位其左上角一塊代表四個角點位置矢量，右上角和左下角表示置矢量，右上角和左下角表示邊界曲線在角點邊界曲線在角點v v方向和方向和u u方向方向切矢量，右下角是四個角點混切矢量，右下角是四個角點混合偏導(dǎo)數(shù)，表示角點扭矢，合偏導(dǎo)數(shù)，表示角點扭矢， 由此可看出，通過選擇四條邊界曲線就可求出由此可看出，通過選擇四條邊界曲線就可求出CoonsCoons曲面，貝塞爾曲面通過給出若干個控制點來構(gòu)造曲面，曲面，貝塞爾曲面通

47、過給出若干個控制點來構(gòu)造曲面，而而CoonsCoons曲面通過給定四條邊界線來構(gòu)造曲面。曲面通過給定四條邊界線來構(gòu)造曲面。五、五、NURBSNURBS（非均勻有理（非均勻有理B B樣條）曲面樣條）曲面 對對NURBSNURBS曲線進(jìn)行擴(kuò)展后可以得到曲線進(jìn)行擴(kuò)展后可以得到NURBSNURBS曲面，曲面，NURBSNURBS曲面可以用如下數(shù)學(xué)表達(dá)式來定義：曲面可以用如下數(shù)學(xué)表達(dá)式來定義： ,00, ; ,00,00( )( )( , )( , ),0,1( )( )mnijiji pj qmnijiji p j qmnijiji pj qijPNu NvP u vPRu vu vNu Nv其中,

48、; ,00( )( )( , )( )( )iji pj qi p j qmnrsr ps qrsNu NvRu vNu Nv0000,0mnmn0ij規(guī)定四角點處用正權(quán)因子，即規(guī)定四角點處用正權(quán)因子，即，而其余，而其余。 上述上述NURBSNURBS曲面的數(shù)學(xué)式?jīng)Q定了曲面的數(shù)學(xué)式?jīng)Q定了NURBSNURBS曲面是一類通用曲面是一類通用的靈活曲面，利用它用戶可以生成具有各種各樣形狀的曲的靈活曲面，利用它用戶可以生成具有各種各樣形狀的曲面，比如大家熟悉的旋轉(zhuǎn)面、直紋面、推擠面等。面，比如大家熟悉的旋轉(zhuǎn)面、直紋面、推擠面等。 NURBS NURBS曲面擁有一些良好的性質(zhì)，如通過選擇合曲面擁有一些良好

49、的性質(zhì)，如通過選擇合適的適的CVCV控制點和權(quán)值就能夠得到精確的二次曲面以控制點和權(quán)值就能夠得到精確的二次曲面以及對于投影變換具有不變性等，因此，高級三維軟及對于投影變換具有不變性等，因此，高級三維軟件當(dāng)中一般都支持這種曲面建模方式，件當(dāng)中一般都支持這種曲面建模方式，NURBSNURBS能夠很能夠很好地控制物體表面的曲線度，從而保證了創(chuàng)建出的好地控制物體表面的曲線度，從而保證了創(chuàng)建出的造型能夠更加形象逼真，目前，造型能夠更加形象逼真，目前，NURBSNURBS已經(jīng)成為曲面已經(jīng)成為曲面造型中最為廣泛應(yīng)用的技術(shù)。造型中最為廣泛應(yīng)用的技術(shù)。 在二維圖形變換的討論中已經(jīng)提出了齊次坐標(biāo)表示法在二維圖形變

50、換的討論中已經(jīng)提出了齊次坐標(biāo)表示法，即，即n n維空間的點用維空間的點用n nl l個數(shù)表示。因此，對于三維空間個數(shù)表示。因此，對于三維空間點需要用點需要用4 4個數(shù)來表示，而相應(yīng)的變換矩陣個數(shù)來表示，而相應(yīng)的變換矩陣4444階矩陣。階矩陣。 如果用如果用 表示變換前三維空間的一個點，表示變換前三維空間的一個點，用用 表示變換后結(jié)果，則空間點的變換式為表示變換后結(jié)果，則空間點的變換式為： 5 5. .3 3 三維圖形變換三維圖形變換 1zyx 1zyx 11zyxTzyx 式中式中T T為三維圖形變換矩陣它是一個為三維圖形變換矩陣它是一個4 4階方陣，即：階方陣，即： 換換?？煽墒故箞D圖形形實

51、實現(xiàn)現(xiàn)全全比比例例變變子子矩矩陣陣?？煽墒故箞D圖形形實實現(xiàn)現(xiàn)平平移移變變換換子子矩矩陣陣稱稱、錯錯切切和和旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變變換換。、對對可可使使三三維維圖圖形形實實現(xiàn)現(xiàn)比比例例子子矩矩陣陣如如下下：個個子子矩矩陣陣，其其各各自自作作用用矩矩陣陣分分成成我我們們將將 rqpnmlihgfedcbasnmlrihgqfedpcbaT1*33*13*344*4投影變換投影變換一、三維圖形幾何變換一、三維圖形幾何變換 下面介紹三維圖形的變換，為了表示清楚三維空間點或立體下面介紹三維圖形的變換，為了表示清楚三維空間點或立體位置，我們選擇右手坐標(biāo)系，即右手的食指和中指分別指向位置，我們選擇右手坐標(biāo)系，即右手的食

52、指和中指分別指向X X和和Y Y軸方向；而大姆指指向軸方向；而大姆指指向Z Z軸的正方向，三個軸互相垂直。軸的正方向，三個軸互相垂直。 三維幾何變換和二維幾何變換類似，通過改變變換矩陣中不三維幾何變換和二維幾何變換類似，通過改變變換矩陣中不同元素值實現(xiàn)不同變換。同元素值實現(xiàn)不同變換。 1 1三維比例變換三維比例變換關(guān)于原點的比例變換的變換矩陣為：關(guān)于原點的比例變換的變換矩陣為： 主對角線上元素主對角線上元素a,e,i,sa,e,i,s的作用是使空間立體產(chǎn)生局部或的作用是使空間立體產(chǎn)生局部或總體比例變換。總體比例變換。（l l）局部比例變換局部比例變換在在3 3* *3 3子矩陣中主對角線上元素

53、子矩陣中主對角線上元素a,e,ia,e,i控制比例變換，令控制比例變換，令其余元素為零，則空間立體點（其余元素為零，則空間立體點（x x，y y，z z）的比例變換為的比例變換為： sieaT000000000000 izzeyyaxxzyxizeyaxieazyx ,1110000000000001即即由此可知，空間點坐標(biāo)分別按比例系數(shù)由此可知，空間點坐標(biāo)分別按比例系數(shù)a,e,ia,e,i進(jìn)行變換，進(jìn)行變換，可使整個圖形按比例放大或縮小。可使整個圖形按比例放大或縮小。 當(dāng)當(dāng)a ae ei i1 1時，圖形不變，是恒等變換；時，圖形不變，是恒等變換；當(dāng)當(dāng)a ae ei i1 1時，圖形放大時，

54、圖形放大; ;當(dāng)當(dāng)a ae ej j1 1時，圖形縮小時，圖形縮小; ;當(dāng)當(dāng)a ae ei i時，立體各向縮放比例不同，這時立體要產(chǎn)生時，立體各向縮放比例不同，這時立體要產(chǎn)生類似變化。類似變化。 134210421302100213401040030010001000030000400002111110111101100111101010110010001000030000400002對對單單位位立立體體進(jìn)進(jìn)行行變變換換。例例：設(shè)設(shè)變變換換矩矩陣陣T3 3* *3 3子矩陣子矩陣主對角線上主對角線上元素控制比元素控制比例變換例變換如圖所示，空間立體由正方體變成長方體。虛線表示變?nèi)鐖D所示，空間立

55、體由正方體變成長方體。虛線表示變換前的立方體，實線表示變換后的長方體。換前的立方體，實線表示變換后的長方體。 （2 2）全比例變換）全比例變換全比例變換矩陣為：全比例變換矩陣為：由此可知：當(dāng)由此可知：當(dāng)s s1 1時，則立體各方向等比例縮??；時，則立體各方向等比例縮??； 當(dāng)當(dāng)0 0s s1 1對，則立體各方向等比例放大。對，則立體各方向等比例放大。 sT000010000100001 szzsyysxxzyxszsysxszyxszyx/11/0000100001000011 即即則則2 2三維平移交換三維平移交換平移變換是使立體在空間平移一段距離而形狀和大小保持平移變換是使立體在空間平移一段

56、距離而形狀和大小保持不變。變換矩陣為：不變。變換矩陣為：l,m,nl,m,n分別為沿分別為沿 X X，Y Y，Z Z軸方向的平移量，由它們的正負(fù)軸方向的平移量，由它們的正負(fù)來決定立體平移方向。來決定立體平移方向。 1010000100001nmlT nzzmyylxxzyxnzmylxnmlzyx 1110100001000011即即則則例例5.3 5.3 設(shè)變換矩陣中設(shè)變換矩陣中l(wèi) l3,3,m m=3,=3,n n3 3，試對單位立體進(jìn)行試對單位立體進(jìn)行平移變換。平移變換。 1444134414341334144313431433133313330100001000011111101111

57、0110011110101011001000沿沿x,y,zx,y,z方向的平移量方向的平移量 3 3三維對稱變換三維對稱變換在三維空間最簡單的對稱變換是對稱于坐標(biāo)平面的變在三維空間最簡單的對稱變換是對稱于坐標(biāo)平面的變換。空間一點對換。空間一點對XOYXOY坐標(biāo)面對稱變換時，點的（坐標(biāo)面對稱變換時，點的（x x，y y）坐標(biāo)不變，只改變坐標(biāo)不變，只改變z z的正負(fù)號。因此，其變換矩陣的正負(fù)號。因此，其變換矩陣為：為：變換結(jié)果如圖所示。變換結(jié)果如圖所示。 1000010000100001XOYT圖5.20 對XOY平面的對稱變換同理，對同理，對XOZXOZ坐標(biāo)的對稱變換矩陣和對坐標(biāo)的對稱變換矩陣和

58、對YOZYOZ坐標(biāo)面的對稱坐標(biāo)面的對稱變換矩陣分別為：變換矩陣分別為： 1000010000100001XOZT 1000010000100001YOZT4 4三維錯切變換三維錯切變換三維立體的某個面沿指定軸向移動屬于三維錯切，三維三維立體的某個面沿指定軸向移動屬于三維錯切，三維錯切是由子矩陣中非主對角線元素各項產(chǎn)生的，其變換錯切是由子矩陣中非主對角線元素各項產(chǎn)生的，其變換矩陣為：矩陣為：變換結(jié)果為：變換結(jié)果為： 1000010101hgfdcbT zfycxzhzybxygzdyxxzynzfycxhzybxgzdyxTzyx 111即即T T中第一列元素中第一列元素d d和和g g產(chǎn)生沿產(chǎn)

59、生沿X X軸方向錯切，第二列元素軸方向錯切，第二列元素b b和和h h產(chǎn)生產(chǎn)生沿沿Y Y軸方向錯切，第三列元素軸方向錯切，第三列元素c c和和f f產(chǎn)生沿產(chǎn)生沿Z Z軸方向錯切。軸方向錯切。錯切變換時，一個坐標(biāo)方向的變化受另外兩個坐標(biāo)變化錯切變換時，一個坐標(biāo)方向的變化受另外兩個坐標(biāo)變化的影響，因此，按錯切方向不同可實現(xiàn)的影響，因此，按錯切方向不同可實現(xiàn)6 6種錯切變換。種錯切變換。1.1.要求沿要求沿X X方向錯切方向錯切 a. a.當(dāng)變換矩陣為：當(dāng)變換矩陣為： b.b.當(dāng)變換矩陣為：當(dāng)變換矩陣為： 1000010000100011dT錯切平面沿錯切平面沿X X軸方向軸方向移動且離開移動且離開

60、Y Y軸軸 1000010001000012hT錯切平面沿錯切平面沿X X軸方向軸方向移動且離開移動且離開Z Z軸軸 例例 將一單位立方體進(jìn)行錯切變換，使錯切平面沿將一單位立方體進(jìn)行錯切變換，使錯切平面沿X X方向方向移動并離開移動并離開Y Y軸。軸。 令變換矩陣令變換矩陣 100001000015 . 10001T 1015 .21115 .21115 .11015 .1100111011100100010111111111010101001110111001000T則則變換結(jié)果如圖所示變換結(jié)果如圖所示: : ZXY變換前變換前變換后變換后錯切平面垂直于錯切平面垂直于Y Y軸，軸，沿沿X X