復(fù)變函數(shù)的微積分

1、復(fù)變函數(shù)的微積分基本要求：基本要求： 1. 1. 理解解析函數(shù)的定義。理解解析函數(shù)的定義。 2 2掌握掌握C-RC-R條件與解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的關(guān)系條件與解析函數(shù)及調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 3. 3. 掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及掌握科希定理和科希公式，理解其證明方法及關(guān)鍵步驟。關(guān)鍵步驟。內(nèi)容：內(nèi)容： 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，科希一里曼方程，解析函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，科希一里曼方程，解析函數(shù)，共軛調(diào)和函數(shù)，平面標(biāo)量場(chǎng)及多值函數(shù)；復(fù)變函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)，平面標(biāo)量場(chǎng)及多值函數(shù)；復(fù)變函數(shù)的積分，單積分，單, ,復(fù)通區(qū)域上的科希定理和科希公式。復(fù)通區(qū)域上的科希定理和科希公式。12導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)一、 導(dǎo)數(shù)的定義：

2、 設(shè) 為單值函數(shù)，即對(duì)于B上的每一個(gè)z值，有且只有一個(gè)w值與之相對(duì)應(yīng)。如果對(duì)于B上的某點(diǎn)z, 極限存在，且與z0 的方式無(wú)關(guān)，則稱函數(shù) w =f(z) 在 z 點(diǎn)可導(dǎo)，此極限定義為函數(shù) w=f(z) 在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)（或微商）， 記為Bzzfw )(zzfzzfzwzz)()(limlim00)( )(zfdzzdf或3與實(shí)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)別：實(shí)變函數(shù)：x0；復(fù)變函數(shù)：z0z0 方式圖示xyo z02、z=iy1、z=x3、z=x+iy4二、求導(dǎo)公式二、求導(dǎo)公式,dddd)(dd,dd/1dd,)(dd,dddd)(dd,dddd)(dd222121212121212121zwwFwFzwzzwww

3、wwwwwzzwwwzwwwzzwzwwwz,1lndd,sincosdd,cossindd,eedd,dd1zzzzzzzzzznzzzzznn5 必須指出，復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)必須指出，復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，雖然形式上一樣，實(shí)質(zhì)上卻有很數(shù)定義，雖然形式上一樣，實(shí)質(zhì)上卻有很大的不同這是因?yàn)閷?shí)變數(shù)大的不同這是因?yàn)閷?shí)變數(shù)xx只能沿著實(shí)只能沿著實(shí)軸逼近零、復(fù)變數(shù)軸逼近零、復(fù)變數(shù)z z 卻可以沿復(fù)數(shù)平面卻可以沿復(fù)數(shù)平面上的任一曲線逼近零因此，與實(shí)變函數(shù)上的任一曲線逼近零因此，與實(shí)變函數(shù)的可導(dǎo)相比，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格的可導(dǎo)相比，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格得多得多6三、柯西-黎曼（Cauc

4、hy-Riemann）方程證明：1、實(shí)軸方向 , z=x2、虛軸方向 , z=iy xvixuxviux0lim0y0 xxyo z02、z=iy1、z=xyuiyvyiviuy0lim7yuiyvxvixu 3、f(z)可導(dǎo)， 與z0 的方式無(wú)關(guān)，因此從而： C-R方程是可導(dǎo)的必要條件。方程是可導(dǎo)的必要條件。dzdf /柯西柯西-黎曼（黎曼（Cauchy-Riemann）方程）方程yuxvyvxu ,8例:, 0 , 0 , 0 , 1yvxvyuxu不滿足C-R條件, 00 , 0 , 1 , 0 yizwyizwhenxxzwxzwhen事實(shí)上, 0 , ,Revxuxzw9可導(dǎo)的充要條

5、件可導(dǎo)的充要條件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)，且滿足C-R條件, 則復(fù)變函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可導(dǎo)。yvxvyuxu , , ,滿足滿足C-R條件。條件?？梢?jiàn)可見(jiàn)C-R條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件沿實(shí)軸或虛軸， z, 2/or 00lim00zzzf10,1 ,1vuvu極坐標(biāo)中的極坐標(biāo)中的C-R方程：方程：極限極限 是與是與 的方式無(wú)關(guān)的有限值的方式無(wú)關(guān)的有限值若復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，則其實(shí)部和虛部通過(guò)若復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)，則其實(shí)部和虛部通過(guò)C-R而聯(lián)系起來(lái)而聯(lián)系起來(lái)zfz0lim0z11 復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法復(fù)變函數(shù)求導(dǎo)方法( (

6、如果存在）如果存在）: :一、 已知 f(z), 求導(dǎo): 與實(shí)變函數(shù)求導(dǎo)類似。二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求導(dǎo):(1.3.2) and (1.3.1) yuiyvxvixudzdw;1nnnzdzdwzw;cossinzdzdwzw1233222222323)()(3 2)(3 )-(3-6)3(3)(izzfziizixyyxiyxixydzdfxyxiyxyzf例：13解析函數(shù)解析函數(shù)一、 解析函數(shù)的解析函數(shù)的 定義：如果單值函數(shù)f(z) 在點(diǎn) z0及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱 f(z) 在 z0 點(diǎn)解析。又若f(z)在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析（可導(dǎo)），則稱 f(z)是區(qū)域B上的解析

7、函數(shù) z0 點(diǎn)可導(dǎo)與 z0 點(diǎn) 解析的區(qū)別: 函數(shù) f(z)=|z|2 (1.4例2)在 z=0 點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他點(diǎn)均不可導(dǎo)，故 z=0 點(diǎn)不解析。 z0z0 鄰鄰域域14可導(dǎo)與解析的關(guān)系可導(dǎo)與解析的關(guān)系z(mì)0 點(diǎn)解析點(diǎn)解析z0 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo)區(qū)域上可導(dǎo)區(qū)域上可導(dǎo)區(qū)域上解析區(qū)域上解析不一定！15二. 解析函數(shù)的性質(zhì)：若函數(shù) f(z)=u+iv 在區(qū)域 B 上解析，則 1、u(x, y)=C1 與 v(x, y)=C2 互相正交;將C-R方程兩邊對(duì)應(yīng)相乘, 得 u(x, y)=C1 與與 v(x, y)=C2 互相正交互相正交;xvyuyvxu ;0yvyuxvxu0vu162、2u=0 和 2v=

8、0, 即 u 和 v 是調(diào)和函數(shù);將前式對(duì)x求導(dǎo),后式對(duì)y求導(dǎo), 相加, 得同理可得 共軛調(diào)和函數(shù)xvyuyvxu ; 02222yuxu; 02222yvxv 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)平面上的復(fù)平面上的路積分路積分 定義定義: 復(fù)平面分段光滑曲線L上的連續(xù)函數(shù) f(z)，作和17A xyo Bz0znlz1zk-1zkknkkkkzzf11)(18存在且與存在且與 k的選取無(wú)關(guān)的選取無(wú)關(guān), 則這個(gè)和的極限稱則這個(gè)和的極限稱為函數(shù)為函數(shù)f(z) 沿曲線沿曲線l從從A到到B的路積分，記為的路積分，記為nkkkkznlzzfdzzfk110|max )(lim)(

9、即1 1max|0lim()()knkkknkzfzz若若ldzzf)( 分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 參數(shù)形式：曲線l 的參數(shù)方程 x=x(t), y=y(t), 起始點(diǎn)A 和結(jié)束點(diǎn) BtA, tB19lllvdxudyivdyudxdzzf)(BABAttlttdtdtdxvdtdyuidtdtdyvdtdxudzzf.)(20幾個(gè)重要性質(zhì)1。常數(shù)因子可以移到積分號(hào)之外2。函數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的和3。反轉(zhuǎn)積分路徑，積分值變號(hào) lnlllndzzfdzzfdzzfdzzfzfzf)(.)()()(.)()(2121llzzfczzcfd)(d)(21

10、lldzzfdzzf)()(4。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和。全路徑上的積分等于各分段上的積分之和 即：即： 如果如果 l=l1+l2+ln5。積分不等式積分不等式1：6。積分不等式積分不等式2： 其中其中 M 是是 |f(z)| 在在 l 上的最大值，上的最大值，L 是是 l 的全長(zhǎng)。的全長(zhǎng)。nlllldzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21llzzfzzfd)(d)(MLdzzfl)(22例例 計(jì)算積分計(jì)算積分解解,dRe ,dRe2121llzzIzzI ,2110101iidyxdxI21010102xdxidyI一般言一般言,復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分不僅與起

11、點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)不僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),同時(shí)還與路徑有關(guān)同時(shí)還與路徑有關(guān).oxyl1l1l2l211+ii柯西（柯西（Cauchy）定理）定理 研究積分與路徑之間的關(guān)系研究積分與路徑之間的關(guān)系（一）單連通域情形（一）單連通域情形單連通域單連通域 在其中作任何簡(jiǎn)單閉合圍線，圍在其中作任何簡(jiǎn)單閉合圍線，圍線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)線內(nèi)的點(diǎn)都是屬于該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)單連通區(qū)域的單連通區(qū)域的Cauchy 定理定理 ：如果函數(shù) f(z) 在閉單連通區(qū)域 中單值且解析， 則沿 中任何一個(gè)分段光滑的閉合曲線 c (也可以是 的邊界l), 函數(shù)的積分為零。BB23B24cdzzf0)(oxylBco證明：由路徑積分的定

12、義：cccudyvdxivdyudxdzzf)(因因 f(z)在在 上解析，因而上解析，因而 在在 上連續(xù)，上連續(xù)，Byvxvyuxu,B25對(duì)實(shí)部虛部分別應(yīng)用格林公式對(duì)實(shí)部虛部分別應(yīng)用格林公式 將回路積分化成面積分將回路積分化成面積分csyxyPxQyQxPddddscsyxyvxuiyxyuxvzzfddddd)(又又u、v 滿足滿足C-R條件條件 , ,xvyuyvxu故故cdzzf0)(26推廣：推廣：若f(z)在單連通域B上解析，在閉單連通域 上連續(xù)，則沿 上任一分段光滑閉合曲線C (也可以是 的邊界)，有 （二）復(fù)連通域情形（二）復(fù)連通域情形如果區(qū)域內(nèi)存在：如果區(qū)域內(nèi)存在：（1）奇

13、點(diǎn)）奇點(diǎn) ；（；（2）不連續(xù)線）不連續(xù)線 段段 ； （3）無(wú)）無(wú)定義區(qū)定義區(qū) 為了把這些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)臑榱税堰@些奇異部分排除在外，需要作適當(dāng)?shù)膰绹?l1、l2、 l3 把它們分隔開(kāi)來(lái)，把它們分隔開(kāi)來(lái)，形成形成帶孔的區(qū)域-復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域。BBBcdzzf0)(一般言，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合圍線其內(nèi)有不屬于該區(qū)域的點(diǎn)，這樣的區(qū)域便稱為復(fù)連通域區(qū)域邊界線的正向 當(dāng)觀察者沿著這個(gè)方向前進(jìn)時(shí)，區(qū)域總是在觀察者的左邊。 27 xy l1l2l3l0Bo28復(fù)連通區(qū)域的復(fù)連通區(qū)域的Cauchy 定理定理：如果如果 f(z) 是閉復(fù)連通區(qū)域是閉復(fù)連通區(qū)域 中的單值解析中的單值

14、解析函數(shù)，則函數(shù)，則0d)(d)(1lnilizzfzzfBl 為外邊界線，為外邊界線， li為內(nèi)邊界為內(nèi)邊界線，積分沿邊界線正向線，積分沿邊界線正向證：證： 作割線連接內(nèi)外邊界線作割線連接內(nèi)外邊界線 290d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(21CDlCDABlABlzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf0d)(d)(d)(21lllzzfzzfzzflnilizzfzzf1d)(d)(30lnilizzfzzf1d)(d)(即31柯西定理總結(jié)：柯西定理總結(jié)：1。若若f f( (z z) )在單連通域在單連通域B B上解析，在閉單連通上解析，在閉單連通域域 上連續(xù)，則沿上連續(xù)，則沿

15、 上任一分段光滑閉合上任一分段光滑閉合曲線曲線C( (也可以是也可以是 的邊界的邊界) )的積分為零；的積分為零； 2。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分為零；內(nèi)外境界線正方向的積分為零；3。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境。閉復(fù)連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分等于沿所有內(nèi)境界線界線逆時(shí)針?lè)较虻姆e分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和；逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和；BBB32由由Cauchy Cauchy 定理可推出：定理可推出： （與開(kāi)頭呼應(yīng)！與開(kāi)頭呼應(yīng)?。?在閉單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解析的函數(shù)在閉單連通區(qū)域或復(fù)連通區(qū)域中解

16、析的函數(shù)f f( (z z) )，其路積分值只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，而，其路積分值只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，而與積分路徑無(wú)關(guān)與積分路徑無(wú)關(guān)。證明：由圖可知其中 表示C2 的反方向。由積分的基本性質(zhì)可得：33210)(CCdzzf2C2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzfADBC2C134最后可得：最后可得：只要起點(diǎn)和終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑只要起點(diǎn)和終點(diǎn)固定不變，當(dāng)積分路徑連續(xù)變形時(shí)（不跳過(guò)連續(xù)變形時(shí)（不跳過(guò)“孔孔”）時(shí)，函數(shù)）時(shí)，函數(shù)的路積分值不變的路積分值不變21)()(CCdzzfdzzf不定積分不定積分單連通區(qū)域中解析函數(shù)單連通區(qū)域中解析函數(shù) f(z) 的積分值與路經(jīng)無(wú)關(guān)，的積分值

17、與路經(jīng)無(wú)關(guān)，令令z0固定，終點(diǎn)固定，終點(diǎn)z 為變點(diǎn)，有單值函數(shù)為變點(diǎn)，有單值函數(shù)ABl2l1zzdfzF0)()()()( zfzF且：且：F(z) 是是f(z) 的原函數(shù)的原函數(shù)21)()()(12zzdfzFzF還有還有證略證略36思考被積函數(shù)為解析函數(shù)和非解析函數(shù)的區(qū)別思考被積函數(shù)為解析函數(shù)和非解析函數(shù)的區(qū)別lndzzI)(例例2：計(jì)算積分：計(jì)算積分l CR（n 為整數(shù)）為整數(shù)）解：解：n 0 被積函數(shù)解析被積函數(shù)解析0)(lndzzn 1lnzzdze011)!1(2zznnedzdni)!1(2ni討論如下積分的求解過(guò)程：461、計(jì)算：、計(jì)算：) ( 為整數(shù)其中 ndzzIban2、計(jì)算：計(jì)算：lzzzdze)1(2l為圓為圓21 iz;, 3,2, 1,0,nzdzelnzl為圓為圓1z3、計(jì)算：計(jì)算：例：計(jì)算積分例：計(jì)算積分解：（1）當(dāng) n-1 時(shí)， zn 的原函數(shù)是 z(n+1)/(n+1) 故（2）當(dāng) n=-1 時(shí)，z-1 的原函數(shù)是 ln(z), 故47) ( 為整數(shù)其中 ndzzIban) 1( ,1111na