數(shù)學(xué)物理方程經(jīng)典教案 分離變量法(研究生,高校本科生)PPT課件

1、 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程 Equation for Mathematical Physics第二章第二章 分離變量法分離變量法Chpt2 Separation of variables method2.1 分離變量法分離變量法概述概述 求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的主要方法有：求解數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的主要方法有：分離變量法分離變量法(也叫駐波法、富氏級(jí)數(shù)法也叫駐波法、富氏級(jí)數(shù)法)、行、行波法波法(達(dá)朗貝爾法達(dá)朗貝爾法)、積分變換法、積分變換法、Green函數(shù)函數(shù)法法(鏡象法鏡象法)等等。其中分離變量法是最常用、等等。其中分離變量法是最常用、最基本和最重要的方法。最基本和最重要的方法。 分離變量

2、法的物理背景是波動(dòng)現(xiàn)象，它的結(jié)分離變量法的物理背景是波動(dòng)現(xiàn)象，它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是時(shí)間和空間函數(shù)的乘積形式。于是構(gòu)特點(diǎn)是時(shí)間和空間函數(shù)的乘積形式。于是這給我們一個(gè)啟示：波動(dòng)方程的解是否可以這給我們一個(gè)啟示：波動(dòng)方程的解是否可以具有變量分離形式的解（即時(shí)間空間分離）？具有變量分離形式的解（即時(shí)間空間分離）？2.1 分離變量法分離變量法概述概述 一、基本思想：一、基本思想： 1、利用變量分離形式的解，把求解偏微分、利用變量分離形式的解，把求解偏微分方程定解問(wèn)題化為常微分方程的定解問(wèn)題；方程定解問(wèn)題化為常微分方程的定解問(wèn)題； 2、先尋找方程滿足齊次邊界條件的特解，、先尋找方程滿足齊次邊界條件的特解，然后利

3、用解的疊加原理求出偏微分方程定然后利用解的疊加原理求出偏微分方程定解問(wèn)題的形式解；解問(wèn)題的形式解； 3、分離變量法屬于直接求方程特解的方法。、分離變量法屬于直接求方程特解的方法。2.1 分離變量法分離變量法概述概述 分離變量法解題的難易程度與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)。分離變量法解題的難易程度與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)。 常用的坐標(biāo)系有：常用的坐標(biāo)系有： 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系(笛卡爾坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系) ：適合于求解區(qū)域?yàn)椋哼m合于求解區(qū)域?yàn)榫匦斡?；矩形域?極坐標(biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)閳A形或扇形域；極坐標(biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)閳A形或扇形域； 柱坐標(biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)閳A柱形域；柱坐標(biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)閳A柱形域；

4、球坐標(biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)榍蛐斡?。球坐?biāo)系：適合于求解區(qū)域?yàn)榍蛐斡颉?因此，當(dāng)偏微分方程的研究區(qū)域?yàn)榫匦?、圓形、因此，當(dāng)偏微分方程的研究區(qū)域?yàn)榫匦巍A形、扇形、圓柱形、球面等區(qū)域時(shí)，特別適合使用分扇形、圓柱形、球面等區(qū)域時(shí)，特別適合使用分離變量法求解。離變量法求解。2.1 分離變量法分離變量法概述概述 分離變量法解題的求解步驟分離變量法解題的求解步驟-五步：五步： (1)分離變量；分離變量； (2)求解常微分方程的本征值問(wèn)題求解常微分方程的本征值問(wèn)題(Eigenvalue problem); (3)決定解的基本結(jié)構(gòu)決定解的基本結(jié)構(gòu)(本征解本征解)； (4)解的疊加；解的疊加； (5)確定方程中

5、的疊加系數(shù)。確定方程中的疊加系數(shù)。2.1 分離變量法分離變量法概述概述 掌握直角坐標(biāo)系下使用分離變量法求解偏掌握直角坐標(biāo)系下使用分離變量法求解偏微分方程的思路和步驟；微分方程的思路和步驟； 掌握直角坐標(biāo)系下掌握直角坐標(biāo)系下齊次方程、齊次邊界條齊次方程、齊次邊界條件下分離變量法的求解方法件下分離變量法的求解方法; 掌握求解非齊次方程的掌握求解非齊次方程的固有函數(shù)法固有函數(shù)法和和沖量沖量定理法定理法； 掌握非齊次邊界條件齊次化的方法；掌握非齊次邊界條件齊次化的方法； 學(xué)習(xí)其它坐標(biāo)系下使用分離變量法求解偏學(xué)習(xí)其它坐標(biāo)系下使用分離變量法求解偏微分方程的方法。微分方程的方法。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容講解

6、內(nèi)容安排講解內(nèi)容安排 2.1 分離變量法分離變量法概述概述 2.2 直角坐標(biāo)系下的分離變量法直角坐標(biāo)系下的分離變量法 2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法 2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法 2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化 2.2.4 高維定解問(wèn)題的解法高維定解問(wèn)題的解法 2.3 極坐標(biāo)系下的分離變量法極坐標(biāo)系下的分離變量法 2.4 Sturm-Liouville問(wèn)題問(wèn)題2.1 分離變量法分離變量法概述概述2.2 直角坐標(biāo)系下的分離變量法直角坐標(biāo)系下的分離變量法2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法200

7、01, 0,0 (1)( )|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)(),ittxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x t例：求解有界弦的自、對(duì)偏微分方程定由振動(dòng)解問(wèn)題滿足第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題解實(shí)施分離變，設(shè)量：22)( ) ( ) (4)( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (5)( )( )X x T tX xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函數(shù)。為了求出滿足邊界條件(2)的特解，把(4)代入(1)，得即，2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法22(5),-( )( )- (

8、5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 x tXxTtX xa T tXxX xTta T t式中的是兩個(gè)獨(dú)立變量，為了使之成立，只有兩側(cè)都等于一個(gè)常數(shù)才行，我們把其記為，即 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx把代入定解條件、 ，分別得及2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法( )( )0(0)0,( )

9、0 (10)( ),( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lX xXxX xXX l因?yàn)槭侨我獾?，故，所以?8)式得為了確定下一步首要任務(wù)就是求解下列常微分方程問(wèn)題： (10)( )SturmLiouville通常稱定解問(wèn)題為固有值問(wèn)題或問(wèn)題。2000, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法( )( )0,(6)( ), ,(10)0110ii( )xxllllX xAeBeA BABAeBeee 。目標(biāo)：選取適當(dāng)?shù)?，

10、使得具有非零解。稱能夠使具有非零解的常數(shù) 為，相應(yīng)的非零解為。下面分三種情況進(jìn)行討論：時(shí) 此時(shí))求的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界解固有值問(wèn)題條，數(shù)得數(shù)件固有值(或本征值)固有函(或本征函)AB0( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法1 10 0 ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAlBX x 對(duì)于這個(gè)矩陣方程，其系數(shù)行列式為從而有，故時(shí)，方程只有零解， 不可取。時(shí) 此時(shí)的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得從而有，故時(shí)，方

11、程只有零解， 也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題AX = 0A0X = 0線性代數(shù)中，對(duì)于方程當(dāng)系數(shù)行列式，則只有2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題2220,(6)( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.) , (1,2,.) nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnnnl時(shí) 此時(shí)的通解為(一對(duì)共軛復(fù)根)其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固

12、有值為 (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBxnl相應(yīng)的固有函數(shù)為2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2222( )(11)(7)( )( )0( )cossin (13)(12) (13)(4)( , )( )( )(cossin)isin i14)(innnnnnnT tnaTtT tln an aT tCtDtlln an anux tXx T tCtDtxlll為了求出，把式代入式求方程滿足邊界條件的特解，得其通解為一對(duì)共軛復(fù)根，即把、代入式即得。到一族特解，為)nnnnCCBDDB其中的，為任意常數(shù)。2( )( )0 (7)Tta T t2

13、22 , (1,2,.) (11)( )sin,(1,2,.) (12)nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( ) (4)u x tX x T t設(shè)2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法11iv)(14)( , )( , )(cossin)sin (15)(15)( , )(1)( )v)(2nnnnnnnn an anu x tux tCtDtxlllCDu x t一般而言，式特解中的任一個(gè)未必滿足初始條件，這些特解一般還不是原定解問(wèn)題的最終解。令其中的、為待定的任意常數(shù)。根據(jù)疊加原理，由式所確利用疊加原理求出定的函數(shù)也是方程定解問(wèn)題的滿足形式解確定方邊界條的數(shù)件程

14、中系0101(15)( )( , )(3)|( )sin|( )sintnnttnnu x tnuxCxln anuxDxll的解。欲使式成為定解問(wèn)題的真正解，還需要使得滿足初始條件，即2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法010100|( )sin|( )sin( )( )sin2( )sin, 1,2,.(16)2( )sintnnttnnlnlnnuxCxln anuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnnDxxdxn al這兩式正好是和關(guān)于的正弦展開(kāi)。根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)法則(見(jiàn)下頁(yè)附錄)，便可得到定( )(15) (16)解問(wèn)題的最終解由、式共同確定。end2

15、.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法01- , ( )( )(cossin)21( )cos, 0,1,2,.1( )sin, 1,2,.nnnlnllnll lf xannf xaxbxllnaf xxdxnllnbf xxdxnlFour rlie對(duì)于周期為的函數(shù)，可以展開(kāi)為三角函數(shù)級(jí)數(shù)：附錄：級(jí)數(shù)展開(kāi)法則其中，2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法1001( )()( )sin (0)2( )sin, 1,2,.( )()( )cos (0)22( )sin, nnnlnnnnnf xodd functionnf xbxalnbf xxdxnllf x

16、even functionanf xaxblnaf xxdxnllFourier當(dāng)為奇函數(shù) 時(shí)，其系數(shù)為當(dāng)為偶函數(shù) 時(shí)，其系數(shù)為附錄：級(jí)數(shù)展開(kāi)法則001,2,.l，2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法32( )( )( )( )( )( )( )(0)( )(0)( )(0)( )0,( )xxxCxxCxlll對(duì)于定解問(wèn)題，如果初始條件和滿足：，即連續(xù)三次可微， ，即連續(xù)二次可微；即全部符合齊次邊界條件，則定解問(wèn)題的解是適定的，即解是存在的、唯一的并且穩(wěn)定的。解的存在定理2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2222(14)( , )()cos(arct

17、an)sin( , )()sincos(arctan)arctannnnnnnnnnnnnDn anux tCDtxlClnux tCDxlDDn atlCCn al對(duì)式可以重寫(xiě)為代表了一個(gè)駐波，代表了弦上各點(diǎn)振動(dòng)的，代表，其中為，弦振義振幅相位初相固有頻率(本征頻率動(dòng)的為)。解的物理意( , )( )( )(cossin)sin (14)nnnnnn an anux tXx T tCtDtxlll2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法arctan (0,1,2,.)sinsin0(1)nnmmDn anlCmlnxmxmnln對(duì)每個(gè) 值，弦上的各點(diǎn)均以相同的頻率和相同的初相

18、位振動(dòng)。當(dāng)時(shí)，表明這些點(diǎn)振義節(jié)點(diǎn)幅為零，永遠(yuǎn)保持不動(dòng)，這些點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)包括兩個(gè)端點(diǎn)一共是個(gè) ；解的物理意121 (1,2,.)sin221sin1,(2)( , )( , )tanding wavemknnknxl kxnlknnu x tux t 當(dāng)時(shí)，表明這些點(diǎn)振幅達(dá)到最大，這些點(diǎn)稱為腹點(diǎn)一共是個(gè) 。所以，用方程來(lái)描述弦的振動(dòng)，就表示了一系列振幅不同、頻率不同、相位不點(diǎn)同的駐波(S )的疊加。腹2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法1fundamental wave2secondary harmonic wave/first overtone3triple-harmonic

19、 wave/second overtone(.1)( )nnnFigfundamental tone義基波二次諧波三次諧波稱時(shí)的駐波為()；時(shí)的駐波為()；時(shí)的駐波為()；依此類推。弦線上的基波對(duì)應(yīng)弦發(fā)出的最低音，其它頻率均為其整數(shù)倍，音均基解的物理意overtone)n all稱為(。頻率為。我們聽(tīng)到的音樂(lè)是不同頻率聲音的疊加，改變 就可以改變頻率，小提琴、吉他就是通過(guò)改變長(zhǎng)度而更泛音換聲音的。n=1n=2n=3x=0 x=lfundamentalfirst overtonesecond overtoneFig1. Normal modes of vibration for a standi

20、ng wave on a string fixed at both ends2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法123、雖然可以使用駐波的思想來(lái)幫助理解解題的思路和方法，但分離變量法并不僅僅只適合于表達(dá)駐波的傳播，這種方法的求解能力遠(yuǎn)大于此。求解其它各種定解問(wèn)題，如擴(kuò)散問(wèn)題、熱傳導(dǎo)問(wèn)題、溫定場(chǎng)問(wèn)題等均可以適用。、分離變量法的解題精髓是通過(guò)變量分離，把求解偏微分方程的問(wèn)題化為求解常微分方程的問(wèn)題。、只有當(dāng)時(shí)，定解問(wèn)題才可以采用分離變量法求解，否則無(wú)效。邊條為齊注意：方程和界件均次2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法利用分離變量法求解定解問(wèn)題的過(guò)程可以條寫(xiě)邊

21、條齊個(gè)驟問(wèn)題關(guān)歸納變題鍵結(jié)如下：定解件完整，界件次化，五步 分離量法循序解，固有(值思)解小是路的。對(duì)偏微分方程定解問(wèn)題實(shí)施分離變量五個(gè)步驟是：求固有值問(wèn)題(空間變量)求偏微分方程滿足邊界條件的特解(時(shí)間變量與固有函數(shù)乘積形式)利用疊加原理求出定解問(wèn)題的形式解確定系數(shù)2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法20002, 0,0 (1)( )|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3i)( , ) ( )(ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxlu x tX x T t、對(duì)偏微分方程例 ：使用分離變量法求解下列定解問(wèn)題解：，設(shè)定解問(wèn)題實(shí)施分離變量22

22、(4)( )( )(4)(1)( ) ( )( ) ( )( )( )() (5)( )( )X xT tX x Tta Xx T tXxTtX xa T t其中和是待定函數(shù)。把代入，得即，常數(shù)2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法22( )( )- (5)( )( )( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)XxTtX xa T tXxX xTta T t把代入邊界和初始條件、 ，分(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)( ) (9)( ) (0)( )XT tX l T tX x TxX x Tx別得及2000, 0,0 (1)|0,|

23、0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法( )( )0(8)(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因?yàn)槭侨我獾模?，所以由式得于是和就組成了一個(gè)固有值問(wèn)題。 (10)2000, 0,0 (1)|0,|0,0 (2)|( ), |( ),0 (3)ttxxxxx ltttua uxl tuutuxuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法10,(6)( ), ii(

24、),(10)0011xxllllX xAeBeA BABAeBeABee 0。類似地，和例 一樣，分三種情況進(jìn)行討論：時(shí) 此時(shí)的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，)求解固有得值問(wèn)題( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法 1 10 0 - ( )000,(6)( ), ,(10)0 00( )00llABeeX xX xAxBA BBABAX x對(duì)于這個(gè)矩陣方程，其系數(shù)行列式為從而有，故時(shí)，方程只有零解， 不可取。時(shí) 此時(shí)的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得從而有，故時(shí)，方程只有零解，

25、也不可取。( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題2220,(6)( )cossin, ,(10)0 cos0sincos0( )00cos021, (0,1,2,.)2(21) , (4nX xAxBxA BABlAlBlX xBlnlnnnl時(shí) 此時(shí)的通解為(一對(duì)共軛復(fù)根)其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須保證，即要求，于是從而得到了固有值為0,1,2,.) (11)(21)( )sin , (0,1,2,.

26、) (12)2nnXxBxnl相應(yīng)的固有函數(shù)為2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2222( )(11)(7)(21)( )( )04(21)(21)( )cossin (13)22(12) (13)(4)(21)( , )( )( )iic si()o2nnnnnnT tnaTtT tlnanaT tCtDtllnaux tXx T tCtl。為了求出，把式代入式，得其通解為一對(duì)共軛復(fù)根，即把、代入式即得到一族特求方程滿足邊界條件的特解解，為(21)(21)sin)sin 22. (14)nnnnnnanDtxllCCBDDB其中的，為任意常數(shù)。2( )( )0 (7)T

27、ta T t222(21) , (0,1,2,.) (11)4(21)( )sin,(0,1,2,.) (12)2nnnnlnXxBx nl( , )( ) ( ) (4)u x tX x T t設(shè)2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法110(21)(21)(21)( , )( , )(cossin)sin 222 .(15)(15)( )( , )(3)(|( )siinv)( )v)nnnnnnntnnananu x tux tCtDtxlllCDu x tuxC。令其中的、為待定的任意常數(shù)。欲使式成為定解問(wèn)題的真正解，還需要使得滿足初利用疊加原理求出定解問(wèn)題的形式解確定

28、方程始條的件，即中系數(shù)10121)2(21)(21)|( )sin22nttnnnxlnanuxDxll2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法end01010(21)|( )sin2(21)(21)|( )sin22(21)( )( )sin22(21)( )sin24(21)( )sin(21)2tnnttnnlnnnuxCxlnanuxDxllnxxxlFouriernCxxdxllnDxxdxnal這兩式正好是和關(guān)于的正弦展開(kāi)。根據(jù)級(jí)數(shù)展開(kāi)法則，便可得到0, 0,1,2,.(16)( )(15) (16)ln定解問(wèn)題的最終解由、式共同確定。2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的

29、解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2010( )( )310(10)( ),100)1000( , ), 010,0 (1)( )|0, |ttxxxxxxxxxauu x txtua uxtuu下面舉一個(gè)具體給定、值的例子。例 ：設(shè)有一根常為個(gè)單位的弦，兩端固定，初速度為零，初位移為求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移（設(shè)。解：設(shè)表示弦上任意位置 和任意時(shí)刻 的位移，它可以歸結(jié)為下列定解問(wèn)題0020,0 (2)(10)|, |0,0 (3)100010,10000()11(15)(16)ttttxxuuxllaa的解。這時(shí)是代表與弦的材料、張力等有關(guān)的量 。顯然，本例與例 完全相同，可以直接套用例的結(jié)果，其付

30、氏級(jí)數(shù)解由、確定。2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法10003333330( )0,021( )sin(10)sin5000100, ; 2(1 cos)45, ;5( )21( , )cos10(215(21)nlnnxDnnCxxdxdllWhen n is evennnWhen n is oddnu x tnn 本問(wèn)題的方程和例1是一樣的，這里僅需要確定其系數(shù)即可。所以定解問(wèn)題的解為：(21) sin10(21)ntxnnn這里 為奇數(shù)時(shí)，使用代替了 。2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2004, 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)

31、|( ), 0 (3)( , )( ) ( ) (4)(1)(i)txxxx ltua uxl tuutuxxlu x tX x T tX x T例 ：用分離變量法求解下列熱傳導(dǎo)方程的第一類邊值問(wèn)題解：，設(shè)代入)分離變?cè)塘糠剑?22)( ) ( )( )( )- (5) ( )( )ta Xx T tXxT tX xa T t即，2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法222( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)( ) (0)XxX xT ta T tXT tX l T tX x T把代入定解條件、 ，分別得(

32、 ) (9)x200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 T tT tXX lXxX xXX l因?yàn)槭侨我獾模?，所以?8)式得于是(6)和(10)就構(gòu)成了固有值問(wèn)題：(10)200, 0,0 (1)|0, |0,0 (2)|( ),0 (3)txxxx ltua uxl tuutuxxl2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2( )( )0 (6)(0)0,

33、( )0 (10)XxX xXX l固有值問(wèn)題0,(6)( )( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0sin00, ii( ) (1,2,.)nX xAxBxA BABlAlBlX xlBlnnn。我們知道，只有當(dāng)時(shí) 方程才有非零解。 的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固有值（特征值）為)求解固有值問(wèn)題 , (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnlnXxBxnl相應(yīng)的固有函數(shù)為2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法22222222(11)(7)( )( )( )0( ),

34、(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )iii)natlnnnnT tnaT tT tlT tC enux tX。把式代入式，以求出，得這是一個(gè)一階常微分方程，可以使用常數(shù)變易法求之（使用移項(xiàng)積分也可以得到，如下例）。其解可以直接得到，為把、代入式即得求方程滿足邊界條件的到一簇特特解，為解2222( )( )sin (14)natlnnnnx T tC exlC其中的為任意常數(shù)。( )( )( )( ) ( )( ),( )( )P t dtP t dtT tP t T tQ tT teQ t edtc附：常數(shù)變易法對(duì)于其解為2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題

35、的解法222211010( , )( , )sin (1i5)(15)( )( , )(3)|( )sin2( )sin (v) v)natlnnnnntnnlnnu x tux tC exlCu x tnuxCxlnCxxdxll。令其中的為待定的任意常數(shù)。欲使式成為定解問(wèn)題的真正解，還需要使得滿足初始條件，利用疊加原理求出定解問(wèn)題的形式解確定即方程中的系數(shù) (16)( )(15) (16)定解問(wèn)題的最終解由、式共同確定。2.2.1 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法2000, 00 (1)00 (2)|3sin ,|0 (3)ttxxxxtttua u x, t u|, u|

36、 ux u 例5：用分離變量法求解下列定解問(wèn)題解：這是一個(gè)有界弦自由振動(dòng)問(wèn)題，和本章例1一樣。這1, ( )3sin ,( )0,(1,2,.),1( , )(cossin)sin (4)nnnnnlxxxnnu x tCnatDnatnx 里固有值為由例的結(jié)果可確定本問(wèn)題的最終解。T(t)X(x)2.2.1 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法00002122( )sin0 sin022( )sin3sinsin1 23sinsin20( 1),1 213sinsin3sin32( , )3cossinnnnDn dn dn an aCn dn dn dCwhen nCddu x

37、 tatx 這里，根據(jù)三角函數(shù)的正交性，有所以本定解問(wèn)題的解為：2.2.1 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法11(4)(3)sin3sin (5)sin0 (6)(5)nnnnCnxxDnanx通過(guò)本例，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于初始條件已經(jīng)是三角函數(shù)級(jí)數(shù)的情況下，我們不必要再使用系數(shù)公式去求積分來(lái)計(jì)算形式解中的系數(shù)，而只需要比較兩邊的系數(shù)即可。如對(duì)本題而言，把代入，有顯然，欲使成立，10(1),3;(6)0nnCnCD只可能是欲使成立，只可能是。這樣處理，問(wèn)題就容易多了。2.2.1 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法0

38、0, 00 (1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtuDu x, t u|, u| uxx 例6：用分離變量法求解下列定解問(wèn)題解：這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的公式可套,直接2( , )( ) ( ) (4)( ) ( )( ) ( )( )( )- (5)( )( )i)u x tX x T tX x T tDXx T tXxT tX xDT t按照分離變量法求解。，設(shè)把(4)、對(duì)偏微分方程定解問(wèn)題實(shí)施代入(1分離變，量)，得即2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法22( )( )0 (6)( )( )0 (7)(4)(2) (3)(0) ( )( ) ( )0 (8)

39、( ) (0)sXxX xT tDT tXT tXT tX x T把代入定解條件、 ，分別得in2sin3 (9)xx200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtua Du x, t u|, u| uxx 2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2( )( )0(0)0,( )0 (10)(6)(10)( )( )0 (6)( )(0)0,( )0 (1T tT tXXXxX xXX因?yàn)槭侨我獾?，故，所以?8)式得于是和就構(gòu)成了固有值問(wèn)題：0)200, 00(1)00 (2)|sin2sin3 (3)txxxxtua Du x, t u|, u| u

40、xx 2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2( )( )0 (6)(0)0,( )0 (10)XxX xXX固有值問(wèn)題0,(6)( )( )cossin, ,(10)0 sin0cossin0( )0sin00, (1,2,.ii( ) nX xAxBxA BABABX xBnnn。我們知道，只有當(dāng)時(shí) 方程才有非零解。 的通解為其中為任意常數(shù)。把其代入邊界條件，得欲使，必須要求，即保證，于是從而得到了固有值（特征值）為)求解固有值問(wèn)題, (1,2,.) (11)( )sin , (1,2,.) (12)nnXxBnxn相應(yīng)的固有函數(shù)為2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方

41、程定解問(wèn)題的解法222(11)(7)( )( )( )0( ),(1,2,.) (13)(12) (13)(4)( , )( )( )sin (iii14)Dn tnnDn tnnnnnT tT tDn T tT tC enux tXx T tC enxC。把式代入式，以求出，得解之得把、代入式求方程滿足邊界條件的即得到一簇特解，為其中的為任特解意常數(shù)。2.2.1 齊次方程定解問(wèn)題的解法齊次方程定解問(wèn)題的解法2110113( , )( , )sin (15)(15)iv)( )(3)|sinsin2sin3sin1,2,0( 1 3)(15)v)Dn tnnnnntnnnu x tux tC

42、enxCuCnxxxnxCCCwhen nand。令其中的為待定的任意常數(shù)。把代入初始條件，比較兩邊的、利用疊加原理求出定解問(wèn)題的形式解系數(shù)，得代入、確定，方程中的系數(shù)得原定解問(wèn)9( , )sin2sin3DtDtu x texex題的解為2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法 對(duì)于非齊次方程的定解問(wèn)題，不能直接使對(duì)于非齊次方程的定解問(wèn)題，不能直接使用分離變量法，可以采用下列幾種辦法求用分離變量法，可以采用下列幾種辦法求解這種問(wèn)題：解這種問(wèn)題： (一一)、 固有函數(shù)法固有函數(shù)法 (二二) 、沖量定理法沖量定理法 (三三) 、積分變換法積分變換法（第四章講）（第四章講）2.

43、2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法2001( , ), 0,0 (1) ( )|0, |0,0 (2)|( ), 0 (3)( )iiitxxxx ltua uf x txl tuutuxxl例：求解有限長(zhǎng)度桿、有熱源的熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題解：?jiǎn)栴}產(chǎn)生的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象由以下兩部分組成：）熱源產(chǎn)生的熱傳導(dǎo)；( , )( , )( , )(4)( , )( , ) u x tv x tw x tv x tw x t) 初始溫度產(chǎn)生的熱傳導(dǎo)。由物理學(xué)中的疊加規(guī)律，可以假設(shè) 其中和分別滿足：熱源初始溫度2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法200200( , )

44、, 0,0 ( )|0, |0,0 |0, 0 , 0,0 ()|0,|0,0 |( ), 0txxxx lttxxxx ltva vf x txl tvvtvxlwa wxl twwtwxx ()(1)( )( )()( )lvwuvw我們知道，只有當(dāng)方程和邊界條件均為齊次時(shí)，才能直接使用分離變量法求解。對(duì)定解問(wèn)題 ，可以直接使用分離變量法 與本章例同，這里解略 。剩下的主要任務(wù)就是求解定解問(wèn)題。另外，不難驗(yàn)證，只要 是的解， 是 的解，那么就一定是原定解問(wèn)題的解。2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法20( )(), 0,0 (2) |0, |0,0 (3)( , )

45、( ) ( ),(2) (3)( )( )0 ()i0txxxx lva vxl tvvtv x tX x T tXxX xX定解問(wèn)題的解法有以下兩種：一解：，即求定解問(wèn)題 )首先求出相應(yīng)的齊次方程滿足齊次邊界條件 的固有函數(shù)。設(shè)代入、 可得固有值問(wèn)的固有函數(shù)固有函數(shù)法 付氏級(jí)數(shù)法三步驟完成。題)( )02.2.11( )sin,1,2,.(4)nX lnXxBx nl這與的例 完全相同，根據(jù)例1，可知其固有函數(shù)為2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法111ii( )iii)( , )( , )( )( )( )sin (5)( )( )( )sin( , ), )( )

46、sin,nnnnnnnnnnnnnv x tvx tT t XtTT tTtxlT tT tnxlnf x tfltfttxx。其中為待定函數(shù)。這里與直接使用分離變量法不同，沒(méi)有直接把代入，而是作為待定函數(shù))求定解問(wèn)題的形式解確定待定函數(shù)為了確定處理。的，即，把展開(kāi)成為付氏級(jí)數(shù)10 (6)2( )( , )sin, (7)nlnnf tf x txdxll其中2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法112121120(5) (6)( )( )sin,( )cos,( )() sin,( )()( )sin( )sin,( )()( )( ) (8)2( )( , )tnxn

47、nnxxnnnnnnnnnnnnnnvTtx vT txlllnnvT txllannnTtT txf txlllanTtT tf tlf tf x tl 把、 都代入的方程，得從而有 即其中sin,lnxdxl1111( , )( , )( )( )( )sin (5)( , )( )sin, (6)nnnnnnnnnnv x tvx tT t XtT txlnf x tf txl2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法222222222()0()0( )()( )( ) (8)(8)( )( ) (9)(9)(5)()( , )( )sinnnna nttlnna nt

48、tlnanTtT tf tlT tfednv x tfed式是一階常微分方程，使用常數(shù)變易法可以得到其結(jié)果，同時(shí)應(yīng)用積分中值定理，可以得到把代入，即得到定解問(wèn)題 的解，為1 (10)( )( , )( , )( , )nxlu x tv x tw x t而原定解問(wèn)題 的解由組成。以上即為固有函數(shù)法求解定解問(wèn)題的三步驟。( )( )()tfdft積分中值定理表述為2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法22112101112220010( )|0,|0|( , )( , ; )( , ) ( )|0, |0 |0 ( , )( , ; ) (11)(xx ltxx lttvv

49、atxvvvf x tv x tvvaf x ttxvvvv x tv x td：若定解問(wèn)題的解為，則定沖解二 、沖量定理法量定理問(wèn)題的解為此兩行對(duì)應(yīng)即可此兩行對(duì)應(yīng)即可可以使用分離變量法2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法1222( )( )(11)( )( , )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )02.2.21v x tX x T tX x T ta Xx T tXxT tX xa T tT ta T tn根據(jù)沖量定理，欲求定解問(wèn)題，只需求定解問(wèn)題 ，然后再代入即可。而 中的方程和邊界條件均為齊次的，故可以使用分離變量

50、法求之。設(shè)，代入 中的方程，得對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們根據(jù)例，已經(jīng)知道其固有值為=2222222,1,2,.( )( )0nla nT tT tl2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法222222222222222222222222()( )( )0( )( )ln ( )ln ( )( )tttta na ndttlla nT tT tlT ta ndtT tla ndT tdtla nT tdtlT tcece 2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法2222()110( )( )0,1( )sin,1,2,.( , ; )( )sin (12)2( )

51、( , )sin (13)(13)(12)(12)(11)( )na ntlnnlnXxX xnX xBx nlnv x tBexlnBf xxdxll而對(duì)可以由本章例 知道，其中根據(jù)沖量定理，把代入，再把代入，即得到定解問(wèn)題的解。即2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法22222222()001()0012( , )( , )sinsin2( , )sinsin (14)a nttllna nttllnnnv x tf xxdx ex dlllnnf xxdx edxlll (10)(14)通過(guò)比較，可見(jiàn)。2222()01()( , )( )sin (10)a nttl

52、nnnv x tfedxl 而前面(一)使用固有函數(shù)法得到的定解問(wèn)題 的解為02( )( , )sin,lnnf tf x txdxll其中小小 結(jié)結(jié) 方法方法定解定解條件條件分離變量法分離變量法 固有函數(shù)法固有函數(shù)法 沖量定理法沖量定理法齊次方程齊次方程 齊次邊界齊次邊界條件條件 2.2.2 非齊次方程定解問(wèn)題的解法非齊次方程定解問(wèn)題的解法如果邊界條件為非齊次的，怎么辦？如果邊界條件為非齊次的，怎么辦？注：注：Laplace方程除外，邊界條件非齊次，仍然可方程除外，邊界條件非齊次，仍然可以用分離變量法求之以用分離變量法求之(見(jiàn)下節(jié)見(jiàn)下節(jié))。要求不要求要求要求要求不要求2.2.3 非齊次邊界條

53、件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化( , )( , )( , )( , )( , )u x tv x tw x tw x tv x t利用解的線性疊加原理，設(shè)選取適當(dāng)?shù)?，使其邊界條件為非齊次，從而使得的邊界條件齊次化。( , )w x t首要任務(wù)-如何選取適當(dāng)?shù)?。邊界條件（非齊次）泛定方程定解問(wèn)題初始條件定解條件下面分不同類型的邊界條件進(jìn)行討論。2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化0|( )|( )( , )( , )( , ) (1)( , )( )( )( )( )( )( )( , )( )( ), ( )xx lttw x txtlututu x tv x tw x

54、tw x tA t xB tttB ttA tl一、對(duì)于第一類非齊次邊界條件若設(shè)則可以取直線實(shí)際上，可以取簡(jiǎn)單的直線情況，即可以令代入邊界條件于是得，再代入直線方程即得。2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化02|( )|( )( , )( , )( )( )( , ) )( )(2xxxx lututu x tv x twttw x txt xlx t二、對(duì)于第二類非齊次邊界條件若設(shè)則可以取2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化0|( )|( )( , )( , )( ,( ,) (3)(xxx lututu x tv x twwxx tt xtt三、對(duì)于

55、混合非齊次邊界條件若設(shè)則可以取2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化0(|( )|( )( , )( , )( , ), )( ) )( ) (4(xxx lututu x tw xv x tw x tttxlt四、對(duì)于混合非齊次邊界條件(另一類)若設(shè)則可以取2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化200( , ),0,0( )|( ), |( )|( )1( )( , )( , )( , ) (1)( ) ( , )( )()( ) (2)txxxxx ltw xua uf x txl tut utuxu x tv x tttxlxtwt例1:求解下列定解問(wèn)

56、題解： ）首先把邊界條件齊次化。設(shè)的解為的邊界條件左端為第二類，右端為第一類，故可取2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化2000( )()( )( , ) ( )()( )( ), |()| ( ) ( )()( )|( ) (0)()(0)tttttttxxxxxxxxxxtttuvwvtxltvuwa uf x ttxltuvwvtvuvuwxtxltxxl這時(shí)， 又 ( , )( )()( ) (2)w x ttxltutwt2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化000200|-|( )( )0|-|( )( )0( , )( , ) ( )()(

57、),0,0( )|0, |0|( ) (0)()(0)xxxxxxx lx lx ltxxxxx ltvuwttvuwttv x tva vf x ttxltxl tvvvxxl對(duì)于邊界條件來(lái)說(shuō)，有左端：右端：所以，得到了滿足的定解問(wèn)題為邊界條件已經(jīng)齊次化邊界條件已經(jīng)齊次化( , )( )()( ) (2)w x ttxlt2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化非齊次邊界條件的齊次化12122211210110222222( )()( )( , )( , )( , ) (3)( , )( , )( , ) ( )()( )()|0, |0|0,0,0()xx ltv x tv x tv x tv

58、x tv x tvvaf x ttxlttxvvxvvvaxl ttx）求解定解問(wèn)題 邊界條件已齊次化，方程為非齊次對(duì)于，可以令其中和分別滿足20220|0,|0|( ) (0)()(0)xx ltvvxvxxl()()對(duì)于 ，可以使用固有函數(shù)法或者沖量定理法求之 非齊次方程，齊次邊界條件()()對(duì) ，則完全可以使用分離變量法求之 解略 目前，數(shù)學(xué)物理方程中一般都僅給出了目前，數(shù)學(xué)物理方程中一般都僅給出了一維空間的波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程的分一維空間的波動(dòng)方程或熱傳導(dǎo)方程的分離變量法的解，很少見(jiàn)到如何用分離變離變量法的解，很少見(jiàn)到如何用分離變量法求解高維空間的邊值或混合問(wèn)題，量法求解高維空間的邊值

59、或混合問(wèn)題，本節(jié)討論高維空間下求解偏微分方程的本節(jié)討論高維空間下求解偏微分方程的分離變量法的技巧。分離變量法的技巧。2.2.4 高維定解問(wèn)題的解法高維定解問(wèn)題的解法2.2.4 高維定解問(wèn)題的解法高維定解問(wèn)題的解法1, ,( , , ,0)( , , )(), 0,0,0,0 (1) (0, , , )( , , , )0 ( )txxyyzza b cu x y zx y zuk uuuxaybzc tuy z tu a y z t現(xiàn)在用一個(gè)長(zhǎng)方體的熱傳導(dǎo)問(wèn)題說(shuō)明高維情況的分離變量法。例：求邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體中的溫度分布，設(shè)長(zhǎng)方體表面溫度保持零度，初始溫*布。*度分為 (2)( ,0, , )

60、( , , , )0 (3)( , ,0, )( , , , )0 (4)( , , ,0)( , , ) u xz tu x b z tu x ytu x y c tu x y zx y z222 (5)i( , , , )( , , ) ( )(1)( )( )0 () (6)0 xxyyzzu x y z tv x y z T tT tkT tvvvv解： )時(shí)空變量的分離。令代入得，這里已令比值等于- (7)2.2.4 高維定解問(wèn)題的解法高維定解問(wèn)題的解法222ii( , , )( ) ( , )(7)(2)( )( )()( )0()(8)( )(0)0,( )0 (9)( , )v