第十二章保險費率

1、第十二章第十二章 保險費率保險費率本章結(jié)構(gòu)第一節(jié)大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用第二節(jié)保險費率厘定的原則與方法第三節(jié)人壽保險費率的厘定第四節(jié)財產(chǎn)保險費率的厘定第一節(jié)大數(shù)定律及其在保險中的應(yīng)用知識框架知識框架一、大數(shù)定律二、保險運行的數(shù)理解釋一、大數(shù)定律大數(shù)定律是用來說明大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必然數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱，是保險經(jīng)營的重要數(shù)理基礎(chǔ)。（一）切比雪夫大數(shù)定律設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨立的隨機變量序列,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差:EXn=,VarXn=2(n=1,2,),則對于任意的0,都有:將這一法則運用于保險經(jīng)營,可說明其含義。假設(shè)有n個被保險人,他們同時投保了n個

2、相互獨立的標(biāo)的,用Xn表示每個標(biāo)的發(fā)生損失的大小,它是一個隨機變量,且所有X1,X2,Xn的期望值相等,即有:EX1=EX2=EXn=如果我們按照保險標(biāo)的可能發(fā)生的損失的期望值計算純保費,而把每個Xn視為實際損失,很顯然,每個被保險人的實際損失Xn與其損失期望值一般都不會相等,然而根據(jù)大數(shù)定律,只要承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時,投保人所繳納的純保費與每人平均所發(fā)生的損失Xk幾乎相等。這個結(jié)論反過來則說明保險人該如何收取純保費,即只有當(dāng)一個投保人所繳的純保費等于他的損失期望值時,才能保證保險人在整體上的收支平衡。(二)貝努利大數(shù)定律設(shè)事件A在一次試驗中以概率p發(fā)生。以nA表示在n次獨立重復(fù)試驗中事件A出

3、現(xiàn)的次數(shù),則對于任意的正數(shù)0,有:貝努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例。在切比雪夫大數(shù)定律中,設(shè)每個Xn是服從0-1分布的隨機變量,即:P(Xn=1)=pP(Xn=0)=1-pEXn=p令nA=X1+X2+Xn,則可由切比雪夫大數(shù)定律推出貝努利大數(shù)定律。貝努利大數(shù)定律表明事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性,也即當(dāng)試驗次數(shù)n很大時,事件發(fā)生的頻率與其概率有較大偏差的可能性很小。這一定律是用頻率解釋概率的數(shù)理基礎(chǔ),這對于利用統(tǒng)計資料來估計損失概率是極其重要的。在非壽險精算中,可以假設(shè)某一保險標(biāo)的具有相同的損失概率,這樣就可以通過以往的有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出一個比率,即這類保險標(biāo)的發(fā)生損失的頻率,這個計算出來的

4、頻率即為損失概率。但通過這種方法計算出來的損失概率是對實際概率的估計,與實際概率之間有一個偏差。根據(jù)大數(shù)定律,在觀察次數(shù)很多或觀察周期很長的情況下,計算出來的這一比率將與實際損失概率很接近。也就是說,隨著保險標(biāo)的數(shù)量的增加,根據(jù)概率的頻率解釋計算出來的損失概率與實際損失概率之間的誤差會逐漸減少,估計出來的損失概率的穩(wěn)定性和真實性變得更高。所以,保險人承保的保險標(biāo)的的數(shù)量越大,則保險人根據(jù)大數(shù)定律厘定的保費越準(zhǔn)確,財務(wù)穩(wěn)定性越強,經(jīng)營危險越小。(三)泊松大數(shù)定律假設(shè)某一隨機事件A在第一次試驗中出現(xiàn)的概率為p1,在第二次試驗中出現(xiàn)的概率為p2,在第n次試驗中出現(xiàn)的概率為pn。同樣用nA來表示此事件

5、在n次試驗中發(fā)生的次數(shù),則根據(jù)泊松大數(shù)定律對于任意的0,有:泊松大數(shù)定律的意思是:當(dāng)試驗次數(shù)無限增加時,其平均概率與觀察結(jié)果所得的比率將無限接近。泊松大數(shù)定律運用于保險經(jīng)營上,可以說明,盡管各個相互獨立的危險單位的損失概率可能各不相同,但只要有足夠多的標(biāo)的,仍可在平均意義上求出相同的損失概率。為了有足夠多的標(biāo)的,便于運用大數(shù)定律,可以把性質(zhì)相近的標(biāo)的集中在一起,求出一個整體的費率。大數(shù)定律應(yīng)用于保險得出最有意義的結(jié)論是:當(dāng)保險標(biāo)的的數(shù)量足夠大時,通過以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算出來的估計損失概率與實際概率的誤差將很小。保險經(jīng)營利用大數(shù)定律把不確定數(shù)量關(guān)系向確定數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化,即某一危險是否發(fā)生對某一個保險標(biāo)

6、的來說是不確定的,可能發(fā)生也可能不發(fā)生。但當(dāng)保險標(biāo)的的數(shù)量很大時,我們可以很有把握地說,其中遭受危險事故的保險標(biāo)的數(shù)量是多少。這樣,根據(jù)大數(shù)定律,我們把對單個保險標(biāo)的來說不確定的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為對保險標(biāo)的的集合來說確定的數(shù)量關(guān)系。二、保險運行的數(shù)理解釋(一)大數(shù)定律與損失分?jǐn)偙ｋU提供了一種幫助人們分散危險、分?jǐn)倱p失的機制。這就是保險的本質(zhì)損失分擔(dān),其方法是以確定的小損失(繳納的保費)取代不確定的大損失。大數(shù)定律在這種損失分?jǐn)偟臋C制中起著重要的作用。保險就像是一個蓄水池,每人貢獻一點保費,這些資金被保險公司集中起來以彌補少數(shù)不幸者所遭受的損失。當(dāng)參與這種蓄水機制的單位數(shù)越多時,蓄水池的功能越能正常

7、穩(wěn)定地發(fā)揮。(二)大數(shù)定律與風(fēng)險分散雖然保險人不能準(zhǔn)確預(yù)測具體某個被保險人是否發(fā)生損失,但是保險人可以對承擔(dān)的整體危險作出比較準(zhǔn)確可信的估計。下面就從隨機變量的方差與變異系數(shù)上加以具體分析。設(shè)保險人承保了n個危險相同、相互獨立的危險單位,用隨機變量X1,X2,Xn表示每個保險單位的損失量,則X1,X2,Xn是相互獨立并且與隨機變量X具有相同的分布。對單個被保險人而言,他自己面臨的危險是實際損失X與期望損失EX的偏差,可用X的標(biāo)準(zhǔn)差X表示這種偏差,如果將n個被保險人看成一個整體,那么平均每個被保險人的實際損失為:這說明如果將n個被保險人看成一個整體,那么每個被保險人面臨的平均危險隨著保險人數(shù)的增

8、加而減少。n 可以看出,承保單位數(shù)n越大,保險人對危險的估計就越準(zhǔn)確。(三)大數(shù)定律在保險中應(yīng)用的雙重性據(jù)大數(shù)定律,以往經(jīng)驗數(shù)據(jù)越多,對事件發(fā)生的概率估計就越準(zhǔn)確。這種估計的準(zhǔn)確性是能否準(zhǔn)確預(yù)測未來危險的前提條件。但是另一方面,即使我們能準(zhǔn)確估計出事件發(fā)生的概率,如果未來危險單位數(shù)較少時,也很難準(zhǔn)確預(yù)測未來危險。為使預(yù)期結(jié)果能很好地接近真實結(jié)果,必須將概率估計值運用到大量危險單位中。因此,大數(shù)定律的應(yīng)用具有雙重性。第一,為準(zhǔn)確估計事件發(fā)生的概率,保險公司必須掌握大量的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。經(jīng)驗數(shù)據(jù)越多,對事件發(fā)生的概率的估計就越準(zhǔn)確。第二,一旦估計出事件發(fā)生的概率,必須將此概率估計值運用到大量的危險單位中

9、才能對未來損失有比較準(zhǔn)確的估計。第二節(jié)保險費率厘定的原則與方法知識框架知識框架一、保險費率的構(gòu)成二、保險費率厘定的基本原則三、保險費率厘定的方法一、保險費率的構(gòu)成保險費率是保險費與保險金額的比例,保險費率又被稱為保險價格,通常以每百元或每千元的保險金額應(yīng)繳的保險費來表示。保險人制定費率時主要依據(jù)的是過去的損失和費用統(tǒng)計記錄,在此基礎(chǔ)上對即將發(fā)生的損失及費用進行預(yù)測。保險費率一般由純費率與附加費率兩部分組成。純費率又稱凈費率,它是用來支付賠款或保險金的費率,其計算依據(jù)因險種的不同而不同。財產(chǎn)保險純費率的計算依據(jù)是損失概率,人壽保險純費率的計算依據(jù)是利率和生命表。附加費率是附加保費與保險金額的比率

10、。把純費率和附加費率加總起來,就構(gòu)成了保險費率。二、保險費率厘定的基本原則(一)公平合理原則公平有兩方面的含義,對保險人來說,其收取的保費應(yīng)與其承擔(dān)的危險相當(dāng),對投保人來說,其負(fù)擔(dān)的保費應(yīng)與被保險人獲得的保障相對稱(二)充分原則充分原則是指收取的保費在支付賠款及合理的營業(yè)費用、稅收后,仍有一部分利潤。(三)相對穩(wěn)定原則相對穩(wěn)定原則是指在一定時期內(nèi)應(yīng)保持費率的穩(wěn)定。穩(wěn)定的費率有利于保險機構(gòu)核算。(四)促進防災(zāi)防損原則促進防災(zāi)防損原則是指保險費率的厘定應(yīng)有利于促進防災(zāi)防損。具體說,對注重防災(zāi)防損工作的被保險人采取較低的費率。三、保險費率厘定的方法保險費率的厘定,從理論上講是在依據(jù)損失概率測定純費率

11、的基礎(chǔ)上,再加上附加費率得到的市場保險費率或毛保費率。在實際業(yè)務(wù)中,因為保險費率的測定還需要必要的技術(shù)支持,所以存在不同的費率厘定,即有各種不同的厘定方法。一般來說,保險費率的計算方法大致可分為三種:分類法、增減法、觀察法。(一)分類法分類法是依據(jù)某些重要的標(biāo)準(zhǔn),對危險進行分類,并據(jù)此將被保險人分成若干類別,把不同的保險標(biāo)的根據(jù)危險性質(zhì)歸入相應(yīng)群體,分別確定費率的方法。分類費率可通過兩種方法來計算,即純保險費率法和損失比率法。兩種方法的不同之處在于:一是純保險費率法以實際經(jīng)驗為計算基礎(chǔ),損失比率法則以整個行業(yè)的實際損失比率為計算基礎(chǔ);二是當(dāng)費率調(diào)增或調(diào)減時,損失比率法要求把增減額分?jǐn)傆诟黝?而

12、純保險費率法則不需要這樣做。純保險費率法。純保險費率法以某一時期內(nèi)保險單位具體發(fā)生的損失為基礎(chǔ)。首先，計算出純保險費。已發(fā)生的損失包括會計期間所有已付賠款和同期已發(fā)生但未賠付的損失準(zhǔn)備金。其次，再求出每一危險單位的毛保費。計算毛保費不僅要考慮損失因素，還要考慮費用因素。附加費用、承保利潤和意外準(zhǔn)備金一般以毛保費的一個比率表示，稱為費用比率。不難發(fā)現(xiàn)：于是，就可以得出總保險費，根據(jù)總保險費，可厘定出保險費率：保險費率確定后，并不是一成不變的，它要隨著現(xiàn)實情況的變化作出調(diào)整。在調(diào)整過程中，一般不改變損失比率和預(yù)付比率。信賴度和理賠次數(shù)是密切相關(guān)的，理賠次數(shù)越多，信賴度越高。考慮了信賴度因素，上例中

13、的費率調(diào)整就要加以修正：式中， 為調(diào)整因素，即保險費費率調(diào)整比例； 為實際損失比率； 為預(yù)期損失比率； 為信賴度。(二)增減法增減法是指在同一分類中,對投保人給以變動的費率。增減法是在憑借分類法確定的基本費率的基礎(chǔ)上,再依據(jù)實際情況予以細(xì)分所測定的費率。與分類費率相比,在增減法下厘定出來的費率,有可能高于或低于分類法所確定的費率。增減法主要分為三種:表定法、經(jīng)驗法、追溯法。但無論何種方法,均適用于較大規(guī)模的投保人。1.表定法。表定法以每一危險單位為計算依據(jù),在基本費率的基礎(chǔ)之上,參考標(biāo)的物的顯著危險因素來確定費率。2.經(jīng)驗法。該方法又稱為預(yù)期經(jīng)驗法。它是根據(jù)被保險人過去的損失記錄,對按分類法計

14、算的費率加以增減,但當(dāng)年的保費額并不受當(dāng)年經(jīng)驗的影響,而是以過去數(shù)年的平均損失來修訂未來年份的保險費率。計算公式如下:式中,M為經(jīng)驗調(diào)整數(shù);A為經(jīng)驗時期被保險人的實際損失;E為被保險人適用某費率的預(yù)期損失;C為信賴度。3.追溯法。該法是依據(jù)保險期間的損失為基礎(chǔ)來調(diào)整費率的。投保人起初以其他方法(如表定法或經(jīng)驗法)確定的費率購買保單,而在保險期屆滿后,再依照本法最后確定保費。計算公式是:式中,RP為追溯保險費;BP為基本保險費;L為實際損失金額;VCF為損失調(diào)整數(shù)(大于1);TM為稅收系數(shù)(大于1)。(三)觀察法該法又被稱為個別法或判斷法,它就某一被保危險,單獨厘定出費率,在厘定費率的過程中保險

15、人主要依據(jù)自己的判斷。之所以采用觀察法,是因為保險標(biāo)的的數(shù)量太少,無法獲得充足的統(tǒng)計資料來確定費率。這種方法雖不盡科學(xué),但有其可取之處:(1)根據(jù)不同性質(zhì)的危險,確定出相應(yīng)的費率,更具有靈活性。在標(biāo)的數(shù)量較少的情況下,不能將各種危險生硬地集中在一起來厘定費率,這樣做違反了大數(shù)定律,無法保證費率的準(zhǔn)確性。(2)用觀察法厘定費率,盡管主要考慮個別危險因素,但仍不可避免地運用相關(guān)的經(jīng)驗和數(shù)據(jù),這就在一定程度上保證了其科學(xué)性。第三節(jié)人壽保險費率的厘定知識框架知識框架一、人壽保險費概述二、利息三、生命表四、純保險費率的計算五、毛保險費的計算一、人壽保險費概述人壽保險費由兩部分構(gòu)成:純保險費和附加保險費。

16、投保人所繳納的純保險費部分可分為危險保險費和儲蓄保險費。前者用于當(dāng)年保險金的支付,后者則是一種累積的保險費,用來彌補未來年份的赤字。附加保險費用于保險費經(jīng)營中的一切費用開支。純保險費和附加保險費構(gòu)成了營業(yè)保險費,它是壽險機構(gòu)實際收取的保險費。壽險計算的基本原則是收支平衡原則,“收”是指保險機構(gòu)收取的保險費總額;“支”是指保險機構(gòu)的保險金給付和支出的各項經(jīng)營費用。以繳費方法為依據(jù),壽險保險費可分為自然純保險費、躉繳純保險費和均衡純保險費。二、利息利息是資金所有者由于借出資金而獲得的報酬。以計算利息的期限單位為標(biāo)準(zhǔn),利率可劃分為年率、月率和日率。利息的計算方法有兩種,即單利和復(fù)利。(一)單利單利計

17、算利息的特點,就是對利息不再付息,其計算公式為:式中,I為利息額;P為本金;i為利息率;n為借貸期限;S為本利和。(二)復(fù)利復(fù)利是一種將上期利息轉(zhuǎn)化為本金一并計算的方法,即上期的利息在本期也生息,如按年計息,第一年按本金算出利息,第二年計算利息時,要把第一年利息加在本金之上,然后再計算。如此類推,直到合同期滿,復(fù)利計算的公式是:(三)終值和現(xiàn)值以單利計算的情況下，終值是現(xiàn)在一定量現(xiàn)金在未來某一時點上的價值,也是本利和；現(xiàn)值是指未來某一時點上的一定量現(xiàn)金折合到現(xiàn)在的價值。在以復(fù)利計算時,終值和現(xiàn)值可表示為:(四)年金年金是指在一定時間內(nèi)按照一定的時間間隔有規(guī)則地收或付的款項,依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn),年金

18、可劃分為很多類。按支付條件,年金可分為確定年金和生命年金。對人壽保險而言,有意義的年金劃分方式還有以下幾種:以每期年金支付的條件為標(biāo)準(zhǔn),可分為期首付年金和期末付年金。以支付開始的時間為標(biāo)準(zhǔn),可分為即期年金和延期年金。三、生命表(一)生命表的含義及分類生命表是根據(jù)一定時期某一國家或地區(qū)的特定人群的有關(guān)生存、死亡的統(tǒng)計資料,加以分析整理而形成的一種表格,它是人壽保險測定危險的工具,是壽險精算的數(shù)理基礎(chǔ),是厘定人壽保險純費率的基本依據(jù)。生命表以年齡為綱,全面地反映某一國家和地區(qū)一定人群的生死狀況。在生命表中,最重要的是計算每個年齡段的死亡率。以死亡統(tǒng)計的對象為標(biāo)準(zhǔn),生命表可分為國民生命表和經(jīng)驗生命表

19、。以反映程度為標(biāo)準(zhǔn)進行分類,生命表可分為完全生命表和簡單生命表。(二)生命表的內(nèi)容在生命表中,首先要選擇初始年齡并假定在該年齡上,有一定數(shù)量的人生存,這個數(shù)量就叫做基數(shù)。一般選擇0歲為初始年齡,并規(guī)定此年齡的人數(shù),通常選擇10萬、100萬、1000萬等整數(shù)。以中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表的部分內(nèi)容為例年齡x年初生存人數(shù)Lx年死亡人數(shù)dx生存率px死亡率qx3597973811700.9989060.0011943697856812480.9987250.0012753797732113360.9986330.0013673897598514370.9985280.00147239974548154

20、90.9984110.001589可以看出,生命表一般包括以下內(nèi)容:x:年齡。Lx:生存數(shù),是指從初始年齡至滿x歲尚生存的人數(shù),即x歲的生存人數(shù)。例如,L35表示在初始年齡定義的基數(shù)中有L35人活到了35歲,或者說35歲的生存人數(shù)為Lx。dx:死亡數(shù),是指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù),即在xx+1歲的年齡間死亡的人數(shù)。如d36表示3637歲的年齡間死亡的人數(shù)。px:生存率,是指x歲的人在一年內(nèi)仍生存的概率,即x歲的人生存到x+1歲的概率。qx:死亡率。是指x歲的人在一年內(nèi)的死亡率。ex:平均余命。是指x歲的人以后還能生存的平均年數(shù)。對年齡為0歲的人來說,其平均余命就是其平均壽命。(三)生命表中的

21、幾個關(guān)系式1.Lx-dx=Lx+1。該式表示,x歲的人年初的生存數(shù)Lx與年內(nèi)的死亡數(shù)dx的差額就是次年x+1歲的人的生存人數(shù)Lx+1;上式也可寫作:dx=Lx-Lx+1即來年死亡人數(shù)是本年初生存人數(shù)與次年初生存人數(shù)之差。2.dx+dx+1+dx+n-1=Lx-Lx+n。該式表示連續(xù)數(shù)年死亡人數(shù)之和等于第一年年初生存人數(shù)與最后一年年初生存人數(shù)之差。3.該式給出了生存率與存活人數(shù)之間的關(guān)系。生存率是次年年初生存人數(shù)與本年年初生存人數(shù)之比,它表示x歲的人能生存到x+1歲的概率。同理,可以推導(dǎo)出另一個關(guān)系式，表示x歲的人存活到x+n歲的生存率。四、純保險費率的計算與自然純保險費、躉繳純保險費、均衡純保

22、險費對應(yīng),保險費繳納方式分為兩種:躉繳和分期繳納。躉繳是指投保人將保險費一次繳清;分期繳納指在一定期限內(nèi)按某一數(shù)額繳納保險費。(一)躉繳純保險費的計算1.定期生存躉繳純保險費的計算。定期生存保險是以被保險人在一定時期繼續(xù)生存為保險金給付條件的一種保險形式2.定期死亡保險的躉繳純保險費計算。定期死亡保險又叫定期人壽保險,是以被保險人在保險期限內(nèi)死亡為條件支付保險金的一種形式。3.混合保險躉繳純保險費率的計算?；旌媳ｋU是一種生死保險,是一種無論被保險人生死與否,一旦保險期屆滿,保險人均須支付保險金的保險形式。(二)分期繳付純保險費的計算1.定期生存保險年度繳付純保險費的計算。設(shè)有x歲的被保險人Lx

23、人購買n年的定期生存保險,保險金額為M,利率為i,保險費均在期初支付,令V=1/(1+i),年度純保險費為:2.定期死亡保險年度繳付純保險費的計算。3.混合保險年度保險費的計算?；旌媳ｋU年度保險費是定期生存保險與定期死亡保險的年度保險費之和。五、毛保險費的計算毛保險費是由純保險費和附加保險費構(gòu)成的。1.三元素法。三元素法把附加費用分為三類:原始費用、維持費用、收費費用。原始費用是保險公司為招攬新合同,在第一年度支出的一切費用,在這里,我們把單位保額的原始費用設(shè)為P1。維持費用是指整個保險期間為使合同維持保全的一切費用,它應(yīng)分?jǐn)傆诟髌?可把單位保額的維持費用設(shè)為P2。收費費用是指收取保險費時的支

24、出。與維持費用一樣,它也分?jǐn)傆诟髌?單位保額的費用可設(shè)為P3。然后,把將來年份的附加費用折合成現(xiàn)值,就可得到附加保險費的現(xiàn)值之和。再根據(jù)“毛保險費現(xiàn)值=純保險費現(xiàn)值+附加保險費現(xiàn)值”的原理,來計算總保險費。2.比例法。比例法假設(shè)附加保險費為毛保險費的一定比例K。這一比例通常是根據(jù)經(jīng)驗來確定的。 整理得：3.比例常數(shù)法。比例常數(shù)法是根據(jù)每張保單的平均保額確定出的每單位保額所必須支付的費用,并把其作為一個固定常數(shù)。然后,再確定一個毛保險費的比例作為附加保險費。設(shè)固定常數(shù)為C,則可得: 整理得：第四節(jié)財產(chǎn)保險費率的厘定財產(chǎn)保險費率的厘定是以損失概率為基礎(chǔ)的,它先通過對保額損失率和均方差的計算求出純費率,然后再計算附加費率。知識框架知識框架一、純費率的計算二、附加費率的計算一、純費率的計算純費率是用于彌補被保險人因保險事故而造成的損失的金額,它的計算公式是:純費率=保額損失率(1+穩(wěn)定系數(shù))式中,保額損失率是賠償金額與保險金額的比值,穩(wěn)定系數(shù)則是衡量期望值與實際結(jié)果密切程度的一個參數(shù)。保額損失率的計算公式為:根據(jù)歷年來的保險事故發(fā)生的情況,可求出平均保額損失率。舉例說明可見,5.00%是9年間的平均保額損失率,但它