第09-次定積分概念與變限積分求導(dǎo)ppt課件

1、定積分概念定積分概念與與變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo) . )2(,)()1(記號無關(guān)記號無關(guān)積分結(jié)果與積分變量的積分結(jié)果與積分變量的是一個數(shù)是一個數(shù)定積分定積分dxxfba 1.定積分的概念定積分的概念._)(,)(2)(,)(10 xfdttfxxfxf則則且且是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)例例:,)(:10dttfk 令令分分析析,2)(kxxf 則則,)2()(1010dxkxdxxf ,221kk ,21 k得得. 1)( xxf1: x解答解答2.積分中值定理積分中值定理例：例： .3sinlim, 1lim,2dttfttxfxfxxxx 計計算算且且連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)由積分中值定理由積分中值定理

2、 23sin3sin2 fdttfttxx ,2時時且且間間與與介介于于xxx解解: dttfttxxx 23sinlim f 3sinlim2 63lim2 f . 0)()( ),1 , 0(, 1 , 0 1 , 1 , 0 , 1 , 0 00 ffxfxdtttfxfx使使得得證證明明內(nèi)內(nèi)有有解解在在且且方方程程內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)例例: , 1 , 0 1 00 xxfdtttfx內(nèi)有解內(nèi)有解在在由由 , 1 000fxdtttfx 得得證證: , , 0,0 x 利利用用積積分分中中值值定定理理 ,100fxfx , )1()( ff 即即 ,xxfxg 令令 , 1

3、 , ,1 ,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)在在 xg ,1)1()(gffg 且且 ,1 ,01 , 定定理理由由Rolle .0,0 ffg即即使使.導(dǎo)導(dǎo)一一般般離離不不開開變變限限積積分分求求，凡凡在在題題中中出出現(xiàn)現(xiàn)變變限限積積分分3.變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo) xxfxxfdttfdxdxx ,arctan)(2xxf 例例: 0arctan,23232 xdxdyxxfxxfy計計算算的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是其其中中設(shè)設(shè)解：解： 23412323xxxfdxdy22)23(122323arctan xxx4331arctan0 xdxdy:分析分析例例: ._1 , 2ln21ln 2

4、,22 fxdttfxfx則則且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 2ln21ln 222 xdttfx方程方程 xxxfx1222 求求導(dǎo)導(dǎo)得得兩兩邊邊對對 22212xxf .61)1(,3 fx得得取取61:解答解答例例:.111322對對應(yīng)應(yīng)點點處處切切線線方方程程在在求求曲曲線線 tdueyduextutu解解: 0 , 0,1 yxt時時432ttetdtdxedtdy 4321ttetdxdy 211 tdxdyk切切xy21: 切線方程切線方程例例: 1,arctan0ln12FdudttxFxeu 求求設(shè)設(shè) 解解: 2ln1arctanxexFxtdt e 21arctanxxe

5、tdt 221arctanarctan2xxxFxetdtexx eeF 421例例: dtdfvxvttxxduexfxu求求確確定定由由參參數(shù)數(shù)方方程程而而設(shè)設(shè),sin2cos,1sin111 解解:dtdxdxdfdtdf dtdxxex cos1sin11xvvvdvdtdvdxdtdx41sin412sin2cos 而而 xxedtdfx41cos1sin11 xexxsin1114cos.4arccosarcsin,20 22sin0cos0 xxdttdttx 成成立立時時證證明明當(dāng)當(dāng)例例:,arccosarcsin)(:22cos0sin0dttdttxFxx 令令證證, 02

6、sin)arccos(cos2sin)arcsin(sin)( xxxxxF則則.)(為一常數(shù)為一常數(shù)故故xFdttdttFxF 2/102/10arccosarcsin)4()( dttt 2/10)arccos(arcsindt 2/102 4 . 831 , 1 23xfxdttgxgxfxf，求求且且有有關(guān)關(guān)系系式式都都可可微微及及其其反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 例例:解解: 求導(dǎo)求導(dǎo)兩邊對兩邊對 831 231xxdttgxf 2121212331xxxfxfg 得得 xxfg 又又因因 xxxf212121 cxxf 41 xxf時時當(dāng)當(dāng)1 c 1 xxf.),(2)()(1)(,

7、0)(,)(內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一實實根根在在方方程程試試證證且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxbadttfdttfxfbaxfxbxa 例例:,2)()(1)()(:xbadttfdttfxFxbxa 令令證證,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxF, 0)()(1)( abdttfaFab, 0)()()( abdttfbFba. 0)(),(, Fba使使由零值定理由零值定理, 02)(1)()( xfxfxF又又,)(上上嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加在在即即baxF.唯唯一一故故上上述述 .),(2)()(1)(內(nèi)內(nèi)有有且且僅僅有有一一實實根根在在方方程程baxbadttfdttfxbxa 例例:

8、 .,0130032小小點點并并判判定定是是極極大大點點還還是是極極的的極極值值點點所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程xyydttdtexyt 解解: xyyx ,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對 031132332 xxyey得得 3233231xexyy 01 xx不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點駐駐點點0101000 yxyxyx是極大值點是極大值點1 x.)32)(22(1)(,), 0:,sin)()(022 nnxfndttttxfxn上上在在證證明明為為正正整整數(shù)數(shù)其其中中設(shè)設(shè)例例:xxxxxxxfnn222sin)1(sin)()(: 證證), 2 , 1(, 1, 0)( kkxxf 得得

9、駐駐點點令令);1()(, 0)(,10fxfxfx 時時當(dāng)當(dāng), )1()(, 0)(,1fxfxfx 時時當(dāng)當(dāng).)()1(的最大值的最大值為為故故xff有有時時當(dāng)當(dāng),), 0 xdttttfxfn 1022sin)()1()()sin0)1 , 0(ttt .)32)(22(1 nndttttn 1022 )(例例: .,sin2的的最最大大值值與與最最小小值值求求設(shè)設(shè)xfdttxfxx 解解:為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)是是以以 tsin dttxfxx 23sinduuxxtu 2sin 令令 xf ,為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以 xf 的的情情況況因因此此只只需需考考慮

10、慮 ,0 x 23, 02, 0 xxx時時當(dāng)當(dāng) 2, 0 x xxdttxfxxcossinsin2 時時當(dāng)當(dāng) ,2x dttdttxfxx 2sinsin xxsincos2 xxxxxxxf2,sincos220,cossin xxxxxxxf2,cossin20,sincos ,43,40 xxxf得得駐駐點點令令 10,2243,24 ffff 224343244 kffkffxf最最小小值值的的最最大大值值.是是整整數(shù)數(shù)k例例 dttgtfxgdttgxgxfdttgxFbaxxaxaxa)()()()()()()(1)(,(:2當(dāng)當(dāng)證證. ,( )( )()()( ,)( , ,

11、 )( 上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在證證明明函函數(shù)數(shù)是是正正的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)上上單單調(diào)調(diào)增增加加的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè)badttgdttgtfxFxgbaxfxaxa dttgtfxfdttgxgxaxa )( )()()()(2 ,)(單調(diào)增加單調(diào)增加由于由于xf, xta ),()(tfxf , 0 )( )()( dttgtfxfxa, 0)( xF于于是是.,()(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxF).( , )()(,)(:0 xFdttxfxFxfx 計計算算連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)例例變限積分求導(dǎo)時變限積分求導(dǎo)時,必須保證被積函數(shù)中不出現(xiàn)求導(dǎo)變量必須保證被積函數(shù)中不出現(xiàn)求導(dǎo)變量.duuf

12、dttxfxFxxtxux )( )()(:20 令令解解)()2(2)(xfxfxF ,變變量量時時當(dāng)當(dāng)被被積積函函數(shù)數(shù)中中出出現(xiàn)現(xiàn)求求導(dǎo)導(dǎo);變變量量提提出出積積分分號號或或利利用用代代數(shù)數(shù)方方法法將將求求導(dǎo)導(dǎo).,下下限限導(dǎo)導(dǎo)變變量量放放到到積積分分的的上上或或利利用用換換元元積積分分法法將將求求 .sin)(lim, 0,1lnarctan)( 402022xxfxdttxtxxfxx 計算極限計算極限其中其中設(shè)設(shè)例例:,:2utx 令令解解duuuuxfx 02)1ln(arctan)(duuuux 0)1ln(arctan240040)1ln(arctan2limsin)(limxdu

13、uuuxxfxxx 型型00304)1ln(arctan2limxxxxx 21 :分析分析例例:_cos022 dttxdxdx dttxdxdx 022cos xxxdttx2coscos4022 4202cos2cos2xxdttx . 0)(),( )(lim, )()(,)(010處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在點點討討論論為為常常數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè) xxAAxxfdtxtfxxfx 例例:, 0)0(, 0)0(,: f得得由由已已知知解解)0( )(1)(,0 xduufxxuxtx 有有令令, )()()(,020 xduufxxfxxx 時時當(dāng)當(dāng)0)0()(lim(0)0 xxx

14、200 )(limxduufxx xxfx2)(lim0 2A 0 , 20 , )( )()(20 xAxxduufxxfxx 2000 )()(lim)(limxduufxxfxxxx 2000 )(lim)(limxduufxxfxxx )0(22 AAA.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在點點 xx 自測題選解）練習(xí)十二. ) ()(),(sin為為原原函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)是是則則以以有有一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為若若xeFxFxx練習(xí)十二練習(xí)十二/一一(2) ? )( , sin)( : xeFxxxF分分析析 xxxeeFeF )( )(.sinsinxxxxeeee )(: B解答解答._)(

15、,)2()(1)(1010 xfdxxfxdxxfxf則則若若練習(xí)十二練習(xí)十二/二二(1),)2(,)(1010dxxfldxxfk 解解：令令)2( 21)2( )1(1)(lxkxflxkxf 則則)3(211 )1()()1(1010lkdxlxkdxxfk 得得由式由式)4(1 )21()2()2(1010lkdxlxkdxxfl 得得由由式式, 2, 3),4()3( lk解解得得與與式式聯(lián)聯(lián)立立式式,231)(xxf .24)(xxf 即即._)( , )()(10 xfdtxttxf則則設(shè)設(shè)練習(xí)十二練習(xí)十二/二二(2),0:時時當(dāng)當(dāng)解解 x, 231 )()(10 xdtxttx

16、f ,10時時當(dāng)當(dāng) x, 3123 )( )()(310 xxdtxttdttxtxfxx,1時時當(dāng)當(dāng) x, 312 )()(10 xdttxtxf注意注意:函數(shù)的定義域為整個實數(shù)域函數(shù)的定義域為整個實數(shù)域.1,31210,31230,231)(3xxxxxxxxf1, 2/110, 2/10, 2/1)(2xxxxxf.)1()0(要用可導(dǎo)充要條件計算要用可導(dǎo)充要條件計算與與其中其中ff 練習(xí)十二練習(xí)十二/四四.|,)(1220ln220222 ttuuutuudxyddueyduexxyy求求所確定所確定由參數(shù)方程由參數(shù)方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),:2ln22ln2222teeedxdytttttt

17、 解解,22222ttetdxyd eedxydt22|1122 練習(xí)十二練習(xí)十二/十十. )(31 )(),(, 0)(,)(dxxfdxxfbaxfbaxfbaa 使使證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù), )(31 )()( :dttfdttfxFbaxa 令令證證,.)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxF, 0 )(310)( dttfaFba, 0 )(32)( dttfbFba, 0)(),(, Fba使使由由零零值值定定理理dxxfdxxfbaa )(31 )( 即即練習(xí)十二練習(xí)十二/十一十一. )()( , 0)( 0, 0)(),(0dttfxfxfxaaxfxfx 又又滿滿足

18、足時時且且當(dāng)當(dāng)上上可可積積在在對對任任意意正正數(shù)數(shù)使使求求函函數(shù)數(shù)可積可積解解)( :xf )(0連續(xù)連續(xù)dttfx 連連續(xù)續(xù))(xf可可導(dǎo)導(dǎo) )(0dttfx 可可導(dǎo)導(dǎo))(xfdttfxfx )()(02 )()()(2:xfxfxfx 求導(dǎo)求導(dǎo)對對21)(0)( xfxf得得由由Cxxf 2)(故故0, 0)0( Cf于是于是又又2)(xxf .)( ,)(:, )()2()(,),()(0單調(diào)不減單調(diào)不減則則單調(diào)不增單調(diào)不增若若試證試證且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xFxfdttftxxFxfx 練習(xí)十二練習(xí)十二/十二十二, )( 2 )()(:00dttftdttfxxFxx 證證)

19、( )( )(2)( )()(00 xxfdttfxxfxxfdttfxFxx . )()(0dtxftfx 所以所以單調(diào)不增單調(diào)不增因因,)(xf),()(,0 ,0 xftfxtx 時時當(dāng)當(dāng); 0)( xF),()(, 0,0 xftftxx 時時當(dāng)當(dāng); 0)( xF, 0)(,0 xFx時時當(dāng)當(dāng).)(單調(diào)不減單調(diào)不減于是于是xF. )(2 )(, ,)( dxxfbadxxxfbaxfbaba 證明證明上連續(xù)單增上連續(xù)單增在在若函數(shù)若函數(shù)練習(xí)十二練習(xí)十二/十三十三, )(2 )( )(:dttfxadtttfxFxaxa 令令證證, 0)( aF則則)(2 )(21)()(xfxadtt

20、fxxfxFxa dttfxfaxxa )(21)(2 dttfxfxa )()( 21 , 0)(, xFax時時當(dāng)當(dāng) )(xF, 0)()( aFbF. )(2 )( dxxfbadxxxfbaba 在在什什么么范范圍圍取取值值時時，有有，問問若若xxttxFxt)0(de)(1 xxFln)( 解：解：xxFxgln)()( 令令)0( x, 01)( xxexgx )(xg0)1( g而而, 0)(10 xgx時時，0)(1 xgx時時，10ln)( xxxF練習(xí)十二練習(xí)十二/十四十四. )()( , )3 , 0( :, )( )( , 3 , 0 )( 3210 ffdxxfedx

21、xfexfxx 使使證明證明且有且有上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在若函數(shù)若函數(shù)練習(xí)十二練習(xí)十二/十五十五同）同）注意到積分區(qū)間長度相注意到積分區(qū)間長度相由積分中值定理由積分中值定理證證( ,:, )( )( ,1 , 011011 fedxxfex 使使, )( )( ,3 , 223222 fedxxfex 使使).()(2121 fefe 于是于是),()(xfexgx 令令,)(21可可導(dǎo)導(dǎo)上上連連續(xù)續(xù)在在則則 xg),()(21 gg 且且, 0)(),3 , 0(),(,21 g使使由由羅羅爾爾定定理理. 0)()( fefe即即).()(, 0 ffe 故故因因. )()( )()( ),(,)(),(dttfgdttgfbabaxgxfab 使使證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)練