固體物理答案

1、3.1已知一維單原子鏈，其中第j個(gè)格波，在第n個(gè)格點(diǎn)引起的位移njnjajsin(jtnaqjj)j為任意相位因子。并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為KbT。具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。解：(1)Tsin2(jtnaqjj)dt其中T2為振動(dòng)周期,所以2j22/.ajsin(jtnaqjj(2)第j個(gè)格波的平均動(dòng)能1222-ma,jcos(jt2nnaqjj)1ma4(3)經(jīng)典的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有:每個(gè)格波的平均動(dòng)能=平均勢(shì)能=1,-格波平均能量=22kBt1ma22N4jj2kbt振幅a22kbT-BT，所以Nmj2nj國(guó)Nm而每個(gè)原子的平方平均位移為:(nj)22nj12-aj2jkBT2

2、°jNmj3.2討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈時(shí)與一維單原子鏈一一對(duì)應(yīng)。(相鄰原子間距為a),其2N個(gè)格波的解。當(dāng)mM解：(1)一維雙原子鏈:2a聲學(xué)波：2mMmM4mM,2；sinaq(mM)2當(dāng)mM時(shí),2(1mcosaq)sin2maq2光學(xué)波：2mM/1mM4mM(mM)2sin2aq當(dāng)mM時(shí)，有2242aq(1cosaq)cos-mm224-2aqsin一(2)一維雙原子鏈在mM時(shí)的解m2242aq2a2acos一m2與一維單原子鏈的解24sin2四-q-m2aa是對(duì)應(yīng)的。3.5已知NaCl晶體平均每對(duì)離子的相互作用能為：u(r)2q_nrr其中馬德隆常數(shù)a1.75,n9,平衡離

3、子間距r02.82?。(1) 試求離子在平衡位置附近的振動(dòng)頻率。(2)計(jì)算與該頻率相當(dāng)?shù)碾姶挪ǖ牟ㄩL(zhǎng)，并與NaCl紅外吸收頻率的測(cè)量只值61進(jìn)行比較。解：(1)處理小振動(dòng)問(wèn)題，一般可采用簡(jiǎn)諧近似，在平衡位置附近，可將互作用能展開(kāi)至偏rr0的二次方項(xiàng)。U(r0)U(r0)U(r0212U(r0)2220(4)(1)其中U(r0)0為平衡條件。0由r0已知可確定2qnr0n(2)根據(jù)(1)式，離子偏離平衡位置所受的恢復(fù)力為:U(r02U(r02(3)故恢復(fù)力常數(shù)為2U(r)2r0n3r0(4)對(duì)于離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波,歡迎下載(5)2(mM)(n1)q23mMr0將Na的原子質(zhì)量m231.66102

4、4g,Cl的原子質(zhì)量M35.51.661024g，基本電荷電量q4.803io10esu代入上式，得(0)1.111410Hz(2) 相對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)為23.142.998108141.111017106m17m(6)對(duì)應(yīng)與遠(yuǎn)紅外波，與NaCl紅外吸收頻率測(cè)量值在同一數(shù)量級(jí)。注：如采用國(guó)際單位制進(jìn)行計(jì)算，因在(2)式前乘一因子1k8.99109牛頓米2/庫(kù)侖4o3.6求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)()。解：一維單原子鏈的色散關(guān)系為:242aqsin一.二aqsin一其中4mmsinaq2aqcos2dq振動(dòng)模式的數(shù)目：dnNa2dqNa2aaqcos2m22N2m2d所以g()2N22m3.

5、7設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q0附近的長(zhǎng)波極限有:歡迎下載2(q)0Aq求證：頻率分布函數(shù)為g(2A3/2(0)12證明：由（q）Aq2,(q)2Aq。Vg（）”2平面ds-3(q)(2)4q22AqVq2A-A2(0)4故頻率分布函數(shù)為V_1_g()42A3/2)123.8有N個(gè)相同原子組成面積為S的二維晶格,在德拜近似下，計(jì)算比熱，并討論在低溫極限比熱正比于T2。r解：（1）q空間的狀態(tài)密度為r每個(gè)q對(duì)應(yīng)一個(gè)縱波,r每個(gè)q對(duì)應(yīng)一個(gè)橫波,所以d范圍的狀態(tài)數(shù)應(yīng)包括縱波和橫波的狀態(tài)數(shù):g(dlqj(q)S(2)2其中-2c22Cp由于晶格振動(dòng)模數(shù)有限,則晶格振動(dòng)最高頻率由2Nm0g()dmS2d0C

6、22c決定。由此得比熱CvkBh()2ekB?dkBTg()d(ek71)2kBh(kBT)2ekBT歡迎下載09(ekBT1)22T2Cv4NkB(一)2D(2)在低溫極限T0,人h,、令x,hDkBD,D德拜溫度。kBT3xxe2dx。(ex1)相應(yīng)聲子能量是多少電子伏特。T2Cv4NkB(一)2D3xxei、2-2/x八2dx24NkB()T，(e1)D與三維情況下的德拜T在300K時(shí)的平均聲子數(shù)。律相對(duì)應(yīng)。3.10設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)震動(dòng)能1h，試用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。2解:根據(jù)德拜理論,cq,可得晶格頻率分布函數(shù)為g()3V2123-o22c3存在m范圍的振動(dòng)都可用彈性波近

7、似,m則根據(jù)自由度確定如下:mg(0)d3Vm2-d22c303N。O因此固體總的零點(diǎn)振動(dòng)能為m1E00”g()d9m.8Nhm。11一維復(fù)式格子51.671024g,1.510N/m(即1.5一4,、,10dyn/cm),求:光學(xué)波max,min,A嚴(yán)子波max°(2)(3)(4)Oax相對(duì)應(yīng)的電磁波在什么波段。解：(1)歡迎下載(2)6.701013Hz1013Hz1013Hzh1.0551034Js(1.0551.602)1015evsOmax4.41102evOin3.94102ev0ax1.97102ev(3)在T300K相應(yīng)的能量:23192KbT1.38110300/(1.610)2