自動(dòng)控制原理第4

1、4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念一、問題的提出一、問題的提出 在前一章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析的討論中已經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分在前一章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析的討論中已經(jīng)知道，只要能求得系統(tǒng)微分方程的特征方程式的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)方程的特征方程式的根即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，性能就可以確定。但是在高階系統(tǒng)中，求解特征根的根是一件很困難的事，在實(shí)際工作中難以應(yīng)用。在實(shí)際工作中難以應(yīng)用。 1948年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求年伊文思根據(jù)反饋系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)

2、傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，提出了求解特征方程根的圖解方法解特征方程根的圖解方法根軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定常系根軌跡法。根軌跡法是分析、設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的一種圖解方法。統(tǒng)的一種圖解方法。二、二、根軌跡根軌跡的概念的概念例例 已知已知 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請(qǐng)繪出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，請(qǐng)繪出 時(shí)的根軌跡。時(shí)的根軌跡。)(sGk0:1K通過對(duì)前一章通過對(duì)前一章/控制系統(tǒng)時(shí)域分析的討論控制系統(tǒng)時(shí)域分析的討論,我們已經(jīng)知道，我們已經(jīng)知道，只要能求得只要能求得/系統(tǒng)微分方程的系統(tǒng)微分方程的/特征方程式的根，即系統(tǒng)特征方程式的根，即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。閉環(huán)傳遞

3、函數(shù)的極點(diǎn)，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能就可以確定。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為12, 11212111410.50.50)() 1(1) 1()(KsKsssDKssKssKssKs若參變量若參變量K1從從0變化時(shí)，特征方程根的變化情況如表變化時(shí)，特征方程根的變化情況如表根軌跡圖根軌跡圖以系統(tǒng)增益以系統(tǒng)增益K1為參變量，當(dāng)為參變量，當(dāng)K1由由0時(shí)，時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上變化平面上變化的軌跡。的軌跡。根據(jù)此圖可分析參數(shù)根據(jù)此圖可分析參數(shù)K1變化變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響。對(duì)系統(tǒng)特性的影響。 K1 0 0.125 0.25 0.5 s1 0 -0.1

4、46 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+js2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-jn穩(wěn)定性穩(wěn)定性 當(dāng)當(dāng)K1由由0 ，根軌跡不，根軌跡不會(huì)進(jìn)入會(huì)進(jìn)入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。n穩(wěn)態(tài)特性穩(wěn)態(tài)特性 坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，所以屬所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的型系統(tǒng)，根軌跡上的 K1值就值就是是Kv。如果已知。如果已知ess，則在根軌跡上，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點(diǎn)取值范圍?？纱_定閉環(huán)極點(diǎn)取值范圍。n動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)特性 當(dāng)當(dāng)0 K1 0.5時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位 階

5、躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點(diǎn)的位置決定的。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點(diǎn)的位置決定的。 一般而言，繪制根軌跡時(shí)的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最一般而言，繪制根軌跡時(shí)的可變參量可以是系統(tǒng)的任意參量。但最常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)常用的可變參量是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Kg（也稱為根軌跡增益）。（也稱為根軌跡增益）。 Kg常規(guī)根軌跡常規(guī)根軌跡 Kg以外的參數(shù)以外的參數(shù)參量根軌跡參量根軌跡以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對(duì)于高階系統(tǒng)來說，解以上二階系統(tǒng)的根軌跡可以用解析法來求得，但對(duì)于高階系統(tǒng)來說，解析法就不適用了，工程上常采

6、用圖解的方法來繪制。析法就不適用了，工程上常采用圖解的方法來繪制。為此，需要：為此，需要：研究開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡之間的關(guān)系。 4.2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則本節(jié)重點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn):掌握根軌跡的繪制方法掌握根軌跡的繪制方法本節(jié)難點(diǎn)：本節(jié)難點(diǎn)：根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角 一、根軌跡的一、根軌跡的幅值條件幅值條件和和相角條件相角條件一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為一般的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖所示，其特征方程為其開環(huán)傳遞函數(shù)其開環(huán)傳遞函數(shù)由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得由等式兩邊幅角和相角分別相等的條件可得在在S平面上的任一

7、點(diǎn)，凡能滿足以上幅角和相角條件的，就平面上的任一點(diǎn)，凡能滿足以上幅角和相角條件的，就是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。是系統(tǒng)特征方程的根，就必定在根軌跡上。0)()(1sHsG1)()()(sHsGsGk, 2 , 1 , 0) 12(180)()(1)()(kksHsGsHsG開環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫為開環(huán)傳遞函數(shù)通常又可以寫為其中其中 開環(huán)傳遞系數(shù)開環(huán)傳遞系數(shù) 開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)即即其中其中 開環(huán)零點(diǎn)到開環(huán)零點(diǎn)到S的矢量角的矢量角 開環(huán)極點(diǎn)到開環(huán)極點(diǎn)到S的矢量角的矢量角1)()()()(11niimjjgpszsKsHsGijgpzK2, 1 ,0)12(180)()(111

8、1111 kkpszsniimjjgmjniijmjniijpszsKij在測(cè)量相角時(shí)，規(guī)定以在測(cè)量相角時(shí)，規(guī)定以逆逆時(shí)針方向?yàn)檎龝r(shí)針方向?yàn)檎?凡滿足幅值和幅角條件的凡滿足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)極點(diǎn)值，都是閉環(huán)極點(diǎn)特征方程特征方程 根。這些根。這些 s 值構(gòu)成系統(tǒng)根軌跡值構(gòu)成系統(tǒng)根軌跡關(guān)鍵找出這些關(guān)鍵找出這些s點(diǎn)。通常：點(diǎn)。通常： （1）尋找滿足幅角條件的）尋找滿足幅角條件的s值來繪制根軌跡曲線，值來繪制根軌跡曲線， （2）用幅值條件確定根軌跡曲線上各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的）用幅值條件確定根軌跡曲線上各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的K1值。值。 工程上定義：工程上定義： （1）當(dāng)）當(dāng) 0 K1 + 時(shí)的根軌跡稱之為

9、主要根軌跡，簡(jiǎn)稱根軌跡。時(shí)的根軌跡稱之為主要根軌跡，簡(jiǎn)稱根軌跡。 （2）當(dāng)）當(dāng) K1 0 時(shí)的根軌跡稱之為輔助根軌跡或補(bǔ)根軌跡。時(shí)的根軌跡稱之為輔助根軌跡或補(bǔ)根軌跡。 （3）當(dāng)）當(dāng) K1 + 時(shí)的根軌跡稱為完全根軌跡，簡(jiǎn)稱全根軌跡。時(shí)的根軌跡稱為完全根軌跡，簡(jiǎn)稱全根軌跡。 繪制根軌跡的步驟：繪制根軌跡的步驟： （1）尋找滿足幅角條件所有的尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡；點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)根據(jù)幅值條件確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根即特征方程根)處的處的K1值。值。例例 已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè)已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下式，設(shè) 為該閉環(huán)系統(tǒng)的一

10、個(gè)極點(diǎn)，為該閉環(huán)系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)， 求其對(duì)應(yīng)的傳遞系數(shù)求其對(duì)應(yīng)的傳遞系數(shù) 。式中。式中 為開環(huán)有限零點(diǎn)；為開環(huán)有限零點(diǎn)； 為開環(huán)為開環(huán) 極點(diǎn)。極點(diǎn)。解：解：在上圖，各相角必滿足在上圖，各相角必滿足再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù)再按幅值條件求得該點(diǎn)的根軌跡傳遞系數(shù))()()(211pspsszsKsGgK0s0gK1z21, 0pp ) 12(1803211k13210lLLLKg基本思想基本思想:由相角條件確定根軌跡上由相角條件確定根軌跡上的某點(diǎn)位置，根據(jù)幅值條的某點(diǎn)位置，根據(jù)幅值條件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)件確定根軌跡上某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益。應(yīng)的增益。二、根軌跡繪制法則二、根軌跡繪制法則1.連續(xù)

11、性：根軌跡是連續(xù)的連續(xù)性：根軌跡是連續(xù)的 2.對(duì)稱性對(duì)稱性由于系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因而特征根為實(shí)數(shù)或因而特征根為實(shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸為共軛復(fù)數(shù)，根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸3、根軌跡的條數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù)、根軌跡的條數(shù)為系統(tǒng)的階數(shù)-即系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。即系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。也為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)也為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)0 :1)()(11ggniimjjKKpszs3. 起點(diǎn)起點(diǎn) （Kg =0）和終點(diǎn)（）和終點(diǎn)（Kg = ） 根軌跡的起點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，此時(shí)根軌跡的起點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，此時(shí)Kg =0 。 根軌跡的終點(diǎn)為開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，此時(shí)根軌跡的終點(diǎn)為開環(huán)傳

12、遞函數(shù)的零點(diǎn)，此時(shí)Kg = 若起點(diǎn)數(shù)若起點(diǎn)數(shù)n大于零點(diǎn)數(shù)大于零點(diǎn)數(shù)m,則有則有m條根軌跡終于零點(diǎn)，條根軌跡終于零點(diǎn)，有有n- m條終于無窮遠(yuǎn)處（相當(dāng)于有條終于無窮遠(yuǎn)處（相當(dāng)于有n- m個(gè)零點(diǎn)隱藏在個(gè)零點(diǎn)隱藏在無窮遠(yuǎn)處）無窮遠(yuǎn)處）根據(jù)幅值條件根據(jù)幅值條件當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， miinjjzspsK111 -01K), 2 , 1(njpsj 起點(diǎn)：起點(diǎn)： 說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。終點(diǎn)：終點(diǎn)：（1 1）有）有 m m 條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的m m個(gè)有限零點(diǎn)。個(gè)有限零點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 把這把這 m m 個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的

13、有限零點(diǎn)。個(gè)零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。（2 2）有（）有（n-mn-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-mn-m）個(gè)無限）個(gè)無限 零點(diǎn)。零點(diǎn)。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 上式表明：有上式表明：有n-mn-m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。 1K), 2 , 1(mzzsi s mnsmiinjjsszspsKlimlim111舉例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為舉例：已知某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)5 . 0)(1 . 0() 1()(sssKsGgk試確定系統(tǒng)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。試確定

14、系統(tǒng)根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。試確定下面閉環(huán)特征方程根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。試確定下面閉環(huán)特征方程根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。0) 1()3)(2(sKsssg5.實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 在在S平面實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是：線段平面實(shí)軸上的線段存在根軌跡的條件是：線段右右側(cè)開環(huán)側(cè)開環(huán)零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為零點(diǎn)（有限零點(diǎn)）和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)之和為奇奇數(shù)。數(shù)。 例例4-26.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)j閉環(huán)特征方程式閉環(huán)特征方程式)()()()(SDSNKsHsGg設(shè)0)()(1sHsG0)()()()(sNsDsDsN)()(SNSDKg0)()(1SDSNKg1、求出求出S值（即可能的分離值

15、（即可能的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）2、3、s對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。例例4-3 P84例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。解：系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為解：系統(tǒng)有一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)為-1，有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為，有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為-0.1和和-0.5。 根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為根據(jù)根軌跡繪制原則可知，根軌跡與實(shí)軸相重合的區(qū)間為 -0.1-0.5,-1。 求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：求根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)：)5 . 0)(1

16、. 0() 1()(sssKsGgk33. 067. 1055. 02)()()()(6 . 02)(05. 06 . 0)5 . 0)(1 . 0()(1)(1)(2122sssssNsDsDsNssDsssssDsNssN求對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的求對(duì)應(yīng)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)的Kg：06. 074. 221ggKKjS1=-0.33Kg1=0.06S1=-1.67Kg1=2.74例例4-3 四重分離點(diǎn)四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn)復(fù)數(shù)分離點(diǎn)7.漸近線漸近線（1）漸近線條數(shù)：）漸近線條數(shù)： n-m條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無條，根軌跡沿漸近線傾角方向趨向無窮遠(yuǎn)窮遠(yuǎn)（2）漸近線交點(diǎn)：）漸近線交點(diǎn)： 與實(shí)軸交于

17、一點(diǎn)與實(shí)軸交于一點(diǎn) 坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-，j0）mnk) 12(180mnzpnimjj11i)()(-1)()()()(11niimjjgpszsKsHsGk為為0,1,2,n-m-1幅角條件：幅角條件：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，零點(diǎn)時(shí)，零點(diǎn) 、極點(diǎn)、極點(diǎn) 與與 矢量復(fù)角可近似看成相等矢量復(fù)角可近似看成相等得到得到所以漸近線的傾角：所以漸近線的傾角： 共有共有(n-m)條漸近線，所以只要取條漸近線，所以只要取(n-m)個(gè)不同的傾角即可。個(gè)不同的傾角即可。 siz jp s)k(nm12180mn)k(12180根軌跡漸近線的傾角根軌跡漸近線的傾角例例4-44-4： 已知：已知：試畫出根軌跡的大致圖形。試畫出根

18、軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：解：按根軌跡繪制的規(guī)則：（1）起點(diǎn)：）起點(diǎn)：0，-1，-5； 終點(diǎn)：終點(diǎn)：，。（2）分支數(shù)：）分支數(shù)： n=3（3）根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。）根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。（4）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中，）漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以漸近線共，所以漸近線共 有有3條。漸近線的傾角：條。漸近線的傾角： 取取k0，1，2，得到：得到：)5)(1()()(1sssKsHsG03)12(180 k 6011802 603 0, 3 mn 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：（5）根軌跡在實(shí)軸上的分布：）根軌跡在實(shí)軸上的分布： 0-1，-5-之間。之間。2030-)510(-5-

19、2)5)(1()()(1sssKsHsG例例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的漸近已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出根軌跡的漸近線。線。解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為解：系統(tǒng)沒有開環(huán)零點(diǎn)，有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)分別為0，-2和和-4。 )4)(2()(sssKsGgk) 1(180)20(603) 12(18023420-kkk、方法二：勞斯判據(jù)方法二：勞斯判據(jù) 若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號(hào)，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。具有正號(hào)，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。8.與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn) 方法一：代數(shù)法

20、方法一：代數(shù)法 將將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于零，代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于零，求出求出w和對(duì)應(yīng)的和對(duì)應(yīng)的K值。值。例例 已知系統(tǒng)的特征方程為已知系統(tǒng)的特征方程為:方法一：將方法一：將 代入特征方程代入特征方程經(jīng)整理得經(jīng)整理得04523gKsssjs 0)4()-5(04)(5)(3223jKKjjjgg2j20gK例例4-5040-532gK方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。方法二：由特征方程可知，該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，系統(tǒng)型別為一型。列勞斯表列勞斯表若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛根，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的若根軌跡與虛軸相交，則表示系統(tǒng)存在純虛

21、根，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Kg使系統(tǒng)處使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此又因?yàn)橐粚?duì)純虛根必為數(shù)值相同，符號(hào)相反的根，所以用勞斯表又因?yàn)橐粚?duì)純虛根必為數(shù)值相同，符號(hào)相反的根，所以用勞斯表s2行的行的系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。系數(shù)可以構(gòu)成輔助方程。gggKsKsKss0123520541200520ggKK2052, 12jsKsg9.出射角與入射角出射角與入射角 出射角：根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)后的走向。出射角：根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)后的走向。 入射角：根軌跡從復(fù)數(shù)進(jìn)入零點(diǎn)的走向。入射角：根軌跡從復(fù)數(shù)進(jìn)入零點(diǎn)的走向。 - 除被測(cè)終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。除被測(cè)終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該

22、點(diǎn)矢量的相角。 -除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測(cè)極點(diǎn)矢量的相角。除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測(cè)極點(diǎn)矢量的相角。zjmjnipizjmjnipizj111111)(180)(180入出ipi根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角稱根軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)的夾角稱根軌跡的出射角，根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向夾角稱入射角零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向夾角稱入射角其等效傳遞函數(shù)為其等效傳遞函數(shù)為其漸近線為其漸近線為其出射角為其出射角為0)2()32(232)(223skssskksssssD)21)(21()2() 32()2(

23、)(2jsjssskssssksGk43.193 .1259073.54180)9021arctan90(2arctan180)(18010902) 12(1800132)21210(-111mjnipizjkkjj）（j例例 求以下特征方程的根軌跡。求以下特征方程的根軌跡。023223KKssss4.3 系統(tǒng)根軌跡的繪制和開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響系統(tǒng)根軌跡的繪制和開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響序序內(nèi)容內(nèi)容規(guī)規(guī) 則則 1起點(diǎn)起點(diǎn)終點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括起始于開環(huán)的極點(diǎn)，終止于開環(huán)傳的零點(diǎn)（包括無限零點(diǎn)）無限零點(diǎn)）2分支數(shù)分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)或等于特征方程的階數(shù)或開環(huán)

24、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)（n m）3對(duì)稱性對(duì)稱性對(duì)稱于實(shí)軸對(duì)稱于實(shí)軸4漸近線漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：坐標(biāo)為： 傾角為：傾角為：5實(shí)軸上實(shí)軸上分布分布實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，實(shí)軸上的根軌跡在實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)奇數(shù)mnzpnimjji11mnk) 12(180序序內(nèi)容內(nèi)容規(guī)規(guī) 則則 6 6分離分離（回合）（回合）點(diǎn)點(diǎn)7 7出射角出射角入射角入射角復(fù)極點(diǎn)復(fù)極點(diǎn)處的出射角：處的出射角： 復(fù)零點(diǎn)復(fù)零點(diǎn)處的入射角：處的入射角：8 8虛軸交點(diǎn)虛

25、軸交點(diǎn)（1）將）將s=jw代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于代入系統(tǒng)特征方程，令實(shí)部和虛部分別等于零，求出零，求出w和對(duì)應(yīng)的和對(duì)應(yīng)的K值。（值。（2）由勞斯陣列求得）由勞斯陣列求得)()()()(SDSNKsHsGg設(shè)0)()()()(sNsDsDsN)()(SNSDKg0)()(1SDSNKg1、求出求出S值（即可能的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）值（即可能的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)）2、3、s對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Kg值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。值為正時(shí)，才是實(shí)際的分離或會(huì)合點(diǎn)。 若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號(hào)，若勞斯表第一列中有一為零項(xiàng)，且其余各項(xiàng)都具有正號(hào)，則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。

26、則系統(tǒng)為臨界狀態(tài)，即有零根或虛根。mjnipizjmjnipizj111111)(180)(180入出 - 除被測(cè)終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。除被測(cè)終點(diǎn)外，所有開環(huán)有限零點(diǎn)到該點(diǎn)矢量的相角。 -除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測(cè)極點(diǎn)矢量的相角。除被測(cè)起點(diǎn)外，所有開環(huán)極點(diǎn)到被測(cè)極點(diǎn)矢量的相角。zjpi例例4-6 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試畫出其根軌跡。試畫出其根軌跡。解：（解：（1）系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）：）系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)（起點(diǎn)）：（2）實(shí)軸上有根軌跡的區(qū)間為）實(shí)軸上有根軌跡的區(qū)間為0，-1，-4，-。（3）根軌跡的分離點(diǎn)可按以下公

27、式計(jì)算）根軌跡的分離點(diǎn)可按以下公式計(jì)算解此方程得解此方程得因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?1，-4區(qū)間不可能有根軌跡，所以分離點(diǎn)應(yīng)為區(qū)間不可能有根軌跡，所以分離點(diǎn)應(yīng)為（4）根軌跡的漸近線）根軌跡的漸近線)4)(1()(sssKsGgk4, 1, 0210ppp0) 1()4()4)(1()()( )( )(sssssssNsDsNsD87. 2,467. 021ss467. 01s35180,60) 12(180amnk（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)令令 ，得，得解之得解之得0)4)(1(gKsssjs 04050) 4)(1(32ggKKjjj202gK增加零點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響增加零點(diǎn)對(duì)根軌跡

28、形狀的影響 例例4-7增加開環(huán)零點(diǎn)的影響增加開環(huán)零點(diǎn)的影響開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響1.增加開環(huán)零點(diǎn)，使根軌跡往增加開環(huán)零點(diǎn)，使根軌跡往左左移。移。例例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。) 2(2sskR(s)Y(s) 2(2sskR(s)Y(s)1sjj-1/2.增加開環(huán)極點(diǎn)，使根軌跡往增加開環(huán)極點(diǎn)，使根軌跡往右右移。移。例例 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。)2( sskR(s)Y(s)2( sskR(s)Y(s)s1jj根軌跡的繪制不必太準(zhǔn)確，主要是一些根軌跡的繪制不必太準(zhǔn)確，主要是一些關(guān)鍵點(diǎn)需要準(zhǔn)確，例如：實(shí)軸上的根

29、軌關(guān)鍵點(diǎn)需要準(zhǔn)確，例如：實(shí)軸上的根軌跡、分離點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)等，這樣才跡、分離點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)等，這樣才能很好確定根軌跡的大致走向。能很好確定根軌跡的大致走向。在根據(jù)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布初步確定出在根據(jù)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布初步確定出根軌跡的圖形后，特別要認(rèn)真檢查和計(jì)根軌跡的圖形后，特別要認(rèn)真檢查和計(jì)算，是否存在分離點(diǎn)，否則可能導(dǎo)極完算，是否存在分離點(diǎn)，否則可能導(dǎo)極完全錯(cuò)誤的結(jié)論。全錯(cuò)誤的結(jié)論。例：例：12(1 )()()KsGsssa1.1a沒有分離點(diǎn)沒有分離點(diǎn)1j9. 2a分離點(diǎn)為：分離點(diǎn)為：-3j913沒有分離點(diǎn)沒有分離點(diǎn)5 . 0. 3aj125. 05 . 010.4a分離點(diǎn)為：分離點(diǎn)為：

30、-2.5；-4j145 . 210第四節(jié)第四節(jié) 參量根軌跡參量根軌跡 選擇除選擇除Kg以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱以外其他參量作為可變參量繪制的根軌跡，稱為參量根軌跡，由稱為廣義根軌跡。為參量根軌跡，由稱為廣義根軌跡。)()(1)(1sDsNKgsGk當(dāng)選擇當(dāng)選擇Kg為可變參量時(shí)，特征方程為：為可變參量時(shí)，特征方程為：當(dāng)選擇系統(tǒng)其它參量為可變參量時(shí)，并以所選可變參量當(dāng)選擇系統(tǒng)其它參量為可變參量時(shí)，并以所選可變參量a代替代替Kg的位置：的位置：0)()(1sQsPa取等效開環(huán)傳遞函數(shù)取等效開環(huán)傳遞函數(shù))()()(sQsPasGk 則前面所介紹的相角、幅值條件和繪制根軌跡的各則前面所介

31、紹的相角、幅值條件和繪制根軌跡的各種規(guī)則都依然適用。種規(guī)則都依然適用。例例4-8 4-8 試?yán)L制圖所示試?yán)L制圖所示, ,試?yán)L制以試?yán)L制以為參變量的根軌跡為參變量的根軌跡圖圖4-13 4-13 根軌跡圖根軌跡圖解：解： 特征方程式特征方程式 的根軌跡圖為取不同K值時(shí)所作2 根軌跡為4sssG 4則如令K變化的根軌跡然后作出參變量由0先令K為某一定值,Ksss令G 0,Kss1 則閉環(huán)方程可改寫為0,然后考慮a作出圖所示的根軌跡sKs根據(jù)G0sK0,1Ks 則上式變?yōu)?,先令0Kss 2222022022201222例例4-8一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟：一般系統(tǒng)參量根軌跡的繪制步驟：1、求出原系

32、統(tǒng)的特征方程、求出原系統(tǒng)的特征方程2、以特征方程中不含該參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系、以特征方程中不含該參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。3、根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效系統(tǒng)的根、根據(jù)上一節(jié)介紹的根軌跡繪制規(guī)則，繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。軌跡，即得原系統(tǒng)的參量根軌跡。第五節(jié)第五節(jié) 系統(tǒng)性能的根軌跡分析系統(tǒng)性能的根軌跡分析繪制根軌跡的目的，主要在于根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的繪制根軌跡的目的，主要在于根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。分布對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。一個(gè)性能良好的系統(tǒng)，對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)有如下要求：一個(gè)性能良好的系統(tǒng)

33、，對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)有如下要求：1、穩(wěn)定性、穩(wěn)定性所有閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)位于所有閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)位于s平面的左半平面。平面的左半平面。2、快速性：、快速性：各閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離虛軸。各閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離虛軸。3、平穩(wěn)性：、平穩(wěn)性：4、合理配置主導(dǎo)極點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn)的位置：、合理配置主導(dǎo)極點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn)的位置： 復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在 附近，附近，系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性都較好。系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性都較好。707. 0cos 主導(dǎo)極點(diǎn)一般選為一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)，以便按二階系統(tǒng)的性主導(dǎo)極點(diǎn)一般選為一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)，以便按二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來分折。能指標(biāo)來分折。偶極子：一對(duì)靠得很近的閉環(huán)零極點(diǎn)。偶極子：一對(duì)靠得很近

34、的閉環(huán)零極點(diǎn)。故在綜合設(shè)計(jì)中，加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)去抵消對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過故在綜合設(shè)計(jì)中，加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)去抵消對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程影響較大的不利極點(diǎn)。程影響較大的不利極點(diǎn)。利用根軌跡分析法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析主要包括以下幾個(gè)方面：利用根軌跡分析法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析主要包括以下幾個(gè)方面：1、參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響、參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響2、計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能、計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能3、根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參量、根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參量)14 .1)(6)(4()42()(22sssssssKsGk一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析例例4-9 設(shè)某開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：設(shè)某開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)試?yán)L制根軌跡并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。的取值范圍。 我們把參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱我們把參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)于條