彈性力學(xué)-平面問題的基本理論

1、第二章第二章 平面問題的基本理論平面問題的基本理論2-1 2-1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力2-4 2-4 幾何方程。剛體位移幾何方程。剛體位移2-5 2-5 物理方程物理方程2-6 2-6 邊界條件邊界條件2-7 2-7 圣維南原理圣維南原理2-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題2-9 2-9 按應(yīng)力求解平面問題。相容方程按應(yīng)力求解平面問題。相容方程2-10 2-10 常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化2-11 2-11 應(yīng)力函數(shù)。逆解法與半逆解法應(yīng)力函數(shù)

2、。逆解法與半逆解法習(xí)題課習(xí)題課1一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題2-1 2-1 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 在實際問題中，任何一個彈性體嚴(yán)格地說都是空間物體，它所受的外力一般都是空間力系。但是，當(dāng)所考察的彈性體的形狀和受力情況具有一定特點時，只要經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕土W(xué)的抽象處理，就可以歸結(jié)為彈性力學(xué)平面問題。 平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。 等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。z = 0 zx = 0 zy = 0圖212xy 特點：1) 長、寬尺寸遠大于厚度2) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，體力

3、平行于板面且不沿厚度變化，在平板的前后表面上無外力作用。問題相反。0z注意：平面應(yīng)力問題z =0，但，這與平面應(yīng)變3二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題 很長的柱體，在柱面上承受平行于板面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿長度變化。z = 0 zx = 0 zy = 0 x 圖 22如：水壩、受內(nèi)壓的圓柱管道和長水平巷道等。0z注意平面應(yīng)變問題z = 0，但問題相反。，這恰與平面應(yīng)力xyP42-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程 無論平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題，都是在xy平面內(nèi)研究問題，所有物理量均與z無關(guān)。 下面討論物體處于平衡狀態(tài)時，各點應(yīng)力及體力的相互關(guān)系，并由此導(dǎo)出平

4、衡微分方程。從圖21所示的薄板取出一個微小的正平行六面體PABC(圖23），它在z方向的尺寸取為一個單位長度。yoxydyyyyxdxxxxxydxxxyxyyxdyyyxyxPABCXYD圖23),(yxxxxdx 設(shè)作用在單元體左側(cè)面上的正應(yīng)力是 ，右側(cè)面上坐標(biāo) 得到增量 ，該面上的正應(yīng)力為 ，將上式展開為泰勒級數(shù)：),(ydxxxnnxnxxxxdxxyxndxxyxdxxyxyxydxx)(),(!1)(),(! 21),(),(),(2225略去二階及二階以上的微量后便得 同樣 、 、 都一樣處理，得到圖示應(yīng)力狀態(tài)。dxxyxyxxx),(),(yxyyx 對平面應(yīng)力狀態(tài)考慮體力時，

5、仍可證明剪應(yīng)力互等定理。以通過中心D并平行于z軸的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程 ： 0DM02121)(2121)(dydxdydxdyydxdydxdydxxyxyxyxxyxyxy將上式的兩邊除以 得到：dxdydyydxxyxyxxyxy2121令0, 0dydx，即略去微量不計，得：yxxy6 下面推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的平衡微分方程，對單元體列平衡方程：0111)(11)(:0dydxXdxdxdyydydydxxFyxyxyxxxxx0111)(11)(:0dydxYdydydxxdxdxdyyFxyxyxyyyyy7 整理得:00YxyXyxxyyyxx 這兩個微分方程中包含著三個未

6、知函數(shù) 。因此決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的；還必須考慮形變和位移，才能解決問題。 對于平面應(yīng)變問題,雖然前后面上還有 ,但它們完全不影響上述方程的建立。所以上述方程對于兩種平面問題都同樣適用。zyxxyyx,82-3 2-3 斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力斜面上的應(yīng)力。主應(yīng)力一、斜面上的應(yīng)力一、斜面上的應(yīng)力 已知彈性體內(nèi)任一點P處的應(yīng)力分量 ，求經(jīng)過該點任意斜截面上的應(yīng)力。為此在P點附近取一個平面AB，它平行于上述斜面，并與經(jīng)過P點而垂直于x軸和y軸的兩個平面畫出一個微小的三角板或三楞柱PAB。當(dāng)平面AB與P點無限接近時，平面AB上的平均應(yīng)力就成為上述斜面上的應(yīng)力。 yxxyyx, 設(shè)AB面在xy平面內(nèi)

7、的長度為dS，N為該面的外法線方向，其方向余弦為：myNlxN),cos(,),cos(9PABxyxyNyxNNXNYSNyx圖24o 斜面AB上全應(yīng)力沿x軸及y軸的投影分別為XN和YN。由PAB的平衡條件 可得： 0 xFmdSldSdSXyxxN除以 即得：dSyxxNmlX同樣由 得出： 0yFxyyNlmY斜面AB上的正應(yīng)力 ，由投影可得：NxyyxNNNlmmlmYlX222斜面AB上的剪應(yīng)力 ，由投影可得：NxyxyNNNmllmmXlY)()(2210二、主應(yīng)力二、主應(yīng)力 如果經(jīng)過P點的某一斜面上的剪應(yīng)力等于零，則該斜面上的正應(yīng)力稱為P點的一個主應(yīng)力，而該斜面稱為P點的一個應(yīng)力

8、主面，該斜面的法線方向稱為P點的一個應(yīng)力主向。1.主應(yīng)力的大小2221)2(2xyyxyx2.主應(yīng)力的方向 與 互相垂直。12112-4 2-4 幾何方程、剛體位移幾何方程、剛體位移 在平面問題中，彈性體中各點都可能產(chǎn)生任意方向的位移。通過彈性體內(nèi)的任一點P，取一單元體PAB，如圖2-5所示。彈性體受力以后P、A、B三點分別移動到P、A、B。PoxyABPABuvdxxuudyyvvdyyuudxxvv圖25一、一、P P點的正應(yīng)變點的正應(yīng)變xudxdxudxdxxuux)( 在這里由于小變形，由y方向位移v所引起的PA的伸縮是高一階的微量，略去不計。12同理可求得：yvy二、二、P P點的剪

9、應(yīng)變點的剪應(yīng)變yuxvxy線段PA的轉(zhuǎn)角：xvdxvdxxvv)(同理可得線段PB的轉(zhuǎn)角：yu所以13因此得到平面問題的幾何方程：yuxvyvxuxyyx 由幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即可完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時，唯一分量卻不能完全確定。142-5 2-5 物理方程物理方程 在完全彈性的各向同性體內(nèi)，形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系根據(jù)虎克定律建立如下：xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(115 式中，E為彈性模量；G為剛度模量； 為泊松比。三者的關(guān)系：)1 (2EG一、平面應(yīng)力問題的物理方程一、平面應(yīng)力問題的物理方

10、程xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1)(yxzE且有：16二、平面應(yīng)變問題的物理方程二、平面應(yīng)變問題的物理方程xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(122三、平面應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式與平面應(yīng)變的關(guān)系式之間的三、平面應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式與平面應(yīng)變的關(guān)系式之間的 變換關(guān)系變換關(guān)系將平面應(yīng)力中的關(guān)系式：xyxyxyyyxxEEE21)(1)(117作代換112EE就可得到平面應(yīng)變中的關(guān)系式：xyxyxyyyxxEEE)1 (2111122 由于這種相似性，在解平面應(yīng)變問題時，可把對應(yīng)的平面問題的方程和解答中的彈性常數(shù)進行上述代換，就可得到相應(yīng)的平面應(yīng)變問題的解。182-6

11、2-6 邊界條件邊界條件 當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時,其內(nèi)部各點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡微分方程；在邊界上應(yīng)滿足邊界條件。 按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。一、位移邊界條件一、位移邊界條件 當(dāng)邊界上已知位移時，應(yīng)建立物體邊界上點的位移與給定位移相等的條件。如令給定位移的邊界為 ，則有（在 上）：uSuSuusvvs其中 和 表示邊界上的位移分量，而 和 在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。suusvv19二、應(yīng)力邊界條件二、應(yīng)力邊界條件 當(dāng)物體的邊界上給定面力時，則物體邊界上的應(yīng)力應(yīng)滿足與面力相平衡的力的平衡條件。YlmXmlsxysysyxsx)()()()(其中

12、和 為面力分量， 、 、 、 為邊界上的應(yīng)力分量。XYsx)(sy)(sxy)(syx)( 當(dāng)邊界面垂直于 軸時，應(yīng)力邊界條件簡化為：xYXsxysx)( ,)( 當(dāng)邊界面垂直于 軸時，應(yīng)力邊界條件簡化為：yXYsyxsy)( ,)(20三、混合邊界條件三、混合邊界條件1.物體的一部分邊界上具有已知位移，因而具有位移邊界條件，令一部分邊界上則具有已知面力。則兩部分邊界上分別有應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。如圖2-6，懸臂梁左端面有位移邊界條件：00vvuuss上下面有應(yīng)力邊界條件：0)(0)(sysyxYX右端面有應(yīng)力邊界條件：0)()(sxysxYqXlqxyo2h2h圖2-6212.在同一邊

13、界上，既有應(yīng)力邊界條件又有位移邊界條件。如圖2-7連桿支撐邊界條件：0)(0sxysYuu如圖2-8齒槽邊界條件：0)(0sxsXvvoxy圖2-7xyo圖2-8222-7 2-7 圣維南原理圣維南原理一、一、圣維南原理圣維南原理 如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么，近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。二、二、舉例舉例 設(shè)有柱形構(gòu)件，在兩端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力 ，如圖2-9a。如果把一端或兩端的拉力變換為靜力等效的力，如圖2-9b或2-9c，只有虛線劃出的部分的應(yīng)力分布有顯著的改變

14、，而其余部分所受的影響是可以不計的。如果再將兩端的拉力變換為均勻分布的拉力，集度等于 ，其中 為構(gòu)件的橫截面面積，如圖2-9d，仍然只有靠近兩端部分的應(yīng)力受到顯著的影響。PAP/A25PP2/P2/P2/P2/PP2/P2/PAP/AP/PP圖2-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述四種情況下，離開兩端較遠的部分的應(yīng)力分布，并沒有顯著的差別。注意：注意： 應(yīng)用圣維南原理，絕不能離開“靜力等效”的條件。262-8 2-8 按位移求解平面問題按位移求解平面問題 在彈性力學(xué)里求解問題，有三種基本方法：按位移求解、按應(yīng)力求解和混合求解。 按位移求解時，以位移分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含位移分量

15、的微分方程和邊界條件求出位移分量以后，再用幾何方程求出形變分量，從而用物理方程求出應(yīng)力分量。一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(1在平面應(yīng)力問題中，物理方程為：27由上列三式求解應(yīng)力分量，得：xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122將幾何方程代入，得彈性方程：)()1 (2)(1)(122yuxvExuyvEyvxuExyyx再將式（a）代入平衡微分方程，簡化以后，即得：0)2121(10)2121(1222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（a）這是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解平面應(yīng)力問題時所需用的基本微

16、分方程。（1）28將（a）式代入應(yīng)力邊界條件，簡化以后，得：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEssss)(21)(1)(21)(122這是用位移表示的應(yīng)力邊界條件，也就是按位移求解平面應(yīng)力問題時所用的應(yīng)力邊界條件。（2） 總結(jié)起來，按位移求解平面應(yīng)力問題時，要使得位移分量滿足微分方程（1），并在邊界上滿足位移邊界條件或應(yīng)力邊界條件（2）。求出位移分量以后，用幾何方程求出形變分量，再用物理方程求出應(yīng)力分量。二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題1,12EE 只須將平面應(yīng)力問題的各個方程中 和 作代換：E292-9 2-9 按應(yīng)力求解平面問題。相容方程按應(yīng)力求解平面問題。相容方程 按位移求

17、解平面問題時，必須求解聯(lián)立的兩個二階偏微分方程，這在數(shù)學(xué)上是相當(dāng)困難的。而按應(yīng)力求解彈性力學(xué)平面問題，則避免了這個困難，故更多采用的是按應(yīng)力求解。 按應(yīng)力求解時，以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，由一些只包含應(yīng)力分量的微分方程和邊界條件求出應(yīng)力分量以后，再用物理方程求出形變分量，從而用幾何方程求出位移分量。相容方程相容方程由平面問題的幾何方程：yuxvyvxuxyyx30可得：yxxvyuyxxyvyxuxyxyyx2223232222)(即：yxxyxyyx22222這個關(guān)系式稱為形變協(xié)調(diào)方程或相容方程。（一）平面應(yīng)力相容方程（一）平面應(yīng)力相容方程)(1 ()(2222yYxXyxyx（二）平面應(yīng)變

18、相容方程（二）平面應(yīng)變相容方程)(11)(2222yYxXyxyx31 按應(yīng)力求解平面問題時，無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題，應(yīng)力分量除了滿足平衡微分方程和相容方程外，在邊界上還應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件。322-10 2-10 常體力情況下的簡化常體力情況下的簡化可見，在常體力的情況下， 應(yīng)當(dāng)滿足拉普拉斯微分方程（調(diào)和方程）， 應(yīng)當(dāng)是調(diào)和函數(shù)。用記號 代表 ，上式簡寫為：2222yx 常體力下，兩種平面問題的相容方程都簡化為：0)(2222yxyxyxyx20)(2yx結(jié)論結(jié)論 在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力，那么，不管這兩個彈性體的材料是否相

19、同，也不管它們是在平面應(yīng)力情況下或是在平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量 、 、 的分布是相同的（兩種平面問題中的應(yīng)力分量 ，以及形變和位移，卻不一定相同）。xyxyz33推論推論2 2 在用實驗方法測量結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的上述應(yīng)力分量時，可以用便于量測的材料來制造模型，以代替原來不便于量測的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件材料；還可以用平面應(yīng)變情況下的長柱形的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件。推論推論3 3 常體力的情況下，對于單連體的應(yīng)力邊界問題，還可以把體力的作用改換為面力的作用，以便于解答問題和實驗量測。推論推論1 1 針對任一物體而求出的應(yīng)力分量 、 、 ，也適用于具有同樣邊界并受有同樣外力的其它材料的物體；針對平面應(yīng)力問題而求出的這些應(yīng)力分量

20、，也適用于邊界相同、外力相同的平面應(yīng)變情況下的物體。xyxy342-112-11應(yīng)力函數(shù)。逆解法與半逆解法應(yīng)力函數(shù)。逆解法與半逆解法一、應(yīng)力函數(shù)一、應(yīng)力函數(shù) 按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，在體力為常量的情況下，應(yīng)力分量 、 、 應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程：xyxy00YxyXyxxyyxyx（a）以及相容方程0)(2222yxyx（b） 方程（a）的解包含兩部分：任意一個特解和下列齊次微分方程的通解。35特解取為： 將齊次微分方程（c）中前一個方程改寫為：)(xyxyx根據(jù)微分方程理論，一定存在某一個函數(shù) ，使得：),(yxA00 xyyxxyyxyx（c）0,xyyxYyXx（d）xAyAxyx（e）

21、（f）36同樣將（c）中的第二個方程改寫為：)(xyyxy也一定存在某一個函數(shù) ，使得：),(yxByBxBxyy（g）（h）由式（f）及（h）得：yBxA因而一定存在某一個函數(shù) ，使得： ),(yxxByA（i）（j）37將式（i）代入（e），式（j）代入（g），并將式（i）代入（f），即得通解：yxxyxyyx22222,（k） 將通解（k）與特解（d）疊加，即得微分方程（a）的全解：yxYyxXxyxyyx22222,函數(shù) 稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，也稱為艾瑞應(yīng)力函數(shù)。（1） 為了應(yīng)力分量（1）同時也能滿足相容方程（b），將（1）代入式（b），即得：0)(22222222YyxXxyyx上

22、式可簡化為：0)(22222222yxyx38或者展開為：024422444yyxx進一步簡化為：04（2） 按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，如果體力是常量，就只須由微分方程（2）求解應(yīng)力函數(shù) ，然后用公式（1）求出應(yīng)力分量，但這些應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)當(dāng)滿足應(yīng)力邊界條件。二、逆解法與半逆解法二、逆解法與半逆解法逆解法：逆解法：先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程（2）的應(yīng)力函 數(shù) ，用公式（1）求出應(yīng)力分量，然后根據(jù)應(yīng)力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應(yīng)力分量對應(yīng)于什么樣的面力，從而得知所設(shè)定的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么問題。逆解法基本步驟：39半逆解法：半逆解法：針對所要求解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形

23、狀和受力情況，假設(shè)部分和全部應(yīng)力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應(yīng)力函數(shù) ，然后來考察，這個應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程，以及，原來所假設(shè)的應(yīng)力分量和由這個應(yīng)力函數(shù)求出的其余應(yīng)力分量，是否滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件。如果相容方程和各方面的條件都能滿足，自然就得出正確的解答；如果某一方面不能滿足，就要另作假設(shè)，重新考察。設(shè)定求出應(yīng)力分量求出面力（合力）解決什么問題代入代入式（l）應(yīng)力邊界條件確定半逆解法基本步驟：設(shè)定導(dǎo)出應(yīng)力表達式得到正確解答滿足邊界條件滿足04是是否否式（l）應(yīng)力邊界條件40 平面問題的基本理論平面問題的基本理論習(xí)題課習(xí)題課練習(xí)練習(xí)1 懸臂梁上部受線形分布載荷，如圖所示。試根據(jù)材

24、料力學(xué)中 的表達式，再用平衡微分方程導(dǎo)出 和 的表達式。xyxy解：解：由材料力學(xué)知，過 點橫截面 上的彎矩為：PyxlhqhyxlqJyMzzx33332)112(6)6(3lqxMz（1）)(36022323xfyxlhqydyxlhqdyxyxxxyxyx代入平衡微分方程，得：（2）oyxlqP41利用上、下面邊界條件確定)(xf將式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得：xhyhylhqxlqxgxgxyhylhqdyxyhyyxyy)34(22)(, 0)()()34(232332233（4）)4(4343)(, 0)(223222hylhqxxlhqxfxyhyxy（3）注意：注意：

25、式（1）、（3）、（4）表達的僅是靜力可能的應(yīng)力分量，若為正確解答，則還需滿足以應(yīng)力表示的相容方程。42ABxyo0 x0 xy0y0yx練習(xí)練習(xí)2 如圖所示為平面物體，角 和角 均為直角，其附近邊界表面均不受外力，試說明 、 兩點的應(yīng)力狀態(tài)。ABAB解：解：由于 點附近邊界不受外力，該點的應(yīng)力分量應(yīng)滿足如下邊界條件：0)()()(AxyAyAx即 點處于零應(yīng)力狀態(tài)。而 點處于凹角的頂點，該點所取的微分單元體的各個面均不是邊界面，因此，其上的應(yīng)力分量是未知的，未必為零，由理論分析知，凹角處 點的應(yīng)力趨于無限大。AABB43 練習(xí)練習(xí)3 3 試寫出表中所示各平面物體的位移邊界條件（用直角坐標(biāo)），

26、其中第二圖中 點不動，過 點的水平線段無轉(zhuǎn)動。oo解：解：各位移邊界條件見表所列。hxyohxyo0, 0,2, 00,2, 0vuhyxuhyx0, 0, 00, 0 xvvuyx44hxyolhxyol0,2,0, 0, 0,0, 0, 0, 0vhylxvuylxvuyx0sincos, 0,0, 0, 0, 0vuylxvuyx45 練習(xí)練習(xí)44 圖所示的幾種受力體是否為平面問題？若是，則是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？ROqxyqhzyoRha)hQQOzyxyRORhb)RlpROpyxOpzlpyc)圖 a)所示為平面應(yīng)力問題。圖b）所示荷載垂直作用于板面，故為薄板彎曲問題。圖

27、c）所示荷載作用于板邊，荷載及橫截面沿z軸無變化，且Rl，故為平面應(yīng)變問題。解：解：解：解： 練習(xí)練習(xí)55 如圖所示薄板條在y方向受均勻拉力作用，試證明在板中間突出部分的尖端A處無應(yīng)力存在。q2NOCBAyqx211N本題可視為平面應(yīng)力問題，AB和AC都是自由邊界（且 ），無面力作用，即：。代入邊界條件有：210 YXAB邊界： 1111sin,cosml(1)0sincos 0sincos y1xy1xy1x1AC邊界：12122sincoscosml)2(0sincos0sincos1111yxyxyx 由于A同處于AB，AC邊界，因此，需同時滿足式（1）和式（2），由此解得：，問題得證。0 xyyx 練習(xí)