第7講 FIR濾波器設(shè)計(jì)

1、有限沖擊響應(yīng)濾波器有限沖擊響應(yīng)濾波器 FIR的設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 v數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變數(shù)字濾波器是對(duì)數(shù)字信號(hào)實(shí)現(xiàn)濾波的線性時(shí)不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)。數(shù)字濾波實(shí)質(zhì)上是一種運(yùn)算過程，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通信號(hào)的運(yùn)算處理。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系過程，也可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系

2、的卷積和差分方程只是給數(shù)字統(tǒng)輸出與輸入關(guān)系的卷積和差分方程只是給數(shù)字信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完信號(hào)濾波器提供運(yùn)算規(guī)則，使其按照這個(gè)規(guī)則完成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性成對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理。時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性:v其中其中 、 分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）, 是是 數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜 經(jīng)過濾波經(jīng)過濾波后后 ,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)因

3、此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，和處理信號(hào)的目的， 適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇 ，使得濾波后使得濾波后的的 滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。的濾波原理。 v數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分?jǐn)?shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，可分為兩種，即無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)為兩種，即無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有數(shù)字濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器。 FIRFIR數(shù)字濾波器的理論和設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的理論和設(shè)計(jì)vFIR濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，還濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，還有嚴(yán)格的線性

4、相位特性。設(shè)有嚴(yán)格的線性相位特性。設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)，其系統(tǒng)函數(shù) H(z)是是z-1的的N-1次多項(xiàng)式，它在次多項(xiàng)式，它在z平面上有平面上有N-1個(gè)個(gè)零點(diǎn)，原點(diǎn)零點(diǎn)，原點(diǎn)z=0是是N-1階重極點(diǎn)，因此，階重極點(diǎn)，因此，H(z)永遠(yuǎn)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器的特出優(yōu)點(diǎn)。濾波器的特出優(yōu)點(diǎn)。 1 ) (21) 1(211210212110 NnNNNnnNNNnnhz nNhz n hzz n hz H1、FIR如何實(shí)現(xiàn)線性相位？如何實(shí)現(xiàn)線性相位？v 對(duì)于長(zhǎng)度為對(duì)于長(zhǎng)度為N的的h(n)，傳輸函數(shù)為：

5、，傳輸函數(shù)為：式中，式中，Hg()稱為幅度特性，稱為幅度特性，()稱為相位特性。稱為相位特性。注意：注意： Hg() |H(ej)|,因?yàn)橐驗(yàn)镠g() 是是的實(shí)函數(shù)，其值的實(shí)函數(shù)，其值可正可負(fù)，而可正可負(fù)，而|H(ej)|總為正值?？倿檎?。H(ej)線性相位是指線性相位是指()是是的線性函數(shù)，即的線性函數(shù)，即 () = -， 為常數(shù)為常數(shù) 第一類線性相位第一類線性相位 () = 0- ， 0為起始相位為起始相位 第二類線性相位第二類線性相位 NnnjjjenheHeH)()()(jjeHgeHv 可證明，滿足第一類線性相位的條件是：可證明，滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且是實(shí)序

6、列且對(duì)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，即偶對(duì)稱，即h(n)=h(N-n-1)v 滿足第二類線性相位的條件是：滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，即奇對(duì)稱，即h(n)=-h(N-n-1)。v 第一類線性相位條件證明：第一類線性相位條件證明： () = - 將將h(n)=h(N-n-1)代入上式代入上式 = 令令m=N-n-1 = =1 ) (21)1(211210212110NnNNNnnNNNnnhznNhznhzznhzH10) 1()(NnnznNhzH)()()()(1)1(10)1(10)1(zHzzmhzzmhzHNNmmNNmmN)()(21)

7、(1)1(zHzzHzHNv將將z=ej代入上式代入上式 = = 群時(shí)延為群時(shí)延為 ,滿足條件。滿足條件。10)1()(21NnnNnzzznh102121)21(21)(NnNnNnNzznhz10)21()21cos()()(NnNjjNnnheeH) 1(21)()21cos()()(10NNnnhHNng21Nv第二類線性相位條件第二類線性相位條件() = 0- ，采用類似方，采用類似方法證明可得：法證明可得：v2.FIR中中Hg()的特點(diǎn)的特點(diǎn) 由于由于h(n)的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度N取奇數(shù)還是取偶數(shù)，對(duì)取奇數(shù)還是取偶數(shù)，對(duì)Hg()的特性有影響，因此對(duì)于兩類線性相位，可以分為四的特性有影響，因

8、此對(duì)于兩類線性相位，可以分為四種情況，如下圖：種情況，如下圖：2)21()()21(sin)(10nNnNnhHNng偶對(duì)稱單位沖激響應(yīng)h(n) h(N 1 n)相位響應(yīng)21)(N情況1()o (N 1)情況2N為奇數(shù)h(n)0N 1nna(n)21NN為偶數(shù)h(n)0nN 1b(n)01 22Nn2/ ) 1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0在 =處為0，不能用于高通、帶阻所有都可以N為奇數(shù)h(n)0nN 1C(n)0121NnN為偶數(shù)h(n)0N 1nd(n)012Nn221)(N相位響應(yīng)情況3()2o 23 N情況42/ ) 1(1

9、)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2奇對(duì)稱單位沖擊響應(yīng)奇對(duì)稱單位沖擊響應(yīng) h(n)=-h(N-1-n)在 =0,2處為0，不能用于低通、帶阻在 =0, ,2處為0，只能用于帶通FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)濾波器的直接型結(jié)構(gòu)y(n)h(N-1)h(N-2)h(1)h(0)x(n)Z-1Z-11 ) (21)1(211210212110 NnNNNnnNNNnnhz nNhz n hzz n hz Hy(n)h(N-1)h(N-2)h(1)h(0)x(n)Z-1Z-1Z-1h(2)3.利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器濾波器v步驟：步驟：v1

10、）如果給出通帶、阻帶衰減和邊界頻率的要求，可）如果給出通帶、阻帶衰減和邊界頻率的要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，從而用理想濾波器的特性作傅立葉變換，求出特性作傅立葉變換，求出Hd(n)。 ，| c c為為3dB截止頻率截止頻率 ，c | 單位取樣響應(yīng)為：?jiǎn)挝蝗禹憫?yīng)為： 為保證線性相位，取為保證線性相位，取0)(jjdeeHCCnndeenhCnjjd)()(sin(21)(21Nv2)根據(jù)對(duì)過渡帶即阻帶衰減的要求，選擇合適的窗根據(jù)對(duì)過渡帶即阻帶衰減的要求，選擇合適的窗函數(shù)，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度函數(shù)，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。 設(shè)待求濾波器的過渡帶用設(shè)待求濾

11、波器的過渡帶用表示，它近似等表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。同時(shí)因?yàn)檫^渡帶于窗函數(shù)主瓣寬度。同時(shí)因?yàn)檫^渡帶近似近似與窗口長(zhǎng)度與窗口長(zhǎng)度N成反比成反比(N A/)，A取決取決于窗口形式。如，矩形窗于窗口形式。如，矩形窗A=4，哈明窗，哈明窗A=8等，等，A參數(shù)選擇參見后面的表格。參數(shù)選擇參見后面的表格。 按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式的原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的形式的原則是：在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。v 3）計(jì)算）計(jì)算h(n) = hd(n) w(n) 其中其中w(n)即為窗函數(shù)。即

12、為窗函數(shù)。v 4）計(jì)算）計(jì)算 其中其中x(n-k)為輸入序列為輸入序列x(n)的時(shí)延的時(shí)延k，y(n)為輸出序列。為輸出序列。10)()()(Nkknxkhny幾種常用窗函數(shù)形式幾種常用窗函數(shù)形式(2)漢漢寧寧（Hanning）窗窗：(升升余余弦弦窗窗) 1-Nn0 )12cos(1 21)(Nnnw，其其余余0)(nw )()(25. 0)(5 . 0)()()(22NNjRjRjRjeWeWeWeW 幅幅度度頻頻率率特特性性：過過渡渡帶帶寬寬 N8 ， 旁旁瓣瓣峰峰值值衰衰耗耗：-31dB，最最小小阻阻帶帶衰衰耗耗：-44dB (3)哈哈明明（Hamming）窗窗：(改改進(jìn)進(jìn)的的升升余余弦

13、弦窗窗) 1-Nn0 )12cos(46. 054. 0)(Nnnw，其其余余0)(nw )()(23. 0)(54. 0)()()(22NNjRjRjRjeWeWeWeW 幅幅度度頻頻率率特特性性：過過渡渡帶帶寬寬：N8 旁旁瓣瓣峰峰值值衰衰耗耗：-41dB，最最小小阻阻帶帶衰衰耗耗：-53dB (4)布布拉拉克克曼曼(Blackman)窗窗： 1-Nn0 )12cos() 1()(10MkkkNknanw 其其余余0)(nw 是是一一組組升升余余弦弦窗窗函函數(shù)數(shù)，升升階階數(shù)數(shù) M 是是可可選選參參數(shù)數(shù)。 M=3 時(shí)時(shí)： )4cos(08. 0)2cos(5 . 042. 0)(NnNnnw

14、 )()(04. 0 )()(25. 0)(42. 0)()()()()(4422NNNNjRjRjRjRjRjeWeWeWeWeWeW 幅幅度度頻頻率率特特性性：過過渡渡帶帶寬寬：N12,旁旁瓣瓣峰峰值值衰衰耗耗：-57dB，最最小小阻阻帶帶衰衰耗耗：-75dB 升升階階越越高高，幅幅度度頻頻率率特特性性的的旁旁瓣瓣峰峰值值衰衰耗耗值值越越小小。M=4時(shí)時(shí)，旁旁瓣瓣峰峰值值衰衰耗耗達(dá)達(dá)-90dB。 (5)凱凱塞塞（Kaiser）窗窗： 1-Nn0 )()1 (1()(02120IInwNn 其其余余0)(nw 其其中中)(0 xI為為 0 階階貝貝塞塞爾爾函函數(shù)數(shù)：200!2)(kkkkxI

15、，為為主主瓣瓣寬寬度度參參數(shù)數(shù)。 dB矩形窗 N=8漢寧窗 N=8哈明窗 N=83階Blackman窗 N=8)(jeH4c矩形窗 N=64漢寧窗 N=64哈明窗 N=643階Blackman窗 N=64主瓣與旁瓣的相對(duì)比例只由窗函數(shù)形狀決定主瓣與旁瓣的相對(duì)比例只由窗函數(shù)形狀決定窗函數(shù)法設(shè)計(jì)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器示例低通濾波器示例v設(shè)計(jì)一個(gè)設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，要求：通帶邊緣頻率低通濾波器，要求：通帶邊緣頻率10kHz，阻帶邊緣頻率，阻帶邊緣頻率22kHz，阻帶衰減，阻帶衰減75dB，采樣頻率采樣頻率50kHz。v解：將頻率域轉(zhuǎn)換到數(shù)字域公式為：解：將頻率域轉(zhuǎn)換到數(shù)字域公式為： 其中

16、其中fS為采樣頻率，為采樣頻率，f為頻率為頻率0點(diǎn)到頻率點(diǎn)到頻率f之間的距離，或之間的距離，或?yàn)閮蓚€(gè)頻率的差值為兩個(gè)頻率的差值(如過渡帶寬如過渡帶寬)。 可看作可看作fS對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)2為最高頻率的兩倍。為最高頻率的兩倍。1）過渡帶寬度）過渡帶寬度fB=阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率 通帶邊緣頻率通帶邊緣頻率 = 22kHz-10kHz=12kHz 轉(zhuǎn)換到數(shù)字域?yàn)檗D(zhuǎn)換到數(shù)字域?yàn)閣B=2*fB/fS=(12/25) 2）求）求3dB截止頻率截止頻率fC，并轉(zhuǎn)換到數(shù)字域，并轉(zhuǎn)換到數(shù)字域wC fC=通帶邊緣頻率通帶邊緣頻率+(過渡帶寬度過渡帶寬度/2) =10+12/2=16kHz Sff2 wC = 2*fC

17、/fS=0.643）理想低通濾波器脈沖響應(yīng)）理想低通濾波器脈沖響應(yīng) 其中為保證線性相位，取相移其中為保證線性相位，取相移4）根據(jù)阻帶衰減）根據(jù)阻帶衰減75dB，選擇，選擇Blackman窗窗(其阻帶衰減最小其阻帶衰減最小為為74dB，滿足要求，滿足要求)， Blackman窗的過渡帶寬為窗的過渡帶寬為12/N，得出：得出： 12/N = wB = N = 12/ wB= 25 = =1221N)()(64. 0sin()()(sin()(nnnnnhCd21N Blackman窗函數(shù)為：窗函數(shù)為： 5）求得濾波器脈沖響應(yīng)為：）求得濾波器脈沖響應(yīng)為： h(n) = hd(n)w(n) ,0 n

18、N-1 6)根據(jù)上式，求出系數(shù)根據(jù)上式，求出系數(shù)hn為：共為：共N=25個(gè)個(gè) )14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnnw)244cos(08. 0)242cos(5 . 042. 0nn)6cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0(*)12()12(64. 0sin(nnnn 0.0, 0.0, 0.001, -0.002, -0.002, 0.01, -0.009, -0.018, 0.049, -0.02, -0.11, 0.28, 0.64, 0.28, -0.11, -0.02, 0.049, -0.018, -0.009, 0.01, -0.002, -0.002, 0.001, 0.0, 0.07）根據(jù)）根據(jù) ，進(jìn)行，進(jìn)行FIR濾波計(jì)算。濾波計(jì)算。10)()()(Nkknxkhny利用利用Matlab求求FIR