九年級數(shù)學上冊第25章解直角三角形復習教案滬科版

1、第 25 章 解直角三角形復習 一. 教學內(nèi)容 第 25 章 解直角三角形復習 二. 重點、難點： 1. 重點： (1) 探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關系.掌握三角函數(shù)定義式： a a sinA = ： , cosA= ： , tanA = L , cotA = _. (2) 掌握 30 、45 、60等特殊角的三角函數(shù)值，并會進行有關特殊角的三角 函數(shù)值的計算. (3) 會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值， ？由已知三角函數(shù)值求它對應的 銳角. 2. 難點： (1) 通過探索直角三角形邊與邊、角與角、邊與角之間的關系，領悟事物之間互相 聯(lián)系的辯證關系. (2) 能夠運用三角

2、函數(shù)解決與直角形有關的簡單的實際問題. (3) 能綜合運用直角三角形的勾股定理與邊角關系解決簡單的實際問題， 提高數(shù)學 建模能力. 三. 知識梳理： 1. 銳角三角函數(shù) (1)銳角三角函數(shù)的定義 我們規(guī)定： a a sinA = - , cosA= ： , tanA = - , cotA =. 銳角的正弦、余弦、正切、余切統(tǒng)稱為銳角的三角函數(shù). (2)用計算器由已知角求三角函數(shù)值或由已知三角函數(shù)值求角度 對于特殊角的三角函數(shù)值我們很容易計算，甚至可以背誦下來，但是對于一般的銳 角又怎樣求它的三角函數(shù)值呢？用計算器可以幫我們解決大問題. 已知角求三角函數(shù)值； 已知三角函數(shù)值求銳角. 2. 特殊角

3、的三角函數(shù)值 a sin a cos a tan a cot a 30o 1 2 遐 2 C 3 晶 45o 2 1 1 60o 2 2 3 由表可知：直角三角形中， 30 的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半. 3. 銳角三角函數(shù)的性質(zhì) (1) Ov sin aV 1 , Ov COS aV 1 ( 0 VaV 90 ) 1 (2) tan a cot a = 1 或 tan a = _ .- 一 一 ； sin GJ cos CL (3) tan a = _ .一 一，cot a =iii (4) sin a = cos (90 a ), tan a = cot (90 a ). 4. 解直角

4、三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程叫做解直角三角形. 解直角三角形的常見類型有： 我們規(guī)定：Rt ABC / C= 90,/ A、/ B/ C 的對邊分別為 a、b、c. 已知兩邊，求另一邊和兩個銳角； 已知一條邊和一個角，求另一個角和其他兩邊. 5. 解直角三角形的應用 (1) 相關術語 鉛垂線：重力線方向的直線. 水平線：與鉛垂線垂直的直線， 一般情況下，？地平面上的兩點確定的直線我們認為 是水平線. 仰角：向上看時，視線與水平線的夾角. 俯角：向下看時，視線與水平線的夾角. 坡角：坡面與水平面的夾角. 坡度：坡的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(坡比). 一般情況下，我們

5、用 h表示坡的鉛直高度，用 I表示水平寬度，用 i 表示坡度，即: h i = . = tan a . 方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于 90的水平角叫做方向角. 如圖： (2) 應用解直角三角形來解決實際問題時，要注意： 計算結果的精確度要求，一般說來中間量要多取一位有效數(shù)字. 在題目中求未知時，應盡量選用直接由已知求未知. 遇到非直角三角形時，常常要作輔助線才能應用解直角三角形知識來解答. 其方法可以歸納為：已知斜邊用正弦或余弦， 已知直角邊用正切和余切， ？能夠使用 乘法計算的要盡量選用乘法，盡量直接選用已知條件進行計算. 注：解直角三角形在現(xiàn)實生活中有廣泛的應用，它經(jīng)常涉

6、及到測量、工程、航海、 航空等，其中包括了一些術語，一定要根據(jù)題意明白其術語的含義才能正確解題. 【典型例題】 3 sin a+cos a 例 1.已知 tan a =求一二二.二的值. 3 分析：利用數(shù)形結合思想，將已知條件 tan a =-用圖形表示. 解：如圖所示，在 Rt ABC 中，/ C= 90,/ A= a，設 BC= 3k, AC= 4k, 則 AB= =； = 5k. BC 3k 3 AC 4k 4 - 二二 / sin a =爲二=_ .= COS a =-二 -, 3 4 一+ 5_5 3 4 _ _ 原式= - =一 7. - sin45 - cos60 ; sin 4

7、5 -sin 30 (3) 分析：這里考查的是同學們對特殊角的三角函數(shù)值的識記情況和關于根式的計算能 丄一丄匕=| 一 =-畑。=1 一 = 例 2. 計算. (1) (2) cos245 +tan60 cos30 (4) Vl-2sin30 +sin2 30 力.處理辦法是能夠化簡的要先化簡后代入計算，不能化簡的直接代入計算. -cos60 =x _ x = ； -)2+ L-；X _ = 2. 解: (1) J sin45 (2) 2 cos 45 +tan60 sin45o-sin30 2 (3) cos 45 +sin 30 cos30 =( 近1 2丄 1 + -= (4) 點像上面

8、第 3 題分子分母要分別處理，第 4?題要特別注意先化簡再代入計算. 3 sinct+cosa; 例 3.已知 tan a = ,求一二丄的值. sin a 分析：可將所求式子的分子、分母都除以 COS a，轉(zhuǎn)化為含有一二二的式子，？再利 sin 用 tan a = 進行轉(zhuǎn)化求解. sinii+cosa; 解：將式子一二丄_ .的分子、分母都除以 COS a，得 3 tan &+1 _ 二 + tana-1 原式= _ 一 =_ 7 3 規(guī)律總結：因為 tan a =所以a不等于 90,所以 COS a工 0,因此分子分母可以同 時除以 COS a 實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的. 例 4.等腰三角形的底邊長

9、為 6cm,周長為 14cm,試求底角的余切值. 分析：這是一個在非直角三角形中求銳角的三角函數(shù)值的題目，根據(jù)三角函數(shù)的定 義，要先恰當?shù)淖鬏o助線（垂線）構成直角來解決.這個題涉及到等腰三角形， ？作底邊上 的高是解決問題常見辦法. 解：如圖所示，作等腰三角形 ABC BC 為底邊，AD 丄 BC 于 D. / ABC 的周長為 14,底邊 BC= 6,二腰長 AB= AC= 4. 又 AD 丄 BC BD= CD= 3. 在直角三角形 ABD 中，/ ADB= 90, AD= J 二-二=廠 -廠 cot / B=止 1 = . 3弟 答：等腰三角形底角的余切值是 點撥：計算一個銳角的三角函

10、數(shù)值，應在直角三角形中來考慮，如果題中沒有直角 三角形，那么就要通過作輔助線來構造直角三角形. 例 5. Rt ABC / C= 90。，/ A、/ B、/ C 的對邊分別為 a、b、c, ?根據(jù)下列條件解 直角三角形. (1) a= 4, c= 10; (2) b = 2,/ A= 40 ; (3) c = 3，/ B= 58. 分析：(1)題是已知兩邊解直角三角形；(2)、( 3)是已知一邊和一角解直角三 角形. 4 由 si nA = : I1 = 0.4，/ A 23.6 ，/ B= 90/ A= 90 23.6 = 66.4 (2)/ B= 90 -/ A= 90 40= 50, 由

11、 tanA = ，得 a= b tanA = 2 x tan40 2X 0.8391 1.678 , b b 2 2 由 cosA =，得 c = 2.611 . c COSJ4 cos 40 0.766 0 (3) / A= 90 / B= 90 58= 32, b 由 sinB = ，得 b = c sinB = 3 sin58 3x 0.848 2.544 , c a 由 cosB= ，得 a= c cosB= 3 x cos58 3x 0.5299 1.590 . 點撥：在選擇三角函數(shù)時， 一般使用乘法進行計算， 能夠用三角函數(shù)求其中的未知邊的 問題，一般不使用勾股定理求邊. 例 6.

12、如圖，一艘輪船從離 A 觀察站的正北 20 ,門海里處的 B 港處向正西航行，觀察站第 一次測得該船在 A 地北偏西 30的 C 處，一個半小時后，又測得該船在 A?地的北偏西的 D 處，求此船的速度.解：(1) b= =2 而 BD 在 Rt ABD 中可求，BC 在 Rt ABC 中可求. 解：在 Rt ABC 中, BC= ABX tan30 = 20 山；X _ = 20（海里） 所以 DC= DB- CB= 60 - 20= 40 （海里） 2 船的速度是：40 十 1.5 = 26（海里） 2 答：船的速度是 26 1 海里. 點撥：凡涉及方向角的問題，一定要確定中心，如上題中的方

13、向角就是以 A?為中心 的. 例 7.如圖所示，河對岸有一座鐵塔 AB,若在河這邊 C、D?處分別用測角儀器測得塔頂 A 的仰角為 30, 45，已知 CD= 30 米，求鐵塔的高.（結果保留根號） 分析：設塔高為 x米，根據(jù)條件/ ADB= 45,可得 BD= AB= x米，在直角三角形 ABC AB 中，根據(jù)/ C= 30, 即卩 tanC = r _可求. 解:設 AB= x，在 Rt ABD 中，/ ADB= 45,二 AB= BD= x. AB 在 Rt ABC 中，/ C= 30，且 BC= CD+B= 30+x, tanC =匸 分析：根據(jù)速度等于路程除以時間，必須求到 DC 的

14、長，觀察圖形， DC= DB- CB, ? 在 Rt ABD 中，B ABX tan60 =20 X = 60 所以 tan30 = -，即-=-.，x =（ 15 + 15）（米）答：塔高 AB 為 15 門一；+15 米. 例 8.去年某省將地處 A B 兩地的兩所大學合并成了一所綜合性大學，為了方便 A B 兩地師生的交往，學校準備在相距 2 千米的 A、B?兩地之間修筑一條筆直的公路（即圖中的 線段 AB） ,經(jīng)測量， 在 A 地的北偏東 60方向， B 地的西偏北 45的 C 處有一個半徑為 0.7 千米的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？ 分析： 過 C 作 AB

15、的垂線段 CM 把 AM BM 用含 x的代數(shù)式 右 x, x表示，利用 AM+MB =2 列方程得， 門x+x = 2,解出 CM 的長與 0.7 千米進行比較，本題要體會設出 CM 的長， 列方程解題的思想方法. 解：作 CML AB 垂足為 M,設 CM 為 x 千米，在 Rt MCB 中, / MCB=Z MBC= 45。，貝 U MB= CM= x 千米. 在 Rt AMC 中，/ CAM= 30。，/ ACM= 60 AM tan / ACM= U :.AM= CM- tan60 = -；x 千米 / AM+BM： 2 千米 1.732 1 = 0.732 CM 長約為 0.732

16、 千米，大于 0.7 千米 這條公路不會穿過公園. 坡 AD= 20 米，壩高 10 米，迎水坡 BC 的坡度 i ： 1: 0.6，求迎水坡 BC 的坡角/ C 和壩底寬 CD例 9.如圖是一個大壩的橫斷面，它是一個梯形 ABCD 其中壩頂 AB= 3 米，經(jīng)測量背水 分析：分析這一個關于梯形的計算題， 要用解直角三角形的知識來解決， ？一般過上 底頂點作下底的垂線就能夠利用直角三角形知識來解決. 解：過 A、B 作 AE CD BF 丄 CD,垂足是 E、F, 根據(jù)題意有 AE= BF= 10,四邊形 ABFE 是矩形，EF= AB= 3. 又在 Rt BCF 中，cot / C= 0.6

17、，所以/ O 59 Sgc = tri sin C 例 10.如圖，如果 ABC 中/ C 是銳角，BC=,AC= _：.證明： 宀 1 證明：過 A 作 AD BC 于。，則厶 ADC 是直角三角形, 廣AD sm C = 二 , - 又 評注：本題的結論反映出三角形的兩邊及其夾角與這個三角形的面積之間的關系. 同理 爲業(yè)c = dti sin C = - ic sin J4 = drc sin 5 還可推出： 1 1 1 （三角形面積公式） 在 Rt ADE 中，DE= 在 Rt BCFBF _ 1 .J 工，CF= 0.6 X BF= 0.6 X 10 = 6 （米） 所以 =10 （米

18、） CD= CF+EF+DE 10 +3+6=（ 9+10 ） （米 【模擬試題】（答題時間：40 分鐘） 1. 在厶 ABC 中，/ C= 90,/ B= 50, AB= 10,貝 U BC 的長為（ ） 3.如圖，為了確定一條小河的寬度 BC,可在點 C 左側(cè)的岸邊選擇一點 A, ?使得 AC 丄 BC, 若測得 AC= a，/ CAB= 0，則 BC 的值為（ ）. 如圖，秋千拉繩 OB 的長為 3m 靜止時踏板到地面的距離 BE 長為 0.6m （?踏板的厚度 7. 如圖，武當山風景管理區(qū)為提高游客到景點的安全性，決定將到達該景點的步行臺階 10 D. cos 50 2. AE, CF

19、 是銳角三角形 ABC 的兩條高，女 3: 2 si nA si A. 10ta n50 B. 10cos50 C. 10sin50 A. 3 : 2 B. 2 : 3 C. 9 : 4 D. 4 : 9 4. A. asin 0 B. acos 0 C. atan 0 D. acot 在 Rt ABC 中，/ C= 90,下列各式中正確的是（ ) A. si nA = sinB B. tanA = tanB C. sinA = cosB D. cosA = cosB 5. 已知等腰梯形 ABCD 中, AD/ BC, / B= 60 , AD= 2, BC= 8, ?則此等腰梯形的周長為 )

20、 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 6. 忽略不計）.小亮蕩秋千時，當秋千拉繩從 OB 運動到 OA 時，拉繩 OA?與鉛垂線 OE 的夾角 為 55,請你計算此時秋千踏板離地面的高度 AD 是多少米.（精確到 0.1m） 進行改善，把傾角由 44減至 32,已知原臺階 AB 的長為 5m （ BC?所在地面為水平面） . （1）改善后的臺階會加長多少？（精確到 0.01m) （2）改善后的臺階多占多長一段地面？（精確到 0.01m) o 8. 如圖，沿 AC 方向開山修渠，為了加快施工進度， ？要在小山的另一邊同時施工，從 AC 上一點 B 取/ ABD= 135, BD= 5

21、20m,/ D= 45.如果要使 A, C, E 成一條直線，？那么開 挖點 E 離 D 的距離約為多少米？（精確到 1m） 9. 如圖， 某校九年級（3）班的一個學習小組進行測量小山高度的實踐活動， 部分同學在 山腳的點 A 處測處山腰上一點 D 的仰角為 30,并測得 AD 的長度為 180m, ?另一部分同學 在小山頂點 B 處測得山腳 A 的俯角為 45,山腰點 D 處的俯角為 60, ?請你幫助他們計算 小山的高度 BC （計算過程和結果都不取近似值）. 10. 如圖，汪老師要裝修自己帶閣樓的新居， ？在搭建客廳到閣樓的樓梯 AC 時，為避免上 升時墻角 F 碰頭，設計墻角 F 到樓

22、梯的豎直距離 FG 為 1.75m，他量得客廳高 AB= 2.8m，樓 梯洞口寬 AF= 2m,閣樓陽臺寬 EF= 3m,請你幫助汪老師解決下列問題， ？要使墻角 F 到樓梯 的豎直距離 FG為 1.75m,樓梯底端 C 到墻角 D 的距離 CD 是多少米？ 懷熱愛生諭嗎*?那么別浪費時間，因為時間是組成主 諭的材料 -富蘭克林 【試題答案】 1. B 點撥：直接利用三角函數(shù)關系求解. 2. B 3. C 點撥：根據(jù)圖形找出對角關系. 4. C 點撥：在銳角三角函數(shù)中，對于任意銳角的正弦值都等于它余角的余弦值. 5. D 6. 在 Rt AFO 中，/ AFO= 90, OF_ cos / AOF= OF= OA cos / AOF 又 OA= OB= 3m / AOF= 55, / OF= 3 - cos55 1.72m , EF= 3+0.6 1.72 1.9m . AD= EF= 1.9m. 7. 如圖. (1) 在 Rt ABC 中， AC=