九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第25章解直角三角形復(fù)習(xí)教案滬科版

1、第 25 章 解直角三角形復(fù)習(xí) 一. 教學(xué)內(nèi)容 第 25 章 解直角三角形復(fù)習(xí) 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： (1) 探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系.掌握三角函數(shù)定義式： a a sinA = ： , cosA= ： , tanA = L , cotA = _. (2) 掌握 30 、45 、60等特殊角的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)特殊角的三角 函數(shù)值的計(jì)算. (3) 會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值， ？由已知三角函數(shù)值求它對(duì)應(yīng)的 銳角. 2. 難點(diǎn)： (1) 通過(guò)探索直角三角形邊與邊、角與角、邊與角之間的關(guān)系，領(lǐng)悟事物之間互相 聯(lián)系的辯證關(guān)系. (2) 能夠運(yùn)用三角

2、函數(shù)解決與直角形有關(guān)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. (3) 能綜合運(yùn)用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題， 提高數(shù)學(xué) 建模能力. 三. 知識(shí)梳理： 1. 銳角三角函數(shù) (1)銳角三角函數(shù)的定義 我們規(guī)定： a a sinA = - , cosA= ： , tanA = - , cotA =. 銳角的正弦、余弦、正切、余切統(tǒng)稱為銳角的三角函數(shù). (2)用計(jì)算器由已知角求三角函數(shù)值或由已知三角函數(shù)值求角度 對(duì)于特殊角的三角函數(shù)值我們很容易計(jì)算，甚至可以背誦下來(lái)，但是對(duì)于一般的銳 角又怎樣求它的三角函數(shù)值呢？用計(jì)算器可以幫我們解決大問(wèn)題. 已知角求三角函數(shù)值； 已知三角函數(shù)值求銳角. 2. 特殊角

3、的三角函數(shù)值 a sin a cos a tan a cot a 30o 1 2 遐 2 C 3 晶 45o 2 1 1 60o 2 2 3 由表可知：直角三角形中， 30 的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 3. 銳角三角函數(shù)的性質(zhì) (1) Ov sin aV 1 , Ov COS aV 1 ( 0 VaV 90 ) 1 (2) tan a cot a = 1 或 tan a = _ .- 一 一 ； sin GJ cos CL (3) tan a = _ .一 一，cot a =iii (4) sin a = cos (90 a ), tan a = cot (90 a ). 4. 解直角

4、三角形 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形. 解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型有： 我們規(guī)定：Rt ABC / C= 90,/ A、/ B/ C 的對(duì)邊分別為 a、b、c. 已知兩邊，求另一邊和兩個(gè)銳角； 已知一條邊和一個(gè)角，求另一個(gè)角和其他兩邊. 5. 解直角三角形的應(yīng)用 (1) 相關(guān)術(shù)語(yǔ) 鉛垂線：重力線方向的直線. 水平線：與鉛垂線垂直的直線， 一般情況下，？地平面上的兩點(diǎn)確定的直線我們認(rèn)為 是水平線. 仰角：向上看時(shí)，視線與水平線的夾角. 俯角：向下看時(shí)，視線與水平線的夾角. 坡角：坡面與水平面的夾角. 坡度：坡的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度(坡比). 一般情況下，我們

5、用 h表示坡的鉛直高度，用 I表示水平寬度，用 i 表示坡度，即: h i = . = tan a . 方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于 90的水平角叫做方向角. 如圖： (2) 應(yīng)用解直角三角形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意： 計(jì)算結(jié)果的精確度要求，一般說(shuō)來(lái)中間量要多取一位有效數(shù)字. 在題目中求未知時(shí)，應(yīng)盡量選用直接由已知求未知. 遇到非直角三角形時(shí)，常常要作輔助線才能應(yīng)用解直角三角形知識(shí)來(lái)解答. 其方法可以歸納為：已知斜邊用正弦或余弦， 已知直角邊用正切和余切， ？能夠使用 乘法計(jì)算的要盡量選用乘法，盡量直接選用已知條件進(jìn)行計(jì)算. 注：解直角三角形在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，它經(jīng)常涉

6、及到測(cè)量、工程、航海、 航空等，其中包括了一些術(shù)語(yǔ)，一定要根據(jù)題意明白其術(shù)語(yǔ)的含義才能正確解題. 【典型例題】 3 sin a+cos a 例 1.已知 tan a =求一二二.二的值. 3 分析：利用數(shù)形結(jié)合思想，將已知條件 tan a =-用圖形表示. 解：如圖所示，在 Rt ABC 中，/ C= 90,/ A= a，設(shè) BC= 3k, AC= 4k, 則 AB= =； = 5k. BC 3k 3 AC 4k 4 - 二二 / sin a =爲(wèi)二=_ .= COS a =-二 -, 3 4 一+ 5_5 3 4 _ _ 原式= - =一 7. - sin45 - cos60 ; sin 4

7、5 -sin 30 (3) 分析：這里考查的是同學(xué)們對(duì)特殊角的三角函數(shù)值的識(shí)記情況和關(guān)于根式的計(jì)算能 丄一丄匕=| 一 =-畑。=1 一 = 例 2. 計(jì)算. (1) (2) cos245 +tan60 cos30 (4) Vl-2sin30 +sin2 30 力.處理辦法是能夠化簡(jiǎn)的要先化簡(jiǎn)后代入計(jì)算，不能化簡(jiǎn)的直接代入計(jì)算. -cos60 =x _ x = ； -)2+ L-；X _ = 2. 解: (1) J sin45 (2) 2 cos 45 +tan60 sin45o-sin30 2 (3) cos 45 +sin 30 cos30 =( 近1 2丄 1 + -= (4) 點(diǎn)像上面

8、第 3 題分子分母要分別處理，第 4?題要特別注意先化簡(jiǎn)再代入計(jì)算. 3 sinct+cosa; 例 3.已知 tan a = ,求一二丄的值. sin a 分析：可將所求式子的分子、分母都除以 COS a，轉(zhuǎn)化為含有一二二的式子，？再利 sin 用 tan a = 進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. sinii+cosa; 解：將式子一二丄_ .的分子、分母都除以 COS a，得 3 tan &+1 _ 二 + tana-1 原式= _ 一 =_ 7 3 規(guī)律總結(jié)：因?yàn)?tan a =所以a不等于 90,所以 COS a工 0,因此分子分母可以同 時(shí)除以 COS a 實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的. 例 4.等腰三角形的底邊長(zhǎng)

9、為 6cm,周長(zhǎng)為 14cm,試求底角的余切值. 分析：這是一個(gè)在非直角三角形中求銳角的三角函數(shù)值的題目，根據(jù)三角函數(shù)的定 義，要先恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線（垂線）構(gòu)成直角來(lái)解決.這個(gè)題涉及到等腰三角形， ？作底邊上 的高是解決問(wèn)題常見(jiàn)辦法. 解：如圖所示，作等腰三角形 ABC BC 為底邊，AD 丄 BC 于 D. / ABC 的周長(zhǎng)為 14,底邊 BC= 6,二腰長(zhǎng) AB= AC= 4. 又 AD 丄 BC BD= CD= 3. 在直角三角形 ABD 中，/ ADB= 90, AD= J 二-二=廠 -廠 cot / B=止 1 = . 3弟 答：等腰三角形底角的余切值是 點(diǎn)撥：計(jì)算一個(gè)銳角的三角函

10、數(shù)值，應(yīng)在直角三角形中來(lái)考慮，如果題中沒(méi)有直角 三角形，那么就要通過(guò)作輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形. 例 5. Rt ABC / C= 90。，/ A、/ B、/ C 的對(duì)邊分別為 a、b、c, ?根據(jù)下列條件解 直角三角形. (1) a= 4, c= 10; (2) b = 2,/ A= 40 ; (3) c = 3，/ B= 58. 分析：(1)題是已知兩邊解直角三角形；(2)、( 3)是已知一邊和一角解直角三 角形. 4 由 si nA = : I1 = 0.4，/ A 23.6 ，/ B= 90/ A= 90 23.6 = 66.4 (2)/ B= 90 -/ A= 90 40= 50, 由

11、 tanA = ，得 a= b tanA = 2 x tan40 2X 0.8391 1.678 , b b 2 2 由 cosA =，得 c = 2.611 . c COSJ4 cos 40 0.766 0 (3) / A= 90 / B= 90 58= 32, b 由 sinB = ，得 b = c sinB = 3 sin58 3x 0.848 2.544 , c a 由 cosB= ，得 a= c cosB= 3 x cos58 3x 0.5299 1.590 . 點(diǎn)撥：在選擇三角函數(shù)時(shí)， 一般使用乘法進(jìn)行計(jì)算， 能夠用三角函數(shù)求其中的未知邊的 問(wèn)題，一般不使用勾股定理求邊. 例 6.

12、如圖，一艘輪船從離 A 觀察站的正北 20 ,門(mén)海里處的 B 港處向正西航行，觀察站第 一次測(cè)得該船在 A 地北偏西 30的 C 處，一個(gè)半小時(shí)后，又測(cè)得該船在 A?地的北偏西的 D 處，求此船的速度.解：(1) b= =2 而 BD 在 Rt ABD 中可求，BC 在 Rt ABC 中可求. 解：在 Rt ABC 中, BC= ABX tan30 = 20 山；X _ = 20（海里） 所以 DC= DB- CB= 60 - 20= 40 （海里） 2 船的速度是：40 十 1.5 = 26（海里） 2 答：船的速度是 26 1 海里. 點(diǎn)撥：凡涉及方向角的問(wèn)題，一定要確定中心，如上題中的方

13、向角就是以 A?為中心 的. 例 7.如圖所示，河對(duì)岸有一座鐵塔 AB,若在河這邊 C、D?處分別用測(cè)角儀器測(cè)得塔頂 A 的仰角為 30, 45，已知 CD= 30 米，求鐵塔的高.（結(jié)果保留根號(hào)） 分析：設(shè)塔高為 x米，根據(jù)條件/ ADB= 45,可得 BD= AB= x米，在直角三角形 ABC AB 中，根據(jù)/ C= 30, 即卩 tanC = r _可求. 解:設(shè) AB= x，在 Rt ABD 中，/ ADB= 45,二 AB= BD= x. AB 在 Rt ABC 中，/ C= 30，且 BC= CD+B= 30+x, tanC =匸 分析：根據(jù)速度等于路程除以時(shí)間，必須求到 DC 的

14、長(zhǎng)，觀察圖形， DC= DB- CB, ? 在 Rt ABD 中，B ABX tan60 =20 X = 60 所以 tan30 = -，即-=-.，x =（ 15 + 15）（米）答：塔高 AB 為 15 門(mén)一；+15 米. 例 8.去年某省將地處 A B 兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便 A B 兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距 2 千米的 A、B?兩地之間修筑一條筆直的公路（即圖中的 線段 AB） ,經(jīng)測(cè)量， 在 A 地的北偏東 60方向， B 地的西偏北 45的 C 處有一個(gè)半徑為 0.7 千米的公園，問(wèn)計(jì)劃修筑的這條公路會(huì)不會(huì)穿過(guò)公園？為什么？ 分析： 過(guò) C 作 AB

15、的垂線段 CM 把 AM BM 用含 x的代數(shù)式 右 x, x表示，利用 AM+MB =2 列方程得， 門(mén)x+x = 2,解出 CM 的長(zhǎng)與 0.7 千米進(jìn)行比較，本題要體會(huì)設(shè)出 CM 的長(zhǎng)， 列方程解題的思想方法. 解：作 CML AB 垂足為 M,設(shè) CM 為 x 千米，在 Rt MCB 中, / MCB=Z MBC= 45。，貝 U MB= CM= x 千米. 在 Rt AMC 中，/ CAM= 30。，/ ACM= 60 AM tan / ACM= U :.AM= CM- tan60 = -；x 千米 / AM+BM： 2 千米 1.732 1 = 0.732 CM 長(zhǎng)約為 0.732

16、 千米，大于 0.7 千米 這條公路不會(huì)穿過(guò)公園. 坡 AD= 20 米，壩高 10 米，迎水坡 BC 的坡度 i ： 1: 0.6，求迎水坡 BC 的坡角/ C 和壩底寬 CD例 9.如圖是一個(gè)大壩的橫斷面，它是一個(gè)梯形 ABCD 其中壩頂 AB= 3 米，經(jīng)測(cè)量背水 分析：分析這一個(gè)關(guān)于梯形的計(jì)算題， 要用解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決， ？一般過(guò)上 底頂點(diǎn)作下底的垂線就能夠利用直角三角形知識(shí)來(lái)解決. 解：過(guò) A、B 作 AE CD BF 丄 CD,垂足是 E、F, 根據(jù)題意有 AE= BF= 10,四邊形 ABFE 是矩形，EF= AB= 3. 又在 Rt BCF 中，cot / C= 0.6

17、，所以/ O 59 Sgc = tri sin C 例 10.如圖，如果 ABC 中/ C 是銳角，BC=,AC= _：.證明： 宀 1 證明：過(guò) A 作 AD BC 于。，則厶 ADC 是直角三角形, 廣AD sm C = 二 , - 又 評(píng)注：本題的結(jié)論反映出三角形的兩邊及其夾角與這個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系. 同理 爲(wèi)業(yè)c = dti sin C = - ic sin J4 = drc sin 5 還可推出： 1 1 1 （三角形面積公式） 在 Rt ADE 中，DE= 在 Rt BCFBF _ 1 .J 工，CF= 0.6 X BF= 0.6 X 10 = 6 （米） 所以 =10 （米

18、） CD= CF+EF+DE 10 +3+6=（ 9+10 ） （米 【模擬試題】（答題時(shí)間：40 分鐘） 1. 在厶 ABC 中，/ C= 90,/ B= 50, AB= 10,貝 U BC 的長(zhǎng)為（ ） 3.如圖，為了確定一條小河的寬度 BC,可在點(diǎn) C 左側(cè)的岸邊選擇一點(diǎn) A, ?使得 AC 丄 BC, 若測(cè)得 AC= a，/ CAB= 0，則 BC 的值為（ ）. 如圖，秋千拉繩 OB 的長(zhǎng)為 3m 靜止時(shí)踏板到地面的距離 BE 長(zhǎng)為 0.6m （?踏板的厚度 7. 如圖，武當(dāng)山風(fēng)景管理區(qū)為提高游客到景點(diǎn)的安全性，決定將到達(dá)該景點(diǎn)的步行臺(tái)階 10 D. cos 50 2. AE, CF

19、 是銳角三角形 ABC 的兩條高，女 3: 2 si nA si A. 10ta n50 B. 10cos50 C. 10sin50 A. 3 : 2 B. 2 : 3 C. 9 : 4 D. 4 : 9 4. A. asin 0 B. acos 0 C. atan 0 D. acot 在 Rt ABC 中，/ C= 90,下列各式中正確的是（ ) A. si nA = sinB B. tanA = tanB C. sinA = cosB D. cosA = cosB 5. 已知等腰梯形 ABCD 中, AD/ BC, / B= 60 , AD= 2, BC= 8, ?則此等腰梯形的周長(zhǎng)為 )

20、 A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 6. 忽略不計(jì)）.小亮蕩秋千時(shí)，當(dāng)秋千拉繩從 OB 運(yùn)動(dòng)到 OA 時(shí)，拉繩 OA?與鉛垂線 OE 的夾角 為 55,請(qǐng)你計(jì)算此時(shí)秋千踏板離地面的高度 AD 是多少米.（精確到 0.1m） 進(jìn)行改善，把傾角由 44減至 32,已知原臺(tái)階 AB 的長(zhǎng)為 5m （ BC?所在地面為水平面） . （1）改善后的臺(tái)階會(huì)加長(zhǎng)多少？（精確到 0.01m) （2）改善后的臺(tái)階多占多長(zhǎng)一段地面？（精確到 0.01m) o 8. 如圖，沿 AC 方向開(kāi)山修渠，為了加快施工進(jìn)度， ？要在小山的另一邊同時(shí)施工，從 AC 上一點(diǎn) B 取/ ABD= 135, BD= 5

21、20m,/ D= 45.如果要使 A, C, E 成一條直線，？那么開(kāi) 挖點(diǎn) E 離 D 的距離約為多少米？（精確到 1m） 9. 如圖， 某校九年級(jí)（3）班的一個(gè)學(xué)習(xí)小組進(jìn)行測(cè)量小山高度的實(shí)踐活動(dòng)， 部分同學(xué)在 山腳的點(diǎn) A 處測(cè)處山腰上一點(diǎn) D 的仰角為 30,并測(cè)得 AD 的長(zhǎng)度為 180m, ?另一部分同學(xué) 在小山頂點(diǎn) B 處測(cè)得山腳 A 的俯角為 45,山腰點(diǎn) D 處的俯角為 60, ?請(qǐng)你幫助他們計(jì)算 小山的高度 BC （計(jì)算過(guò)程和結(jié)果都不取近似值）. 10. 如圖，汪老師要裝修自己帶閣樓的新居， ？在搭建客廳到閣樓的樓梯 AC 時(shí)，為避免上 升時(shí)墻角 F 碰頭，設(shè)計(jì)墻角 F 到樓

22、梯的豎直距離 FG 為 1.75m，他量得客廳高 AB= 2.8m，樓 梯洞口寬 AF= 2m,閣樓陽(yáng)臺(tái)寬 EF= 3m,請(qǐng)你幫助汪老師解決下列問(wèn)題， ？要使墻角 F 到樓梯 的豎直距離 FG為 1.75m,樓梯底端 C 到墻角 D 的距離 CD 是多少米？ 懷熱愛(ài)生諭嗎*?那么別浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)闀r(shí)間是組成主 諭的材料 -富蘭克林 【試題答案】 1. B 點(diǎn)撥：直接利用三角函數(shù)關(guān)系求解. 2. B 3. C 點(diǎn)撥：根據(jù)圖形找出對(duì)角關(guān)系. 4. C 點(diǎn)撥：在銳角三角函數(shù)中，對(duì)于任意銳角的正弦值都等于它余角的余弦值. 5. D 6. 在 Rt AFO 中，/ AFO= 90, OF_ cos / AOF= OF= OA cos / AOF 又 OA= OB= 3m / AOF= 55, / OF= 3 - cos55 1.72m , EF= 3+0.6 1.72 1.9m . AD= EF= 1.9m. 7. 如圖. (1) 在 Rt ABC 中， AC=