一fx在點x的連續(xù)ppt課件

1、一、一、 f(x) f(x)在點在點x0 x0 的延續(xù)的延續(xù)第四節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 函數(shù)的延續(xù)性 第二章 二、 延續(xù)點的類型 三、三、 f(x) f(x)在區(qū)間上的延續(xù)在區(qū)間上的延續(xù)一一 f(x)f(x)在點在點x0 x0 的延續(xù)的延續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設函數(shù) )(xf在點 0 x的某鄰域有定義，假設 0limxx0( )()f xf x ，那么稱 )(xf0 x在點 處延續(xù)。 假設 )(xf0 x在點 處不延續(xù)，那么 )(xf0 x在點 )(xf0 x處延續(xù)，稱 為 的延續(xù)點。 2 條件條件 .根據(jù)延續(xù)的定義，根據(jù)延續(xù)的定義， )(xf0 x在點 處延續(xù)，

2、必需滿足： 1 )(xf在點 0 x處有定義，即 )(0 xf有意義； 2 0limxx)(xf存在，即 0limxx)(xf= 0limxx)(xf3 極限值等于函數(shù)值，即 0limxx)(xf= )(0 xf1 1 定義定義 .f(x) .f(x)在點在點x0 x0 的延續(xù)的延續(xù)二、延續(xù)點的類型機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 按 )(xf0 x在點 處的左、右極限能否存在，可以將延續(xù)點分為第一類延續(xù)點和第二類延續(xù)點。1.第一類延續(xù)點：左極限第一類延續(xù)點：左極限 、右極限都存在、右極限都存在假設說左極限 右極限，那么稱 0 x為騰躍延續(xù)點； 假設左極限 = 右極限，那么稱 0 x為可去延

3、續(xù)點； 可去延續(xù)點又可以分為兩種：第一種，左極限 = 右極限，但是 )(xf0 x在點 處沒有定義； 第二種，左極限 = 右極限函數(shù)值。 2 2。第二類延續(xù)點：。第二類延續(xù)點：機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 左極限、右極限至少有一個不存在。 第二類延續(xù)點又可以分：無窮延續(xù)點、振蕩延續(xù)點等。例如 x = 0是1,0( )2,0 xexf xxx當時當時的可去延續(xù)點。 x= 0 也是 )(xg= 1, 02, 02, 0 xexxxx當時當時當時 的可去延續(xù)點. 只需在x = 0處重新定義函數(shù)值，使得 函數(shù)值 = 左極限 = 右極限 = 2 ，那那么么機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1,

4、0( )2, 02, 0 xexh xxxx當時當時當時就是一個延續(xù)函數(shù)。例如：x=1 是)(xf= 11x的無窮延續(xù)點。 如下圖又如又如 x = 0 x = 0是是機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(xf= 1sinx的振蕩延續(xù)點 如下圖 三、三、f (x)在區(qū)間上的延續(xù)性在區(qū)間上的延續(xù)性機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1. 區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)假設函數(shù) )(xf在某區(qū)間上的每一點都延續(xù)，那么)(xf為該區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)， 該區(qū)間稱為函稱)(xf的延續(xù)區(qū)間。 定理定理1 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的每一點都延續(xù)，即初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的每一點都延續(xù)，即數(shù)初等函數(shù)是其定義區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)這個

5、定理是求初等函數(shù)極限的重要根據(jù)，我們在前面計算極限時曾經(jīng)用到了這個定理。 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 判別函數(shù)延續(xù)性的方法： 1尋覓使函數(shù) )(xf沒有定義的點 0 x，假設有沒有定義的點 0 x，那么 0 x一定為延續(xù)點；2尋覓使 lim)(xf不存在的點 0 x ，分段函數(shù)延續(xù)點通常發(fā)生于分段點處； 3尋覓使 0limxx)(xf )(xf0 x的點 例1 當a取什么值時，函數(shù) )(xf= , 0, 0 xexaxx當時當時延續(xù)？ 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 解 當 0 x 時， )(xf= xe是初等函數(shù)，故在 (,0)上， )(xf= xe是延續(xù)函數(shù)； 當x 0時，)(

6、xf = a + x 是初等到函數(shù)，故在 (0,)上， )(xf = a + x 是延續(xù)函數(shù)在點 x = 0 處， 00lim( )lim1xxxf xe， (0)fa因此，當 a = 1 時，00lim( )lim( )(0)xxf xf xf故 ( )f x在點 x = 0 延續(xù) 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例2 判別函數(shù) 1121, 0;( )211, 0 xxxf xx當時當時在x=0處的延續(xù)性。 解 由于左極限、右極限不相等，所以 ( )f x在點 x = 0 處延續(xù)。 2 .f(x)2 .f(x)在區(qū)間上延續(xù)的幾何意義在區(qū)間上延續(xù)的幾何意義第九節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終

7、了 假設f (x)在某區(qū)間上延續(xù)，那么在該區(qū)間上函數(shù) f (x)的曲線是一條不延續(xù)延續(xù)曲線。 3閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的性質性質性質1 有界性定理有界性定理 假設函數(shù)f (x)在a，b延續(xù)，那么在a，b上有界。 這個定理的幾何意義是： f (x)的圖形位于與的圖形位于與x軸軸 平行的兩直線y = N 和 y = -N之間。( 留意，閉區(qū)間換成開區(qū)間，結論不一定成立。) 性質性質2 2 最大值和最小值定理最大值和最小值定理機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 假設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上延續(xù)， 那么函數(shù)f (x)在a，b上必能獲得最大值M和最小值m，也就是說，對一切x a，b

8、 ，成立m f (x) M。 對最大值最小值定理應留意以下兩點： ( 1 )假設函數(shù)不是在閉區(qū)間而是在開區(qū)間上延續(xù)，定理的結論不一定正確。例如，思索在開區(qū)間a，b 上 2yx，它在a，b上，既無最大值，也無最小值；( 2 )機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 假設函數(shù)在閉區(qū)間上有延續(xù)點，定理的的結論 不一定正確，例如，函數(shù) 1, 01 ;( )1, 1 ;3, 12 xxf xxxx 當時當時當時定義在閉區(qū)間0，2上，x=1是它的延續(xù)點，該函 數(shù)在0，2上既取不到最大值，也取不到最小值。性質性質 3 中間值定理介值定理中間值定理介值定理假設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上延續(xù)，那么它在a，b上一定能取到最大值M和最小值m 之間的任何一C，即存在 , pxa b，使 ().pf xC個中間值性質性質4 4 零點存在定理根的存在定理零點存在定理根的存在定理機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 假設函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a，b上延續(xù)，且 ( )( )0,f af b那么一定存在 f (x)的零點 0( , )xa b，使 0()0f x由于f (x)在區(qū)間a，b端點x = a和x = b 的值異號，曲線( )yf x上對應于區(qū)間端點的值A、B分布在x軸的 上、下兩側，由中間值