線性代數(shù)相似矩陣講解

1、5.2.1 相似矩陣與相似變換的概念相似矩陣與相似變換的概念.,., , 111的相似變換矩陣的相似變換矩陣變成變成稱為把稱為把可逆矩陣可逆矩陣進行相似變換進行相似變換稱為對稱為對行運算行運算進進對對相似相似與與或說矩陣或說矩陣的相似矩陣的相似矩陣是是則稱則稱使使若有可逆矩陣若有可逆矩陣階矩陣階矩陣都是都是設(shè)設(shè)定義定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA 5.2 相似矩陣相似矩陣1. 等價關(guān)系等價關(guān)系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3為正整數(shù)為正整數(shù)相似相似與與則則相似相似與與若若mBABAmm5.2.2 相似矩陣與相似變換的性質(zhì)相似矩陣與相似變換的性質(zhì).本身相似本身

2、相似與與AA.,相似相似與與則則相似相似與與若若ABBA.,相相似似與與則則相相似似與與相相似似與與若若CACBBA反身性反身性)1()2(對稱性對稱性傳遞性傳遞性)3(證明證明相相似似與與BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkBAPPP 1,使使得得可可逆逆陣陣., 1的特征值亦相同的特征值亦相同與與從而從而式相同式相同的特征多項的特征多項與與則則相似相似與與階矩陣階矩陣若若定理定理BABABAn推論推論 若若 階方陣階方陣A A與對角陣與對角陣n n 21.,21個特征

3、值個特征值的的即是即是則則相似相似nAn 利用對角矩陣計算矩陣多項式利用對角矩陣計算矩陣多項式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn11111110 Ak的多項式的多項式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 則則PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k個個,1為對角矩陣為對角矩陣使使若可逆矩陣若可逆矩陣特別地特別地 APPP, 1PPAkk 則則.)()(1PPA 有有對于對角矩陣對于對角矩陣, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述結(jié)論可以述結(jié)論可以很方便地計很方便地計算

4、矩陣算矩陣A 的的多項式多項式 .)(A ., 1對角化對角化這就稱為把方陣這就稱為把方陣為對角陣為對角陣使使若可找到可逆矩陣若可找到可逆矩陣階方陣階方陣對對AAPPPAn 證明證明,1為為對對角角陣陣使使假假設(shè)設(shè)存存在在可可逆逆陣陣 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示為為把把5.2.3 利用相似變換將方陣對角化利用相似變換將方陣對角化.)( 2個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有的充分必要條件是的充分必要條件是能對角化能對角化即即與對角矩陣相似與對角矩陣相似階矩陣階矩陣定理定理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nn

5、ApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可見見iiiApPA .,21線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命題得證命題得證., PAPPnnnA使使陣陣個特征向量即可構(gòu)成矩個特征向量即可構(gòu)成矩這這個特征向量個特征向量得得并可對應(yīng)地求并可對應(yīng)地求個特征值個特征值恰好有恰好有由于由于反之反之說明說明 如果如果 階矩陣階矩陣 的的 個特征值互不相等，個特征值互不相等，則則 與對角陣相似與對角陣相

6、似推論推論nAAn如果如果 的特征方程有重根，此時不一定有的特征方程有重根，此時不一定有 個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣 不一定能不一定能對角化，但如果能找到對角化，但如果能找到 個線性無關(guān)的特征向量，個線性無關(guān)的特征向量， 還是能對角化還是能對角化AAnnA例例1 1 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得方程組得方程組代入代入將將, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxx

7、xx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由對對求得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以 .,3 化化可對角可對角因而因而個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值為的特征值為所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.A 163053064A設(shè)設(shè)A能否對角化？若能對角能否對角化？若能

8、對角,P則則求求出出可可逆逆矩矩陣陣化化例例2 2.1為為對對角角陣陣使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值為的全部特征值為所以所以A 得方程組得方程組代入代入將將0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)代代入入將將, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321線線性性無無關(guān)關(guān)由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP則則有有所以所以 可對角化可對角化.A注意注意 , ,213 P若令若令111

9、 012 100. 1 APP則有則有00 00002 11即矩陣即矩陣 的列向量和對角矩陣中特征值的位置的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)要相互對應(yīng)P);det()det(,)1(BABA 則則相似相似與與;,)2( 11相似相似與與且且也可逆也可逆則則可逆可逆且且相似相似與與若若 BABABA;,)3( 為為常常數(shù)數(shù)相相似似與與則則相相似似與與kkBkABA.)()(,)(,)4( 相似相似與與則則是一多項式是一多項式而而相似相似與與若若BfAfxfBA小結(jié)小結(jié)相似矩陣相似矩陣 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好相似是矩陣之間的一種關(guān)系，它具有很多良好的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的

10、以外，還有：的性質(zhì)，除了課堂內(nèi)介紹的以外，還有：相似變換與相似變換矩陣相似變換與相似變換矩陣這種變換的重要意義在于這種變換的重要意義在于簡化對矩陣的各種簡化對矩陣的各種運算運算，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與，其方法是先通過相似變換，將矩陣變成與之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從之等價的對角矩陣，再對對角矩陣進行運算，從而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對而將比較復雜的矩陣的運算轉(zhuǎn)化為比較簡單的對角矩陣的運算角矩陣的運算相似變換相似變換是對方陣進行的一種運算，它把是對方陣進行的一種運算，它把A變成，而可逆矩陣變成，而可逆矩陣 稱為進行這一變換的稱為進行這一變換的相似變換矩陣相似變換矩陣APP1 P,111111111 A.00100100 nB思考題思考題.,是否相似是否相似判斷下列兩矩陣判斷下列兩矩陣BA思考題解答思考題解答. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的特征值為的特征值為因因解解使得使得矩陣矩陣存在可逆存在可逆是實對稱矩陣是實對稱矩陣又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP