第六章-靜電學(xué)

1、第六章靜電學(xué)21電場電場強度一、庫侖定律122q qFkr式中為比例系數(shù)，9.0109Nm2C-2，常寫做，為真空介電常數(shù)，則 庫 侖 定 律 為 ：kk014k 01221208.85 10C N m122014q qFr 二、電場和電場強度0FEq場強的單位是N/C，也可用V/m。只討論相對觀察者靜止的電荷所產(chǎn)生的電場，即靜電場。電場強度定義為：三、場強疊加原理1、點電荷的場強Qq0r如圖，q0在電場中受到的電場力為：02014QqFr如果場源的電荷Q為正，場強E的方向沿r向外；如果場源電荷Q為負(fù)，場強E的方向沿r指向Q。場強可用矢量式表示，用 表示矢徑，其方向沿 r 由Q指向q0，用 表

2、示 方向上的單位矢量，則r0rr0rrr因此點電荷的場強矢量式為：02014QErr2、點電荷系（組）的場強場強疊加原理E0q1rnrir1qiqnq12nFFFF由n個點電荷、 構(gòu)成的點電荷系（組）。用分別表示、 對的作用力，表示的矢量和，則：1q2qnq12.nFFF、1q2qnq0q12.nFFF、F兩邊同時除以，得：0q120000nFFFFqqqq顯然 為總場強，用表示，右邊多項式分別是各場源點電荷的場強，用表示，則上式變?yōu)椋?FqE12nEEE、12niiEEEEE（或）02014iiqrr3、電荷連續(xù)分布的帶電體的場強I、首先，將帶電體分成無數(shù)個小電荷元，然后求出任一電荷元在某點

3、的場強 微分過程dqdEdq02014dqdErrII、其次，把所有電荷元在該點的場強矢量疊加起來，求出帶電體在該點的場強積分過程，即應(yīng)用疊加原理02014dqEdErr例21如圖，一半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，帶電量為q。計算在環(huán)軸線上距環(huán)心x處的P點的場強。dlxdExxaOqrPdE解：取軸線為x軸，單位長度圓環(huán)帶電量稱為線電荷密度，用表示，則2qa在環(huán)上取一線元dl，則線元dl所帶的電荷的電量為2qdqdldla電荷元dq在P點的場強為2014dqdEr 方向如圖式中r =22ax將dE分解成沿軸線的x方向分量dEx和垂直軸線的y方向分量dEy， dEy互相抵消，因此dEy0。所以P點的場

4、強應(yīng)為各電荷元x方向場強分量的疊加22coscosxxxdEdErax322220011cos44()xdqxdqdErax則3222014()xLLxEdEdlax2302220142()axqdlaax3222014()qxax當(dāng)xa時，即在遠(yuǎn)離圓環(huán)處，有2014qEx相當(dāng)于將帶電圓環(huán)看作點電荷時的場強。利用上題的結(jié)果，可以求出均勻帶電圓盤軸線上的場強。將圓盤分成無數(shù)多個同心圓環(huán)，每一圓環(huán)相當(dāng)于一個電荷元，所有圓環(huán)電荷元軸線上的場強積分便是整個圓盤軸線上的場強。qorPxdr解：將圓盤分成無窮多個圓環(huán)，以r為半徑，O為圓心、厚為dr的圓環(huán)，所帶電量為電荷元dq，面電荷密度 ，得2qadr2

5、rdqdS而2dSrdr2222qqrdqrdrdraa利用結(jié)果3222014()qxEax式中qdq，ar，EdE3222014()xdqdExr302220124()axrEdEdrxr 223300222222001()222()()aaxrdrxd xrxrxr1222011()()302212axxr22011()2xxax2222200(1)(1)22xxqxaaxax注：111mmx dxxCm總之，要把握信計算電荷連續(xù)分布的帶電體場強的思想：I求出電荷元dq的場強微分過程（關(guān)鍵）。II積分（疊加）求出所有電荷元的總場強積分過程，即數(shù)學(xué)運算。dE四、電力線電通量1、電力線密度為形

6、象地表示電場的特征，了解電場的分布，在電場中人為的引入一系列的曲線，曲線各點的切線方向都與該點場強方向一致，這樣的曲線稱ABAEBE為電力線。通過單位面積的電力線條數(shù)稱為該點的電力線密度，即 。場強也可用電力線密度來表示：dNdSdNEdS2、電通量通過垂直于電場（即場強）方向的任一給定面積的電力線的數(shù)目稱為通過該面積的電通量，用表示。對于勻強場，當(dāng)平面S與場強垂直時，顯然有：EES ESESnEnnE若平面S不與場強垂直，設(shè)平面的法線與場強之間的夾角EnEcosnESE S 為，則通過S面的電通量為：式中 場強在法線方向的分量。（）nEEncosnEE對于非勻強場或通過任一曲面的電通量，應(yīng)先

7、求出面元dS上的電通量dSEncosndEdSE dS 然后對上式積分可得曲面S的電通量cosnsssdEdSE dS 或cosnsssdEdSE sS 對于閉合曲面規(guī)定：由閉合曲面內(nèi)指向曲面外的方向為面積元的法線方向。因此，電力線由閉合曲面穿出，電通量為正；電力線曲面外穿入閉合曲面內(nèi)，則電通量為負(fù)。作業(yè)：yPxl如圖，電荷q均勻分布在長為l的細(xì)棒上，求位于棒的垂直平分線上P點處的場強E0。2201()24qEyly22高斯定理及其應(yīng)用一、高斯定理高斯定理表述如下：通過任一閉合曲面S的電通量，等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和 除以，而與閉合面外的電荷無關(guān)。iiq0下面由特殊到一般來討論高斯

8、定理1、通過包圍點電荷q的同心球面的電通量均為0qSqrEcossEdS 2014qEr 202220001411444ssqdSrqqdSrrrq 0q2、通過包圍點電荷q的任意閉合面S的電通量均為ABCqSSSS 0cosqEdS或3、通過包圍多個點電荷的閉合面S的電通量等于它們單獨存在時電通量的代數(shù)和1q2q3qnqiqEn12nEEEE或1122coscoscoscosnnEEEE式中為與面元dS的法線的夾角， 1、 2、 n分別為、與的夾角。En1EnE2En總的電通量為：11221210000coscoscoscos1SSSnnSnniiEdSEdSEdSEdSqqqq101cos

9、niSiEdSq如果高斯面內(nèi)包圍的是電荷連續(xù)分布的帶電體，則為帶電體的電量，上式仍然成立。iiq101cosniSiEdSq習(xí)慣上稱閉合曲面為高斯面。綜上所述，得到高斯定的一般表達(dá)式：二、高斯定理的應(yīng)用1、均勻帶電球面的場強 如圖，一半徑為R的球面均勻帶電，帶電量為q，求球面內(nèi)外的場強（即場強分布）。qPrRr1）、P點在球面外（rR）0020200414SSqE dSqEdSqErqEr2）、P點在球面內(nèi)（rR）0(0)iSiEdSq0()ErRRR0EOr左圖為Er曲線，表明均勻帶電球面的場強大小隨R變化的情況。在球面上（rR），場強E的數(shù)值有個突變，由0 。204qR2、均勻帶電球體的場

10、強如圖，均勻帶電球體的半徑為R，帶電量為q，求球體內(nèi)外的場強。ROqrP1）、場點P在球外（rR）2014qEr（rR）2）、場點P在球內(nèi)（rR）0SqEdS204qEr2014qEr電荷體密度333443qqRR33343rqrqR230011()44qqErrRrRrROqER左圖為Er曲線，在球面上（rR），E是連續(xù)的，沒有突變，這與帶電球面的Er曲線不同。3、無限大均勻帶電平面的場強如圖，一無限大平面均勻帶電（設(shè)帶正電，電荷面密度（單位面積帶電量）為，求平面外的場強分布。SEn由于側(cè)面，900，cos=0 ，則積分（側(cè)面）為零。而兩底面， 0， cos=1，則有EnEncos22EdS

11、EdSES012ESqqS（高斯面內(nèi)電量）02ESS02E對于面電荷密度為和的兩個均勻帶電的無限大平行平面，其場強是上述結(jié)果的疊加：12EEE板內(nèi)：1200022EEE板外：1200022EEE作業(yè)：1、兩同心帶電球殼。大球殼半徑為R1，帶電量為Q，小球殼半徑為R2，帶電量為Q。分別求出大球外；小球內(nèi)；兩球間的場強。（0，0， ）2014Qr2、設(shè)正電荷均勻分布在一半徑為R的很長的圓柱體內(nèi)。單位體積的電荷為。（1）試導(dǎo)出圓柱體內(nèi)離軸線為r處的電場強度E的表達(dá)式（用電荷密度來表示）；（2）圓柱體外（rR）一點的電場強度表達(dá)式（用單位長度的帶電量表示）；（3）當(dāng)r=R時比較（1）和（2）的結(jié)果。0

12、0(,)22rEEr 63電場力做功電勢lqabdldrr如圖，在一點電荷q（設(shè)帶正電）的電場中，將檢驗電荷q0在電場力的作用下由a點沿任意路徑移到b點，計算在這一過程中電場力對q0做的功。在任一路徑上選取一小位移元dl，dl上的場強為E，dl與場強E的夾角為，在dl上q0受到的電場力為Fq0E，則電場力在dl上對q0做的元功為0coscosdAFdlq Edl一、電場力的功由圖可知，dr為dl在矢徑方向的分量，dr=dlcosr0dAq Edr2014qEr0204q qdAdrr則電場力做的總功為：0020cos4babbrabaarqAdAqEdlqdrr0011()4abq qrr做功

13、與路徑無關(guān)的性質(zhì)說明靜電場與重力場一樣也是保守力場，電場力也是保守力。因此，在靜電場中沿任意閉合回路電場力做功為零，即：0cos0Lq Edl或cos0LEdl二、電勢能電勢1、電勢能對于保守力場，可以引入勢能的概念。電荷在靜電場中具有的勢能稱為電勢能。設(shè)檢驗電荷q0在a、b兩點的電勢能分別為Wa、Wb，則電場力做功為0cosbababaAWWqEdl通常規(guī)定q0在無限遠(yuǎn)處的電勢能為零，W0，則q0在電場中任意一點a的電勢能為0cosaaWAqEdl即電荷在電場中某點的電勢能等于把電荷由該點移到無限遠(yuǎn)處電場力所做的功對于點電荷q的電場，q0在任一點a的電勢能可算出為：002001()44aaa

14、q qqWqdrrrr004aq qr由于a是任意點，故可將下標(biāo)略去，有004q qWr2、電勢由上面討論的結(jié)果可以看出，比值 是與q0無關(guān)的量，這一比值是描述電場中給定點的電場能量性質(zhì)的物理量，稱為電勢（或電位），用U表示，則電場中a點的電勢為0aWq0cosaaaWUEdlq電場中任何兩點的電勢之差稱為兩點電勢差或電壓，用Uab表示cosbababaUUUEdl3、電勢的計算1）點電荷q的電場的電勢014qUr2）點電荷系q1、q2qn電場的電勢電勢疊加原理q1q2qnarnr2r111coscosaaaUEdlEdl22coscosnnaaEdlEdl12nUUU120 10 20444

15、nnqqqrrr014iiiqr上式表明，點電荷系的電場中某點的電勢是各個點電荷單獨存在時在該點電勢的代數(shù)和，這就是電勢疊加原理:014iiiiiqUUr3、電荷連續(xù)分布的帶電體電場的電勢ardq應(yīng)用電勢疊加原理求解：首先，將帶電體分成無窮多個電荷元，任一電荷元dq在距其r遠(yuǎn)處的電勢為：014dqdUr其次，將所有電荷元在給定點的電勢疊加積分計算整個帶電體在該點的電勢014aaadqUdUr例2-4求均勻帶電球面的電勢分布 如圖，球面的半徑為R，帶電量為q，求任一點P的電勢。設(shè)P點到球心的距離為r。 2004rREqrRr球面里球面外cosPPUEdl解：由前面的高斯定理可知其場強分布為 場強

16、積分法算電勢 RPPRROOrrUqE2001cos44PPrrqdrqUEdlrr同點電荷電勢的形式一樣，與r成反比0()4qrRr2）P點在球內(nèi)（rR）由于的方向沿矢經(jīng)，積分路徑可選沿矢徑，則0cos1ErcosRpprUEdlE里外Rdr+E dr204RRqE drdrr外00144RqqrRrR例2-5、求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點的電勢。如圖，圓環(huán)半徑為a，帶電量為q，任一點P至圓環(huán)中心的距離為x。解：在圓環(huán)上任取一小電荷元dq，dq到P點的距離為r， 22rxa球表面（r=R）到 ， 則204qEr外014dqdUr0014qdqUdUr220014qdqxa22014qxa0：,

17、24qdldqdldldUar(注或222220001)44aqUdUdlxaxaqaxxProdq此題是用求電勢，稱為電勢迭加法 。UdU（注：也可用場強積分法求電勢，圓環(huán)軸線上的場強為： 3222014xxqExa322204xxxqUE dxxaxdx3222220142xqxad xa122204xqxa22014qxa3122201134212qxax 由上面兩個例題可以看法：I、當(dāng)場強分布已知（如帶電球面），或者帶電體具有一定的對稱性，因而其場強分布用高斯定理容易求出時，可用場強積分法求電勢II、帶電體系的電荷分布已知，且對稱性不強（如均勻帶電圓環(huán)）時，應(yīng)用電勢疊加法來得方便014

18、dqUdUrcosaUEdl作業(yè)：均勻帶電的半個圓弧，半徑為R，帶有正電荷Q。（a）求圓心處的場強；（b）求圓心處的電勢。2200()24QQabRR 三、等勢面電場強度與電勢的關(guān)系1、等勢面等勢面電場中電勢相同的點連成的曲面稱為等勢面。不同的帶體系的電場不同，因此等勢面的形狀也不同；由于等勢面上的電勢處處相等，所以在等勢面上移動電荷，電場力不做功，電勢能也不改變。2、電場強度與電勢（梯度）的關(guān)系UUdUdldnnS1S2q0Ecos,dUdUdUdUdl dndndldldn稱為電勢梯度dUdn把點荷q0由S1面移到S2面，電場力做功為0cosdAq Edl而電場力做的功等于電勢能的減少0d

19、Aq dU 00cosq Edlq dU cosldUdUEEdldl 或由上式可得ldUEdl 為場強E沿dl向的分量lE而dUEdn 例26一均勻帶電圓盤，半徑為R，面電荷密度為，圓盤軸線上點P距盤中心O的距離為x。求P點的電勢和場強。xxP22xrRordr解：如圖，選軸線為x軸，將圓盤分成無數(shù)個同心圓環(huán)，任選一半徑為r，寬為dr的帶電圓環(huán)，其帶電量為 2dqdSrdr 此圓環(huán)在P點的電勢為 222200142dqrdrdUxrxr整個圓盤在P點的電勢為上式的積分： 22002RrdrUdUxr221022204Rd xrxr2202Rxx1111mmu duucmm 因為P點是軸線上的

20、任意點，所以這一結(jié)果是沿軸線上的電勢分布，U是x的函數(shù)，可應(yīng)用電勢梯度求x向的場強22dUdERxxdxdx dx 220(1)2xRx若Rx，則，與無限大均勻帶電平面的場強相同。02E作業(yè)：在一沿X軸放置，一端在原點（x=0)的長為L的細(xì)棒上每單位長度上分布著的電荷，其中k為常數(shù)。（1）若把無窮遠(yuǎn)處的電勢定為零，求y軸上點P處的電勢U；（2）試由（1）的結(jié)果確定P處電場強度的豎直分量Ey。kxXYPo220()4kULyy220(1)4ykyELy（）24電偶極子lr1rr2r2 -r1oP兩個相距較近的等量異號的點電荷組成的帶電系統(tǒng)稱為電偶極子，簡稱電偶。如圖，兩點電荷的電量為+q和-q，

21、距離為l，由-q到+q的方向為l的正向，稱為電偶極子的軸線，用表示，q與的積稱為電偶極矩，簡稱電矩，用來表示電偶極子的特性，用表示，。llppql下面討論電偶極子電場的電勢分布，設(shè)P為電場中任意一點，P點到電偶極子中心O的距離為r，P點到+q和-q的距離分別為r1、r2，則兩點電荷在P點的電勢分別為01021144qqUUrr則P點的總電勢為01021144PqqUUUrr2101 24rrqr r若rl，則有r1= r2= r，而r2-r1=lcos， 為r與的夾角l22001cos1cos44PqlpUrr25靜電場中的電介質(zhì)一、電介質(zhì)及其極化1、有極分子與無極分子分子、原子中的正、負(fù)電荷

22、都不是集中于一點，但是在比原子或分子線度大得多的范圍（宏觀）觀察，它們中的全部正電荷或全部負(fù)電荷所起的作用可用一個等效正電荷或一個等效負(fù)電荷來代替。電介質(zhì)可以分成兩類：在一類電介質(zhì)中，當(dāng)外電場不存在或說不受外電場作用時，電介質(zhì)分子的正、負(fù)電荷中心不重合，雖然分子中正、負(fù)電荷的代數(shù)和仍然為零，但等量的正、負(fù)電荷中心互相錯開，則形成一定的電偶極矩，稱為分子電矩也用 p=ql 表示，式中q為等效電荷的電量，l為正、負(fù)電荷中心的距離，這類分子叫有極分子；另一類電介質(zhì)在外電場不存在或不受外電場作用時，電介質(zhì)分子的正、負(fù)電荷中心是重合的，這類分子叫無極分子。2、電介質(zhì)的極化1）有極分子的取向極化當(dāng)有極分子

23、組成的電介質(zhì)受到外電場作用后，每個分子電矩都受到力偶矩的作用，使分子電矩盡量轉(zhuǎn)向外電場的方向。電介質(zhì)內(nèi)部雖然仍是電中和狀態(tài)，但在電介質(zhì)的兩個端面上出現(xiàn)了束縛電荷。電介質(zhì)在外電場的作用下產(chǎn)生束縛電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化。這種極化稱為取向極化。0E2）無極分子的位移極化無極分子組成的電介質(zhì)受到外電場作用后，每個正、負(fù)電荷中心沿外場方向錯開，產(chǎn)生相對位移，形成電偶極子，具有沿外場方向的分子電矩，在電介質(zhì)的兩端面也出現(xiàn)了束縛電荷。這種極化稱為位移極化。0E3、電極化強度1）電極化強度為了描述電介質(zhì)極化的程度，引入電極化強度，用表示。在電介質(zhì)內(nèi)某點附近取一小體積元V，在外場的作用下，該體積之內(nèi)所有分子

24、電矩的矢量和為 ，則該點的電極化強度為PiipiipPV其定義為單位體積內(nèi)所有分子電矩的矢量和。單位為Cm-2。2）電極化強度與束縛電荷面密度間的關(guān)系P在被極化的均勻電介質(zhì)中取一小圓柱體，長為l，底面積為S，其軸線與電極化強度平行，底面用表示， 與 的夾角為，圓柱體的體積為V S lcos ,兩底面束縛電荷面密度為 ，從宏觀上看，它本身就相當(dāng)于一個電偶極子，由可知其電矩為PnPnPqlSl從微觀上稈，它在數(shù)值上應(yīng)等于小圓柱內(nèi)所有分子電矩的矢量和，即iipSl則電極化強度的大小為coscosiipSlPVS l cosnPPP n或二、電介質(zhì)中的場強0E在真空中電荷面密度分別為與的帶電平行板間的

25、電場的場強為?，F(xiàn)將一均勻電介質(zhì)插入平行板內(nèi)，則在電介質(zhì)兩側(cè)表面上分別產(chǎn)生面密度為和的束縛電荷，它們在電介質(zhì)內(nèi)部建立了一個與原來電場方向相反的附加電場，則電介質(zhì)內(nèi)的場強為0E0EpEEpEE0pEEE實驗證明，附加場強peEE 式中e稱為電介質(zhì)的電極化率，它與電介質(zhì)本身的性質(zhì)有關(guān)，則有0eEEE001erEEE式中 ，r稱為電介質(zhì)的相對1re 介電常數(shù)，是無量綱的純數(shù)。對于真空r=1。上式表明，真空中某處的場強為，若在該處放入相對介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，0E則電介質(zhì)中的場強為原場強的倍。E0E1r點電荷q在電介質(zhì)中的場強為02201144rrEqqErr 式中=0r，稱為電介質(zhì)的絕對介電常數(shù)。對于

26、真空， =0， 與0的單位相同。對于無限大的均勻帶電平面，電荷面密度為。若在兩板間放入相對介電常數(shù)為r的電介質(zhì)，則電介質(zhì)中的場強為00rrEE 在電介質(zhì)中庫侖定律應(yīng)表示為010102201144rrFq qq qFrr 例27半徑為R的導(dǎo)體球帶電量Q，球外同心放置相對介電常數(shù)為r的電介質(zhì)球殼，其內(nèi)外半徑分別為R1、R2。求空間各點的電場強度及電介質(zhì)球殼表面的極化電荷。RR2R1Qro解：1）求E的分布由高斯定理可知 R r R2區(qū)域（不存在電介質(zhì)），有1204QEr方向沿徑向向外 R1 r R2 區(qū)域，無電介質(zhì)時，有0204QEr當(dāng)此區(qū)域有電介質(zhì)時，其場強為02204rrEQEr 方向沿徑向向

27、外2）求， 分布在電介質(zhì)球殼的表面上。極化強度只存在于電介質(zhì)中，則P0202(1)erPEE 2PE與同向P的大小為022(1)(1)4rrrQPEr 在內(nèi)表面，r = R1，外法線沿徑向指向球心On21(1)4rrQP nPR 里在外表面，r = R2，沿徑向向外n22(1)4rrQP nPR外作業(yè)：一半徑為R，相對介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)球的中心放有點電荷q。求：電介質(zhì)球內(nèi)外的場強和電勢的分布； 球體表面極化電荷的密度。1204rqEr 10011()44rqqUrRR （球內(nèi)：()rR球外：()rR2204qEr204qUr20(1)4rrqR ）26電容電場的能量一、電容設(shè)有一孤立導(dǎo)體，帶電量為q，電勢為U。實驗表明，當(dāng)導(dǎo)體的電量增加時，電勢也相應(yīng)增加，所帶電量與相應(yīng)的電勢的比值為一常數(shù)：qCUC與導(dǎo)體的電量q和電勢U無關(guān)，只與導(dǎo)體的形狀和大小有關(guān)，稱為孤立導(dǎo)體的電容。C的物理意義是使導(dǎo)體每升高單位電勢所需的電量。電容的單位是法拉，用F表示。常用微法F或皮法pF：1 F=10-6F 1 pF=10-6 F=10-12F當(dāng)一個半徑為R的導(dǎo)體球的帶電量為q時，其電勢為：04qUR其電容為：04UCRq與半徑成正比一個電容大，體積小而且不受周圍物體影響的導(dǎo)體組，稱為電容器。常用的電容器是由兩個十分靠