線性代數(shù)：5-4 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

1、 實(shí)實(shí).當(dāng)特征值當(dāng)特征值 為實(shí)數(shù)時(shí)為實(shí)數(shù)時(shí), 齊次線性方程組齊次線性方程組 (A - - E)x = 0是實(shí)系數(shù)方程組， 從而必有從而必有實(shí)實(shí)基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系。實(shí)實(shí)特征向量是特征向量是正交正交的。的。 思考：思考：0110的特征值？121nQ AQTQ AQ12,n 其中是的全部特征值。A（證明略）（證明略）AQ矩矩在在正正交交矩矩,存,存設(shè) 為陣 則對(duì)稱陣實(shí),使得n1 + n2 + + ns = n. 求出矩陣求出矩陣 A 的所有的所有特征值特征值。設(shè)設(shè) A有有 s 個(gè)不同的特征值個(gè)不同的特征值 1 , 2 , , s ，它們的重，它們的重?cái)?shù)分別為數(shù)分別為 n1 , n2 , , ns ,

2、有有 對(duì)對(duì)A的每個(gè)特征值的每個(gè)特征值i , 求求(A - - i E)x = 021111212122212(,),snsssnn,Qeeeeeeeee121122diag( ,),snssnn 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系(設(shè)為設(shè)為 )， 12,1, 2,iniii,isppp并把它們并把它們正交化、單位化正交化、單位化. 記為記為12.iniii,eee令令則則 Q為為正交矩陣正交矩陣，且，且 Q- -1AQ = . 設(shè)設(shè)011101,110A 設(shè)設(shè)21,12A求求 An .求正交矩陣求正交矩陣 Q 及對(duì)角矩陣及對(duì)角矩陣 1Q,QA.使使 求一個(gè)三階求一個(gè)三階實(shí)對(duì)稱實(shí)對(duì)稱矩陣矩陣 A, 它的特征它

3、的特征且特征值且特征值 6 對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為1(1 1 1)T, ,.p值為值為 6 , 3 , 3, 設(shè)設(shè) A 為為 n 階階對(duì)稱對(duì)稱的的正交正交矩陣矩陣, 且且 1為為 A 的的 r 重特征值重特征值. 求求 A 的相似對(duì)角矩陣的相似對(duì)角矩陣; 求求 | A - - 3E |.（題21比較）121,nAPPA 是可對(duì)角化矩陣12,nPA 其中 是可逆矩陣，是的全部特征值。A 是實(shí)對(duì)稱矩陣121,nAQQ12,nQA 其中 是正交矩陣，是的全部特征值。2,.AnAOAO設(shè)是階矩陣且則實(shí)對(duì)稱12112,nnQQ AQA 存在正交矩陣使得 其中是的特征值。An是 階實(shí)對(duì)稱矩陣22112221122nnAQQQQ21200nA（因?yàn)椋〢O1代入( ）1211nAQQ（）,A BnABT1TATB 設(shè)都是階實(shí)對(duì)稱矩陣且，證明：存在正交矩陣，使得。AB12,nAB 與 有相同的特征值121nBQQ BQ實(shí)對(duì)稱存在正交矩陣 ，使得 121nAPP AP實(shí)對(duì)稱存在正交矩陣 ，使得1