五年級(jí)奧數(shù)正式教材老師用

1、目錄目錄- 1 -（一） 數(shù)的整除- 2 -（二） 數(shù)字謎- 6 -橫式字謎- 6 - 豎式字謎- 8 -（三） 定義新運(yùn)算- 11 -（四） 行程問題- 15 -追擊及遇問題- 15 -火車過橋- 19 -（五） 列方程解應(yīng)用題- 22 -（六） 抽屜原理- 27 -（七） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（1）- 30 -（八） 不規(guī)則圖形面積計(jì)算（2）- 34 -（九） 邏輯推理- 39 -（十） 牛吃草- 41 -（十一） 流水行船- 45 -（十二） 奇數(shù)與偶數(shù)- 47 -（十三） 周期性問題- 52 -（十四） 植樹問題- 56 -（十五） 有趣的樹陣圖- 59 -（十六） 有趣的樹陣圖練習(xí)-

2、63 -（1） 數(shù)的整除如果整除a除以不為零數(shù)b，所得的商為整數(shù)而余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數(shù)，a叫做b的倍數(shù)。數(shù)的整除的特征：（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是2、4、6、8、0，那么這個(gè)整數(shù)一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么這個(gè)整數(shù)一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么這個(gè)整數(shù)一定

3、能被5整除。（5）能被6整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)能被2整除，又能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)分成兩個(gè)數(shù)，末三位為一個(gè)數(shù)，其余各位為另一個(gè)數(shù)，如果這兩個(gè)數(shù)之差是0或是7（或11或13）的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除。1、 例題與方法指導(dǎo)例1. 一個(gè)六位數(shù)2356是88的倍數(shù)

4、,這個(gè)數(shù)除以88所得的商是_或_.思路導(dǎo)航：一個(gè)數(shù)如果是88的倍數(shù),這個(gè)數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個(gè)六位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是0或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個(gè)數(shù)看,這個(gè)六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個(gè)方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個(gè)六位數(shù)有兩種可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 23056088=2620 23856888=2711所以,本題的答案是2620或2711.例2. 123456789,這個(gè)十一位數(shù)能被36整除,那么這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是_.思

5、路導(dǎo)航：因?yàn)?6=94,所以這個(gè)十一位數(shù)既能被9整除,又能被4整除.因?yàn)?+2+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數(shù)的特征:這個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù),可知是00,04,，36，72，96.這樣,這個(gè)十一位數(shù)個(gè)位上有0,2,6三種可能性.所以,這個(gè)數(shù)的個(gè)位上的數(shù)最小是0.例3. 下面一個(gè)1983位數(shù)333444中間漏寫了一個(gè)數(shù)字(方框),已 991個(gè) 991個(gè)知這個(gè)多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_.思路導(dǎo)航：333444 991個(gè) 991個(gè)=3331099

6、3+3410990+444 990個(gè) 990個(gè) 因?yàn)?11111能被7整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990個(gè) 990個(gè)34能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.例4. 有三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三個(gè)數(shù)是_.思路導(dǎo)航：三個(gè)連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù),已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì),所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個(gè),它們是33、66、99.所以有當(dāng)和為33時(shí),三個(gè)數(shù)是10,11,12；當(dāng)和為66時(shí),三個(gè)數(shù)是21,22,23；當(dāng)和為99時(shí),三個(gè)數(shù)是32,33,34.所以，答案為 10,11,12或21,22

7、,23或32,33,34。注“三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明如下：設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.2、 鞏固訓(xùn)練1. 有這樣的兩位數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和能被4整除,而且比這個(gè)兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個(gè)數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是_.2. 一個(gè)小于200的自然數(shù),它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個(gè)兩位數(shù)的乘積,那么這個(gè)自然數(shù)是_.3. 任取一個(gè)四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和,用B表示A的各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和,那么C是_.4. 有0、1、4、7、9五個(gè)數(shù)字，從中選出四個(gè)數(shù)字

8、組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第五個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是_.1. 118符合條件的兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字之和能被4整除,而且比這個(gè)兩位數(shù)大1的數(shù),如果十位數(shù)不變,則個(gè)位增加1,其和便不能整除4,因此個(gè)位數(shù)一定是9,這種兩位數(shù)有:39、79.所以,所求的和是39+79=118. 2 195因?yàn)檫@個(gè)數(shù)可以分解為兩個(gè)兩位數(shù)的積，而且1515=225200,所以其中至少有1個(gè)因數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù),但11不可能符合條件,因?yàn)閷?duì)于小于200的自然數(shù)凡11的倍數(shù),具有隔位數(shù)字之和相等的特點(diǎn),個(gè)位百位若是奇數(shù),十位必是偶數(shù).所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)131

9、3=169不合要求,1315=195適合要求.所以,答案應(yīng)是195.3. 9根據(jù)題意,兩個(gè)四位數(shù)相乘其積的位數(shù)是七位數(shù)或八位數(shù)兩種可能.因?yàn)?456=3849,所以任何一個(gè)四位數(shù)乘3456,其積一定能被9整除,根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征,可知其積的各位數(shù)字之和A也能被9整除,所以A有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數(shù)字之和B總是9,B的各位數(shù)字之和C也總是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除,從中去掉0或9選出的兩組四個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數(shù),由小到大排列為:1047,1074,140

10、7,1470,1479,1497.所以第五個(gè)數(shù)的末位數(shù)字是9.3、 拓展提升1.找出四個(gè)互不相同的自然數(shù),使得對(duì)于其中任何兩個(gè)數(shù),它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小,那么這四個(gè)數(shù)里中間兩個(gè)數(shù)的和是多少？2只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除,怎樣修改？3500名士兵排成一列橫隊(duì).第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報(bào)數(shù)；第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報(bào)數(shù)，既報(bào)1又報(bào)6的士兵有多少名？4.試問,能否將由1至100這100個(gè)自然數(shù)排列在圓周上,使得在任何5個(gè)相連的數(shù)中,都至少有兩個(gè)數(shù)可被3整除？如

11、果回答：“可以”，則只要舉出一種排法；如果回答：“不能”，則需給出說明.答案1.如果最小的數(shù)是1,則和1一起能符合“和被差整除”這一要求的數(shù)只有2和3兩數(shù)，因此最小的數(shù)必須大于或等于2.我們先考察2、3、4、5這四個(gè)數(shù),仍不符合要求,因?yàn)?+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,經(jīng)試算,這四個(gè)數(shù)符合要求.所以,本題的答案是(3+4)=7.2.因?yàn)?25=259,要使修改后的數(shù)能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成問題,末兩位數(shù)75不必修改,只要看前三個(gè)數(shù)字即可,根據(jù)某數(shù)的各位數(shù)字之和是9的倍數(shù),則這個(gè)數(shù)能被9整除的特征,因?yàn)?+1+4+7+5=19,1

12、9=18+1,19=27-8,所以不難排出以下四種改法:把1改為0；把4改為3；把1改為9；把2改為1.3.若將這500名士兵從右到左依次編號(hào),則第一次報(bào)數(shù)時(shí),編號(hào)能被5整除的士兵報(bào)1；第二次報(bào)數(shù)時(shí)，編號(hào)能被6整除的士兵報(bào)6，所以既報(bào)1又報(bào)6的士兵的編號(hào)既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500這500個(gè)自然數(shù)中能被30整除的數(shù)共有16個(gè)，所以既報(bào)1又報(bào)6的士兵共有16名.4.不能.假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個(gè)數(shù),我們來按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個(gè)分為一組,可得20組,其中每?jī)山M都沒有共同的數(shù),于是,在每一組的5個(gè)數(shù)中都至少有兩個(gè)數(shù)是3 的倍數(shù).從而一共有不少于40個(gè)

13、數(shù)是3 的倍數(shù).但事實(shí)上,在1至100的自然數(shù)中有33個(gè)數(shù)是3的倍數(shù),導(dǎo)致矛盾.（2） 數(shù)字謎小朋友們都玩過字謎吧，就是一種文字游戲，例如“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關(guān)系，想想“空中”指什么？“天”。這個(gè)地名第1個(gè)字可能是天?！按a頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯(lián)系這個(gè)地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個(gè)地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。算式謎又被稱為“蟲食算”，意思是說一道算式中的某些數(shù)字被蟲子吃掉了無法辨認(rèn)，需要運(yùn)用四則運(yùn)算各部分之間的關(guān)系，通過推理判定被吃掉的數(shù)字，把算式還原。“蟲食算”主要指橫式算式謎和豎式算式謎，其中未知的數(shù)字常常

14、用、等圖形符號(hào)或字母表示。文字算式謎是前兩種算式謎的延伸，用文字或字母來代替未知的數(shù)字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的數(shù)字，相同的數(shù)字或字母表示同一個(gè)數(shù)字。文字算式謎也是最難的一種算式謎。在數(shù)學(xué)里面，文字也可以組成許許多多的數(shù)學(xué)游戲，就讓我們一起來看看吧。橫式字謎1、 例題與方法指導(dǎo)例1 ，8，97在上面的3個(gè)方框內(nèi)分別填入恰當(dāng)?shù)臄?shù)字，可以使得這3個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150。那么所填的3個(gè)數(shù)字之和是多少？思路導(dǎo)航：150*3-8-97-5=340所以3個(gè)數(shù)之和為3+4+5=12。例2 在下列算式的中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得等式成立：（1）6456=0，（2）7837=1，（3）332=17，（

15、4）858=6。分析：（1） 6104/56=109 （2）7548/37=204（3） 3393/29=117（4）8468/58=146例3 在算式40796=9998的各個(gè)方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字后，就可以使其成為正確的等式。求其中的除數(shù)。分析：40796/102=399.98。例4 我學(xué)數(shù)學(xué)樂我學(xué)數(shù)學(xué)樂=數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)在上面的乘法算式中，“我、學(xué)、數(shù)、樂”分別代表的4個(gè)不同的數(shù)字。如果“樂”代表9，那么“我數(shù)學(xué)”代表的三位數(shù)是多少？ 分析：學(xué)=1，我=8，數(shù)=6 ，81619*81619=6661661161例5 （）=24在式中的4個(gè)方框內(nèi)填入4個(gè)不同的一位數(shù)，使左邊的數(shù)比右邊的數(shù)

16、小，并且等式成立。思路導(dǎo)航：這樣，我們可以先用字母代替數(shù)字，原等式寫成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(abc、”等。表示運(yùn)算意義的表達(dá)式，通常是使用四則運(yùn)算符號(hào)，例如ab=3a-3b，新運(yùn)算使用的符號(hào)是，而等號(hào)右邊表示新運(yùn)算意義的則是四則運(yùn)算符號(hào)。正確解答定義新運(yùn)算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運(yùn)算的意義，嚴(yán)格按照規(guī)定的法則進(jìn)行運(yùn)算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進(jìn)行運(yùn)算。值得注意的是：定義新運(yùn)算一般是不滿足四則運(yùn)算中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，所以，不能盲目地運(yùn)用定律和運(yùn)算性質(zhì)解題。1、 例題與方法指導(dǎo)例1

17、.設(shè) ab都表示數(shù)，規(guī)定ab表示a的4倍減去b的3倍，即ab=4a-3b,試計(jì)算56，65。解56-54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計(jì)算中不得將前后的數(shù)交換。例2.對(duì)于兩個(gè)數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3a+2b,試計(jì)算（56）7，5（67）。思路導(dǎo)航：先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。解 （56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79說明 本題定義的運(yùn)算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運(yùn)算有區(qū)別的。例3.已知23=234，42=45，一般地，對(duì)自然數(shù)a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.計(jì)算

18、（63）-（52）。思路導(dǎo)航：原式=67-56 =336-30規(guī)定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然數(shù)。例4.求1100的值。已知x10=75,求x.思路導(dǎo)航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=32、 鞏固訓(xùn)練1.若對(duì)所有b,ab =ax,x是一個(gè)與b無關(guān)的常數(shù)；ab=(a+b)2,且（13）3=1（33）。求（14）2的值。分析 注意本題有兩種運(yùn)算，由（13）3=1（33），可求出x.解 因?yàn)椋?

19、3）3=1（33），所以（1x）即（x+3）2=xx+3=2xx=3因?yàn)椋?4）2 =（14）2 =（4+2）2 =32. 如果規(guī)定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。解題思路依題意可以看出：定義的新運(yùn)算為連續(xù)三個(gè)數(shù)的乘積，而且，里的數(shù)就是三個(gè)連續(xù)數(shù)中的中間的哪個(gè)數(shù)，即是2，3，4三個(gè)連續(xù)的乘積，是3，4，5三個(gè)連續(xù)睡的乘積，從而不難求出+-+-+-的值。解：原式=8910+789-678+567-456+345-234=720+504+-339+210-120+60-24=10143、 能力提升答案（4） 行程問題行程問題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不論在奧數(shù)

20、競(jìng)賽中還是在“小升初”的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”：這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)三個(gè)關(guān)系：1. 簡(jiǎn)單行程： 路程 = 速度 時(shí)間2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 時(shí)間3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 時(shí)間牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。追擊及遇問題1、 例題與方法指導(dǎo)例1.有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人

21、同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？思路導(dǎo)航：這個(gè)三人行程的問題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)“3分鐘”的時(shí)間。第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）3=228（米）第一個(gè)追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228 （38-36）=114（分鐘）第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）114=8892（

22、米）我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問題，使解題思路更加清晰。例2.東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？思路導(dǎo)航： 從圖中可以看出，要求乙車每小時(shí)行多少千米，關(guān)鍵要知道乙車已經(jīng)行了多少路程和行這段路程所用的時(shí)間。解：（1）甲車一共行多少小時(shí)？1.5+3=4.5（小時(shí)）（2）甲車一共行多少千米路程？254.5=112.5（千米）（3）乙車一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）（4）乙車每小時(shí)行多少千米？ (105-15)3=30（千米）答

23、：乙車每小時(shí)行30千米。例3.兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距1400米。哥哥騎自行車每分鐘行200米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了幾分鐘？相遇處離學(xué)校有多少米？思路導(dǎo)航：從圖中可以看出，哥與妹妹相遇時(shí)他們所走的路程的和相當(dāng)于從家到學(xué)校距離的2倍。因此本題可以轉(zhuǎn)化為“哥哥妹妹相距2800米，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，哥哥每分鐘行200米，妹妹每分鐘行80米，經(jīng)過幾分鐘相遇？”的問題，解答就容易了。解：（1）從家到學(xué)校的距離的2倍：14002=2800（米）（2）從出發(fā)到相遇所需的時(shí)間：2800（200+80）=10（分）（3）相

24、遇處到學(xué)校的距離：1400-8010=600（米） 答：從出發(fā)到相遇，妹妹走了10分鐘，相遇處離學(xué)校有600米。2、 鞏固訓(xùn)練1.兩城市相距328千米，甲、乙兩人騎自行車同時(shí)從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行28千米，乙每小時(shí)行22千米，乙在中途修車耽誤1小時(shí)，然后繼續(xù)行駛，與甲相遇，求出發(fā)到相遇經(jīng)過多少時(shí)間？ 分析:如果乙在中途不停車，那么甲、乙兩人從出發(fā)到相遇共行路程的和：328+221=350（千米），兩車的速度和：28+22=50（千米/小時(shí)），然后根據(jù)相遇問題“路程和速度和=相遇時(shí)間”得 35050=7（小時(shí)） 解：（328+221）（28+22）=35050=7（小時(shí)）解法2：（32

25、8-221）（28+22）=30050=6（小時(shí)）6+1=7（小時(shí)） 答：從出發(fā)到相遇經(jīng)過了7小時(shí)。2. 快車和慢車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，已知快車每小時(shí)行40千米，經(jīng)過3小時(shí)快車已過中點(diǎn)12千米與慢車相遇，慢車每小時(shí)行多少千米？分析: 從圖中可知：快車3小時(shí)行的路程403=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。而慢車3小時(shí)行的路程比全程的一半還少12千米，所以慢車3小時(shí)行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢車的速度。解：甲乙兩地路程的一半：403-12=108（千米）慢車3小時(shí)行的路程：108-12=96（千米）慢車的速度：963=32（千米）答

26、：慢車每小時(shí)行32千米。3. 小華和小明同時(shí)從甲、乙兩城相向而行，在離甲城85千米處相遇，到達(dá)對(duì)方城市后立即以原速沿原路返回，又在離甲城35千米處相遇，兩城相距多少千米？分析:從圖上可以看出，小華和小明兩人第一次相遇時(shí)，行了一個(gè)全程，小華行了85千米。當(dāng)小華和小明第二次相遇時(shí)，共行了3個(gè)全程，這時(shí)小華共行了3個(gè)85千米，如果再加上35千米，相當(dāng)于小華行了2個(gè)全程，甲乙兩地全長(zhǎng)也就可以求出來了。解：（1）甲乙出發(fā)到第二次相遇時(shí)，小華共行了多少千米？ 853=255（千米）（2）甲乙兩城相距多少千米？（ 255+35）2=2902=145（千米）答：兩城相距145千米。3、 拓展提升1. 客車和貨

27、車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，客車每小時(shí)行54千米，貨車每小時(shí)行48千米，兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，客車到達(dá)乙站后立即返回，貨車到達(dá)甲站后也立即返回，兩車再次相遇時(shí)，客車比貨車多行216千米。求甲乙兩站相距多少千米？分析 如圖，從出發(fā)到第二次相遇時(shí)，客車和貨車共行3個(gè)全程，在這段時(shí)間里客車一共比貨車多行216千米，客車每小時(shí)比貨車快54-48=6千米，這樣可以求出行3個(gè)全程的時(shí)間為2166=36小時(shí)，由此可求出行一個(gè)全程時(shí)間：363=12小時(shí)，因而可以求出甲乙兩站的距離。 解：從出發(fā)到第二次是兩車行駛的時(shí)間：216（54-48）=36（小時(shí)） 從出發(fā)到第一次相遇所用的時(shí)間：363=12（

28、小時(shí)）甲乙兩站的距離：（54+48）12=1224（千米） 答：求甲乙兩站相距1224千米。2.甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車速度分別為每小時(shí)60千米和48千米，有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6小時(shí)、7小時(shí)、8小時(shí)先后與甲、乙、丙三車相遇。求丙車的速度。 分析:解答的關(guān)鍵是求出卡車的速度，從圖上明顯看出，甲車6小時(shí)的行程與乙車7小時(shí)的行程差正好是卡車的速度。再根據(jù)速度和、相遇時(shí)間和路程三者之間的關(guān)系，求出丙車速度。 解：（1）卡車的速度：（ 606-487）（7-6）=241=24（千米）（2） AB兩地之間的距離：（60+24）6=504（千米）（3） 丙車與卡車的

29、速度和：5048=64（千米）（4） 丙車的速度：64-24=40（千米/小時(shí)）答：丙車的速度每小時(shí)40千米。3. 兩列火車從某站相背而行，甲車每小時(shí)行58千米，先開出2小時(shí)后，車以每小時(shí)62千米才開出，乙車開出5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？火車過橋 過橋問題也是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系： 過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：因?yàn)椋哼^橋的路程 = 橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng) 所以有：通過橋的時(shí)間 =（橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)）車速車速 = （橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)）過橋時(shí)間公式的變形： 橋長(zhǎng) =

30、 車速過橋時(shí)間 車長(zhǎng)車長(zhǎng) = 車速過橋時(shí)間 橋長(zhǎng)后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.一列客車經(jīng)過南京長(zhǎng)江大橋，大橋長(zhǎng)6700米，這列客車長(zhǎng)100米，火車每分鐘行400米，這列客車經(jīng)過長(zhǎng)江大橋需要多少分鐘？思路導(dǎo)航： 從火車頭上橋，到火車尾離橋，這之間是火車通過這座大橋的過程，也就是過橋的路程是橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)。通過“過橋的路程”和“車速”就可以求出火車過橋的時(shí)間。 （1）過橋路程：6700 + 100 = 6800（米） （2）過橋時(shí)間：6800400 = 17（分） 答：這列客車通過南京長(zhǎng)江大橋

31、需要17分鐘。 例2.一列火車長(zhǎng)160米，全車通過440米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？思路導(dǎo)航： 要想求火車過橋的速度，就要知道“過橋的路程”和過橋的時(shí)間。 （1）過橋的路程：160 + 440 = 600（米） （2）火車的速度：60030 = 20（米） 答：這列火車每秒行20米。例3.某列火車通過360米的第一個(gè)隧道用了24秒鐘，接著通過第二個(gè)長(zhǎng)216米的隧道用了16秒鐘，求這列火車的長(zhǎng)度？思路導(dǎo)航： 火車通過第一個(gè)隧道比通過第二個(gè)隧道多用了8秒，為什么多用8秒呢？原因是第一個(gè)隧道比第二個(gè)隧道長(zhǎng)360216 = 144（米），這144米正好和8秒相對(duì)應(yīng)，這樣可以求出車速。火車

32、24秒行進(jìn)的路程包括隧道長(zhǎng)和火車長(zhǎng)，減去已知的隧道長(zhǎng)，就是火車長(zhǎng)。 （1）第一個(gè)隧道比第二個(gè)長(zhǎng)多少米？ 360216 = 144（米） （2）火車通過第一個(gè)隧道比第二個(gè)多用幾秒？ 2416 = 8（秒） （3）火車每秒行多少米？ 1448 = 18（米） （4）火車24秒行多少米？ 1824 = 432（米） （5）火車長(zhǎng)多少米？ 432360 = 72（米）答：這列火車長(zhǎng)72米。2、 鞏固訓(xùn)練 1.某列火車通過342米的隧道用了23秒，接著通過234米的隧道用了17秒，這列火車與另一列長(zhǎng)88米，速度為每秒22米的列車錯(cuò)車而過，問需要幾秒鐘？思路導(dǎo)航：通過前兩個(gè)已知條件，我們可以求出火車的車速

33、和火車的車身長(zhǎng)。 （342234）（2317）= 18（米）車速 1823342 = 72（米） 車身長(zhǎng) 兩車錯(cuò)車是從車頭相遇開始，直到兩車尾離開才是錯(cuò)車結(jié)束，兩車錯(cuò)車的總路程是兩個(gè)車身之和，兩車是做相向運(yùn)動(dòng)，所以，根據(jù)“路程速度和 = 相遇時(shí)間”，可以求出兩車錯(cuò)車需要的時(shí)間。 （72 + 88）（18 + 22）= 4（秒） 答：兩車錯(cuò)車而過，需要4秒鐘。2. 一列火車全長(zhǎng)265米，每秒行駛25米，全車要通過一座985米長(zhǎng)的大橋，問需要多少秒鐘？ （265 + 985）25 = 50（秒） 答：需要50秒鐘。3. 一列長(zhǎng)50米的火車，穿過200米長(zhǎng)的山洞用了25秒鐘，這列火車每秒行多少米？

34、（200 + 50）25 = 10（米） 答：這列火車每秒行10米。3、 拓展提升1.一列長(zhǎng)240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長(zhǎng)多少米？ 1分 = 60秒 3060240 = 1560（米）答：這座橋長(zhǎng)1560米。2.一列貨車全長(zhǎng)240米，每秒行駛15米，全車連續(xù)通過一條隧道和一座橋，共用40秒鐘，橋長(zhǎng)150米，問這條隧道長(zhǎng)多少米？ 1540240150 = 210（米）答：這條隧道長(zhǎng)210米。3.一列火車開過一座長(zhǎng)1200米的大橋，需要75秒鐘，火車以同樣的速度開過路旁的電線桿只需15秒鐘，求火車長(zhǎng)多少米？ 1200（7515）= 20（米）

35、2015 = 300（米）答：火車長(zhǎng)300米。4.在上下行軌道上，兩列火車相對(duì)開來，一列火車長(zhǎng)182米，每秒行18米，另一列火車每秒行17米，兩列火車錯(cuò)車而過用了10秒鐘，求另一列火車長(zhǎng)多少米？ （18 + 17）10182 = 168（米）答：另一列火車長(zhǎng)168米。（5） 列方程解應(yīng)用題同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常遇到一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的，或較隱蔽的逆向問題。用算術(shù)方法解答比較困難，如果用方程解就簡(jiǎn)便得多。它可以進(jìn)一步培養(yǎng)我們分析問題和解決問題的能力，抽象思維能力，列方程解應(yīng)用題一般分為五步：（一）審題；（弄清已知數(shù)和未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系）（二）用字母表示未知數(shù)；（通常用“x”表示）（三

36、）根據(jù)等量關(guān)系列出方程；（四）解方程求出未知數(shù)的值；（五）驗(yàn)算并答題。一、例題與方法指導(dǎo)例1. 金臺(tái)小學(xué)學(xué)生參加申奧植樹活動(dòng)，六年級(jí)共植樹252棵，比五年級(jí)植樹總數(shù)的倍少8棵，五年級(jí)植樹多少棵？思路導(dǎo)航：六年級(jí)比五年級(jí)植樹總數(shù)的倍少8棵，就是六年級(jí)的倍的數(shù)少8，等于六年級(jí)植樹的總數(shù)。等量關(guān)系是：五年級(jí)的倍8六年級(jí)的植樹總數(shù)。 解：設(shè)五年級(jí)植樹x棵，根據(jù)題意列方程，得 驗(yàn)算：把代入原方程 左邊 右邊252 左邊右邊 是原方程的解。 答：五年級(jí)植樹208棵。 例2. 一瓶農(nóng)藥700克，其中水比硫磺粉的6倍還多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，這瓶農(nóng)藥里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路導(dǎo)航：這是

37、道比較復(fù)雜的“和倍應(yīng)用題”，硫磺粉和水有直接關(guān)系，硫磺粉和石灰也有直接關(guān)系，因此應(yīng)設(shè)未知數(shù)硫磺粉為x克。水的重量是硫磺的6倍還多25克，也就是（6x25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是克。等量關(guān)系式表示為： 水硫磺粉石灰農(nóng)藥重量 解：設(shè)硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（）克，石灰重量是克。根據(jù)題意列方程，解。 驗(yàn)算：把代入原方程 左邊 右邊700 左邊右邊 是原方程的解。 例3. 兩袋米同樣重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第一袋剛好是第二袋的2倍，兩袋原來各有多少千克？思路導(dǎo)航：題中告訴我們?cè)瓉韮纱竺淄瑯又?，解答時(shí)可以設(shè)兩袋大米原來各重x千克，第一袋剩下的

38、則是千克，第二袋剩下的則是千克。根據(jù)題意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍，也就是說，如果把第二袋剩下的擴(kuò)大2倍就和第一袋剩下的相等。 解：設(shè)兩袋大米原來的重量各為x千克，根據(jù)題意，列方程得 驗(yàn)算：左邊 右邊321814 左邊右邊 x32是原方程的解 答：兩袋大米原來各重32千克。2、 鞏固訓(xùn)練1.李紅看一本小說，上午看了60頁(yè)，相當(dāng)于下午看的頁(yè)數(shù)的又4頁(yè)，李紅這天共看了多少頁(yè)小說？思路導(dǎo)航：這道題和求的問題是這一天共看了多少頁(yè)小說。題目中已知上午看了60頁(yè)，所以，只要求出下午看的頁(yè)數(shù)，就可以了。題目中明確告訴了我們等量關(guān)系即“上午看了60頁(yè)，相當(dāng)于下午看的頁(yè)數(shù)的又4頁(yè)”。 等量關(guān)系：下午看

39、的頁(yè)數(shù)4上午看的頁(yè)數(shù) 解：法（一）：設(shè)下午看了x頁(yè)。 6064124頁(yè) 答：這天共看了124頁(yè)。 解：解法（二）：這一天共看了x頁(yè)。 答：這一天共看了124頁(yè)。 2. 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20米，如果把它的寬減少4米，新得到一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積想法于原來長(zhǎng)方形的面積的，原來長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？思路導(dǎo)航：這道題的所求問題是求原來長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，而題目中明確告訴了我們等量關(guān)系即“新得到的長(zhǎng)方形的面積相當(dāng)于原來長(zhǎng)方形面積的?！比绻麤]有原來長(zhǎng)方形的寬為x米，原來長(zhǎng)方形的面積就是20x平方米；新的長(zhǎng)方形的寬就是（x4）米；新的長(zhǎng)方形面積就是平方米。 等量關(guān)系：原長(zhǎng)方形面積新長(zhǎng)方形面積 解：設(shè)原長(zhǎng)方形的寬是

40、x米 根據(jù)題意列方程，得 答：原來長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是68米。 3. 兩根繩共長(zhǎng)90米，已知第一根繩長(zhǎng)的等于第二根繩長(zhǎng)的，求兩根繩各長(zhǎng)多少米？思路導(dǎo)航：解答時(shí)，首先抓住題目中的等量關(guān)系“第一根繩長(zhǎng)的等于第二根繩長(zhǎng)的”再根據(jù)第一根繩長(zhǎng)為（90x）米，就可以列出方程。 等量關(guān)系：第一根繩長(zhǎng)第二根繩長(zhǎng) 解：設(shè)第一根繩長(zhǎng)x米，第二根繩長(zhǎng)（）米，根據(jù)題意列方程，得 905040 答：第一根繩長(zhǎng)50米，第二根繩長(zhǎng)40米。3、 拓展提升 1. 甲乙兩個(gè)糧倉(cāng)共有糧食55萬千克，如果甲倉(cāng)運(yùn)出，乙倉(cāng)運(yùn)出6萬千克，則甲乙兩倉(cāng)存糧相等，甲、乙兩倉(cāng)原來各存糧多少萬千克？ 解：設(shè)甲倉(cāng)原有糧食有x萬千克，則乙倉(cāng)原有糧食（）萬千克

41、。根據(jù)題意列方程，得 553520 答：甲倉(cāng)原有35萬千克，乙倉(cāng)原有20萬千克。 2. 用5千克含鹽20%的鹽水，如果把它稀釋為含鹽15%的鹽水，需要加水多少千克？ 解：設(shè)需要加水x千克。 答：需要加水千克。 3. 有甲、乙兩筐蘋果，如果從甲筐取10千克放入乙筐，則兩筐相等；如果從兩筐中各取出10千克，這時(shí)甲筐余下的比乙筐余下的多5千克。求兩筐蘋果原來各多少千克？ 解：設(shè)乙筐原有蘋果x千克。 402060 答：甲筐原有蘋果60千克，乙筐原有40千克。 4. 同學(xué)們到郊區(qū)野炊。一個(gè)同學(xué)到老師那里去領(lǐng)碗，老師問他領(lǐng)多少，他說領(lǐng)55個(gè)。又問“多少人吃飯”，他說：“一人一個(gè)飯碗，兩人一個(gè)菜碗，三人一個(gè)

42、湯碗。”算一算，有多少人吃飯。 解：設(shè)參加野炊活動(dòng)的人數(shù)為x人。 答：參加野炊活動(dòng)的有30人。（6） 抽屜原理如果將5個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。道理很簡(jiǎn)單，如果每個(gè)抽屜中放的蘋果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。以上兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。說

43、明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會(huì)超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。1、 例題與方法指導(dǎo)例1.某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。例2.在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里。將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜