第八章截面的幾何性質(zhì)(于英1001)

1、第八章第八章 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)8-1 8-1 重心與形心重心與形心8-2 8-2 靜矩靜矩8-3 8-3 慣性矩、極慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性積及慣性半徑8-4 8-4 形心主慣性軸和主慣性矩的概念形心主慣性軸和主慣性矩的概念 8-1 8-1 重心與形心重心與形心平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)物體重力的作用線(xiàn)始終通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，物體重力的作用線(xiàn)始終通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn)這個(gè)點(diǎn)就是物體重力的作用點(diǎn), , 稱(chēng)為稱(chēng)為物體的物體的重心重心 。 重心的概念重心的概念 GxGxiicGyGyiicGzGziic 1.一般物體重心的坐標(biāo)公

2、式一般物體重心的坐標(biāo)公式 2. 2.均質(zhì)物體重心的坐標(biāo)公式均質(zhì)物體重心的坐標(biāo)公式VG iiVG表示單位體積的重力，表示單位體積的重力，為體積，則為體積，則ciiV xxV ciiV yyV ciiV zzV 均質(zhì)物體的均質(zhì)物體的重心重心就是其就是其幾何中心幾何中心，稱(chēng)為，稱(chēng)為形心。形心。對(duì)均質(zhì)物體來(lái)說(shuō)對(duì)均質(zhì)物體來(lái)說(shuō)重心重心和和形心是重合的。形心是重合的。 8-1 8-1 重心與形心重心與形心 CzydAzCzyCyO 3. 3.均質(zhì)均質(zhì)薄板薄板重心重心（形心）（形心）的坐標(biāo)公式的坐標(biāo)公式 8-1 8-1 重心與形心重心與形心AyAyiicAzAziicl簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)簡(jiǎn)單圖形的形心坐標(biāo)l組

3、合平面圖形的形心坐標(biāo)組合平面圖形的形心坐標(biāo) 分割法分割法 負(fù)面積法負(fù)面積法 4. 4. 平面圖形的形心計(jì)算平面圖形的形心計(jì)算 8-1 8-1 重心與形心重心與形心利用對(duì)稱(chēng)法利用對(duì)稱(chēng)法 1122c12iiAyA yA yyAAA 0cz 【例【例8-1】 試求圖示試求圖示T形截面的形心坐標(biāo)。形截面的形心坐標(biāo)?！窘狻俊窘狻繉⑵矫鎴D形分割為兩個(gè)矩形，每個(gè)矩形的面將平面圖形分割為兩個(gè)矩形，每個(gè)矩形的面 積及形心坐標(biāo)為積及形心坐標(biāo)為 502001A01z1501y502002A02z252y 200 50 150200 50 25200 50200 5085 mm A1A2C1C2C21RA01z10y

4、 22rA22Rz 02y0cy1 122c12iiA zA zA zzAAA 【解】將平面圖形分割為兩個(gè)圓【解】將平面圖形分割為兩個(gè)圓, ,每個(gè)圓的面積及形每個(gè)圓的面積及形 心坐標(biāo)為心坐標(biāo)為 【例【例8-2】 試求圖示陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo)試求圖示陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo).陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo)為陰影部分平面圖形的形心坐標(biāo)為2222222022()RRrr RRrRr zyc 1.靜矩定義靜矩定義zAyASydASzdA zCyCSyASzA 8-2 8-2 靜靜 矩矩平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)單位：?jiǎn)挝唬簃3或或mm3靜矩為代數(shù)量，可為靜矩為代數(shù)量，可為正正負(fù)負(fù)零零zc

5、ycSA ySA z CzydAzCzyCyOA靜矩與形靜矩與形心的關(guān)系心的關(guān)系2.簡(jiǎn)單圖形的靜矩簡(jiǎn)單圖形的靜矩 當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)平面圖形的形當(dāng)坐標(biāo)軸通過(guò)平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，圖形心時(shí)，其靜矩為零；反之，圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸一定對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸一定通過(guò)圖形的形心。通過(guò)圖形的形心。zyiciiciSAzSAz 3.組合平面圖形靜矩與形心組合平面圖形靜矩與形心 組合圖形對(duì)某軸的靜矩等組合圖形對(duì)某軸的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。zyc 8-2 8-2 靜靜 矩矩ziCiCiiyiCiCiiSA yyAASA zzAA 331mm

6、 105 .1327050A332mm 109030300A36332211mm 102.36 1510901651013.5 ccciizyAyAyAS yc1=165 mm ， yc2=15 mm【例【例8-3】 計(jì)算圖示計(jì)算圖示T形截面對(duì)形截面對(duì)Z軸的靜矩。軸的靜矩。 【解】將【解】將T形截面分為兩個(gè)矩形，其面積分別為形截面分為兩個(gè)矩形，其面積分別為截面對(duì)截面對(duì)Z軸的靜矩軸的靜矩 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以三部分，以 圖形的鉛垂對(duì)稱(chēng)軸為圖形的鉛垂對(duì)稱(chēng)軸為y軸，過(guò)軸，過(guò)II、 III的的 形心且與形心且與y軸垂直的軸線(xiàn)取為軸垂直的軸線(xiàn)取為z軸軸 ，則，則

7、【例【例8-4】求圖示圖形的形心】求圖示圖形的形心.150yCzOz1y120010yC300IIIIII10iii(200 10) (5150)2 (10 300) 0200 102 (10 300)38.8mmCCA yyA 由于對(duì)稱(chēng)知：由于對(duì)稱(chēng)知： zC=0 8-1 8-1 重心與形心重心與形心8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑zydAzyr rOA1.極慣性矩極慣性矩2.慣性矩慣性矩22zAyAIy dAIz dA ApdAI2r為圖形對(duì)一點(diǎn)的為圖形對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩極慣性矩；3.慣性積慣性積為圖形對(duì)為圖形對(duì)z、y一對(duì)正交軸的一對(duì)正交軸的

8、慣性積；慣性積；zyAIzydA 分別為圖形對(duì)分別為圖形對(duì)z、y軸的軸的慣性矩；慣性矩；說(shuō)明說(shuō)明：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：222pyzAAIdA( zy )dA IIr r 一、定義一、定義 慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正、負(fù)、零，慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正、負(fù)、零， 單位：?jiǎn)挝唬簃4、cm4、mm4； 若圖形有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)正若圖形有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，則圖形對(duì)包含此對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)正交軸的慣性積為交軸的慣性積為零零；8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑AiIAiIy2y2zzAIiAIiyy

9、zz 4慣性半徑慣性半徑或單位為單位為m或或mm。說(shuō)明說(shuō)明：型鋼的慣性矩可直接由型鋼表查得。型鋼的慣性矩可直接由型鋼表查得。123zbhI 123hbIy矩形矩形 644zDIIy圓形圓形64)(44zdDIIy環(huán)形環(huán)形5簡(jiǎn)單圖形對(duì)形心軸的慣性矩簡(jiǎn)單圖形對(duì)形心軸的慣性矩8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑b/2b/2yh/2h/2CzzycDzycDd2zzc2cyyIIa AIIb A 1慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑OzyCdAzCyCabyzzCy

10、CA b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Ozy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，所以它們是 有正負(fù)的。有正負(fù)的。 zC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對(duì)形心軸 的慣性矩最??；的慣性矩最?。蛔⒁猓鹤⒁猓憾?、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計(jì)算二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計(jì)算8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑2zzc2cyyIIa AIIb A 1慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計(jì)算二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計(jì)算 組合圖形對(duì)某軸的慣性

11、組合圖形對(duì)某軸的慣性矩，等于組成組合圖形的矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸的慣性矩之和。性矩之和。530530zyzyziyiIIII 2組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩cc3017085200301853017020030139 mmiiiA yyA 【解】【解】（1）求截面相對(duì)底邊的形心坐標(biāo)）求截面相對(duì)底邊的形心坐標(biāo)（2）求截面對(duì)形心軸的慣性矩）求截面對(duì)形心軸的慣性矩2cz c33226430 17020030 30 170 5420030 461212 40.3 10 mmI( Ia A) 【例【例8-5】 計(jì)算圖示計(jì)算圖示T形截面對(duì)形心形截面對(duì)形心z軸的慣

12、性矩軸的慣性矩Izc 200yczcC3017030IIIzz2z1c2yc1y【解解】組合截面形心組合截面形心C 在兩對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)。由型鋼表查得在兩對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)。由型鋼表查得 每根槽鋼的形心每根槽鋼的形心C1或或C2到腹板邊緣的距離為到腹板邊緣的距離為19.5 mm , 每根槽鋼截面積為每根槽鋼截面積為: 32123 283 10 mmAA. 【例【例8-5】 試計(jì)算圖示由兩根試計(jì)算圖示由兩根20槽鋼組成的截面槽鋼組成的截面 對(duì)形心軸對(duì)形心軸z、y 的慣性矩。的慣性矩。641z2z19 137 10 mmII. 1264121 436 10 mmyyII. 每根槽鋼對(duì)本身形心軸的慣性矩為每根

13、槽鋼對(duì)本身形心軸的慣性矩為: 66641z2z19137 1019137 10383 10 mmzIII. 1212111623642250 21 4361019 53 283102 15.8710 mmyyyyyIIII( IaA ).(.). 【例【例8-5】32123 283 10 mmAA. 641z2z19 137 10 mmII. 1264121 436 10 mmyyII. 【解】【解】形心形心主慣性矩主慣性矩：截面對(duì)形心主軸的慣性矩：截面對(duì)形心主軸的慣性矩主慣性軸主慣性軸(主軸主軸)：慣性積等于零的一對(duì)正交軸；慣性積等于零的一對(duì)正交軸； 形心主軸形心主軸：通過(guò)截面形心的主軸。：

14、通過(guò)截面形心的主軸。 截面的對(duì)稱(chēng)軸就是形心主軸。截面的對(duì)稱(chēng)軸就是形心主軸。 8-4 8-4 形心主軸和形心主慣性矩的概念形心主軸和形心主慣性矩的概念 凡通過(guò)截面形心，且包含有一根對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)相互凡通過(guò)截面形心，且包含有一根對(duì)稱(chēng)軸的一對(duì)相互垂直的坐標(biāo)軸一定是形心主軸。垂直的坐標(biāo)軸一定是形心主軸。 b/2b/2yh/2h/2Cz530530zy例例8 6 求圖示求圖示T型截面對(duì)形心軸的慣性矩。型截面對(duì)形心軸的慣性矩。530530303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面對(duì)形心軸的慣性矩形截面對(duì)形心軸的慣性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取參考坐標(biāo)系如圖，則：取參考坐標(biāo)系如圖，則：

15、 iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即截面的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：再求截面對(duì)形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC 12122211222241122()()() ()34530mmCCCCCzzzzCzCIIa AIa AIyyAIyyA 由由平平行行移移軸軸定定理理得得：yCzyCzC例例8-6 解解：平行：平行z軸取一窄長(zhǎng)條，其面積為軸取一窄長(zhǎng)條，其面積為dA=bdy，則，則3222212h/zAh/bhIy d Ay (bd y ) 123hbIy又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤、y軸皆為對(duì)稱(chēng)軸，故軸皆為對(duì)稱(chēng)軸，故Izy=0。同理可得同理可得例例8 6 求圖示矩形對(duì)通過(guò)其形心且與邊求圖示矩形對(duì)通過(guò)其形心且與邊 平行的平行的z、y軸的慣性矩軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積和慣性積Izy。dyb/2b/2yyh/2h/2CdAz 由于圓形對(duì)任意直徑軸都是對(duì)稱(chēng)的，故由于圓形對(duì)任意