20XX年高考全國I卷理科數(shù)學(xué)試習(xí)題逐題解析

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(I卷)本試題卷共5頁，24題(含選考題)。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)集合，則（A）（B）（C）（D）【解析】：，故故選D（2）設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則（A）（B）（C）（D）【解析】：由可知：，故，解得：所以，故選B（3）已知等差數(shù)列前項(xiàng)的和為，則（A）（B）（C）（D）【解析】：由等差數(shù)列性質(zhì)可知：，故，而，因此公差 故選C（4）某公司的班車在，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車丫的時候是隨機(jī)的，則他等車時間不超過10分鐘的概

2、率是（A）（B）（C）（D）【解析】：如圖所示，畫出時間軸：小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段或時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型，所求概率故選B（5）已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為，則的 取值范圍是（A）（B）（C）（D）【解析】：表示雙曲線，則，由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距，焦距，解得，故選A（6）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是（A）（B）（C）（D）【解析】：原立體圖如圖所示：是一個球被切掉左上角的后的三視圖表面積是的球面面積和三個扇形面積之和故選A（7

3、）函數(shù)在的圖像大致為（A） （B）（C） （D）【解析】：，排除A；，排除B；時，當(dāng)時，因此在單調(diào)遞減，排除C；故選D（8）若，則（A）（B） （C）（D）【解析】：由于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯誤；由于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，B錯誤；要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此，又由得，C正確；要比較和，只需比較和，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又由得，D錯誤；故選C（9）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的值滿足（A）（B）（C）（D）【解析】：第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；輸出，滿足；故選C（10）以拋物線的頂點(diǎn)為圓心的圓交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，

4、已知,，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（A）2（B）4（C）6（D）8【解析】：以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，如圖：F設(shè)，點(diǎn)在拋物線上，；點(diǎn)在圓上，；點(diǎn)在圓上，；聯(lián)立解得：，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為故選B（11）平面過正方體的頂點(diǎn)，平面，平面 ，平面，則所成角的正弦值為（A）（B）（C）（D）【解析】：如圖所示：，若設(shè)平面平面，則又平面平面，結(jié)合平面平面，故，同理可得：故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小而（均為面對交線），因此，即故選A（12）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖像的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為（A）11（B）9（C）7（D）5【解析】：由題意知：則

5、，其中，在單調(diào)，接下來用排除法：若，此時，在遞增，在遞減，不滿足在單調(diào)；若，此時，滿足在單調(diào)遞減。故選B二、填空題：本大題共3小題，每小題5分。（13）設(shè)向量a，b，且abab，則 【解析】：由已知得：，解得（14）的展開式中，的系數(shù)是 （用數(shù)字填寫答案）【解析】：設(shè)展開式的第項(xiàng)為，當(dāng)時，即，故答案為10（15）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為 【解析】：由于是等比數(shù)列，設(shè)，其中是首項(xiàng)，是公比，解得：故，當(dāng)或時，取到最小值，此時取到最大值所以的最大值為64（16）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材

6、料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【解析】：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品件，B產(chǎn)品件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時要求等其他限制條件，構(gòu)造線性規(guī)則約束為目標(biāo)函數(shù)；作出可行域?yàn)閳D中的四邊形，包括邊界，頂點(diǎn)為，在處取得最大值，三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（17）（本小題滿分12分）的內(nèi)角的對邊分別為，已知（）求；（）若，的面積為，求的周長【解析】：，由正弦定理得：，由余弦定理得：，周長為（18）（本小題滿分

7、12分） 如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，且二面角與二面角都是（）證明：平面平面；（）求二面角的余弦值【解析】：為正方形，面，面，平面平面由知，平面，平面平面，平面面面，四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)面法向量為，即，設(shè)面法向量為，.即，設(shè)二面角的大小為.，二面角的余弦值為（19）（本小題滿分12分） 某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易

8、損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)（）求X的分布列；（）若要求，確定的最小值；（）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解析】：每臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11記事件為第一臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件記事件為第二臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個零件由題知，設(shè)2臺機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為，則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，2216171819202122要令，則的最小值為19；購買零件所需

9、費(fèi)用含兩部分，一部分為購買機(jī)器時購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時額外購買的費(fèi)用當(dāng)時，費(fèi)用的期望為當(dāng)時，費(fèi)用的期望為所以應(yīng)選用（20）（本小題滿分12分） 設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)（）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；（）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍【解析】：圓A整理為，A坐標(biāo)，如圖，則，由，則，根據(jù)橢圓定義為一個橢圓，方程為，()；設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，聯(lián)立： ，則圓心到距離，所以，（21）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)（）求的取值范圍；（）設(shè)是的兩個零點(diǎn)，證明：【解析】：由已知得：若，那么，

10、只有唯一的零點(diǎn)，不合題意；若，那么，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增;當(dāng)時，單調(diào)遞減;即：極小值故在上至多一個零點(diǎn)，在上至多一個零點(diǎn)由于，則，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在上有且僅有一個零點(diǎn)而當(dāng)時，故則的兩根， ，因?yàn)?，故?dāng)或時，因此，當(dāng)且時，又，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在有且只有一個零點(diǎn)此時，在上有且只有兩個零點(diǎn)，滿足題意若，則，當(dāng)時，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值而極大值故當(dāng)時，在處取到最大值，那么恒成立，即無解而當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn)此時在上至多一個零點(diǎn)，不合題意若，那么當(dāng)時，即，單調(diào)遞增當(dāng)時，即，單調(diào)遞增又在處有意義，故在上單調(diào)遞增，此時至多一個零點(diǎn)，不合題

11、意若，則當(dāng)時，即，單調(diào)遞增當(dāng)時，即，單調(diào)遞減當(dāng)時，即，單調(diào)遞增即：+0-0+極大值極小值故當(dāng)時，在處取到最大值，那么恒成立，即無解當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多一個零點(diǎn),此時在上至多一個零點(diǎn)，不合題意綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時符合題意，即的取值范圍為由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：, ，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，,則，故單調(diào)遞增，有因此，對于任意的，由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：請考生在第（22）、（23）、（24）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分（22）（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講 圖，是等腰三角形，以為圓心，為半徑作圓（）證明：直線與相切；（）點(diǎn)在上，且四點(diǎn)共圓，證明：【解析】：設(shè)圓的半徑為，作于,與相切方法一：假設(shè)與不平行,與交于,四點(diǎn)共圓,由可知矛盾,方法二：因?yàn)?，因?yàn)樗詾榈闹写咕€上，同理所以的中垂線，所以（23）（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線（）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（）直線的極坐標(biāo)方程為，其中滿足，若