必修4平面向量數(shù)量積考點歸納

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上“平面向量”誤區(qū)警示“平面向量”概念繁多容易混淆，對于初學者更是一頭霧水現(xiàn)將與平面向量基本概念相關的誤區(qū)整理如下 向量就是有向線段解析：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向有向線段是向量的一種表示方法，不能說向量就是有向線段若向量與相等，則有向線段AB與CD重合解析：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量因此，若，則有向線段AB與CD長度相等且方向相同，但它們可以不重合若向量，則線段ABCD解析：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量故由與平行，只能得到線段AB與CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線若向量與共線，則線

2、段AB與CD共線解析：平行向量也叫做共線向量，共線向量就是方向相同或相反的非零向量故由與共線，只能得到線段AB與CD方向相同或相反，它們可能平行也可能共線若，則解析：由于零向量與任一向量平行，故當時，向量、不一定平行當且僅當、都為非零向量時，才有若|，則或解析：由|，只能確定向量與的長度相等，不能確定其方向有何關系當與不共線時，或都不能成立單位向量都相等解析：長度等于一個長度單位的向量叫做單位向量，由于單位向量的方向不一定相同，故單位向量也不一定相等若|0，則0解析：向量和實數(shù)是兩個截然不同的概念，向量組成的集合與實數(shù)集合的交集是空集故若|0，則，不能夠說0平面向量數(shù)量積四大考點解析考點一.

3、考查概念型問題例1.已知、是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)( ) ; 反向 ; = A.1 B.2 C.3 D.4評注：兩向量同向時，夾角為0(或0)；而反向時，夾角為(或180)；兩向量垂直時，夾角為90，因此當兩向量共線時，夾角為0或，反過來若兩向量的夾角為0或，則兩向量共線.考點二、考查求模問題例2.已知向量，若不超過5，則k的取值范圍是_。評注：本題是已知模的逆向題，運用定義即可求參數(shù)的取值范圍。例3.（1）已知均為單位向量，它們的夾角為60,那么（ ）A. B. C. D. 4（2）已知向量，向量，則的最大值是_。評注：模的問題采用平方法能使過程簡化?？键c三、考查求角問題例4

4、.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量與的夾角.練習一：數(shù)量積（內積）的意義及運算1已知向量，為單位向量，當它們之間的夾角為時，在方向上的投影與在方向上的投影分別為（ ）圖1練習目的：區(qū)別在方向上的投影與在方向上的投影，達到正確理解投影的概念2在邊長為2的等邊中，的值是（） 練習目的：結合圖形，根據(jù)投影的意義，理解的幾何意義3已知的夾角為，. (1) 求的值； (2) 當m為何值時，垂直？ 練習目的：結合以前所學向量垂直的等價關系，類比數(shù)量積的運算與實數(shù)多項式的運算關系，達到鞏固數(shù)量積的運算目的練習二：數(shù)量積的坐標運算、模及夾角4直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單

5、位向量在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是（ ） 1 2 3 4練習目的：結合向量垂直的等價關系，練習數(shù)量積的坐標運算，體會分類討論的數(shù)學思想方法5.已知向量，求（1）；（2）與的夾角練習目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運算與實數(shù)多項式的運算的關系6設向量滿足，的夾角為，若向量與向量夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍。練習目的：綜合運用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題 練習三平面向量的綜合應用7（1）已知中，是中的最大角，若，則的形狀為_.練習目的：體會應用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀平面向量鞏固檢測1 已知，其中 (

6、1)求證： 與互相垂直；(2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù)) 2已知、是兩個不共線的向量，且=（cos，sin）, =（cos，sin） （）求證：+與垂直； （）若（），=，且|+| = ，求sin.3設(1)計算4 已知向量(cosx，sinx)，(cos，sin)，其中x0，(1)求及|；(2)若f(x)2|的最小值為，求的值平面向量數(shù)量積四大考點解析考點一. 考查概念型問題例1.已知、是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)( ) ; 反向 ; = A.1 B.2 C.3 D.4分析：需對以上四個命題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一仍是向量數(shù)量積的定義；二是向量加法與減法的平行四邊形法

7、則.解：(1)=cos由及、為非零向量可得cos=1=0或，且以上各步均可逆，故命題(1)是真命題.(2)若,反向，則、的夾有為，=cos=-且以上各步可逆，故命題(2)是真命題.(3)當時，將向量，的起點確定在同一點，則以向量，為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等，即有+-.反過來，若+-,則以，為鄰邊的四邊形為矩形，所以有，因此命題(3)是真命題.(4)當?shù)c的夾角和與的夾角不等時，就有，反過來由也推不出.故(4)是假命題.綜上所述，在四個命題中，前3個是真命題，而第4個是假命題，應選擇(C).評注：兩向量同向時，夾角為0(或0)；而反向時，夾角為(或180)

8、；兩向量垂直時，夾角為90，因此當兩向量共線時，夾角為0或，反過來若兩向量的夾角為0或，則兩向量共線.考點二、考查求模問題例2.已知向量，若不超過5，則k的取值范圍是_。分析：若則，或，對于求模有時還運用平方法。解：由，又，由模的定義，得：解得： ，故填。評注：本題是已知模的逆向題，運用定義即可求參數(shù)的取值范圍。例3.（1）已知均為單位向量，它們的夾角為60,那么（ ）A. B. C. D. 4（2）已知向量，向量，則的最大值是_。解：（1）所以，故選C。（2）由題意，知,又則的最大值為4。評注：模的問題采用平方法能使過程簡化。考點三、考查求角問題例4.已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂

9、直于向量7-2，求向量與的夾角.分析：要求與的夾角，首先要求出與的夾角的余弦值，即要求出及、，而本題中很難求出、及，但由公式cos=可知，若能把，及中的兩個用另一個表示出來，即可求出余弦值，從而可求得與的夾角.解：設與的夾角為. +3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2， 即 解之得 2=2 2=2 2=2 cos= = 因此a與b的夾角為.練習一：數(shù)量積（內積）的意義及運算1已知向量，為單位向量，當它們之間的夾角為時，在方向上的投影與在方向上的投影分別為（ ）1答案B 解答： 在方向上的投影在方向上的投影 練習目的：區(qū)別在方向上的投影與在方向上的投影，達到正確理解投影的概念圖12在邊長為2的等

10、邊中，的值是（）2答案解答：由平面向量數(shù)量積公式得：因此的值為練習目的：結合圖形，根據(jù)投影的意義，理解的幾何意義3已知的夾角為，. (1) 求的值(2) 當m為何值時，垂直？ 3解答 所以 (2) 由垂直，得，即 又因為的夾角為 所以 代入得因此當時，垂直. 練習目的：結合以前所學向量垂直的等價關系，類比數(shù)量積的運算與實數(shù)多項式的運算關系，達到鞏固數(shù)量積的運算目的練習二：數(shù)量積的坐標運算、模及夾角4直角坐標系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形中，若，則的可能值個數(shù)是（ ） 1 2 3 4 4答案B 提示：由題設 ，轉化為坐標表示：，是直角三角形可以分為三種情況： （1）得 （2）得

11、（3）即，無解 故 的可能有兩個值1，6，練習目的：結合向量垂直的等價關系，練習數(shù)量積的坐標運算，體會分類討論的數(shù)學思想方法5.已知向量，求（1）；（2）與的夾角解答：由題設（1）由得即解得：所以因此=4（2）設夾角為，又所以練習目的：鞏固平面向量的模以及夾角公式，類比向量的運算與實數(shù)多項式的運算的關系6設向量滿足，的夾角為，若向量與向量夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍。6解答：由題設因為向量與向量夾角為鈍角，所以 由 解得另一方面，當夾角為時，也有，所以由向量與向量同方向得：（）（）因此解得：，由于，所以，得因此，當時，兩向量的夾角為不合題意所以，若向量與向量的夾角為銳角，實數(shù)的取值范圍是：練習

12、目的：綜合運用向量的數(shù)量積、夾角公式以及向量共線的條件解題，在解題時要特別注意特殊情況，才能不遺漏地正確解題 練習三平面向量的綜合應用7（1）已知中，是中的最大角，若，則的形狀為_.7答案：銳角三角形提示：由 可得 ，即的夾角為鈍角，所以，為銳角，因此為銳角三角形練習目的：體會應用平面向量的夾角公式判斷三角形的形狀平面向量鞏固檢測1 已知，其中 (1)求證： 與互相垂直；證明： 與互相垂直 (2)若與的長度相等，求的值(為非零的常數(shù)) 解析：；而，2已知、是兩個不共線的向量，且=（cos，sin）, =（cos，sin） （）求證：+與垂直； （）若（），=，且|+| = ，求sin.解：（1）=（4cos，3sin）， =（3cos，4sin）| = | =1 又（+）（）=22=|2|2 = 0 （+）（） （2）|+|2 =（+）2 = |2 +|2 +2= 2 + 2= 又=（cos）= 0 sin（）= sin = sin（）cos = 3設（1）計算解：4 已知向量(cosx，sinx)，(cos，sin)，其中x0，(1)求及|；(2)若f(x)2|的最小值為，求的