數(shù)學(xué)建模典型例題(二)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上6 小行星的軌道模型問題 一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽為原點的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測量單位（一天文單位為地球到太陽的平均距離：1.×1011m）.在5個不同的時間對小行星作了5次觀察，測得軌道上5個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)如表6.1.表6.1 坐標(biāo)數(shù)據(jù)x1x2x3x4x5X坐標(biāo)5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐標(biāo)0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研究（注：橢圓的一般方程可表示為.問題分析

2、與建立模型 天文學(xué)家確定小行星運動的軌道時，他的依據(jù)是軌道上五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)：（x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方程為.為了確定方程中的五個待定系數(shù)，將五個點的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得這是一個包含五個未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣求解這一線性方程組，所得的是一個二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數(shù),還必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:由于太陽的位置是小行星軌道的一個焦點,這時可以根據(jù)橢圓的長半軸和短半軸計算出小行星的近日點和遠(yuǎn)日點距離,以

3、及橢圓周長.根據(jù)二次曲線理論,可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下:所以,橢圓長半軸:;橢圓短半軸: ;橢圓半焦矩:.計算求解 首先由五個點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)形成線性方程組的系數(shù)矩陣使用計算機可求得從而的特征值于是,橢圓長半軸,短半軸,半焦距.小行星近日點距和遠(yuǎn)日點距為最后,橢圓的周長的準(zhǔn)確計算要用到橢圓積分,可以考慮用數(shù)值積分解決問題,其近似 值為84.7887.7 人口遷移的動態(tài)分析問題 對城鄉(xiāng)人口流動作年度調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有一個穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動的趨勢:每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn),而城鎮(zhèn)居民的1%遷出.現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn).假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去,那么一

4、年以后住在城鎮(zhèn)人口所占比例是多少?兩年以后呢?十年以后呢?最終呢?解 設(shè)開始時,令鄉(xiāng)村人口為城鎮(zhèn)人口為一年以后有鄉(xiāng)村人口 城鎮(zhèn)人口 或?qū)懗删仃囆问?兩年以后,有.十年以后,有事實上,它給出了一個差分方程:.我們現(xiàn)在來解這個差分方程.首先年之后的分布(將對角化):這就是我們所要的解,而且容易看出經(jīng)過很長一個時期以后這個解會達(dá)到一個極限狀態(tài)總?cè)丝谌允?與開始時一樣,但在此極限中人口的在城鎮(zhèn),而在鄉(xiāng)村.無論初始分布是什么樣,這總是成立的.值得注意這個穩(wěn)定狀態(tài)正是的屬于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性質(zhì):人口總數(shù)保持不變,而且鄉(xiāng)村和城鎮(zhèn)的人口數(shù)決不能為負(fù).前一性質(zhì)反映在下面事實中:矩陣每一列

5、加起來為1;每個人都被計算在內(nèi),而沒有人被重復(fù)或丟失.后一性質(zhì)則反映在下面事實中:矩陣沒有負(fù)元素;同樣地和也是非負(fù)的,從而和和等等也是這樣.8 常染色體遺傳模型為了揭示生命的奧秘,遺傳學(xué)的研究已引起了人們的廣泛興趣.動植物在產(chǎn)生下一代的過程中,總是將自己的特征遺傳給下一代,從而完成一種“生命的延續(xù)”.在常染色體遺傳中,后代從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因,形成自己的基因?qū)?人類眼睛顏色即是通過常染色體控制的,其特征遺傳由兩個基因和控制.基因?qū)κ呛偷娜?眼睛是棕色,基因?qū)κ堑娜?眼睛為藍(lán)色.由于和都表示了同一外部特征,或認(rèn)為基因支配,也可認(rèn)為基因?qū)τ诨騺碚f是隱性的(或稱為顯性基因,為隱性基因

6、).下面我們選取一個常染色體遺傳植物后代問題進(jìn)行討論.某植物園中植物的基因型為,.人們計劃用型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代.經(jīng)過若干年后,這種植物后代的三種基因型分布將出現(xiàn)什么情形?我們假設(shè)分別代表第代植物中,基因型為,和的植物占植物總數(shù)的百分率,令為第代植物的基因分布, 表示植物基因型的初始分布,顯然,我們有 (8.1)先考慮第代中的型，第代型與型相結(jié)合，后代全部是型；第代的型與和與相結(jié)合，后代是型的可能性為；代的型與型相結(jié)合，后代不可能是型。因此，我們有 （8.2）同理,我們有 （8.3） （8.4）將(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得 （8.5）將(8.5)式遞推,并利用(8.1)式,易得我們利用矩陣表示(8.2),(8.3)及(8.4)式,即 (8.6)其中這樣,(8.6)式遞推得到 (8.7)(8.7)式即為第代基因分布與初始分布的關(guān)系.下面,我們計算.對矩陣做相似變換,我們可找到非奇異矩陣和對角陣,使其中這樣,經(jīng)(8.7)得到最終有顯然,當(dāng)時,由上述三式,得到即在足夠長的時間后,培育出