專題13等差與等比數(shù)列-三年高考2012018數(shù)學(xué)理試題分項(xiàng)版解析解析版

1、專題13等差與等比數(shù)列考綱解讀明方向考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度1.等差數(shù)列及其性質(zhì)理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題;了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系理解2017課標(biāo)全國(guó)I,4；2016浙江,6;2016天津,18;2015北京,6選擇題填空題2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式掌握2017課標(biāo)全國(guó)m,9；2016課標(biāo)全國(guó)I,3；2015浙江,3選擇題填空題分析解讀1.理解等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系，掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì).3.命題以求an,Sn

2、為主，考查等差數(shù)列相關(guān)性質(zhì).4.本節(jié)內(nèi)容在高考中主要考查數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，分值約為5分，屬中低檔題.考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測(cè)熱度2017課標(biāo)全國(guó)理解等比數(shù)列的概念；n,3；選擇題1.等比數(shù)列及其性掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)理解2016課標(biāo)全國(guó)填空題質(zhì)和公式；I,15；解答題能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的2015課標(biāo)n,4寺叱天余，開(kāi)口匕用侶人卻以用?；也蝗盏みx擇題2.等比數(shù)列前的問(wèn)題；掌握2017江蘇,9；填空題n項(xiàng)和公式了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2014課標(biāo)n,17解答題分析解讀1.理解等比數(shù)列的概念、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.體會(huì)等比

3、數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.3.求通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和及等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用是高考熱點(diǎn)2018年高考全景展示1 .【2018年理新課標(biāo)I卷】設(shè)部為等差數(shù)列的前門項(xiàng)和，若：埼=5?+$4,%=，則%=A.二B.-l:"C.|:，D.1-【答案】B【解析】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為應(yīng)利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差d所滿足的等量關(guān)系式,從而求得結(jié)果d=3,之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得的=%+4d=212=10,從而求得正確結(jié)果.3x24x33（3X2+=2X2+d+4X2+d詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為*根據(jù)題中的條件可得22,整理解得d=Q所以的=口1十4d=2_12=_Q,故選b.點(diǎn)

4、睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差日的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到的與的和"的關(guān)系，從而求得結(jié)果.2 .【2018年理北京卷】設(shè)"J是等差數(shù)列，且81=3,82+85=36,則加的通項(xiàng)公式為.【答案】一'''':【解析】分析：先根據(jù)條件列關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可詳解：一''|一：.，點(diǎn)睛：在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為首項(xiàng)與公差（公比）問(wèn)題，雖有一定量的

5、運(yùn)算，但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用3 .【2018年理新課標(biāo)I卷】記與為數(shù)列®的前門項(xiàng)和，若$一：%+1,則.【答案】':【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的工=2/+1,類比著寫出國(guó)+1=+i+1,兩式相減，整理得到詢+1=2%,從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令"=1,結(jié)合鳥的關(guān)系，求得的=T,之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得”的值.詳解：根據(jù)=,可得L+1=2冊(cè)+1+1,兩式相減得=2%+1一2%,即+1=2%,當(dāng)"=1時(shí),51=%=2/+1,

6、解得%=-1,所以數(shù)列也是以-1為首項(xiàng)，以2為公布的等比數(shù)列，所以3r=-631-2,故答案是-63.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令"=1,求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.4 .【2018年浙江卷】已知等比數(shù)列an的公比q>1,且a3+a4+as=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿足bi=1,數(shù)列(bn+i-bn)an的前n項(xiàng)和為2n2+n.(I)求q的值；

7、(n)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.為=15-(你+3)(1廣一【答案】(I)q=N(n)2【解析】分析二(I)根據(jù)條件、等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解公比，(H)先根據(jù)班列(以打一匕)直打項(xiàng)和求通項(xiàng),解得九再通過(guò)會(huì)加法以及錯(cuò)位相減法求占”詳解：CI)由+2是的的等差中項(xiàng)得的+電=2%+4,所以的+A+%=3%+4=28,解得=B由的+a5=20得8(q十露=20,因?yàn)閝>1?所以耳=2.%盤=1,(II)設(shè)=(%+1一數(shù)列匕J前n項(xiàng)和為兀.由“卜-羽-1產(chǎn)巖乙解得=4n-1.11a-2n1說(shuō)十i一%二(4日1)(-1b=6i=(4"5)由(I)可知/一上，所以2,故2%一

8、比二d-Z一J+41_1-口_/十+-石)十血-比)=(4依-S)+(4rt9)(-)"-'+-7-+3-.設(shè)5)(|)7,心2幾=3+7；+11，(|)2+(4”一丁”=丸-+7-(一)2+(4曾r刃O吁2+(4辦-5)(一)”111111zrn=3+41+41()2+-T+4(-)"-2-(4n-5)(-)n'1Tn=14-(4n+3)(-)n-2tn>2所以222上2,因此21hT3=154自+3)，&廣2又比一I,所以"'2.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；

9、(2)在寫出品”與婚一的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出其轉(zhuǎn)屋，的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.5.【2018年理數(shù)全國(guó)卷II記與為等差數(shù)列陶的前門項(xiàng)和，已知%=-L5.(1)求%的通項(xiàng)公式；(2)求,也，并求羯的最小值.【答案】(1)an=2n-9,(2)Sn=n2-8n,最小值為T6.【解析】分析：(1)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果，(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得工的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：(1)設(shè)an的公差為d,由題

10、意得3a1+3d=T5.由a1=3得d=2.所以an的通項(xiàng)公式為an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(nY)2-16,所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為-16.點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.2017年高考全景展示1 .【2017課標(biāo)1,理4】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24,&=48,則an的公差為A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】65試題分析：設(shè)公差為d,a4+a5=a1+3d+a1+4d=2&+7d=24,S6=6a1+d=6a1+15d=48,212al7d=

11、24,聯(lián)立a1，解得d=4,故選C.6a115d=48秒殺解析：因?yàn)镾6=6(a1+a6)=3(a3+a4)=48,即%十a(chǎn)4=16,則(a4十%)_(a3+a4)=2416=8,2即a5-a3=2d=8,解得d=4,故選c.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如an為等差數(shù)列，若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.2.12017課標(biāo)3,理9等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,as,a6成等比數(shù)列，則Qn1前6項(xiàng)的和為A.-24B.-3C.3D.8【答案】A【解析】試題分析；設(shè)等差班列的公差為"，由化，6,小成等比

12、數(shù)列可得：,即:(1+2(0°=(l+d)(l+5d)，整理可得:d2+2d=0，公差不為0,則"二一2,數(shù)列的前6項(xiàng)和為/=6q+-=6x1x(-2)=-24.故選【考點(diǎn)】等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法3.12017課標(biāo)II,理3我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共

13、燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A,1盞B,3盞C,5盞D.9盞【答案】B【解析】試題分析：設(shè)塔白頂層共有燈X盞，則各層的燈數(shù)卞成一個(gè)首項(xiàng)為X,公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)x1-27列的求和公式有：=381,解得x=3,即塔的頂層共有燈3盞，故選Bo1-2【考點(diǎn)】等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型一一數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是

14、解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論。4.12017課標(biāo)3,理14】設(shè)等比數(shù)列an滿足ai+a2=1,ai-as=3貝Ua4=【答案】-8【解析】試題分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，很明顯q0_1，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組:aia2=ai1q=一1,2a1-a3=&1-'q=-3,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a43o=a1q=-8.由巒可得：q=2,代入可得a=1,【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公

15、式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程n15.12017課標(biāo)II,理15等差數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則工一=Sk【答案】2nn1【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,a12d=3-1由題思有：4M3，解得44al+d=101d=1nn-1nnTnn1數(shù)歹用刖n項(xiàng)和&=口+二7d=nx1+1=-222,_1211,裂項(xiàng)有：-L=一±一=2,-,據(jù)此：Skkk1kk11一1ST-k一力123/1_，l211-，LInn+1)In+1jn+1【考點(diǎn)】等差數(shù)列前n

16、項(xiàng)和公式；裂項(xiàng)求和?！久麕燑c(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，%,d,n,&,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題。數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。6.12017北京，理10】若等差數(shù)列g(shù)和等比數(shù)列也滿足ai=bi=T,a4=b4=8,則;=.b2【答案】1【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為

17、d和q,_1+3d=q3=8，求得q=2,d=3,ja2-13.那么=1b22-【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列【名師點(diǎn)睛】我們知道，等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組)，因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法2016年高考全景展示1.12016高考新課標(biāo)1卷】已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a0=8,則&00=()(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】C【解析】9a136d=27試題分析：由已知J,所以a1=1,d

18、=1,a100=a1+99d=1+99=98,故選C.q9d=8考點(diǎn)：等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】我們知道，等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化解關(guān)于基本量的方程(組)，因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法2.12016局考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nCN,則a=,Ss=【答案】11211解析】試題分析：為一4=4嗎=泡-In珥=12=3,再由&T,說(shuō)+14=2flm22)=>=24=4T=345*3又如=3馬，所以=3/保之，S產(chǎn)二=121.13考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由an+=2Sn+1