中考數(shù)學壓軸題幾何證明題必備

1、學習必備歡迎下載例題講解【例1】如圖10,平行四邊形ABC時，AB=5,B0=10,BC邊上的高A附4,E為BC邊上的一個動點(不與BC重合).過E作直線AB的垂線，垂足為F.FE與DC的延長線相交于點G,連結DE,DR(1)求證：ABEMACEG(2)當點E在線段BC上運動時，BEF和ACEG勺周長之間有什么關系？并說明你的理由.(3)設BE=x,zDEF的面積為y,請你求出y和x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？解析過程及每步分值1) 因為四邊形ABC國平行四邊形，所以AB|_DG1分所以.B=/GCE,G=/BFE所以BEFsCEG3分2) )zBEF與4C

2、EG的周長之和為定值.4分理由一：過點C作FG的平行線交直線AB于H,因為G"AB所以四邊形FHC矩形.所以FH=CGFG=CH因此，4BEF與4CEG的周長之和等于BC+CI+BH由BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,所以BOCHFBH=246分理由二：6分由AB=5,A陣4,可知在RtBEF與RtAGCEE,有：4343EF=-BE,BF=?BE,GE=EC,GC=、CE,55551212所以，BEF的周長是BE,ECG勺周長是CE55又BE+CE=10,因此口BEF與LlCEG的周長之和是24.學習必備歡迎下載(3)設B9x,則EF=4x,GC=3(10x)

3、551,1436222所以y=EFDGx-(10-x)5=-x2-x2255255配方得：y所以，當x6,55、2121=(x-)2256655=時，y有取大值.6最大值為12168分9分10分【例2】如圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與坐標軸交于點ABC且OA=1 OB=OC=3.(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)寫出頂點坐標和對稱軸方程.(3)點MN在y=ax2+bx+c的圖像上(點N在點M的右邊)且MN/x軸求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑.解析過程及每步分值(1)依題意A(1,0)B(3,0),C(0,3)分另iJ代入y=ax2+bx+c1分解方程組得所求解析式為y=

4、x22x34分2-2一(2)y=x2x3=(x1)-45分二頂點坐標(1,一4),對稱軸x=17分(3)設圓半徑為r,當MN在x軸下方時，N點坐標為(1+r,-r)8分2一-117.把N點代入y=x-2x-3得r9分學習必備歡迎下載同理可得另一種情形r=1172圓的半徑為'4斤或1+折10分22【例3】已知兩個關于x的二次函數(shù)y與當x=k時，y2=17;且二次函數(shù)丫2的圖象的對稱軸是直y2,y1=a(xk)2+2(ka0),y1+y2=x2+6x+12線x=-1.(1)求k的值；(2)求函數(shù)y1，y2的表達式；(3)在同一直角坐標系內(nèi)，問函數(shù)1的圖象與y2的圖象是否有交點？請說明理由.

5、解析過程及每步分值(1)由y1=a(x-k)2+2,y1+y2=x2+6x+12得y2=(y1+y2)y1=x2+6x+12a(xk)22=x2+6x+10_a(xk)2.又因為當x=k時，y2=17,即k2+6k+10=17,解得k1=1,或k2=-7(舍去)，故k的值為1.(2)由k=1,得y2=x2+6x+10-a(x-1)2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a,2a6所以函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=,2(1-a)于是，有-2a+6=-1,解得a=-1,2(1-a)所以y1=x2+2x+1,y2=2x2十4x十11.(3)由y=(x1)2+2,得函數(shù)y1的圖象為拋物線，其開口向下，

6、頂點坐標為(1,2)；由y2=2x2+4x+11=2(x+1)2+9,得函數(shù)y2的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為(-1,9)；故在同一直角坐標系內(nèi)，函數(shù)0的圖象與y2的圖象沒有交點.學習必備歡迎下載【例4】如圖，拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點B、O,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過原點O居到直線1,設P是直線l上一動點.(1)求點A的坐標；(2)以點A、BOP為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標；(3)設以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當4+6&<S<

7、;6+8應時，求x的取值范圍.解析過程及每步分值解：(1)y=x2+4x=(x+2)2-4A(-2,-4)(2)四邊形ABRO為菱形時，P(-2,4)一_.24四邊形ABOP為等腰梯形時，Pi(-)5,5四邊形ABPO為直角梯形時，Pi(-,8)55,612四邊形ABOP為直角梯形時，Pi(-)5,5(3)由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關系式是y=-2x-8,所以直線1的函數(shù)關系式是y=-2x學習必備歡迎下載當點P在第二象限時，x<0,POB的面積S.POB=4(-2x)=4x1AOB的面積SOB=-x4x4=8,S=SAOB'SPOB="x'8(x:二0)

8、46.2<S<68、2,S.46,2S.68.2口.<-4x+8>4+6V2即J-4x8<682S<2-3.221-4,22.x的取值范圍是上"2<x<23<2當點P在第四象限是，x>0,過點AP分別作x軸的垂線，垂足為A、P'則四邊形POAA的面積SpoaA=S梯形ppAA-SppO=42x,11，c、(x2)(2x)x=4x421一.AA'B的面積S.B=1父4M2=4S-SPOAAS.AaB=4x8(x0)4+6衣<S<6+872,-3V2-2S-46.2,iiS<68-2口4x+8&

9、gt;4+6V2即,4x+8<6+8<2x豈24-2-1S2，-32-24,21.x的取值范圍是322<x42一122【例4】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調查與預測，種植樹木的利潤y與投資量x成正比例關系，如圖所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關系，如圖所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）學習必備歡迎下載(1)分別求出利潤yi與y2關于投資量x的函數(shù)關系式；(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？解析過程及每步分值解：(1)設yi=

10、kx,由圖所示，函數(shù)yi=kx的圖像過(1,2),所以2=k1,k=2故利潤yi關于投資量x的函數(shù)關系式是y=2x；因為該拋物線的頂點是原點，所以設y2=ax2,由圖12-所示，函數(shù)y2=ax2的圖像過(2,2),所以2=a22,a=-2故利潤y2關于投資量x的函數(shù)關系式是y=-x2；2(2)設這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元(0wxw8),則投入種植樹木(8-x)萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得1 21212z=2(8-x)+x=x-2x16=-(x-2)142 22當x=2時，z的最小值是14;因為0<x<8,所以2Mx2<6所以(x-2)2<36所以1(x-2

11、)2<1821 .所以一(x2)2+14<18+14=32,即z<32,此時x=82當x=8時，z的最大值是32.【例5】如圖，已知A(-4,0),B(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心,相似比為9:4,將OB向右側放大，B點的對應點為C.學習必備歡迎下載,求該拋物線的解請找出拋物線上所(1)求C點坐標及直線BC的解析式；(2)一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上析式并畫出函數(shù)圖象；(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,有滿足到直線AB距離為3"的點P.解析過程及每步分值解：(1)過C點向x軸作垂線，垂足為D,由位似圖形性質可知:ACBO4ABSA

12、CDAO=-ADCD9由已知A(T,0),B(0,4)可知：AO=4,BO=4.AD=CD=9.C點坐標為(5,9).直線BC的解析是為:9-45-0化簡得：y=x.4學習必備歡迎下載4=c2,一、一(2)設拋物線斛析式為y=ax+bx+c(a>0),由題意得：<9=25a+5b+c,2b-4ac=0-1a2二1r4=125I.4斛信：6=4«b2=一ci=4；L1Q=42194，解得拋物線解析式為y1=x4x+4或y2=x+x+4.255124又y2=x2十一x+4的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去.255.滿足條件的拋物線解析式為y=x2-4x4(準確畫出函數(shù)y=

13、x2-4x+4圖象)(3)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P,設P到直線AB的距離為h,故P點應在與直線AB平行，且相距3”的上下兩條平行直線|1和12上.由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為3垃如圖，設|1與y軸交于E點，過E作EHBC于F點，在RtBEF中EF=h=3右，/EBF=/ABO=45'，BE=6.，可以求得直線11與y軸交點坐標為(0,10)同理可求得直線|2與y軸交點坐標為(0,-2)，兩直線解析式11:丫=*+10;l2：y=x2.222y=x-4x+4y=x-4x+4根據(jù)題意列出方程組：4y；ry=x10y=x-2后力口x1=6

14、x2=-1x3=2x4=3，解得：11;22;33;4y=16y2=9)3=0y4=1滿足條件的點P有四個，它們分別是以6,16),F2(T,9),P3(2,0),F4(3,1)【例6】如圖，拋物線L1:y=x2-2x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于M點.拋物線L1向學習必備歡迎下載N為頂點的四邊P關于原點的對右平移2個單位后得到拋物線L2,L2交x軸于GD兩點.(1)求拋物線L2對應的函數(shù)表達式；(2)拋物線或12在x軸上方的部分是否存在點N,使以A,C,M,形是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；(3)若點P是拋物線Li上的一個動點(P不與點AB重合)，那么點稱點Q是

15、否在拋物線L2上，請說明理由.解析過程及每步分值解令得-2工+3=0,二工i一3,工士=L.,.A(一，03B(I,0).,拋物我匕向右平移2個單位得拋物線L-，以-2=-1.，拋物線L為3-一(工+1)(工一箝，即y=箝+2=+3.蟲)存在.令父=0,得拋物線L是向右平移2個單位得到的，:,盤N(2,3)在5上+且=又丫八匚=磊二""=月。./,四邊形ACNM為平行四邊膨.同理,上的點NY-2,3)輛足NfM/AC,M=Aa，四邊形ACMN'是平行四邊形二N2,3,W(一磊3)即為所求.學習必備歡迎下載（幼設是L*上任意一點則點P關于原點的對稱點Q（一與一立3且V

16、=一Hi*-2町十3»將點。的橫坐標代入L2,得皿。一工/一2與+3=）港-m*二點Q不在拋物綾1“上【例7】如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3擲，點P是邊BC上的動點（點P不與點B,點C重合），過點P作直線PQ/BD,交CD邊于Q點，再把PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x,PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y.（1）求/CQP的度數(shù)；（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上?（3）求y與x之間的函數(shù)關系式；當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的二?解析過程及每步分值解：（1）如圖，:四邊形ABCD是矩形，:AB=CD,AD=BC.

17、又AB=9,AD=3百，/C=90',二CD=9,BC=3行.一BC3；.tanCDB=，.CDB=30.CD3'/PQ/BD,，/CQP=CDB=30.(2)如圖1,由軸對稱的性質可知,RPQCPQ,，RPQ=/CPQ,RP=CP.由(1)知CQP=30；,.RPQ=/CPQ=60"學習必備歡迎下載，/RPB=601RP=2BP.；CP=x,.PR=x,PB=3/3x.在4RPB中，根據(jù)題意得：2(3j3x)=x,解這個方程得：x=2j3.(3)當點R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時，11320<x<2屈,Sacpq=父CPmCQ=x|_/3x=x,222':RPQWACPQ,二當0<xW2由時，y=/x2當R在矩形ABCD的外部時（如圖2）,2j-cx33j-,在RtPFB中，：'/RPB=60,，.PF=2BP=2(3.3-x),又；RP=CP=x,RF=RP-PF=3x-63,在RtAERF中，:'/EFR=/PFB=30,.ER=V3x-6.SAerf-1ERFR-3-3x2-18x18.3,22*y-SarpqSaerf,二當273Mx<3向時，y=6x2+18x-18>/3.綜上所述，y與x之間的巨邈解析式是:i、3x218x