中考數(shù)學(xué)壓軸題幾何證明題必備

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載例題講解【例1】如圖10,平行四邊形ABC時(shí)，AB=5,B0=10,BC邊上的高A附4,E為BC邊上的一個動點(diǎn)(不與BC重合).過E作直線AB的垂線，垂足為F.FE與DC的延長線相交于點(diǎn)G,連結(jié)DE,DR(1)求證：ABEMACEG(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動時(shí)，BEF和ACEG勺周長之間有什么關(guān)系？并說明你的理由.(3)設(shè)BE=x,zDEF的面積為y,請你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？解析過程及每步分值1) 因?yàn)樗倪呅蜛BC國平行四邊形，所以AB|_DG1分所以.B=/GCE,G=/BFE所以BEFsCEG3分2) )zBEF與4C

2、EG的周長之和為定值.4分理由一：過點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H,因?yàn)镚"AB所以四邊形FHC矩形.所以FH=CGFG=CH因此，4BEF與4CEG的周長之和等于BC+CI+BH由BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,所以BOCHFBH=246分理由二：6分由AB=5,A陣4,可知在RtBEF與RtAGCEE,有：4343EF=-BE,BF=?BE,GE=EC,GC=、CE,55551212所以，BEF的周長是BE,ECG勺周長是CE55又BE+CE=10,因此口BEF與LlCEG的周長之和是24.學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3)設(shè)B9x,則EF=4x,GC=3(10x)

3、551,1436222所以y=EFDGx-(10-x)5=-x2-x2255255配方得：y所以，當(dāng)x6,55、2121=(x-)2256655=時(shí)，y有取大值.6最大值為12168分9分10分【例2】如圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)ABC且OA=1 OB=OC=3.(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程.(3)點(diǎn)MN在y=ax2+bx+c的圖像上(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊)且MN/x軸求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑.解析過程及每步分值(1)依題意A(1,0)B(3,0),C(0,3)分另iJ代入y=ax2+bx+c1分解方程組得所求解析式為y=

4、x22x34分2-2一(2)y=x2x3=(x1)-45分二頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,一4),對稱軸x=17分(3)設(shè)圓半徑為r,當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(1+r,-r)8分2一-117.把N點(diǎn)代入y=x-2x-3得r9分學(xué)習(xí)必備歡迎下載同理可得另一種情形r=1172圓的半徑為'4斤或1+折10分22【例3】已知兩個關(guān)于x的二次函數(shù)y與當(dāng)x=k時(shí)，y2=17;且二次函數(shù)丫2的圖象的對稱軸是直y2,y1=a(xk)2+2(ka0),y1+y2=x2+6x+12線x=-1.(1)求k的值；(2)求函數(shù)y1，y2的表達(dá)式；(3)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，問函數(shù)1的圖象與y2的圖象是否有交點(diǎn)？請說明理由.

5、解析過程及每步分值(1)由y1=a(x-k)2+2,y1+y2=x2+6x+12得y2=(y1+y2)y1=x2+6x+12a(xk)22=x2+6x+10_a(xk)2.又因?yàn)楫?dāng)x=k時(shí)，y2=17,即k2+6k+10=17,解得k1=1,或k2=-7(舍去)，故k的值為1.(2)由k=1,得y2=x2+6x+10-a(x-1)2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a,2a6所以函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=,2(1-a)于是，有-2a+6=-1,解得a=-1,2(1-a)所以y1=x2+2x+1,y2=2x2十4x十11.(3)由y=(x1)2+2,得函數(shù)y1的圖象為拋物線，其開口向下，

6、頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)；由y2=2x2+4x+11=2(x+1)2+9,得函數(shù)y2的圖象為拋物線，其開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,9)；故在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)0的圖象與y2的圖象沒有交點(diǎn).學(xué)習(xí)必備歡迎下載【例4】如圖，拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移，使它經(jīng)過原點(diǎn)O居到直線1,設(shè)P是直線l上一動點(diǎn).(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)以點(diǎn)A、BOP為頂點(diǎn)的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)4+6&<S<

7、;6+8應(yīng)時(shí)，求x的取值范圍.解析過程及每步分值解：(1)y=x2+4x=(x+2)2-4A(-2,-4)(2)四邊形ABRO為菱形時(shí)，P(-2,4)一_.24四邊形ABOP為等腰梯形時(shí)，Pi(-)5,5四邊形ABPO為直角梯形時(shí)，Pi(-,8)55,612四邊形ABOP為直角梯形時(shí)，Pi(-)5,5(3)由已知條件可求得AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x-8,所以直線1的函數(shù)關(guān)系式是y=-2x學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，x<0,POB的面積S.POB=4(-2x)=4x1AOB的面積SOB=-x4x4=8,S=SAOB'SPOB="x'8(x:二0)

8、46.2<S<68、2,S.46,2S.68.2口.<-4x+8>4+6V2即J-4x8<682S<2-3.221-4,22.x的取值范圍是上"2<x<23<2當(dāng)點(diǎn)P在第四象限是，x>0,過點(diǎn)AP分別作x軸的垂線，垂足為A、P'則四邊形POAA的面積SpoaA=S梯形ppAA-SppO=42x,11，c、(x2)(2x)x=4x421一.AA'B的面積S.B=1父4M2=4S-SPOAAS.AaB=4x8(x0)4+6衣<S<6+872,-3V2-2S-46.2,iiS<68-2口4x+8&

9、gt;4+6V2即,4x+8<6+8<2x豈24-2-1S2，-32-24,21.x的取值范圍是322<x42一122【例4】隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y與投資量x成正比例關(guān)系，如圖所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)分別求出利潤yi與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？解析過程及每步分值解：(1)設(shè)yi=

10、kx,由圖所示，函數(shù)yi=kx的圖像過(1,2),所以2=k1,k=2故利潤yi關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y=2x；因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，所以設(shè)y2=ax2,由圖12-所示，函數(shù)y2=ax2的圖像過(2,2),所以2=a22,a=-2故利潤y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y=-x2；2(2)設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元(0wxw8),則投入種植樹木(8-x)萬元，他獲得的利潤是z萬元，根據(jù)題意，得1 21212z=2(8-x)+x=x-2x16=-(x-2)142 22當(dāng)x=2時(shí)，z的最小值是14;因?yàn)?<x<8,所以2Mx2<6所以(x-2)2<36所以1(x-2

11、)2<1821 .所以一(x2)2+14<18+14=32,即z<32,此時(shí)x=82當(dāng)x=8時(shí)，z的最大值是32.【例5】如圖，已知A(-4,0),B(0,4),現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心,相似比為9:4,將OB向右側(cè)放大，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為C.學(xué)習(xí)必備歡迎下載,求該拋物線的解請找出拋物線上所(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式；(2)一拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在x軸正半軸上析式并畫出函數(shù)圖象；(3)現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P,有滿足到直線AB距離為3"的點(diǎn)P.解析過程及每步分值解：(1)過C點(diǎn)向x軸作垂線，垂足為D,由位似圖形性質(zhì)可知:ACBO4ABSA

12、CDAO=-ADCD9由已知A(T,0),B(0,4)可知：AO=4,BO=4.AD=CD=9.C點(diǎn)坐標(biāo)為(5,9).直線BC的解析是為:9-45-0化簡得：y=x.4學(xué)習(xí)必備歡迎下載4=c2,一、一(2)設(shè)拋物線斛析式為y=ax+bx+c(a>0),由題意得：<9=25a+5b+c,2b-4ac=0-1a2二1r4=125I.4斛信：6=4«b2=一ci=4；L1Q=42194，解得拋物線解析式為y1=x4x+4或y2=x+x+4.255124又y2=x2十一x+4的頂點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，不合題意，故舍去.255.滿足條件的拋物線解析式為y=x2-4x4(準(zhǔn)確畫出函數(shù)y=

13、x2-4x+4圖象)(3)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P,設(shè)P到直線AB的距離為h,故P點(diǎn)應(yīng)在與直線AB平行，且相距3”的上下兩條平行直線|1和12上.由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為3垃如圖，設(shè)|1與y軸交于E點(diǎn)，過E作EHBC于F點(diǎn)，在RtBEF中EF=h=3右，/EBF=/ABO=45'，BE=6.，可以求得直線11與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,10)同理可求得直線|2與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)，兩直線解析式11:丫=*+10;l2：y=x2.222y=x-4x+4y=x-4x+4根據(jù)題意列出方程組：4y；ry=x10y=x-2后力口x1=6

14、x2=-1x3=2x4=3，解得：11;22;33;4y=16y2=9)3=0y4=1滿足條件的點(diǎn)P有四個，它們分別是以6,16),F2(T,9),P3(2,0),F4(3,1)【例6】如圖，拋物線L1:y=x2-2x+3交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn).拋物線L1向?qū)W習(xí)必備歡迎下載N為頂點(diǎn)的四邊P關(guān)于原點(diǎn)的對右平移2個單位后得到拋物線L2,L2交x軸于GD兩點(diǎn).(1)求拋物線L2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)拋物線或12在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N,使以A,C,M,形是平行四邊形.若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點(diǎn)P是拋物線Li上的一個動點(diǎn)(P不與點(diǎn)AB重合)，那么點(diǎn)稱點(diǎn)Q是

15、否在拋物線L2上，請說明理由.解析過程及每步分值解令得-2工+3=0,二工i一3,工士=L.,.A(一，03B(I,0).,拋物我匕向右平移2個單位得拋物線L-，以-2=-1.，拋物線L為3-一(工+1)(工一箝，即y=箝+2=+3.蟲)存在.令父=0,得拋物線L是向右平移2個單位得到的，:,盤N(2,3)在5上+且=又丫八匚=磊二""=月。./,四邊形ACNM為平行四邊膨.同理,上的點(diǎn)NY-2,3)輛足NfM/AC,M=Aa，四邊形ACMN'是平行四邊形二N2,3,W(一磊3)即為所求.學(xué)習(xí)必備歡迎下載（幼設(shè)是L*上任意一點(diǎn)則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q（一與一立3且V

16、=一Hi*-2町十3»將點(diǎn)。的橫坐標(biāo)代入L2,得皿。一工/一2與+3=）港-m*二點(diǎn)Q不在拋物綾1“上【例7】如圖，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3擲，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作直線PQ/BD,交CD邊于Q點(diǎn)，再把PQC沿著動直線PQ對折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是R點(diǎn)，設(shè)CP的長度為x,PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y.（1）求/CQP的度數(shù)；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，點(diǎn)R落在矩形ABCD的AB邊上?（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取何值時(shí)，重疊部分的面積等于矩形面積的二?解析過程及每步分值解：（1）如圖，:四邊形ABCD是矩形，:AB=CD,AD=BC.

17、又AB=9,AD=3百，/C=90',二CD=9,BC=3行.一BC3；.tanCDB=，.CDB=30.CD3'/PQ/BD,，/CQP=CDB=30.(2)如圖1,由軸對稱的性質(zhì)可知,RPQCPQ,，RPQ=/CPQ,RP=CP.由(1)知CQP=30；,.RPQ=/CPQ=60"學(xué)習(xí)必備歡迎下載，/RPB=601RP=2BP.；CP=x,.PR=x,PB=3/3x.在4RPB中，根據(jù)題意得：2(3j3x)=x,解這個方程得：x=2j3.(3)當(dāng)點(diǎn)R在矩形ABCD的內(nèi)部或AB邊上時(shí)，11320<x<2屈,Sacpq=父CPmCQ=x|_/3x=x,222':RPQWACPQ,二當(dāng)0<xW2由時(shí)，y=/x2當(dāng)R在矩形ABCD的外部時(shí)（如圖2）,2j-cx33j-,在RtPFB中，：'/RPB=60,，.PF=2BP=2(3.3-x),又；RP=CP=x,RF=RP-PF=3x-63,在RtAERF中，:'/EFR=/PFB=30,.ER=V3x-6.SAerf-1ERFR-3-3x2-18x18.3,22*y-SarpqSaerf,二當(dāng)273Mx<3向時(shí)，y=6x2+18x-18>/3.綜上所述，y與x之間的巨邈解析式是:i、3x218x