數(shù)學(xué)模型(第四版)課件-第二章

1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量光盤的數(shù)據(jù)容量2.2 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效2.3 劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)2.4 實(shí)物交換實(shí)物交換2.5 污水均流池的設(shè)計(jì)污水均流池的設(shè)計(jì)2.6 交通流與道路通行能力交通流與道路通行能力2.7 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.9 天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià)天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià) 研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單 用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來建模盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來建模

2、如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.初初 等等 模模 型型2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量光盤的數(shù)據(jù)容量背景和問題背景和問題 20世紀(jì)世紀(jì)80年代出現(xiàn)激光唱片年代出現(xiàn)激光唱片(CD)與激光視盤與激光視盤(LD), 統(tǒng)稱統(tǒng)稱光盤，用于儲(chǔ)存數(shù)字聲頻、視頻信號(hào)和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)等光盤，用于儲(chǔ)存數(shù)字聲頻、視頻信號(hào)和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)等. 20世紀(jì)世紀(jì)90年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(DVD). 21世紀(jì)初光盤集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體世紀(jì)初光盤集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體

3、, 帶動(dòng)了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展帶動(dòng)了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展. CD的數(shù)據(jù)容量的數(shù)據(jù)容量: 單層單層650MB(兆字節(jié)兆字節(jié))DVD的數(shù)據(jù)容量的數(shù)據(jù)容量: 單層單層4.7GB(千兆字節(jié)千兆字節(jié))從數(shù)學(xué)建模的角度研究從數(shù)學(xué)建模的角度研究 : 光盤的數(shù)據(jù)容量是光盤的數(shù)據(jù)容量是怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化.調(diào)查和分析調(diào)查和分析45mm120mm2mm信道間距信道間距信道信道(螺旋線螺旋線)經(jīng)過編碼的數(shù)字信息，以經(jīng)過編碼的數(shù)字信息，以一定深度和寬度、不同長(zhǎng)一定深度和寬度、不同長(zhǎng)度的凹坑的形式，用燒蝕度的凹坑的形式，用燒蝕技術(shù)存

4、儲(chǔ)在光盤表面呈螺技術(shù)存儲(chǔ)在光盤表面呈螺旋線形狀的信道上旋線形狀的信道上. 當(dāng)盤片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，當(dāng)盤片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量的大小的大小取決于取決于信道的總長(zhǎng)度信道的總長(zhǎng)度與信道上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的與信道上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度線密度. 決定信道長(zhǎng)度和線密度大小的主要因素是所用決定信道長(zhǎng)度和線密度大小的主要因素是所用激光的波長(zhǎng)激光的波長(zhǎng)，和，和驅(qū)動(dòng)光盤的機(jī)械形式驅(qū)動(dòng)光盤的機(jī)械形式.調(diào)查和分析調(diào)查和分析 當(dāng)光盤運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識(shí)別出信道上的凹坑當(dāng)光盤運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識(shí)別出信道上的凹坑所攜帶的信息，必須銳利地聚焦所攜帶的信息，必須銳利地聚焦. 數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量 激光波長(zhǎng)激光波長(zhǎng) 驅(qū)動(dòng)形式驅(qū)

5、動(dòng)形式 信道長(zhǎng)度信道長(zhǎng)度 線密度線密度激光波長(zhǎng)激光波長(zhǎng) 光的衍射使激光束在光盤上形成圓狀的光斑光的衍射使激光束在光盤上形成圓狀的光斑. 為了提高存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，為了提高存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，而光斑的大小與激光波長(zhǎng)成正比而光斑的大小與激光波長(zhǎng)成正比. 激光器激光器激光波長(zhǎng)激光波長(zhǎng)（m）光斑直徑光斑直徑（m）信道間距信道間距（m）數(shù)據(jù)線密度數(shù)據(jù)線密度（字節(jié)（字節(jié)/mm）紅外紅外(CD)0.7821.6121紅色紅色(DVD)0.640.9250.74387藍(lán)色藍(lán)色(DVD)0.410.40.32800調(diào)查和分析調(diào)查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驅(qū)動(dòng)光盤的機(jī)械

6、形式驅(qū)動(dòng)光盤的機(jī)械形式每一圈螺旋線上存儲(chǔ)每一圈螺旋線上存儲(chǔ)同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息容量取決于最內(nèi)圈的長(zhǎng)容量取決于最內(nèi)圈的長(zhǎng)度、線密度以及總?cè)?shù)度、線密度以及總?cè)?shù) 各圈螺旋線上數(shù)據(jù)各圈螺旋線上數(shù)據(jù)的線密度不變的線密度不變 容量取決于固定的線容量取決于固定的線密度和螺旋線總長(zhǎng)度密度和螺旋線總長(zhǎng)度 恒定線速度恒定線速度(CLV )從光盤的容量比較，從光盤的容量比較，CLV優(yōu)于優(yōu)于CAV. 數(shù)據(jù)讀取時(shí)間數(shù)據(jù)讀取時(shí)間: CLV每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外圈移動(dòng)時(shí)，需要等待光盤加速或減速，而圈移動(dòng)時(shí)，需要等待光盤加速或減速，而CAV不需要不需要. 對(duì)音樂、影像

7、、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用對(duì)音樂、影像、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用CLV;對(duì)詞典、數(shù)據(jù)庫、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用對(duì)詞典、數(shù)據(jù)庫、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定線速度恒定線速度)光盤光盤R1光盤環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑光盤環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑, R2 外圓半徑外圓半徑, d 信道間距信道間距CLVCLVLCLCLV 信道總長(zhǎng)度信道總長(zhǎng)度 )(2110kdRLnkCLVddRRRR)(1212dRRLCLV)(2122環(huán)形區(qū)域面積環(huán)形區(qū)域面積/信道間距信道間距 同心圓平均周長(zhǎng)同心圓平均周長(zhǎng)*總?cè)?shù)總?cè)?shù) dRRRRLCLV121222數(shù)據(jù)

8、容量數(shù)據(jù)容量線密度線密度,(n總?cè)?shù)總?cè)?shù))其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角速度)光盤光盤螺旋線最內(nèi)圈的長(zhǎng)度近似為螺旋線最內(nèi)圈的長(zhǎng)度近似為2R1, 總?cè)?shù)可視為總?cè)?shù)可視為dRR12 dRRRLCAV1212數(shù)據(jù)容量數(shù)據(jù)容量LCLV 信道總長(zhǎng)度信道總長(zhǎng)度 線密度線密度,CAVCAVLC當(dāng)線密度當(dāng)線密度、信道間距、信道間距d和外徑和外徑R2給定后，給定后， 可選擇可選擇環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑R1，使數(shù)據(jù)容量最大，使數(shù)據(jù)容量最大 .模型求解模型求解 CLV(恒定線速度恒定線速度)光盤光盤激光器激光器激光波長(zhǎng)激光波長(zhǎng)(m)信道長(zhǎng)度信道長(zhǎng)度(mm)信息容

9、量信息容量, (MB)影像時(shí)間影像時(shí)間(min)紅外紅外(CD)0.785,611,17967918紅色紅色(DVD)0.6412,132,2794,695126藍(lán)色藍(lán)色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm dRRLCLV)(2122CD信道長(zhǎng)度在信道長(zhǎng)度在5km以上，容量約以上，容量約680 MB; DVD容量在容量在GB量級(jí)量級(jí). 影像時(shí)間按照每秒鐘占用影像時(shí)間按照每秒鐘占用0.62 MB計(jì)算計(jì)算 .模型求解模型求解 激光器激光器激光波長(zhǎng)激光波長(zhǎng) (m)信道長(zhǎng)度信道長(zhǎng)度 (mm)信息容量信息容量, (MB)影像時(shí)間影像時(shí)間(mi

10、n)紅外紅外(CD)0.783,302,59940011紅色紅色(DVD)0.647,140,7552,76474藍(lán)色藍(lán)色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盤光盤dRRRLCAV1212CAVCAVLCdR222即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，CAV光盤光盤的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盤光盤 .R1=R2/2時(shí)時(shí)LCAV最大最大 2d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，

11、減少多少熱量損失.假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流.T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)2.2 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功效雙層雙層單單層層dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱

12、傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTkQa111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模lTTkba2dTTkb21記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建

13、模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失的熱量損失.結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)數(shù)k2 2極低極低, , 而這要求空氣非常干燥、不流通而這要求空氣非常干燥、不流通. .房間通過天花板、墻壁、房間通過天花板、墻壁、損失的熱量更多損失的熱量更多.dlhhQQ,18121實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!2.3 劃艇比賽

14、的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī)賽艇賽艇 2000m成績(jī)成績(jī) t (分分)種類種類 1 2 3 4 平均平均單人單人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21雙人雙人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇長(zhǎng)艇長(zhǎng)l 艇寬艇寬b (m) (m) l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg) 槳槳手?jǐn)?shù)手?jǐn)?shù)n 16.3 13.6 18.1 14.7對(duì)四種賽艇對(duì)四種賽

15、艇 (單人、雙人、四人、八人單人、雙人、四人、八人) 4次國際次國際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳槳手?jǐn)?shù)有某手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系種關(guān)系. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.問問題題準(zhǔn)準(zhǔn)備備調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量l /b, w0/n 基本不變基本不變問題分析問題分析 前進(jìn)阻力前進(jìn)阻力 浸沒部分與水的摩擦力浸沒部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)動(dòng)力 槳手的劃槳功率槳手的劃槳功率分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定:劃槳?jiǎng)潣β使β?賽艇賽艇速度速度

16、賽艇賽艇速度速度前進(jìn)前進(jìn)動(dòng)力動(dòng)力前進(jìn)前進(jìn)阻力阻力漿手漿手?jǐn)?shù)量數(shù)量 艇艇重重浸沒浸沒面積面積 對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定. . 運(yùn)用合適的物理定律建立模型運(yùn)用合適的物理定律建立模型. .模型假設(shè)模型假設(shè)1）艇形狀相同）艇形狀相同(l/b為常數(shù)為常數(shù)), w0與與n成正比成正比2）v是常數(shù)，阻力是常數(shù)，阻力 f與與 sv2成正比成正比符號(hào)：艇速符號(hào)：艇速 v, 浸沒面積浸沒面積 s, 浸沒體積浸沒體積 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 槳手?jǐn)?shù)槳手?jǐn)?shù) n, 槳手功率槳手功率 p, 槳手體重槳手體重 w, 艇重艇重 W.艇的靜態(tài)特

17、性艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，相同，p不變，不變，p與與w成正比成正比槳手的特征槳手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比賽成績(jī)比賽成績(jī) t n 1/9np fv,模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)n t1 7.212 6.884 6.328 5.84bant 11. 021. 7ntnbatloglog線性最小二乘法線性最小二乘法利用利用4次國際大賽冠軍的平均次國際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).tn12487.216.886.325.84與模型吻合！與模

18、型吻合！劃艇比賽的成績(jī)劃艇比賽的成績(jī) 對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題. 利用物理基本知識(shí)分析問題利用物理基本知識(shí)分析問題. 模型假設(shè)比較粗糙模型假設(shè)比較粗糙. 利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的比例方法建模方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度只考慮各種艇的相對(duì)速度). 模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！巧合！)問問題題甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案.yxp.用用x,y分別表示

19、甲分別表示甲(乙乙)占有占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有有X的數(shù)量為的數(shù)量為x0, 乙占有乙占有Y的的數(shù)量為數(shù)量為y0, 作圖：作圖：若不考慮雙方對(duì)若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y)都是一種交換方案：甲占有都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyyo0 xo2.4 實(shí)物交換實(shí)物交換xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的無差別曲線甲的無差別曲線分析與建模分析與建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)與占有與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度具有同樣的滿意程度,即即p1, p2對(duì)

20、甲是無差別的對(duì)甲是無差別的.MN將將所有與所有與p1, p2無差別的點(diǎn)無差別的點(diǎn)連接起來連接起來, 得到一條得到一條無差別無差別曲線曲線MN.線上各點(diǎn)的滿意度相同線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛程度的偏愛程度.N1M1P3(x3,y3).比比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲，在另一條無差別曲線線M1N1上上, 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）.yxp1.yxp2.c1 y0 xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：無差別曲線族的性質(zhì)： 單調(diào)減單調(diào)減(x增加增加, y減小減小) 下凸下凸(凸向原點(diǎn)凸

21、向原點(diǎn)) 互不相交互不相交在在p1點(diǎn)占有點(diǎn)占有x少、少、y多，多，寧愿以較多的寧愿以較多的 y換取換取較少的較少的 x;在在p2點(diǎn)占有點(diǎn)占有y少、少、x多，多，就要以較多的就要以較多的 x換取換取較少的較少的 y.甲的無差別曲線族記作甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1滿意度滿意度（f 等滿意度曲線）等滿意度曲線）甲的無差別曲線甲的無差別曲線xyOg(x,y)=c2c2 乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）相同性質(zhì)（形狀可以不同）. 雙方的交換路徑雙方的交換路徑xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的無差別曲線族乙的無差別曲線族 g=c2

22、(坐標(biāo)系坐標(biāo)系xOy, 且反向）且反向）甲的無差別曲線族甲的無差別曲線族 f=c1ABp P 雙方滿意的交換方案必雙方滿意的交換方案必在在AB（交換路徑）上（交換路徑）上! !因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)外的任一點(diǎn)p, (雙方雙方)滿意度低于滿意度低于AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)p.兩族曲線切點(diǎn)連線記作兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB分析與建模分析與建模AB 交換方案的進(jìn)一步確定交換方案的進(jìn)一步確定交換方案交換方案 交換后甲的占有量交換后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路交換路徑徑AB雙方的無差別曲線族雙方的無差別曲線族等價(jià)交等價(jià)交換原則換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)

23、用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線兩點(diǎn)的連線CD.AB與與CD的交點(diǎn)的交點(diǎn)p設(shè)設(shè)X單價(jià)單價(jià)a, Y單價(jià)單價(jià)b, 則等價(jià)交換下則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0)yyo0 xo.xp.2.5 污水均流池的設(shè)計(jì)污水均流池的設(shè)計(jì)城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的, 在凈化處理在凈化處理前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲(chǔ)存的大池子，再通前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲(chǔ)存的大池子，再通過水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備過水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備

24、. 背景和問題背景和問題集中、儲(chǔ)存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為集中、儲(chǔ)存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為均流池均流池.根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì)根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì)均流池的容積均流池的容積及水泵和輸水及水泵和輸水管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原則確定則確定均流池的具體尺寸均流池的具體尺寸.調(diào)查和分析調(diào)查和分析除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池的流量是的流量是以天為周期以天為周期變化的變化的.典型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量典型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量(m3/s) 時(shí)間時(shí)間(h)012

25、34567流量流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369時(shí)間時(shí)間(h)89101112131415流量流量0.05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775時(shí)間時(shí)間(h)1617181920212223流量流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天污水一天進(jìn)入均流池的平均流量進(jìn)入均流池的平均流量（忽略蒸發(fā)等損失）（忽略蒸發(fā)等損失） =從均流池用水泵從均流池用水泵打入凈化設(shè)備的恒定流量打入凈化設(shè)備的恒定流量 由以小時(shí)為單位間隔的

26、由以小時(shí)為單位間隔的污水流入量污水流入量和從均流池到凈化設(shè)和從均流池到凈化設(shè)備的備的恒定流出量恒定流出量，可得，可得均流池均流池中污水隨時(shí)間變化中污水隨時(shí)間變化的容量的容量. 調(diào)查和分析調(diào)查和分析 均流池的容積應(yīng)該按照污水的均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量最大容量，并考慮留有，并考慮留有一定一定裕量裕量來設(shè)計(jì)來設(shè)計(jì). 均流池的均流池的面積面積可以由它的容積和深度得到可以由它的容積和深度得到. 均流池的均流池的施工成本施工成本：底部單位面積的成本，四條邊上：底部單位面積的成本，四條邊上單位長(zhǎng)度的施工成本單位長(zhǎng)度的施工成本. 均流池的形狀一般為均流池的形狀一般為矩形矩形，其，其深度深度通常按照工

27、程需要通常按照工程需要（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定. 模型假設(shè)與建立模型假設(shè)與建立 以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有25%的的裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì)裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì). 均流池的深度為均流池的深度為3m，施工成本：底部面積，施工成本：底部面積 340元元/m2，兩條長(zhǎng)邊及一條短邊兩條長(zhǎng)邊及一條短邊250元元/m，另一條短邊，另一條短邊450元元/m. 模型模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型均流池的恒定流出量和最大容量模型230)(241ttfg流量單位換算成流量單位換算成m3/h,記為記為f(t)平均

28、流入量平均流入量=恒定流出恒定流出量量=203.67m3/h 設(shè)計(jì)流量設(shè)計(jì)流量255 m3/h (25%的裕量的裕量)051015202550100150200250300350tfg= 203.67f(t)模型模型1均流池中污水的容量為均流池中污水的容量為c(t) (m3)0()24(,23, 2 , 1 , 0,)()() 1(cctgtftctc時(shí)間時(shí)間01234567容量容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69時(shí)間時(shí)間89101112131415容量容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51637.74

29、567.45時(shí)間時(shí)間1617181920212223容量容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83時(shí)間時(shí)間01234567容量容量876.15822.60734.49615.78478.71343.08211.0589.46時(shí)間時(shí)間89101112131415容量容量18.63023.1366.06113.31170.64238.41308.70時(shí)間時(shí)間1617181920212223容量容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98設(shè)設(shè)c(0)=0 c(9)最小最小設(shè)設(shè)c(9)=0 c

30、(23)最大最大模型模型1051015202550100150200250300350tfg= 203.67f(t)0510152025-1000-50005001000tcc(0)=0c(0)=876.15c(t)f(t)gc(t) 最小最小 f(t)g f(t)gc(t) 最大最大 最大容量為最大容量為892.98m 設(shè)計(jì)容量設(shè)計(jì)容量1116 m3 (25%的裕量的裕量)模型模型2 均流池的具體尺寸模型均流池的具體尺寸模型設(shè)計(jì)容量設(shè)計(jì)容量1116 m3, 深度深度3m施工成本：底部面積施工成本：底部面積 340元元/m2, 兩長(zhǎng)邊及一短邊兩長(zhǎng)邊及一短邊250元元/m,另一短邊另一短邊450

31、元元/m. l長(zhǎng)邊長(zhǎng)度，長(zhǎng)邊長(zhǎng)度， w短邊長(zhǎng)度短邊長(zhǎng)度底部面積底部面積 l w=372, w =372/ l lllS/260400500126480)(82.22500/260400l建造一個(gè)建造一個(gè)23 m16.5m的均流池，成本約的均流池，成本約15萬元萬元. wwllwwlS450)2(250340),(S(l)=149301元元, w =16.30m2.6 交通流與道路通行能力交通流與道路通行能力現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長(zhǎng)長(zhǎng)在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長(zhǎng)長(zhǎng)的汽車隊(duì)伍等待放行的汽車隊(duì)伍等

32、待放行. 背景和問題背景和問題通過信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，通過信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一. 介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系; 討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力. 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性流量流量q某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)(輛輛/h ) 密度密度k某時(shí)刻通過道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù)某時(shí)刻通過道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車輛數(shù)(

33、輛輛/km ) 速度速度v 某時(shí)刻通過道路某斷面的車輛速度某時(shí)刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h) 交通流交通流 標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車在單方向道路上行駛形標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響成的車流，沒有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響. 借用物理學(xué)概念借用物理學(xué)概念, 將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體流體, 用用流量、速度、密度流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性個(gè)參數(shù)描述其基本特性. vkq 3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性速度速度v 與與密度密度k

34、 的關(guān)系的關(guān)系 )/1 (jfkkvv線性模型線性模型 vf 暢行車速暢行車速(k=0時(shí)時(shí))kj阻塞密度阻塞密度(v=0時(shí)時(shí))適合車流適合車流密度適中密度適中的情況的情況 對(duì)數(shù)模型對(duì)數(shù)模型 車流車流密度較大密度較大時(shí)適用時(shí)適用 )/ln(1kkvvj指數(shù)模型指數(shù)模型 )/exp(jfkkvv車流車流密度較小密度較小時(shí)適用時(shí)適用 v1 k=kj/e時(shí)的車速時(shí)的車速(理論上理論上), 由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定. 車流密度加大車流密度加大 司機(jī)被迫減速司機(jī)被迫減速 交通流的基本參數(shù)及其特性交通流的基本參數(shù)及其特性)/1 (jfkkkvqvkq )/1 (jfkkvv)/1 (fjvvvkq速度速

35、度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量時(shí)的密度最大流量時(shí)的密度vm=vf/2 最大流量時(shí)的速度最大流量時(shí)的速度 城市干道的通行能力城市干道的通行能力道路通行能力道路通行能力單位時(shí)間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù)單位時(shí)間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù). 交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài)交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài) 交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵出現(xiàn)交通擁堵.飽和度飽和度流量與通行能力的比值流量與通行能力的比值, 表示道路的負(fù)荷程度表示道

36、路的負(fù)荷程度.城市干道的通行能力城市干道的通行能力在理想的道路和交通條件下，在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛車頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的最大車輛數(shù)最大車輛數(shù)N (輛輛/h). 城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/1000v車速車速 (km/h)， d最小車頭間隔最小車頭間隔(m) d 主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān)主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān). 43204321ddcvvtdddddd1剎車時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間剎車時(shí)

37、司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0 內(nèi)汽車行駛的距離內(nèi)汽車行駛的距離. d2剎車時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車停止行駛的距離剎車時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車停止行駛的距離.c與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù)與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù). d3兩車之間的安全距離，兩車之間的安全距離，d4車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度. 單位時(shí)間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)單位時(shí)間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)N城市干道的通行能力城市干道的通行能力dvN/10004320ddcvvtdv102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的專業(yè)教材交通工程的專業(yè)教材: 司機(jī)剎車

38、的反應(yīng)時(shí)間司機(jī)剎車的反應(yīng)時(shí)間t0 =1s，系數(shù)，系數(shù)c=0.01,安全距離安全距離 d3=2m，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度d4=5m. 當(dāng)當(dāng)t0，c，d3，d4變大時(shí)最大通行能力變大時(shí)最大通行能力Nm減小減小. )(26 . 31000430ddctNm最大通最大通行能力行能力vddcvtN4306 . 31000cddv43最大制動(dòng)力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)最大制動(dòng)力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng).常數(shù)常數(shù)制動(dòng)距離與車速的模型制動(dòng)距離與車速的模型22cvd 制動(dòng)距離：制動(dòng)距離：制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合

39、理原則：設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合理原則：剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作的功等于汽車動(dòng)能的作的功等于汽車動(dòng)能的改變，且改變，且F與車的質(zhì)量與車的質(zhì)量m成正比成正比. F d2= m v2/2F m22cvd模型假設(shè)模型假設(shè)信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力西西東東南南北北相位相位A相位相位B相位相位C相位相位D信號(hào)燈控制采用信號(hào)燈控制采用4相位方案相位方案 典型的十字路口典型的十字路口 東西方向有東西方向有3條車道：條車道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行左轉(zhuǎn)、直行、直右混行 南北方向有南北方向有2條車道：條車道：左轉(zhuǎn)、直右混行左轉(zhuǎn)、直右混行 某一相位下每小時(shí)通過停止線某一

40、相位下每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù)的最大車輛數(shù)(單行道單行道) S (輛輛/h) 信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力 假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第第1輛車立即啟動(dòng)通過停止線，其余車輛按照固定時(shí)輛車立即啟動(dòng)通過停止線，其余車輛按照固定時(shí)間間隔通過停止線間間隔通過停止線. T(s)信號(hào)燈周期，信號(hào)燈周期， tg(s)某相位的綠燈時(shí)間某相位的綠燈時(shí)間t0(s)綠燈后第綠燈后第1輛車通過停止線的時(shí)間輛車通過停止線的時(shí)間ts(s)直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時(shí)間直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時(shí)間反映車輛通過路口不均勻性的折

41、減系數(shù)反映車輛通過路口不均勻性的折減系數(shù).) 1(36000sgtttTS信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力t0=2.3s，ts=2.5s(小型車輛小型車輛)3.5s(大型車輛大型車輛)，對(duì)直行或右轉(zhuǎn)對(duì)直行或右轉(zhuǎn)=0.9(左轉(zhuǎn)更小左轉(zhuǎn)更小) ) 1(36000sgtttTSG=tg/T綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比(綠信比綠信比) Q= 3600/ts小時(shí)流量小時(shí)流量(按每按每ts(s) 通過一輛車計(jì)算通過一輛車計(jì)算)GQ每小時(shí)通過停止線每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù)的最大車輛數(shù)實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段 4個(gè)相位通行的實(shí)際流量個(gè)相位通行的實(shí)際流

42、量qA, qB, qC, qD 調(diào)整調(diào)整4個(gè)相位的綠信比個(gè)相位的綠信比, 使使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD 2.7 核軍備競(jìng)賽核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實(shí)行實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí). 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過了雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議一系列核裁軍協(xié)議. 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張?jiān)谑裁辞闆r下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無限擴(kuò)張, 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài). 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多當(dāng)一方采取加

43、強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí), 平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化. 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.背背景景與與問問題題以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：核威懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的己方在經(jīng)

44、受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定攻擊精度和另一方的防御能力決定.模模型型假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線乙安全線)x=g(y)乙有乙有y枚導(dǎo)彈枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線甲安全線)

45、當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線分析分析模型模型乙方乙方殘存率殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率基地，基地未被摧毀的概率.sx個(gè)基地未

46、被摧毀，個(gè)基地未被摧毀，yx個(gè)基地未被攻擊個(gè)基地未被攻擊.xy甲方以甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個(gè)基地中的個(gè)基地中的 x個(gè)個(gè),y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy個(gè)基地被攻擊個(gè)基地被攻擊2次次, s2(xy)個(gè)未被摧毀個(gè)未被摧毀;y (xy)=2y x個(gè)被攻擊個(gè)被攻擊1次次, s(2y x )個(gè)未被摧毀個(gè)未被摧毀.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yxssssyy21)2(0y= y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2yxasysyy/00 x=a y,分析分析模型模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威懾值威懾值s

47、殘存率殘存率y=f(x)利用微積分知識(shí)可知利用微積分知識(shí)可知y是一條上凸的曲線，且是一條上凸的曲線，且 y0變大，曲線上移、變陡變大，曲線上移、變陡. s變大，變大，y減小，曲線變平減小，曲線變平.xy0y0 xy, y= y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,xssssyy21)2(0 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí)甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).),(mmyxP（其他因素不變）（其他

48、因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0不變不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.PP 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo)雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).(x

49、 , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量)雙方威懾值雙方威懾值x 0, y0和殘存率和殘存率s均減小均減小.y0減小減小 y下移且變平下移且變平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)PP s變小變小 y增加且變陡增加且變陡雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.?PP模型解釋模型解釋 乙安全線乙安全線 y=f(x)?PP 核核 軍軍 備備 競(jìng)競(jìng) 賽賽 對(duì)對(duì)“核威懾戰(zhàn)略核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過程的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡

50、的過程. 提出提出安全曲線安全曲線概念，給出它的一般形式概念，給出它的一般形式. 通過更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：通過更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值威懾值和殘存率和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式，給出安全線的分析表達(dá)式. 利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.簡(jiǎn)化問題簡(jiǎn)化問題AB 風(fēng)向風(fēng)向北北航向航向帆船帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從要從A點(diǎn)駛向正東方的點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向確定起航時(shí)的

51、航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航揚(yáng)帆遠(yuǎn)航模型分析模型分析 風(fēng)風(fēng)(通過帆通過帆)對(duì)船的推力對(duì)船的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分的阻力風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假設(shè)假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積與帆迎風(fēng)面積s1成正比，成正比，p與船迎風(fēng)面積與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 s2 .f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( - )f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos

52、 模型模型假設(shè)假設(shè) wpw1w2f1f2p2p1 w2與帆面平行，可忽略與帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正東方向速度分量船在正東方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v與力與力f=f1-p1成正比成正比.v=k1(f1-p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1-cos )/2 -pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 當(dāng)當(dāng) 固定時(shí)求固定時(shí)求 使使f1最大最大f1=wcos( -2 )-cos /2 = /2 時(shí)時(shí) f1=w(1-cos )/2最大最大

53、= k1(f1-p1)cos f1=w1sin =wsin sin( - )p1=pcos 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2cos)cos1 (21tkv)21(cos41222tttkv1最大最大2),21(21cos12sstt備備注注 只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型. 航行過程中終點(diǎn)航行過程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整將不在正東方，應(yīng)調(diào)整 和和 . 記記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks

54、1, p=ks21/4cos s22.8 天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià)天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià) 明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以有雨概率有雨概率形式給出形式給出. 問題問題已得到某地一個(gè)月已得到某地一個(gè)月4種預(yù)報(bào)方法種預(yù)報(bào)方法的有雨概率的有雨概率預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無雨的預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無雨的觀測(cè)結(jié)果觀測(cè)結(jié)果. 日期日期 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)A(%)預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)B (%)預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)C (%) 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)D (%)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)(有雨有雨=1,無雨無雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)4種預(yù)報(bào)方法給以評(píng)價(jià)種預(yù)報(bào)方法給以評(píng)價(jià)

55、9天天有雨有雨22天天無雨無雨全全相相同同計(jì)數(shù)模型計(jì)數(shù)模型根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測(cè)，根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測(cè)，統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的正確率正確率 有雨概率有雨概率=50% 毫無意義毫無意義, 不予統(tǒng)計(jì)不予統(tǒng)計(jì) 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)C2175預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨3預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)D26預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨 0216預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨10311預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)A預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨09022預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)B明天有雨概率明天有雨概率50% 預(yù)報(bào)有雨預(yù)報(bào)有雨明天有雨概率明天有雨概率50% 預(yù)報(bào)無雨預(yù)報(bào)無雨 正確率正確率0.57正

56、確率正確率0.71正確率正確率0.81正確率正確率0.93計(jì)數(shù)模型計(jì)數(shù)模型從實(shí)用角度看，更重要的是從實(shí)用角度看，更重要的是誤報(bào)率誤報(bào)率. 預(yù)報(bào)無雨預(yù)報(bào)無雨而而實(shí)測(cè)有雨實(shí)測(cè)有雨的概率的概率P2 預(yù)報(bào)有雨預(yù)報(bào)有雨而而實(shí)測(cè)無雨實(shí)測(cè)無雨的概率的概率P1 預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)C2175預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨3預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)D26預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨 0216預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)實(shí)測(cè)實(shí)測(cè)有雨有雨有雨有雨無雨無雨無雨無雨10311預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)A設(shè)兩種后果的損失之比為設(shè)兩種后果的損失之比為1 : 2P1=10/16P2=3/14誤報(bào)率誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3=0.35 誤報(bào)率誤報(bào)率P

57、=0.20 誤報(bào)率誤報(bào)率P=0.06 造成預(yù)防費(fèi)用浪費(fèi)造成預(yù)防費(fèi)用浪費(fèi) 預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失預(yù)防不足導(dǎo)致?lián)p失 誤報(bào)率誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3 缺點(diǎn)缺點(diǎn): : 未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值 記分模型記分模型將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測(cè)結(jié)果比較并記分將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測(cè)結(jié)果比較并記分 模型模型1 pk第第k天天預(yù)報(bào)有雨概率預(yù)報(bào)有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0無雨無雨第第k天的預(yù)報(bào)得分天的預(yù)報(bào)得分 0,5 . 01, 5 . 0kkkkkvpvps對(duì)對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0

58、， S1 (D) = 6.7 預(yù)報(bào)有雨概率預(yù)報(bào)有雨概率0.5 得到相應(yīng)的正得到相應(yīng)的正分分 S1越大越好越大越好 記分模型記分模型模型模型2pk第第k天天預(yù)報(bào)有雨概率預(yù)報(bào)有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0無雨無雨kkkvps第第k天的預(yù)報(bào)得分天的預(yù)報(bào)得分 對(duì)對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S2 S2越小越好越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型模型32)(kkkvps第第k天的預(yù)報(bào)得分天的預(yù)報(bào)得分 對(duì)對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S3 S3越小越好越小越好 S3 (A) =

59、8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 記分模型記分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 模型模型1, 2對(duì)對(duì)4種預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相對(duì)分差都相同種預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相對(duì)分差都相同f理論上的有雨概率理論上的有雨概率 222)1 () 1()()(pfpfv

60、pESE2)()1 (fpff模型模型3的期望分?jǐn)?shù)的期望分?jǐn)?shù) p預(yù)報(bào)有雨概率預(yù)報(bào)有雨概率v=1有雨，有雨， v=0無雨無雨P(guān)(v=1)= f, P(v=0)= 1- f 比較模型比較模型3 3與模型與模型2 2的優(yōu)劣的優(yōu)劣 p=f 時(shí)時(shí)E(S)最小最小等價(jià)等價(jià)! nvpS)(考察一般模型考察一般模型 求求E(S)的極值的極值 此意義下模型此意義下模型3 3最佳！最佳！ 僅當(dāng)僅當(dāng)n=2時(shí)時(shí)p=f才能才能E(S)最小最小 圖形模型圖形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * * *