有限元法基礎及ANSYS應用(電子教案)課件

1、有限元法基礎及ANSYS應用有限元法基礎及ANSYS應用電子教案1第一章 緒論1.1有限元法概述1.1.1 有限元法的發(fā)展及基本思想隨著現(xiàn)代工業(yè)、生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展，不斷要求設計高質(zhì)量、高水平的大型、復 雜和精密的機械及工程結(jié)構(gòu)。為此目的，人們必須預先通過有效的計算手段，確切地預測即將誕生的機械和工程結(jié)構(gòu)，在未來工作時所發(fā)生的應力、應變和位移。但是傳統(tǒng)的一些方法往往難以完成對工程實際問題的有效分析。彈性力學的經(jīng)典理論，由于求解偏微分方程邊值問題的困難，只能解決結(jié)構(gòu)形狀和承受載荷較簡單的問題，對于幾何形狀復雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變，以及幾何非線性、材料非線性等問題往往遇到很多麻煩，試圖按經(jīng)典

2、的彈性力學方法獲得解析解是十分困難的，甚至是不可能的。因此，需要尋求一種簡單而又精確的數(shù)值分析方法。有限元法正是適應這種要求而產(chǎn)生和發(fā)展起來的一種十分有效的數(shù)值計算方法。這個方法起源于20世紀50年代中期航空工程中飛機結(jié)構(gòu)的矩陣分析。 1960年美國的克勞夫(Clough)采用此方法進行飛機結(jié)構(gòu)分析時，首次將這種方法起名為“有限單元法”(finite element method），簡稱“有限元法”。有限單元法的基本思想，是在力學模型上將一個原來連續(xù)的物體離散成為有限個具有一定大小的單元，這些單元僅在有限個節(jié)點上相連接，并在節(jié)點上引進等效力以代替實際作用于單元上的外力。對于每個單元,根據(jù)分塊近

3、似的思想，選擇一種簡單的函數(shù)來表示單元內(nèi)位移的分布規(guī)律，并按彈性理論中的能量原理(或用變分原理)建立單元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系。最后，把所有單元的這種關系式集合起來，就得到一組以節(jié)點位移為未知量的代數(shù)方程組，解這些方程組就可以求出物體上有限個離散節(jié)點上的位移。圖1.1是用有限元法對直齒圓柱齒輪的輪齒進行的變形和應力分析，其中圖1.1(a)為有限元模型，圖1.1(b)是最大切應力等應力線圖。在圖1.1(a)中采用8節(jié)點四邊形等參數(shù)單元把輪齒劃分成網(wǎng)格，這些網(wǎng)格稱為單元；網(wǎng)格間互1相連接的點稱為節(jié)點；網(wǎng)格與網(wǎng)格的交界線稱為邊界。顯然，圖中的節(jié)點數(shù)是有限的，單元數(shù)目也是有限的，這就是“有限元”一

4、詞的由來。 圖1. 1對直齒圓柱齒輪的輪齒進行的變形和應力分析 有限元法具有很多優(yōu)點，主要有以下幾點：（1）理論基礎簡明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對該法的理解。既可通過直觀的物理途徑來學習和運用這一方法，也可以為該法建立嚴格的數(shù)學基礎。 (2) 具有靈活性和適用性，應用范圍極為廣泛。它不僅能成功地處理如應 力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應力應變關系以及復雜邊界條件等難題，且隨著其理論基礎和方法的逐步完善，還能成功地用來求解如熱傳導、流體力學及電磁場領域的許多問題。 (3) 該法在具體推導運算中，廣泛采用了矩陣方法。矩陣代數(shù)能把繁冗的 分析和運算用矩陣符號表示成非常緊湊

5、簡明的數(shù)學形式，因而最適合于電子計算機存貯，便于實現(xiàn)程序設計的自動化?？傊?，有限元法已被公認為應力分析的有效工具而受到普遍的重視和廣泛應用。有限單元法從選擇基本未知量的角度來看，可分為三類:位移法、力法和混合法。以節(jié)點位移為基本未知量的求解方法稱為位移法；以節(jié)點力為基本未知量的求解方法稱為力法;一部分以節(jié)點位移，另一部分以節(jié)點力作為基本未知量的求解方法稱為混合法。由于位移法通用性較強，計算機程序處理簡單、方便，因此得到廣泛的應用。本書只討論最為普遍的位移法。1.1.2有限元法的基本步驟有限元法分析計算的基本步驟可歸納如以下五點。1. 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化是有限元法分析的第一步，它是有限元法

6、的基礎。將某個機械結(jié)構(gòu)劃分為由各種單元組成的計算模型，如圖1.1(a)所示，這一步稱作單元劃分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點相互連接起來，將求解區(qū)域變成為用點、線或面劃分的有限數(shù)目的單元組合成的集合體。單元的形狀原則上是任意的。例如，在平面問題中通常采用三角形單元，有時也采用矩形或任意四邊形單元。在空間問題中，可以采用四面體、長方體或任意六面體單元?？梢?，不管單元取什么樣的形狀，在一般情況下，單元的邊界總不可能與求解區(qū)域的真實邊界完全吻合，這就帶來了有限元法的一個基本近似性幾何近似。在一個具體的機械結(jié)構(gòu)中，確定單元的類型和數(shù)目以及哪些部位的單元可以取得大一些，哪些部位單元應該取得小一些，

7、需要由經(jīng)驗來做出判斷。單元劃分越細則描述變形情況越精確，即越接近實際變形，但計算量越大。所以有限元法中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同樣材料的眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的計算結(jié)果就越逼近實際情況。2. 單元分析1） 選擇位移模式位移模式是表示單元內(nèi)任意點的位移隨位置變化的函數(shù)式，由于所采用的函數(shù)是一種近似的試函數(shù)，一般不能精確地反映單元中真實的位移分布，這就帶來了有限元法的另一種基本近似性。采用位移法時，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應變和應力等由節(jié)點位移來表示。

8、這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常，有限單元法中我們將位移表示為坐標變量的簡單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)，如 式中，是待定系數(shù)；是與坐標有關的某種函數(shù)。 2）建立單元剛度方程選定單元的類型和位移模式以后，就可按虛功原理或最小勢能原理建立單元剛度方程，它實際上是單元各個節(jié)點的平衡方程，其系數(shù)矩陣稱為單元剛度矩陣 (11)式中，為單元編號；為單元的節(jié)點位移向量；為單元的節(jié)點力向量 ；為單元剛度矩陣，它的每一個元素都反映了一定的剛度特性。根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點數(shù)目、位置及其含義等，找出單元 節(jié)點力和節(jié)點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步

9、。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。3） 計算等效節(jié)點力物體離散化后，假定力是通過節(jié)點從一個單元傳遞到另一個單元。但是，對于實際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元中去的。因而，這種作用在單元邊界的表面力、體積力或集中力都需要等效地移到節(jié)點上去，也就是用等效的節(jié)點力來代替所有作用在單元上的力。3. 整體分析有限元法的分析過程是先分后合，即先進行單元分析，在建立了單元剛度方程以后，再進行整體分析，把這些方程集成起來，形成求解區(qū)域的剛度方程，稱為有限元位移法基本方程。集成所遵循的原則是各相鄰單元在共同節(jié)點處

10、具有相同的位移。利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新聯(lián)接起 來，形成整體的有限元方程 (12)式中，為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；為整體節(jié)點位移向量；為整體載荷向量。4. 求解方程，得出節(jié)點位移解有限元方程式（12)得出位移。這里可以根據(jù)方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。5. 由節(jié)點位移計算單元的應變與應力解出節(jié)點位移以后，根據(jù)需要，可由彈性力學的幾何方程和彈性方程來計算 應變和應力。通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是“一分一合”，化整為零，集零為整，把復雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個單元組成的整體。1.2 有限元法的工程應用在有限元法誕生后的40多年來，有限元法的應用已由彈

11、性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題，由靜力平衡問題擴展到穩(wěn)定性問題、動力問題和波動問題，分析的對象從彈性材料擴展到塑性、黏彈性、黏塑性和復合材料等，從固體力學擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等領域。有限元法的工程應用如表1.1所示。表1.1 有限元法的工程應用 研究領域 平衡問題 特征值問題 動態(tài)問題 結(jié)構(gòu)工程學，結(jié)構(gòu)力學和宇航工 程學 梁、板、殼結(jié)構(gòu)的 分析；復雜或混雜結(jié) 構(gòu)的分析；二維與三 維應力分析 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性； 結(jié)構(gòu)的固有頻率和振 型；線性黏彈性阻尼 應力波的傳播;結(jié)構(gòu)對于 非周期載荷的動態(tài)響應;耦合 熱彈性力學與熱黏彈性力學土力學，基礎工 程學和巖石力學二維與三維應力 分析；填筑

12、和開挖問 題；邁坡穩(wěn)定性問題； 土壤與結(jié)構(gòu)的相互作 用；項、隧洞、鉆孔、涵 洞、船閘等的分析;流 體在土壤和巖石中的 穩(wěn)態(tài)滲流土壤與結(jié)構(gòu)組合 物的固有頻率和振型土壤與巖石中的非定常 滲流;在可變形多孔介質(zhì)中的 流動-固結(jié)應力波在土壤和巖石中 的傳播;土壤與結(jié)構(gòu)的動態(tài)相 互作用熱傳導學固體和流體中的 穩(wěn)態(tài)溫度分布固體和流體中的瞬態(tài)熱流 流體動力學，水 利工程學和水 源學流體的勢流；流 體的黏性流動；蓄水 層和多孔介質(zhì)中的定 常滲流；水工結(jié)構(gòu)和 大壩的分析湖泊和港灣的波 動固有頻率和振 型剛性或柔性容器 中流體的晃動河口的鹽度和污染研究 (擴展問題沉積物的推移； 流體的非定常流動；波的傳 播;多孔

13、介質(zhì)和蓄水層中非定態(tài)滲流核子工程學反應堆安全殼結(jié)構(gòu)的分析；反應堆和 反應堆安全殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)溫度分布反應堆安全殼結(jié)構(gòu)的動 態(tài)分析;反應堆結(jié)構(gòu)的熱黏彈 性分析；反應堆和反應堆安全 殼結(jié)構(gòu)中的非穩(wěn)態(tài)溫度分布電磁學二維和三維靜態(tài) 電磁場分析二維和三維時變、高頻電 磁場分析1.3彈性力學基本知識材料力學主要研究桿、梁、柱，結(jié)構(gòu)力學主要研究桿系或梁系，而彈性力 學主要研究實體和板的受力與變形。工程中的許多構(gòu)件是由實體或板構(gòu)成，而 且有限元法所能解決的問題有許多是屬于彈性力學范疇的，因此要解決工程 問題和學好有限元法必須學習彈性力學知識。彈性力學的任務是分析彈性體在受外力作用并處于平衡狀態(tài)下產(chǎn)生的應 力、應

14、變和位移狀態(tài)及其相互關系等。彈性力學假設所研究的物體是連續(xù)的、 完全彈性的、均勻的、各向同性的、微小變形的和無初應力的，在這6條假設的 基礎上研究受力物體一點上的應力、應變、變形和平衡關系。彈性力學用于二、 三維連續(xù)彈性體問題，要考慮平衡微分方程、物理方程、幾何方程和邊界條件， 最終歸結(jié)為偏微分方程的邊值問題。在有限元法中經(jīng)常用到彈性力學的基本方程和變分原理，為了以后應用 方便，將直接給出彈性力學的基本方程和彈性力學中的能量原理。關于它們的 詳細推導可以參閱相關的教材。下面就簡要介紹這些基礎知識。1.3.1關于外力、應力、應變、與位移的定義1. 外力作用于物體的外力可以分為體積力和表面力，兩者

15、也分別簡稱為體力和面力。體力指分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。物體內(nèi)各點受體力的情況，一般是不相同的，用體力集度矢量表明該物體在某一點所受體力的大小和方向。該矢量在坐標軸x,y,z上的投影記為，稱為體力分量，以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。它們的因次是力長度。面力指分布在物體表面上的力，例如流體壓力和接觸力。物體在其表面上各點受面力的情況，一般也是不相同的，用面力集度矢量表明該物體在其表面上某一點所受面力的大小和和方向，該矢量在坐標軸x,y,z上的投影記為，稱為面力分量，同樣以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。它們的因次是力長度。有限元法分析中也使用集中力這一概念，其正

16、負號規(guī)定同上。2. 應力物體受外力的作用，或由于溫度有所改變，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力。為了研究物體在其某一點P處的內(nèi)力，假想用經(jīng)過P點的一個截面mn將該物體分為 A和B兩部分，而將B部分撇開，如圖1.2所示。撇開的部分B將在截面mn上對留下的部分A作用一定的內(nèi)力。取這一截面的一小部分，它包含著P點，而它的面積為。設作用于上的內(nèi)力為，則內(nèi)力的平均集度，即平均應力為現(xiàn)在，命無限減小而趨于P點，假定內(nèi)力為連續(xù)分布，則將趨于一定的極限S，即 這個極限矢量S就是物體在截面mn上的在P點的應力。對于應力，除了在推導某些公式的過程中以外，通常都不會使用它沿坐標軸方向的分量，因為這些分量和物體的形變或材料強度都沒有

17、直接的關系。與物體的形變及材料強度直接相關的，是應力在作用截面的法向和切向的分量，也就是正應力和剪應力，如圖1. 2所示。應力及其分量的因次也是力長度。圖1.2 P點的應力分解 圖1.3 P點外微小平行六面體應力分解顯然，在物體內(nèi)的同一點P，不同截面上的應力是不同的。為了分析這一點的應力狀態(tài)，即各個截面上應力的大小和方向，在這一點從物體內(nèi)取出一個微小的平行六面體，它的棱邊平行于坐標軸，如圖1.3所示。將每一面上的應力分解為一個正應力和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平行。正應力用表示，為了表明這個正應力的作用面和作用方向，加上一個坐標角碼。例如，正應力是作用在垂直于x軸的面上，同時也是沿著x軸的方

18、向作用的。剪應力用表示，并加上兩個坐標角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標軸。例如，剪應力是作用在垂直于x軸的面上而沿著y軸方向作用的。如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為一個正面，而這個面上的應力分量就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為一個負面,而這個面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。圖1. 3中所示的應力分量全部都是正的。注意，雖然上述正負號規(guī)定，對于正應力來說，結(jié)果是和材料力學中的規(guī)定相同（拉應力為正而壓應力為負，但是，對

19、于剪應力來說，結(jié)果卻和材料力學中的規(guī)定不完全相同。按照這里的符號規(guī)則，剪應力互等定理表達為 ,在物體的任意一點，如果已知這6個應力分量，就可以求得經(jīng)過該點的任意截面上的正應力和剪應力。因此，彈性體在載荷作用下，體內(nèi)任意一點的應力狀態(tài)可由6個應力分量，來表示。應力的矩陣形式是 (13) 稱為應力列陣或應力分量。3. 應變物體受到外力作用時，其形狀會發(fā)生改變，即產(chǎn)生了形變。物體的形狀總可以用它各部分的長度和角度來表示，因此，物體的形變可以歸結(jié)為長度的改變和角度的改變。為了分析物體在其某一點P的形變狀態(tài)，在這一點沿著坐標軸x，y，z的正方向取三個微小的線段么PA、PB、PC，如圖1.4所示。物體變形

20、以后，這三個線段的長度以及它們之間的直角一般都將有所改變。各線段的每單位長度的伸縮，稱為正應變。各線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應變。正應變用字母表示：表示x方向的PA的正應變，其余類推。正應變以伸長時為正，縮短時為負，與正應力的正負號規(guī)定相適應。剪應變用字母表示：表示y與z兩方向的線段（即PB與PC）之間的直角的改變，其余類推。剪應變以直角變小時為正，變大時為負，與剪應力正負號規(guī)定相適應。正應變和剪應變都是無因次的數(shù)量。 圖1.4 P點應變狀態(tài)彈性體內(nèi)任意一點的應變，可以由6個應變分量，來表示。其中，為正應變;，為剪應變。圖1.5（a)、（b)分別為和 的正應變狀態(tài)。應變的矩陣形式

21、是 (13) 稱為應變列陣或應變向量。 4. 位移彈性體在載荷作用下，不僅會發(fā)生形變，還將產(chǎn)生位移，即彈性體位置的 移動。彈性體內(nèi)任一點的位移可由沿直角坐標軸x，y，z方向的三個位移分量u，v，w來表示。以沿坐標軸正方向的為正，沿坐標軸負方向的為負。它的矩陣形式是 稱為位移列陣或位移向量。1.3.2 彈性力學的基本方程1.幾何方程對于三維的一般情況，應變分量和位移分量有一定的幾何關系，這種關系可以表示為 （16） 即6個應變分量可以用3個位移分量表示，這種關系可稱為幾何方程。當用式（16）來確定位移u，v，w時，由于3個求知函數(shù)有6個方程式，所以，當任意給定應變分量時,一般來說，這個方程組是不

22、會有解的。因此，必須給各應變分量附加某些限制條件，以便由這6個方程式得到一組3個位移分 量的單值連續(xù)的解。這些附加的限制條件就是“變形協(xié)調(diào)條件”，它可用協(xié)調(diào)方程式表述。所謂變形協(xié)調(diào)條件，可以做如下的理解：設想在變形前，把彈性體分為許多微小立方單元體。變形后，每個單元體都產(chǎn)生任意變形而變成一些六面體?？赡馨l(fā)生這樣的情況，這些六面體再也不能組合成一個連續(xù)的變形體。為了保證這些六面體仍能組合成一個連續(xù)體，每一個小單元體的應變分量必須滿足某一確定的關系。這個關系就是變形協(xié)調(diào)條件或稱變形連續(xù)條件?，F(xiàn)在就二維平面問題來研究這些關系。這只要把位移分量u和v從下式中消去即可 對x，y微分，可得 （17） 因為

23、u和v都是單值連續(xù)函數(shù)，所以式（17)可改寫為 （18）因為， ，所以（18）就成為 （19）這就是平面問題中的變形協(xié)調(diào)條件。對于三維問題，只要把位移分量u，v，w從式（16）中消去就得相應的變形協(xié)調(diào)條件。把對x，y微分，對z,x微分，并將所得結(jié)果相加，則得 （110）由于u，v，w是單值連續(xù)函數(shù)，我們便可把式(110)右邊改寫成 因此有 或 利用循環(huán)輪換法即可得到其余的類似關系式。結(jié)果，可以得到應變分量之 間必須滿足的變形協(xié)調(diào)條件。它們是如下的6個微分方程式：（111）2. 物理方程當彈性單元體上只作用有拉伸和壓縮的應力（所有六個表面上沒有任何其他應力作用）時，則應力和應變成比例，其比值稱為

24、拉伸彈性模量，用E表示。即此時虎克定律 大多數(shù)工程材料的拉伸彈性模量和壓縮彈性模量相等，因而簡稱為彈性模量。當單元體在x方向拉伸時，在y和z兩個方向必伴隨著橫向收縮。因此有 式中,為泊松比。剪應力分量和其對應的剪應變之比稱為剪切彈性模量，用G表示，即 G和E之間的關系是 對于各向同性的材料，在三維情況下，由應變求應力的彈性方程為由應力求應變的彈性方程為 式（112）或式（113）表述了三維情況下應力和應變之間的轉(zhuǎn)換關系，稱為廣義虎克定律。這種關系又可稱為物理關系，或稱物理方程。式（112）和式（113）可以寫成矩陣形式或 （114）式中，D為彈性矩陣；或 （115）式中，。3. 平衡方程當物體

25、在外力作用下保持靜止或等速直線運動時，則稱此物體處于平衡狀態(tài)。一般來說，作用在物體上的外力可以分為體積力和表面力。體積力一般用單位體積上的力在三個坐標軸方向上的投影，表示。表面力一般用單位面積上的力在三個坐標軸方向上的投影，表示。彈性體中的應力不是任意的，它必須滿足靜力平衡條件，即彈性體內(nèi)任一點滿足平衡方程，在給定表面力的邊界上滿足應力邊界條件。在單元體處于三維應力作用的一般情況下，根據(jù)微元體所受合力為零的條件，可以導出直角坐標系中的三維平衡方程式為 在一般三維應力狀態(tài)的情況下，分別取作用在單元體上的力對z，y和x軸的矩，根據(jù)合力矩為零的條件可得 這表明剪應力分量是兩兩相等的。在三維應力的一般

26、情形下，如果已知某一點的應力分量，則作用在任意一平面上該點的應力分量可由下式表示： 式中，分別表示作用在某一個任意平面上的沿x，y，z方向的應力分量。這個平面的法線為N，且方向余弦為，如圖1.6所示。 在整個物體內(nèi)這些應力分量是變化的，而在物體的外表面或邊界上，這些應力必與該處作用的外力相平衡。因此，當物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時，物體內(nèi)所有各點的應力分量都必須滿足平衡微分方程式。所以當把式（118）中的，分別改成，就可將它看成是物體在平衡狀態(tài)下力的邊界條件。此時，就是邊界一點處單位面積上表面力的分量，而l，m，n則是邊界法線的方向余弦，而有 1.3.3 變分原理介紹 1.泛函與變分對于泛函

27、來說，如果對于某一類函數(shù)，它的每一個函數(shù)值都有一個值與之相對應，則變量稱為自變函數(shù)的泛函，記為，由于是自變量x的函數(shù)，所以泛函又可以稱為是函數(shù)的函數(shù)。研究函數(shù)的極值用的是微分學，而研究泛函的極值的方法是變分原理，泛函極值問題就是變分問題。變分問題是研究泛函的極大值或極小值（簡稱極值）的問題。它的解法非常類似于求函數(shù)的極大值和極小值的方法。即變分在函研究中所起的作用和微分在函數(shù)研究中所起的作用一樣。例如，如果可微函數(shù)在內(nèi)點達到極值，則在這點處有；而對于變分問題來說，如果具有變分的泛函在上達到極值，則在上有。有時稱和為駐值條件。這樣泛函 取極值的條件，即的條件是 因為，對于不動邊界問題，除和兩端點

28、外，函數(shù)是一個很小的任意值，所以，式（121）給出的條件是 這就是泛函的歐拉方程，也稱控制方程。歐拉方程是從泛函具有極值條件得出的。那么從中求解得到的這個函數(shù) 就是使泛函取極值的正確解?；蛘哒f，歐拉方程的積分曲線給出使泛函取極值的正確解。因此，為了求出能使泛函 具有極值的曲線，就要求出歐拉方程的積分，并利用邊界條件，確定積分常數(shù)。只有用這種方式求得的極值曲線才能使泛函獲得極值。求泛函極值的過程，是把一個泛函的極值問題化為一個微分方程邊值問題。這就是，首先建立所討論問題的泛函式，繼而進行的變分運算，由極值條件獲得所論問題的微分方向（歐拉方程），然后對該微分方程邊值問題求解，得到函數(shù)，它就是所討論

29、問題的正確解。根據(jù)全微分概念，當x，y，z是自變量t的函數(shù)時，對有 因此，可以把改寫成 或結(jié)果式（122）的歐拉方程將變成 對泛函，可以根據(jù)的條件求出極值。但是要確定這些值究竟是極大值還是極小值，就要考慮其二次變分之值。對于形式的簡單泛函，它的二階變分是 若，則為極小值； ，則為極大值； ，是中間拐點（或非極值的駐值）。三種情況如圖1.7（a），（b），（c）所示。上面所討論的泛函中，只含一組和。有時F中含有，多組，。對于這種情況，可以考慮只是函數(shù)，中的一組變分，其他函數(shù)保持不變（）。這樣得到一個對應的歐拉方程。如此逐個的對每組，進行變分，結(jié)果得到幾個歐拉方程，從而確定一族積分曲線。它就是這個

30、變分問題的極值曲線族。F中也可能含有的高階導數(shù)。這時，同樣可以求得類似于歐拉方程的歐拉-泊松方程，它的積分曲線也就是所討論的變分問題的極值曲線。2. 李茲法前面所探討的變分原理，把泛函極值的積分方程轉(zhuǎn)化為歐拉方程一微分方程，解微分方程得到問題的解。但在工程實際中，除簡單問題外，許多問題很難進行積分求解。因而就出現(xiàn)了直接求解變分的積分方程的近似解法，李茲法就是其中的一種。李茲法的思想是，不把泛函的值放在變分問題中任意的容許曲線上來考慮，而是放在具有常系數(shù)的各種可能的線性組合式上來考慮，即假定它所形成的曲線是容許的，而當時，就可獲得所討論的變分問題的準確解。其中的,是某種設定的函數(shù)，它可以是x或y

31、的函數(shù)，也可以是x,y甚至是x,y,z的函數(shù)，隨問題的性質(zhì)確定；是待定系數(shù)。若只取開頭的若干項，則所得的就是變分問題的近似解。所以，這種方法是泛函變分問題的一種近似解法。有限元法也是屬于這種近似解法的一種。考慮到有限元法實際上是李茲法的推廣，因此下面把李茲法的方法和步驟做一簡要說明。（1）把所求泛函的極值問題的解，表達成一系列可能解的線性組合。 式中，為待定系數(shù)；為某種設定的函數(shù)。在彈性理論中，泛函是根據(jù)能量守恒原理求得的能量表達式。當位移為未知函數(shù)時，是一系列變形可能位移的線性組合，可以理解為形函數(shù)，而則是節(jié)點位移。（2）把這個線性組合式代入所討論問題的泛函式中去，并計算出此泛函式的變分。（

32、3）由泛函極值條件，算出線性組合式中的待定系數(shù)（即選擇、調(diào)整的值，使之滿足基本微分方程。即由方程組 求解使之滿足基本微分方程。（4） 把算得的待定系數(shù)值代入設定的式（123），即求得所討論問題的解。泛函變分的近似計算法不僅可以對已具有泛函式的問題進行變分計算，求出其歐拉方程的解；也可以對某些雖是已知的微分方程，然而對它們的求解很困難的問題，先把微分方程轉(zhuǎn)化成相當?shù)姆汉兎智髽O值的問題，然后采用上述近似方法來求解。李茲法是對所討論問題的整個區(qū)域來設定可能解的線性組合式的，因而有時比較困難、復雜。和李茲法一樣，有限元法也是求解泛函極值問題的一種近似方法。它的方法步驟也和李茲法相似。不同的是，有限元

33、法是把所討論問題的整個區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，即通常所說的單元，然后在各個單元內(nèi)采用和李茲法相似的辦法求解。顯然，在范圍較小的單元內(nèi)來設定可能解的線性組合式要比在整個區(qū)域內(nèi)簡單，同時求的積分運算和解式（124)的聯(lián)立方程也比較簡單容易一些。因此，目前有限元法的發(fā)展就比較快。1.3.4 虛位移原理所謂虛位移可以是任何無限小的位移，它在結(jié)構(gòu)內(nèi)部必須是連續(xù)的，在結(jié)構(gòu)的邊界上必須滿足運動學邊界條件，例如對于懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。今考慮如圖1.8所示的物體，它受到外力，作用。記，在這些外力作用下，物體的應力為 現(xiàn)假設發(fā)生了虛位移，在外力作用處與各個相應方向的虛位移為，記，由虛位

34、移產(chǎn)生的應變?yōu)?在產(chǎn)生虛位移時，外力已作用于物體，而且在虛位移過程中，外力保持不變，因此，外力在虛位移上所做的虛功是 在物體的單位體積內(nèi)，應力在虛應變上的虛應變能是 整個物體的虛應變能是 虛位移原理表明，如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那么在虛位移發(fā)生時，外力所做虛功等于物體的虛應變能，即 此式稱為虛功方程。1.3.5 平面問題當研究的彈性體具有某種特殊的形狀,并且承受的是某種特殊外力時，就有可能把空間問題近似地簡化為平面問題(平面應力問題或平面應變問題），只需考慮平行于某個平面的位移分量、應變分量與應力分量，且這些量只是兩個坐標的函數(shù)。這樣處理，分析和計算的工作量將大大減少。設有很薄

35、的均勻薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化,如圖1.9所示，記薄板的厚度為t，以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為z軸，由于板面上不受力，且板很薄，外力不沿厚度變化，可以認為恒有不為零的應力分量為，,這種問題就稱為平面應力問題。平面應力問題只有8個獨立的未知量，u，v,它們僅僅是兩個坐標x，y的函數(shù)。設有無限長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時，體力也平行于橫截面且不沿長度變化（圖1.10)。以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸，由于對稱性 (任一橫截面都可以看做對稱面、不難發(fā)現(xiàn)此時 不為零的應變分量

36、為這種問題就稱為平面應變問題。平面應變問題也只有8個獨立的未知量，u，v，它們僅僅是x，y 兩個坐標的函數(shù)。1. 平面問題的平衡微分方程與應力邊界條件 1) 平衡微分方程 或2) 應力邊界條件或2. 平面問題的幾何方程因為只需考慮三個應變分量，幾何方程其矩陣形式為3. 平面問題的物理方程1） 平面應力問題的物理方程將，帶入空間問題物理方程，得到即平面應力問題的物理方程，而一般并不等于零，但可由及求得，不是獨立量，在分析中不必考慮。物理方程的另一種形式為或用矩陣方程表示為仍記為 這里的彈性矩陣 2） 平面應變問題的物理方程平面應變問題中，有，代入空間問題物理方程，得到平面應變問題的物理方程 或

37、即簡寫形式仍為式（130），但這里的彈性矩陣為 不難發(fā)現(xiàn)，將平面應力問題物理方程中的彈性常數(shù)E，換成，就得到平面應變問題的物理方程（當然也包括彈性矩陣）。平面應力問題中的其它關系式與向量表達式都適用于平面應變問題。由前面的介紹可知，平面應力問題中得到的結(jié)論，只要對彈性常數(shù)E，作相應的代換，就可用于相應的平面應變問題。平面問題是特定情況下對空間問題的簡化，求解思想自然與前面所述相同。習 題1. 1有限元法的基本思想和基本步驟是什么?1. 2彈性結(jié)構(gòu)有限元法的理論基礎是什么？第二章 平面問題的有限元法彈性力學可分為空間問題和平面問題。嚴格地說，任何彈性體總是處于空間受力狀態(tài)，因而任何實際問題都是空

38、間問題。但是在某些情況下，空間問題可以近似地按平面問題處理。平面問題是指彈性體內(nèi)一點的應力、應變或位移只和兩個坐標方向的變量有關。在彈性力學平面問題中，常用的單元是三角形單元。用有限元法求解彈性力學問題時，首先需要經(jīng)過離散化，使結(jié)構(gòu)變成有限個單元的組合體;然后進行單元分析，得出單元矩陣;再考慮單元的集成，得出整體矩陣。因此，彈性力學問題的有限元法包括下列3個主要步驟：離散化單元分析整體分析。2.1結(jié)構(gòu)的離散化有限元法的解題思路是把結(jié)構(gòu)看作是由有限個單元組成的集合體。在彈性力學問題中，需要經(jīng)過離散化，才能使結(jié)構(gòu)變成有限個單元的組合體。例如，將一個受力的連續(xù)彈性體離散化，就是將連續(xù)體劃分為有限個互

39、不重疊、互不分離的三角形單元，這些三角形在其頂點（取為節(jié)點）處互相鉸接。 所有作用在單元上的載荷，包括集中載荷、表面載荷和體積載荷，都按虛功等效的原則移置到節(jié)點上，成為等效節(jié)點載荷。再按結(jié)構(gòu)的位移約束情況設置約束支承。劃分單元后，對所有的單元和節(jié)點分別從1開始按順序加以編號。這樣就得到了有限單元法的計算模型（圖2.1）。這里要注意的事項有三點。1.對稱性的利用如果結(jié)構(gòu)與載荷都有對稱性可利用，就能減少很多工作量。例如具有一個對稱軸的結(jié)構(gòu)，若載荷也對稱,可取其中的一半作為分析對象，此時，位于對稱軸上的節(jié)點無垂直對稱軸方向的位移。如果對于軸都對稱，只需計算四分之一就行。2. 節(jié)點的選擇和單元的劃分有

40、限單元法的劃分是很自由的，形狀和尺寸可自由調(diào)整。通常集中載荷的作用點、分布載荷強度的突破點，分布載荷與分布載荷與自由邊界的分界點、支承點等都應取為節(jié)點，同時不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃在同一個單元里。 另外，任意一個三角形單元的頂點，必須同時也是其相鄰三角形單元的頂點，而不能是相鄰三角形單元的邊上點。單元的數(shù)量要根據(jù)計算精度要求和計算機的容量來確定。顯然單元劃分得越小(單元數(shù)越多），計算結(jié)果就越精確，但數(shù)據(jù)準備的工作量也就越大，計算時間也就越長，且占用計算機的內(nèi)存也就越多，甚至有可能超出計算機的容量。因此在保證精度的前提下，力求采用較少的單元。在劃分單元時,對于重要的或應力變化急劇的部位，

41、單元應劃得小些， 對于次要的和應力變化緩慢的部位，單元可劃得大些，“中間地帶”以大小逐漸 變化的單元來過渡。此外，根據(jù)誤差分析，應力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比，所以單元的邊長，力求接近相等,也就是說單元的三條邊 長盡量不要懸殊太大。3. 節(jié)點的編號在節(jié)點編號時，應注意盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差值盡可能地小些，以便縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)約計算機存儲。如圖2.2（a）與（b）單元劃 分相同，（b）的編號要比（a）的編號為好，即節(jié)點應順短邊編號為好。2.2單元分析現(xiàn)在以彈性力學平面問題中的三角形單元為例進行單元分析，建立單元 剛度矩陣。單元分析的主要任務是推導基本未知量單元節(jié)點

42、位移&與其對應 量單元節(jié)點力廣之間的轉(zhuǎn)換關系，即 式中，為單元的剛度矩陣，它是階的轉(zhuǎn)換矩陣。單元分析的步驟可表示如下：下面按此次序分成4步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關系，最后綜合起來，即可得出由節(jié)點位移求節(jié)點力的轉(zhuǎn)換關系，從而求出單元剛度矩陣。2.2.1 位移模式在有限元法中，將連續(xù)體劃分成許多單元，取每個單元的若干個節(jié)點的位 移作為基本未知量，即然后將單元中的位移分布假定是坐標的簡單函數(shù)，稱為位移模式。位移模式反映單元的位移分布形態(tài)，它是單元內(nèi)位移的插值函數(shù)，并在節(jié)點處等于該節(jié)點位移。位移模式可表示為 式中，N形態(tài)矩陣（形函數(shù)矩陣）。在有限元法中，各種計算公式都依賴于位移模式。位移模式選

43、擇的恰當與 否，影響到有限元法的計算精度和收斂性。彈性體用三角形單元進行離散以后，取任一單元進行分析。圖2.3表示的是一個典型的3節(jié)點三角形單元，其節(jié)點按逆時針方向排列。每個節(jié)點位移在單元平面內(nèi)有兩個分量式中，表示節(jié)點在x軸方向的位移分量；表示節(jié)點在y軸方向的位移分量。記號表示其他節(jié)點的位移可以換下標輪換得到。三角形單元有三個節(jié)點，每個節(jié)點有兩個位移分量。則三角形單元節(jié)點位移向量可用矩陣表示為 下面分幾步討論。1. 選用位移模式結(jié)構(gòu)受力變形后，內(nèi)部各點產(chǎn)生位移，是坐標的函數(shù)，但往往很難準確建立這種函數(shù)關系。有限元分析中，將結(jié)構(gòu)離散為許多小單元的集合體，用較簡單的函數(shù)來描述單元內(nèi)各點位移的變化規(guī)

44、律，稱為位移模式。位移模式被整理成單元節(jié)點位移的插值函數(shù)形式，即分片插值函數(shù)。由于多項式不僅能逼近任何復雜函數(shù)，也便于數(shù)學運算，所以廣泛使用多項式來構(gòu)造位移模式。三角形單元總共有6個自由度，內(nèi)部任一點的位移和是由6個節(jié)點位移分量完全確定的，因此，在位移模式中應當含有6個待定參數(shù)，稱為廣義坐標。位移可表示為式（26）是兩個一次多項式，這就是選用的位移模式。由于位移假設為坐 標的線性函數(shù)，位移模式非常簡單，這樣就使所討論的問題大為簡化。對整個彈性體來說，內(nèi)部各點的位移變化情況是很復雜的，不可能用一個簡單的線性函數(shù)來描述。現(xiàn)在采用分割的辦法，把整個彈性體分割成細小的單元，在一個單元的局部范圍內(nèi)，內(nèi)部

45、各點的變化情況就簡單多了，就有可能用簡單的線性函數(shù)來描述了。這種化整為零、化繁為簡的分析方法，應當說是有限元法的精華。2. 求形函數(shù)設節(jié)點的坐標分別為，節(jié)點為，。將它們代入式（26），有聯(lián)立求解上述公式左邊的3個方程，可以求出待定系數(shù)為 式中，A為三角形單元的面積 要注意的是，為了使得出的面積的值不為負值，節(jié)點的次序必須是逆時針轉(zhuǎn)向，如圖2.3所示。至于將那個節(jié)點作為起始節(jié)點，則沒有關系。將式（28）代入式（26）的第一式，整理后得同理可得式中 令位移模式（210）、（211）可以簡寫為式中，是坐標的函數(shù)，反應了單元的位移形態(tài)，因而稱為位移函數(shù)的形函數(shù)。其性質(zhì)將在下面進一步討論。由式（213）

46、和（214），單元中任意的一點可用節(jié)點位移表示為矩陣的形式 式中，N為單元形函數(shù)矩陣，寫為分塊形式 其中子矩陣 式中，I為二階單位矩陣。根據(jù)形函數(shù)的定義式（213），容易證明形函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1） 形函數(shù)是坐標的線性函數(shù)。（2） 形函數(shù)在節(jié)點處等于1，在其他節(jié)點上的值等于0；對于也有同樣的表達式。即實際上，這兩條正是3節(jié)點三角形單元的形函數(shù)的基本性質(zhì)。由上式易知，單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1，即（3） 單元內(nèi)任意一點有上式是單元內(nèi)部點的坐標用單元節(jié)點坐標來表示的表達式。注意，它和單元內(nèi)任意一點位移的表達式（215)具有完全相同的構(gòu)造，即節(jié)點參數(shù)的個數(shù)相同，形函數(shù)也相同。只不過一個是

47、以未知的節(jié)點位移為參數(shù)，以后可以看到， 這正是一般等參數(shù)單元的基本特征。式（218）、（219）可簡記為式中，求和號表示對求和。（4） 在三角形單元邊界上一點，有形函數(shù)公式（5） 形函數(shù)在單元上的面積分和邊界上的線積分為式中，為邊的長度。3. 解答的收斂性在有限元法中，載荷的移置、應力矩陣和剛度矩陣的建立都依賴于位移函 數(shù)。因此，為了能從有限元法得出正確的解答，即所謂收斂性，首先必須使位移 函數(shù)能夠正確反映彈性體中的真實位移情況，這就要求滿足下列條件。（1） 位移函數(shù)必須能反映單元的剛體位移。每個單元的位移一般包含兩部分:一部分是由本單元的形變引起的位移；另一部分是與本單元的形變無關，由其他單

48、元發(fā)生了形變而連帶引起的位移，即剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移函數(shù)應當能反映單元的剛體位移。在位移函數(shù)中，常數(shù)項就是用于提供剛體位移的。（2） 位移函數(shù)必須能反映單元的常量應變。每個單元的應變一般包含兩部分，一部分是與單元各點的位置坐標有關、各點是不同的，即所謂變量應變；另一部分是與位置坐標無關、各點是相同的，即所謂常量應變。而且，當單元的尺寸較小時，單元中各點的應變趨于相等，也就是單元的形變趨于均勻，因而常量應變就成為應變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形態(tài)狀態(tài)，位移函數(shù)應當能反映該單元的常量應變。在位移函數(shù)中的一次項就是提供單元中的常量應變的。（3） 位移函數(shù)應盡可能

49、反映位移的連續(xù)性。在連續(xù)彈性體中位移是連續(xù)的。為了保證彈性體受力變形后仍是連續(xù)體， 要求所選擇的位移函數(shù)既能使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，又能使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，后者是指單元之間不出現(xiàn)互相脫離和互相嵌入的現(xiàn)象，如圖2.4所示。為了使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移函數(shù)取為坐標的單值連續(xù)函數(shù)。為了使相鄰單元的位移保持連續(xù)就要使它們在公共點處具有相同的位移，才能在公共邊界上具有相同的位置。這樣就能使相鄰單元在受力后既不互相脫離，也不互相嵌入。不難想象，如果單元很小，而且相鄰單元在公共節(jié)點處具有相同的位移，也就能保證它們在公共邊界上大致具有相同的位移，但是在實際計算時，單元不大可能取得很小，

50、因此，在選取位移函數(shù)時，仍應盡可能使它反映位移的連續(xù)性。理論與實踐都已證明，為使有限元法的解答在單元尺寸逐步取小時能收斂于正確解答，反映剛體位移和常量應變是必要條件，反映相鄰單元的位移連續(xù)性為充分條件，在一般的平面單元與空間單元選取位移函數(shù)時，是容易滿足上述要求的。在有限元法中，把能夠滿足條件(1），（2）的單元，稱為完備單元；滿足條件（3）的單元，稱為協(xié)調(diào)單元。順便指出，目前僅滿足兩個條件，而不滿足第（3）條件的單元，通常稱為完備而非連續(xù)的單元也已經(jīng)獲得應用。4. 位移模式多項式的選擇在前面曾提到在選擇多項式位移模式的階次時，要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。實踐證明，這兩

51、項是所要考慮的重要因素，但并不是唯一的因素。選擇位移模式階次時，需要考慮的另一個因素是，模式應該與局部坐標系的方位無關，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。對于線性多項式，各向同性的要求通常就等價于必須包含常應變狀態(tài)。對于高次模式，位移形式不應隨局部坐標的更換而改變。經(jīng)驗證實：實現(xiàn)幾何各向同性的一種方法是，根據(jù)以下巴斯卡三角形來選擇二維多項式的各項。146在二維多項式中，若包含有三角形對稱軸一邊的任意一項，則必須同時包含另一邊的對稱項。例如，要構(gòu)造一個有八項構(gòu)成的三次模式，則由以下各項構(gòu)成的模式是各向同性的：包含常數(shù)項、線性項、二次項，再加上和項；包含常數(shù)項、線性項、二次項，再加上和項。另外，多項式中的

52、項數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外節(jié)點的自由度數(shù)。通常是取項數(shù)與單元的外節(jié)點的自由度數(shù)相等。2.2.2 單元應變有了單元的位移模式，就可以應用幾何方程求得單元的應變。將式（2 -10）（2 11）代入幾何方程，得到應變和節(jié)點位移的關系式寫成矩陣形式上式寫成矩陣形式為 式（223）就是由節(jié)點位移求應變的轉(zhuǎn)換式，其轉(zhuǎn)換式B稱作幾何矩陣。寫成分塊形式其中子矩陣為由于當單元確定后，A，與x，y關，都是常量，因此矩陣B也是常量。單元中任一點的應變分量是矩陣B與節(jié)點位移的乘積，因而也都是常量。因此，這種單元被稱為常應變?nèi)切螁卧@是由于采用線性位移函數(shù)的結(jié)果。2.2.3 單元應力在得到應變之后，再利用平面問題的物理方程式，將式（223）代入，得 令 則 這就是應力與節(jié)點位移的關系式。其中S稱為單元應力矩陣，它可寫為分塊形式 由平面應力問題的彈性矩陣，以及由式（225)所表示的應變矩陣，可得式 （229）中應力矩陣的子矩陣對于平面應變問題，將上式中的E換為，換為，就得到應力矩陣的子矩陣由于