奈奎斯特判據(jù)

1、自動(dòng)控制原理AI20085-1第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合第第3 3節(jié)：奈奎斯特判據(jù)節(jié)：奈奎斯特判據(jù) 奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist(Nyquist) )判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo)幾個(gè)基本概念幾個(gè)基本概念 sDsNsHsDsNsGHHGG,G(s)G(s)H(s)H(s)R(s)R(s)C(s)C(s)令：則有： sDsDsNsNsDsDsHsGsDsDsNsNsHsGHGHGHGHGHG1 ,自動(dòng)控制原理AI20085-2第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 1的零點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn)G s H s而 sNsNsDsDsDsNsHsGsGsGHGHGHGB1對(duì)比，有 1的極點(diǎn)=G(s)H(s)的極點(diǎn)G s

2、 H s sDsDsNsNsDsDsHsGsDsDsNsNsHsGHGHGHGHGHG1 ,自動(dòng)控制原理AI20085-3第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 Nyquist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo)點(diǎn)的映射點(diǎn)的映射圍線(xiàn)的映射圍線(xiàn)的映射自動(dòng)控制原理AI20085-4第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合Nyquist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo) 柯西幅角定理柯西幅角定理 sssF2自動(dòng)控制原理AI20085-5第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo) 設(shè)設(shè)F(s)F(s)在圍線(xiàn)在圍線(xiàn)A A及及A A內(nèi)除有限數(shù)目的極點(diǎn)外是解析的，內(nèi)除有限數(shù)目的極點(diǎn)外是解析的，F(xiàn)(s)F(s)在在

3、A A上既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)，則當(dāng)圍線(xiàn)上既無(wú)極點(diǎn)也無(wú)零點(diǎn)，則當(dāng)圍線(xiàn)A A的走向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí)，的走向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí)，有：有：其中：其中：N N為映射圍線(xiàn)為映射圍線(xiàn)B B包圍原點(diǎn)的圈數(shù)，順時(shí)針為正，逆時(shí)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)，順時(shí)針為正，逆時(shí) 針為負(fù)。針為負(fù)。z z為為F(sF(s) )在圍線(xiàn)在圍線(xiàn)A A內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目，內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)目，p p為為F(sF(s) )在圍線(xiàn)在圍線(xiàn)A A內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)目。內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)目。自動(dòng)控制原理AI20085-6第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo)奈奎斯特判據(jù)奈奎斯特判據(jù) 指導(dǎo)思想：如果有一個(gè)指導(dǎo)思想：如果有一個(gè)s s平面的封閉圍線(xiàn)能包圍平面的封閉圍

4、線(xiàn)能包圍整個(gè)右半平面，則該封閉圍線(xiàn)在整個(gè)右半平面，則該封閉圍線(xiàn)在F(s)F(s)平面上的映平面上的映射圍線(xiàn)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)射圍線(xiàn)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N N應(yīng)為應(yīng)為實(shí)現(xiàn)該指導(dǎo)思想應(yīng)解決三個(gè)問(wèn)題：實(shí)現(xiàn)該指導(dǎo)思想應(yīng)解決三個(gè)問(wèn)題：如何建立一個(gè)能包圍整個(gè)如何建立一個(gè)能包圍整個(gè)s s右半平面的圍線(xiàn)，且該圍線(xiàn)右半平面的圍線(xiàn)，且該圍線(xiàn)符合柯西幅角定理符合柯西幅角定理如何進(jìn)行圍線(xiàn)映射如何進(jìn)行圍線(xiàn)映射 jHjG如何確定如何確定F(sF(s) )相應(yīng)的映射圍線(xiàn)對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)相應(yīng)的映射圍線(xiàn)對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)N N，并，并將將F(sF(s) )和系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性和系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 相關(guān)聯(lián)相關(guān)聯(lián)自動(dòng)控制原理AI20085-7

5、第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo) 對(duì)問(wèn)題（對(duì)問(wèn)題（1 1）: :構(gòu)造圍線(xiàn)構(gòu)造圍線(xiàn)Q,Q,稱(chēng)之為稱(chēng)之為“D D型圍線(xiàn)型圍線(xiàn)”對(duì)問(wèn)題（對(duì)問(wèn)題（2 2）: :圍線(xiàn)圍線(xiàn)Q Q三部分分別映射，得出映射圍線(xiàn)三部分分別映射，得出映射圍線(xiàn)F(sF(s) )對(duì)問(wèn)題（對(duì)問(wèn)題（3 3）: :由映射圍線(xiàn)由映射圍線(xiàn)F(sF(s) )可得到其對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)可得到其對(duì)原點(diǎn)的包圍圈數(shù)N N 進(jìn)而得到進(jìn)而得到NyquistNyquist曲線(xiàn)對(duì)曲線(xiàn)對(duì)(-1,j0)(-1,j0)點(diǎn)的包圍圈點(diǎn)的包圍圈數(shù)數(shù)自動(dòng)控制原理AI20085-8第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNy

6、quist判據(jù)的推導(dǎo)判據(jù)的推導(dǎo)NyquistNyquist判據(jù)判據(jù) 若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s s右半平面有右半平面有p p個(gè)極點(diǎn)，且個(gè)極點(diǎn)，且NyquistNyquist曲線(xiàn)對(duì)（曲線(xiàn)對(duì)（-1-1，j0)j0)點(diǎn)包圍的圈數(shù)為點(diǎn)包圍的圈數(shù)為N(N0N(N0為順時(shí)針，為順時(shí)針，N0N0為逆時(shí)針），則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在為逆時(shí)針），則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s s右半右半平面的數(shù)目為平面的數(shù)目為若若z=0,z=0,系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定若若z z不為零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定不為零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定自動(dòng)控制原理AI20085-9第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉

7、例例例5.45.4 1131103501310500sssssssGK自動(dòng)控制原理AI20085-10第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例（續(xù)穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例（續(xù)1 1） 系統(tǒng)的系統(tǒng)的BodeBode圖及圖及NyquistNyquist曲線(xiàn)曲線(xiàn) 1131103501310500sssssssGK自動(dòng)控制原理AI20085-11第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)2 2） 例例5.55.5： 22sssGK廣義廣義D D型圍線(xiàn)型圍線(xiàn)自動(dòng)控制原理AI20085-12第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合Nyq

8、uistNyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)3 3） 例例5.65.6 53sssKsGK自動(dòng)控制原理AI20085-13第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)4 4） 例例5.75.7 1133. 06ssssGK 1133. 05 . 1ssssGK自動(dòng)控制原理AI20085-14第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)（續(xù)5 5） Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述形式穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述形式通過(guò)正虛軸的映射與(-1,j0)點(diǎn)的相對(duì)位置確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性.保證系統(tǒng)穩(wěn)定的增益保證系

9、統(tǒng)穩(wěn)定的增益K K的范圍是的范圍是: :開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為-180-1800 0時(shí)時(shí), ,幅值小于幅值小于1.1.保證系統(tǒng)穩(wěn)定的增益保證系統(tǒng)穩(wěn)定的增益K K的范圍是的范圍是: :開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為開(kāi)環(huán)頻率特性的相角為-180-1800 0時(shí)時(shí), ,幅值大于幅值大于1.1.自動(dòng)控制原理AI20085-15第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)穩(wěn)定判據(jù)舉例（續(xù)6 6） 例例5.75.7 2222sssKsGK自動(dòng)控制原理AI20085-16第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 基于基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 穿越數(shù)

10、與包圍次數(shù)穿越數(shù)與包圍次數(shù)在極坐標(biāo)圖上在極坐標(biāo)圖上: : n n+ +: :為自下而上的穿越數(shù)為自下而上的穿越數(shù)( (正穿越數(shù)正穿越數(shù)) )，而始自負(fù)實(shí)軸的（，而始自負(fù)實(shí)軸的（-1-1，-）區(qū)間向上穿越為半次正穿越。）區(qū)間向上穿越為半次正穿越。 n n- -: :為自上而下的穿越數(shù)為自上而下的穿越數(shù)( (負(fù)穿越數(shù)負(fù)穿越數(shù)) )，而始自負(fù)實(shí)軸的（，而始自負(fù)實(shí)軸的（-1-1，-）區(qū)間向下穿越為半次負(fù)穿越。）區(qū)間向下穿越為半次負(fù)穿越。自動(dòng)控制原理AI20085-17第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合基于基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在在BodeBode圖上圖上:(:(與極坐標(biāo)圖上

11、相反與極坐標(biāo)圖上相反) ) n n+ +: :為自上而下的穿越數(shù)為自上而下的穿越數(shù)( (正穿越數(shù)正穿越數(shù)) )，而始自而始自-180-1800 0相位線(xiàn)向相位線(xiàn)向下的穿越為半次正穿越。下的穿越為半次正穿越。 n n- -: :為自下而上的穿越數(shù)為自下而上的穿越數(shù)( (負(fù)穿越數(shù)負(fù)穿越數(shù)) )，而始自而始自-180-1800 0相位線(xiàn)向相位線(xiàn)向上的穿越為半次負(fù)穿越。上的穿越為半次負(fù)穿越。自動(dòng)控制原理AI20085-18第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 基于基于BodeBode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s s右半平面有右半平面有p p個(gè)極點(diǎn)，其個(gè)

12、極點(diǎn)，其BodeBode圖的正、負(fù)穿越數(shù)分別為圖的正、負(fù)穿越數(shù)分別為 則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在則系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s s右半平面的數(shù)目為右半平面的數(shù)目為 若若z=0z=0系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定 若若z z不等于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定不等于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。,nn 和自動(dòng)控制原理AI20085-19第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合第第4節(jié)節(jié) 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的要求：在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的要求： 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 系統(tǒng)必須具備適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。系統(tǒng)必須具備適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。頻域中衡量相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)：頻域中衡量相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)：穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度表現(xiàn)穩(wěn)定裕度表現(xiàn): Gk(jw)=G(

13、j )H(j )曲線(xiàn)離曲線(xiàn)離( 1,j0)點(diǎn)遠(yuǎn)近點(diǎn)遠(yuǎn)近,原因：原因： G(j )H(j )曲線(xiàn)曲線(xiàn)穿越穿越( 1,j0)點(diǎn)點(diǎn)，系統(tǒng)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定。G(j )H(j )曲線(xiàn)離曲線(xiàn)離( 1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高。點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越高。G(j )H(j )曲線(xiàn)離曲線(xiàn)離( 1,j0)點(diǎn)越近，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越低。點(diǎn)越近，系統(tǒng)穩(wěn)定程度越低。具體度量的指標(biāo)：具體度量的指標(biāo)：增益裕量增益裕量、相位裕量相位裕量自動(dòng)控制原理AI20085-20第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合0 =0+ =+ GH 1ReIm = gGH(j g) = a 0a1/aP=0, N 0 Z 0 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)

14、定 g相位穿越頻率，相位穿越頻率， GH(j g)180P=0, N=0 Z=0 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定自動(dòng)控制原理AI20085-21第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合增益裕量增益裕量：在系統(tǒng)的在系統(tǒng)的相位穿越頻率相位穿越頻率 g上，開(kāi)環(huán)頻率特性上，開(kāi)環(huán)頻率特性G(j g)H(j g)的倒數(shù)，表示為：的倒數(shù)，表示為：h =1/a= |G(j g)H(j g)|10 =0+ =+ GH 1ReIm = ga1/a自動(dòng)控制原理AI20085-22第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合G(S)H(S)=S (1+TaS). (1+TnS)k(1+T1S). (1+TmS)n m, 所有時(shí)間常數(shù)所有時(shí)間常數(shù)0 =

15、 cRe0 =0+ =+ GH1Im增益剪切頻率增益剪切頻率 c ：|G(j c)H(j c)| =1使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)所需附加的相移量相移量 M M G(j c)H(j c) G(j c)H(j c) M = 180，相移量，相移量 M 順時(shí)針為正。順時(shí)針為正。 M = 180+ ( c) 自動(dòng)控制原理AI20085-23第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合第第4 4節(jié)：穩(wěn)定裕量節(jié)：穩(wěn)定裕量 基于基于NyquistNyquist曲線(xiàn)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性曲線(xiàn)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性自動(dòng)控制原理AI20085-24第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合基于波特圖的系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性

16、基于波特圖的系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性0 =0+ =+ GH 1ReIm = gah =1/a= |G(j g)H(j g)|1GM=20lgh=20lg|G(j g)H(j g)|穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)增益裕量增益裕量h=1/a 1 GM 0db g20lg|G(j g)H(j g)|自動(dòng)控制原理AI20085-25第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合 c為為增益剪切頻率增益剪切頻率， M=180+ ( c)基于波特圖的系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性基于波特圖的系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性 c穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)相位裕量相位裕量 M 00 =0+ =+ GH 1ReIm = c M ( c)自動(dòng)控制原理AI20085-26第五章 控制系統(tǒng)的頻域分

17、析與綜合在在Bode圖上圖上確定增益裕量確定增益裕量的步驟的步驟： 2. 過(guò)過(guò) g g點(diǎn)作點(diǎn)作 軸的垂線(xiàn)，軸的垂線(xiàn)，并求該垂線(xiàn)與對(duì)數(shù)幅并求該垂線(xiàn)與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的頻特性曲線(xiàn)的交點(diǎn)交點(diǎn)， 此交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的此交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分縱坐標(biāo)分貝值的反號(hào)貝值的反號(hào)即為該系統(tǒng)即為該系統(tǒng)的增益裕量。的增益裕量。設(shè)計(jì)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)值：設(shè)計(jì)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)值：6db，一般選一般選1020db1. 確定相位穿越頻率確定相位穿越頻率 g；自動(dòng)控制原理AI20085-27第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合在在Bode圖上確定圖上確定相位裕相位裕量的步驟量的步驟：1. 確定增益剪切頻率確定增益剪切頻率 c； 2.過(guò)過(guò) c c點(diǎn)作點(diǎn)作 軸的垂

18、線(xiàn)與軸的垂線(xiàn)與對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)相交，對(duì)數(shù)相頻特性曲線(xiàn)相交，查出交點(diǎn)處的縱坐標(biāo)值查出交點(diǎn)處的縱坐標(biāo)值 ( c)； 3. 代入計(jì)算公式代入計(jì)算公式 M = 180 + ( c) 設(shè)計(jì)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)值：設(shè)計(jì)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)值：30，一般選一般選40 60 ( c)自動(dòng)控制原理AI20085-28第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析與綜合例例: 設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)=G(S)H(S)= 1010S(0.2S+1)(0.02S+1)S(0.2S+1)(0.02S+1)試從波德圖上求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。試從波德圖上求系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量。解：該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由：解：該系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由：放大環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、放大環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、2個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。n=3, m=0轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率有：有： 1=1/0.2=5, 2=1/0.02=50在在低頻段低頻段( 5)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的值由積分環(huán)節(jié)和，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)的值由積分環(huán)節(jié)和放大環(huán)節(jié)決定。放大環(huán)節(jié)決定。 =1時(shí)時(shí)L( )=20db+0db=20db5 50, 積分環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)、2個(gè)一