導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最大值與最小值

1、函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值 與最小值與最小值陳灼星陳灼星一、復(fù)習(xí)與引入一、復(fù)習(xí)與引入1.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)時(shí)處連續(xù)時(shí),判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的方值的方 法是法是: 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極大值是極大值; 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) ,那么那么,f(x0) 是極小值是極小值.0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf2.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充而不是充 分條件分條件.極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或

2、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 取到取到.3.在某些問題中在某些問題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小哪個(gè)值最小,而不是極值而不是極值.二、新課二、新課函數(shù)的最值函數(shù)的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 觀察右邊一觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖象的圖象.發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，是極小值，_是極是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象

3、的情況下，怎問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),則求則求f(x)在在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：上的最大值與最小值的步驟如下：:求求y=f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)作比較作比較,其中其中最大的一個(gè)為最大值最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值最小的一個(gè)為最小值. 求函數(shù)的最值時(shí)求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注

4、意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)局部概是一個(gè)局部概 念念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍是在整體范圍 內(nèi)討論問題內(nèi)討論問題,是一個(gè)整體性的概念是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)內(nèi) 的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極則此極 值必是函數(shù)的最值值必是函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 而函數(shù)的極值

5、則可能不止一個(gè)而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值也可能沒有極值,并且并且 極大值極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端點(diǎn)但除端點(diǎn) 外在區(qū)間內(nèi)部的最大值外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值或最小值),則一定是極大值則一定是極大值 (或極小值或極小值).(4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間如果函數(shù)不在閉區(qū)間a,b上可導(dǎo)上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最則在確定函數(shù)的最 值時(shí)值時(shí),不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值, 還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值.(5)在解決實(shí)際應(yīng)用問題中在解決實(shí)際

6、應(yīng)用問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè) 極值點(diǎn)極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際那么要根據(jù)實(shí)際 意義判定是最大值還是最小值即可意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的不必再與端點(diǎn)的 函數(shù)值進(jìn)行比較函數(shù)值進(jìn)行比較.三、例題選講三、例題選講例例1:求函數(shù)求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2上的最大值與最小上的最大值與最小 值值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2)

7、2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知從上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.例例2:求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-1,3上的最大值與上的最大值與 最小值最小值.165)(22 xxxxf解解:.)1()12(5)(222 xxxxf令令 ,得得0)( xf.3 , 1,21,212121 xxxx且且相應(yīng)的函數(shù)值為相應(yīng)的函數(shù)值為:.2257)21 (,2257)21 ( ff又又f(x)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為:f(-1)=6,f(3)=0比較得比較得, f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得最大值處取得最大值在點(diǎn)在點(diǎn) 處取得最小值處取得最小值211 x;

8、2257 212 x.2257 延伸延伸1:設(shè)設(shè) ,函數(shù)函數(shù) 的最的最 大值為大值為1,最小值為最小值為 ,求常數(shù)求常數(shù)a,b. 132 a)11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 得得x=0或或a.033)(2 axxxf當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf x-1(-1,0) 0 (0,a) a(a,1) 1f(x) +0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知由表知,當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),f(x)取得極大值取得極大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比較故需比較f(

9、1)與與f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以f(x)的最大值為的最大值為f(0)=b,故故b=1.又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.說明說明:由于由于f(x)在在0,1上連續(xù)可導(dǎo)上連續(xù)可導(dǎo),必有最大值與最小值必有最大值與最小值, 因此求函數(shù)因此求函數(shù)f(x)的值域的值域,可轉(zhuǎn)化為求最值可轉(zhuǎn)化為求最值.解解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令令 ,則得則得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.0)( xf而而 f(0)=f(1)=1,因?yàn)橐驗(yàn)?/p>

10、p1,故故11/2p-1.,21)21(1 pf所以所以f(x)的最小值為的最小值為 ,最大值為最大值為1.121 p從而函數(shù)從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?1 ,211 p練習(xí)練習(xí)2:求函數(shù)求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數(shù)是正數(shù))在在0,1上的最上的最 大值大值.解解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令令 ,解得解得.22, 1, 00)(321pxxxxf 在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,)2( 4)22(2 ppppf 故所求最大值是故所求最大值是.)2(42ppp 練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù)f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間在區(qū)間-3,

11、4上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案:最大值為最大值為f(4)=142,最小值為最小值為f(1)=7.四、應(yīng)用四、應(yīng)用1.實(shí)際問題中的應(yīng)用實(shí)際問題中的應(yīng)用. 在日常生活、生產(chǎn)和科研中在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大最大(小小)值的問題值的問題.建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路求最值是求解這類問題常見的解題思路. 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域一定要注意確定函數(shù)的定義域. 在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一

12、個(gè)點(diǎn)使點(diǎn)使 的情形的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小小)值值,那么不與端點(diǎn)值比較那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大也可以知道這就是最大(小小)值值.這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.0)( xf滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)單峰函數(shù)”.例例1:在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60cm的正的正 方形鐵皮的四角切去相等方形鐵皮的四角切去相等的正方形的正方形,再把它的邊沿虛再把它的邊沿虛線折起線折起(如圖如圖),做成一個(gè)無做成一個(gè)無蓋的方底箱子蓋的方底箱子,箱底邊長(zhǎng)為箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)多少時(shí),箱子的容積最大箱子的容積最

13、大?最大容積是多少最大容積是多少?解解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.02360)(2 xxxV由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過小過小(接近接近0)或過大或過大(接近接近60)時(shí)時(shí),箱子箱子的容積很小的容積很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:當(dāng)當(dāng)x=40cm時(shí)時(shí),箱子容積最大箱子容積最大,最大容積是最大容積是16000cm3.類題類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底

14、半徑它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省才能使所用的材料最省?解解:設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h,底半徑為底半徑為r,則表面積則表面積S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,則則2rVh .2222)(222rrVrrVrrS 令令 ,解得解得 ,從而從而 ,即即h=2r.042)(2 rrVrS 32 Vr 232)2( VVrVh 33224 VV 由于由于S(r)只有一個(gè)極值只有一個(gè)極值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí)當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省所用的材料最省.例例2:如圖如圖,鐵路線上鐵路線上AB段長(zhǎng)段長(zhǎng) 100km,工廠工

15、廠C到鐵路的到鐵路的 距離距離CA=20km.現(xiàn)在要現(xiàn)在要 在在AB上某一處上某一處D,向向C修修 一條公路一條公路.已知鐵路每噸已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料為了使原料 從供應(yīng)站從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處應(yīng)修在何處?B D AC解解:設(shè)設(shè)DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元元,則公路上每噸千則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為米的運(yùn)費(fèi)為5t元元.這樣這樣,每噸原料從供應(yīng)站每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠

16、運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為的總運(yùn)費(fèi)為).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty令令 ,在在 的范圍內(nèi)有的范圍內(nèi)有唯一解唯一解x=15.0) 34005(2 xxty1000 x所以所以,當(dāng)當(dāng)x=15(km),即即D點(diǎn)選在距點(diǎn)選在距A點(diǎn)點(diǎn)15千米時(shí)千米時(shí),總運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最省費(fèi)最省.注注:可以進(jìn)一步討論可以進(jìn)一步討論,當(dāng)當(dāng)AB的距離大于的距離大于15千米時(shí)千米時(shí),要找的要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)點(diǎn)15千米的千米的D點(diǎn)處點(diǎn)處;當(dāng)當(dāng)AB之間的距離之間的距離 不超過不超過15千米時(shí)千米時(shí),所選所選D點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)重合點(diǎn)重合.練習(xí)練習(xí):已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為R,高為

17、高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓求內(nèi)接于這個(gè)圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答答:設(shè)圓柱底面半徑為設(shè)圓柱底面半徑為r,可得可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)易得當(dāng)h=H/3 時(shí)時(shí), 圓柱體的體積最大圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.xy例例1: 如圖如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)= 4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個(gè)圍成的圖形中有一個(gè) 內(nèi)接矩形內(nèi)接矩形ABCD,求這求這 個(gè)矩形的最大面積個(gè)矩形的最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,

18、|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x0得得x=1.0)( xf而而0 x1時(shí)時(shí), ,所以所以x=1是是f(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn).0)( xf0)( xf所以當(dāng)所以當(dāng)x=1時(shí)時(shí),f(x)取最小值取最小值f(1)=1.從而當(dāng)從而當(dāng)x0時(shí)時(shí),f(x)1恒成立恒成立,即即: 成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 五、小結(jié)五、小結(jié)1.求在求在a,b上連續(xù)上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在在a,b上的上的 最值的步驟最值的步驟: (1)求求f(x)在在(a,b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值; (2)將將f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)比較比較,其中最大的一個(gè)其中最大的一個(gè) 是最大值是最大值,最小的一個(gè)是最小值最小的一個(gè)是最小值.2.求函數(shù)的最值