全等三角形三種證明方法經(jīng)典例題

1、全等三角形經(jīng)典例題典型例題：知識點一：全等三角形判定1例1：如圖，在AFD和EBC中，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，有下面四個論斷：（1）ADCB；（2）AECF；（3）DFBE；（4）ADBC。請將其中三個論斷作為條件，余下的一個作為結(jié)論，編一道證明題，并寫出證明過程。思路分析：1）題意分析：本題一方面考查證明題的條件和結(jié)論的關(guān)系，另一方面考查全等三角形判定1中的三邊對應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定1：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。首先確定命題的條件為三邊對應(yīng)相等，而四個論斷中有且只有三個條件與邊有關(guān)，因此應(yīng)把論斷中的（1）（2）（3）作為條件，來證明論斷（4）。在證明全等之前，

2、要先證明三邊分別對應(yīng)相等。解答過程：已知：如圖，在AFD和EBC中，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，ADCB，AECF，DFBE。求證：ADBC。證明：AECFAEEFCFEFAFCE在AFD和CEB中，AFDEBC（SSS）ACADBC解題后的思考：在運用全等三角形判定1判斷三角形全等時，一定要找準(zhǔn)三邊的對應(yīng)關(guān)系，然后給出證明。小結(jié)：本例題一方面考查了命題的書寫與證明，另一方面通過本題的嚴(yán)格證明鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，進一步規(guī)范了三角形全等證明題的書寫。知識點二：全等三角形判定2例2：已知：如圖，是和的平分線，。求證：（1）OABOCD；（2）。思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判

3、定2中的對應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對應(yīng)相等。解答過程：證明：（1）OP是和的平分線，AOPCOP，BOPDOPAOPBOPCOPDOPAOBCOD在OAB和OCD中，OABOCD（SAS）（2）由（1）知OABOCDABCD解題后的思考：在判斷三角形全等時，一定要根據(jù)全等三角形判定2，找準(zhǔn)對應(yīng)邊和對應(yīng)角。例3：已知：如圖，ABCD，ABCD，求證：ADBC，ADBC思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2的應(yīng)用。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的

4、兩個三角形全等。在證明三角形全等之前，要先將用于證明三角形全等的條件準(zhǔn)備好。即如何由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上ABCD這個條件。解答過程： 連接BD ABCD12在ADB和CBD中，ADBCBD（SAS）ADBC，ADBCBDADBC綜上：ADBC，ADBC解題后的思考：本題中證明三角形全等用到了公共邊，這是解決問題的關(guān)鍵所在；在解決這類問題時要善于從題目中發(fā)現(xiàn)這些重要的隱含條件。例4：（1）在圖1中，ABC和DEF滿足ABDE，ACDF，AD，這兩個三角形全等嗎？（2）在圖2中，ABC和ABD滿足ABAB，ACAD，BB，這兩個三角形全等嗎？思路分析：1）題意分析：本題主要考

5、查應(yīng)用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的問題。 2）解題思路：在圖1中，ABC和DEF滿足ABDE，ACDF，AD，即兩個三角形滿足SAS的條件，所以這兩個三角形全等。（2）在圖2中，ABC和ABD滿足ABAB，ACAD，BB，這兩個三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個三角形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個三角形不全等。解答過程：（1）全等；（2）不全等。解題后的思考：有兩邊和一角相等的兩個三角形不一定全等，要根據(jù)所給的邊與角的位置進行判斷：（1）當(dāng)兩個三角形滿足兩邊及夾角對應(yīng)相等即“SAS”時，這兩個三角形全等；（2）當(dāng)兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等即“SSA”時，

6、這兩個三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點。小結(jié)：本題組主要考查了對全等三角形判定2的掌握情況，即兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。另一方面，也提醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形，即“兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形一定不全等?！绷硗猓谧C明兩個三角形全等時，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知識點三：全等三角形判定3 例5：如圖，BEAE，CFAE，MEMF。求證：AM是ABC的中線。思路分析：1）題意分析：要證明AM是ABC的中線，就要證明BMCM，要證明線段相等，就要證明與BM、CM有關(guān)的三角形全等，即BEMCFM，然后從已知條件中找出能夠判斷

7、這兩個三角形全等的條件。2）解題思路：結(jié)合已知條件和對頂角相等可由ASA來判定 BEMCFM，從而得出BMCM，進而得到AM是ABC的中線。解答過程： BEAE，CFAEBEMCFM90°在BME和CMF中，BMECMF（ASA）BMCMAM是ABC的中線。解題后的思考：要證明AM是ABC的中線，需要證明M是BC的中點，因此，轉(zhuǎn)化為證明BMCM，結(jié)合已知條件，應(yīng)考慮證明與這兩條相等線段有關(guān)的可能全等的兩個三角形，結(jié)合題目中已有的條件和能夠求出的相等關(guān)系，選擇正確的判定方法來解決相關(guān)問題。知識點四：全等三角形判定4例6：已知：BCEF，BCEF，AD，ABFDEC。求證：AFDC。思路

8、分析：1）題意分析：要證明AFDC，就要先證明ABFDEC，而已知中證明這兩個三角形全等的條件是AD，ABFDEC，但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根據(jù)BCEF，BCEF，想到連接BE，從而證明BFEECB，進一步得到BFEC，再利用AAS來判定兩個三角形全等。2）解題思路：要證明線段相等，我們可以考慮先證明三角形全等，ABF和DEC中有兩對角對應(yīng)相等，要使它們?nèi)?，只要證得BFEC即可。于是連接BE證BFEECB，即可證得BFEC。解答過程：連接BEBCEFFEBCBE在BFE和ECB中，BFEECB（SAS）BFCE在ABF和DEC中，ABFDEC（AAS）AFDC解題后的思考：證明三角

9、形全等是證明線段相等的一種重要方法，解答時要結(jié)合圖形，分析已知條件與求證的結(jié)論，尋找溝通二者的橋梁。例7：在ABC中，ACB90°，直線經(jīng)過點，且于，于。（1）當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖a的位置時，求證：； （2）當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖b的位置時，求證：；（3）當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時，試問具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明。 圖a 圖b圖c思路分析：1）題意分析：要證明一條線段等于兩條線段之和，或證明一條線段等于兩條線段之差，就要想這條線段與兩條線段之間有何關(guān)系，以及兩條線段AD、BE與CE、DC之間有何關(guān)系。這就需要我們用三角形全等來證明線段相等，從而實現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)化。2

10、）解題思路：（1）于，于，又，在Rt與Rt中，直角對應(yīng)相等，斜邊對應(yīng)相等。又與同為的余角，自然也是相等的，所以可得到。進一步可推出。（2）第（3）問中，與（1）的證明思路類似，先證明，再來證明三條線段間的數(shù)量關(guān)系。解答過程：（1）， 。，。圖a，。（2），。又，。圖b（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時，所滿足的等量關(guān)系是（或ADBEDE，等）。，。又，。圖c解題后的思考： 在運動變換問題中，不管運動變換前后的圖形、結(jié)論是否發(fā)生變化，解題的基本思路不變，一般情況下，運動前的解題思路及方法是為解答運動后的相關(guān)問題作鋪墊。小結(jié)： 本題組主要考查如何運用全等三角形判定4：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。以及在運動變換問題中如何準(zhǔn)確地運用三角形全等實現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)換。知識點五：全等三角形判定5例8：已知：如圖為的高，為上一點，交于，且有，。求證：。思路分析：1）題意分析：要證垂直于，需證，由題意可知，若能證明，就可得垂直于，這就要證。這可由已知條件證明，便可知。再由1290°和12BEC180°，得到BEC90°。從而得到。2）解題思路：運用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，證明，進一步得到。解答過程：證明：，。在Rt和Rt中，。（全等三角形對應(yīng)