【高考數(shù)學(xué)秘籍】圓的方程

1、第 56 講圓的方程1.圓心在直線(xiàn) 2x y 7= 0 上的圓 C 與 y 軸交于兩點(diǎn) 的方程是(A)A . (x 2)2+ (y+ 3)2= 5 B . (x 2)2+ (y 3)2= 52 2 2 2C. (x+ 2) + (y 3) = 5 D . (x+ 2) + (y+ 3) = 5線(xiàn)段 AB 的垂直平分線(xiàn)為 y= 3,y= 3,x= 2,由解得(2x y 7 = 0,|y= 3.所以圓 C 的方程是(x 2)2+ (y+ 3=5.2.點(diǎn) P(4, 2)與圓 x2+y2= 4 上任一點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)的軌跡方程是(A)A . (x 2)2+ (y+ 1)2= 1 B . (x 2)2+ (

2、y+ 1)2= 4C. (x+ 4)2+ (y 2)2= 4 D . (x+ 2)2+ (y 1)2= 1區(qū) 3 設(shè)圓上任一點(diǎn)為 A(xi, yi),貝 U x1+ y2= 4, PA 連線(xiàn)中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),|2x= xi+ 4,xi= 2x 4,則即|2y= yi 2,yi=2y+2,代入 x1+ yi= 4,得(x 2)2+ (y+ 1)2= 1.3.圓(x 1)2+ y2= 2 關(guān)于直線(xiàn) x y+ 1 = 0 對(duì)稱(chēng)的圓的方程是(C)A . (x+1)2+ (y 2)2=1B. (x 1)2+(y+ 2)2=1C. (x+1)2+ (y 2)2= 2 D . (x 1)2+(y+

3、2)2= 2啦圓心(1,0)關(guān)于直線(xiàn) x y + 1 = 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(一 1,2), 所以圓的方程是(x+ 1)2+ (y 2)2= 2.4.(2017 湖南長(zhǎng)沙二模)圓 x2+ y2 2x 2y+ 1 = 0 上的點(diǎn)到直線(xiàn) x y = 2 距離的最大值 是(A)A . 1+ .2 B . 2亞廠(chǎng)C . 1 + D . 2+ 2 2I1一1 2|廠(chǎng)則圓心到直線(xiàn) x y = 2 的距離 d= 丁=P2 故圓上的點(diǎn)到直線(xiàn) x y= 2 的最大值為 d+ 1 = 2+ 1.5 . (2016 浙江卷)已知 a R,方程 a2x2+ (a + 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a = 0 表示圓，貝恫

4、心坐標(biāo) 是(一2, 4)，半徑是 5.血由二元二次方程表示圓的條件可得a2= a+ 2,解得 a= 2 或1.當(dāng) a = 2 時(shí)，方程為 4x2+ 4y2+ 4x + 8y+ 10= 0，即 x2+ y2+ x+ 2y+；= 0，配方得(x+225+ (y+1) = 40 , b0)始終平分圓：x2+ y2- 4x 2y 8= 0 的周長(zhǎng)，貝 V -a2 + b 的最小值為3 + 2 2 .CD 由條件知直線(xiàn)過(guò)圓心(2,i),所以 2a+ 2b 2= 0，即 a+ b = 1.1212b 2a所以 i+2=(a+ b) +b)=3+a+2a3+ 2 2.當(dāng)且僅當(dāng) b=譽(yù)即a= 2 1, b=

5、2 2 時(shí)，等號(hào)成立.所以1+ 2 的最小值為 3 + 2 2.a bY7. (2016 廣東佛山六校聯(lián)考)圓 C 過(guò)不同的三點(diǎn) P(k,O), Q(2,0) , R(0,1)，已知圓 C 在點(diǎn) P 處的切線(xiàn)斜率為 1,求圓 C 的方程.堪 3 設(shè)圓 C 的方程為 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = 0.貝Uk,2 為 x2+ Dx + F = 0 的兩根，所以 k+ 2= D,2k = F，即 D = (k+ 2), F = 2k,又圓 C 過(guò) R(0,1)，故 1 + E+ F= 0,所以 E = 2k 1.故所求圓方程為 x2+ y2 (k+ 2)x (2k+ 1)y + 2k= 0

6、,k+ 2 2k+ 1 圓心坐標(biāo)為(一 ,).因?yàn)閳AC在P處的切線(xiàn)斜率為 1,2k+ 1所以 kcp= 1 = ，所以 k= 3.2 k所以 D = 1 , E = 5, F = 6.所以圓的方程為 x2+ y2+ x+ 5y 6= 0.客級(jí)&過(guò)點(diǎn) P(1,1)的直線(xiàn)將圓形區(qū)域(x, y)|x2+ y2w4分成兩部分，使這兩部分的面積之差 最大，則該直線(xiàn)的方程為(A)A . x+ y 2= 0 B . y 1= 0C. x y= 0 D. x+ 3y 4 = 039 當(dāng)圓心與P的連線(xiàn)和過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)垂直時(shí)，符合題意.因?yàn)閳A心 o 與P的連線(xiàn)的斜率為 1,所以過(guò)點(diǎn) P 垂直于 OP 的直線(xiàn)

7、方程為 x + y 2 = 0.9. (2017 天津卷)設(shè)拋物線(xiàn) y2= 4x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線(xiàn)為 I.已知點(diǎn) C 在 I 上，以 C 為圓心 的圓與 y軸的正半軸相切于點(diǎn) A.若/ FAC = 120則圓的方程為 (x+ 1)2+ (y/3)2= 1 .CJ3 由 y2= 4x 可得點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（1,0），準(zhǔn)線(xiàn) I 的方程為 x= 1.由圓心 C 在 I 上，且圓 C 與 y 軸正半軸相切（如圖）,可得點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為一 1，圓的半徑為 1，/CAO = 90又因?yàn)?FAC = 120所以/OAF = 30所以|OA|= 3,所以點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為.3.所以圓的方程為(x+ 1)2

8、+ (y 3)2= 1.10.已知點(diǎn) P(x, y)在圓 C: x + y 6x 6y+ 14= 0 上.(1)求y的最大值和最小值；x求 x2+ y2+ 2x+ 3 的最大值與最小值.CIS (1)圓 C: x2+ y2 6x 6y+14 = 0 整理得(x 3)2+ (y 3)2= 4. 所以圓心 C(3,3)，半徑 r =2.設(shè) k =，即卩 kx y=0(XM0),x|3k 3|則圓心到直線(xiàn)的距離 d r，即 2,寸 1+ k2o9 209+ 2 岳整理得 5k 18k+ 5W0，解得wk.55y9+ 2 149 2 14故：的最大值為廠(chǎng)，最小值為5.x2+ y2+ 2x+ 3 = (x+ 1)2+ y2+ 2,表示點(diǎn) P(x, y)到點(diǎn) A( 1,0)的距離的平方加上2,連接 AC,交圓 C 于點(diǎn) B， 延長(zhǎng) AC